Ekstremne vrednosti funkcija - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]f(x)[/tex] je parabola, koja je otvorena (pošto je njen vodeći koeficijent [tex]a^2+1>0)[/tex], pa ima samo jedan ekstremum i on je (globalni) minimum. [tex]f'(x)=0 <=> 2(a^2+1)x-2a=0[/tex], ili [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. Srećom po nas, [tex]\frac{a}{a^2+1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{a^2+1} \le \frac{1}{2}[/tex] (pošto je [tex]0 \le \frac{2a}{a^2+1} \le 1[/tex] za svako pozitivno [tex]a)[/tex]. Pa je minimum u intervalu dosegnut za [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. Zamenimo u [tex]f(x)[/tex] da bismo dobili
[tex]f_{min}(x)=f(\frac{a}{a^2+1})=(a^2+1) \cdot (\frac{a}{a^2+1})^2-2a \cdot \frac{a}{a^2+1}+10=\frac{a^2}{a^2+1}-\frac{2a^2}{a^2+1}+10=10-\frac{a^2}{a^2+1}=\frac{9a^2+10}{a^2+1}[/tex]. Hoćemo da ova vrednost bude jednaka [tex]\frac{451}{50}[/tex]:
[tex]\frac{9a^2+10}{a^2+1}=\frac{451}{50}[/tex], unakrsno pomnožimo:
[tex]450a^2+500=451a^2+451[/tex], ili [tex]a^2=49[/tex]. Što znači da je [tex]a=7[/tex], pošto je [tex]a[/tex] pozitivno.