Simplificación de expresiones algebráicas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Respuesta: 0
porque [tex]x - x = 0[/tex]
y cualquier cosa multiplicada por 0 es 0.

Solución:
La respuesta es 0, porque en algún lugar en el centro obtenemos (x - x) que es igual a 0.
Todo multiplicado por 0 es 0.

Solución:
En lugar de desarrollar, observamos que la expresión tiene la forma [tex]a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3[/tex] con [tex]a=x+3[/tex] y [tex]b=1-x[/tex]:
[tex]\big((x+3)+(1-x)\big)^3=4^3=64[/tex]

Solución:
Sea [tex]t=b-2[/tex]. Entonces [tex]a+b-2=a+t[/tex] y [tex]a-b+2=a-t[/tex]:
[tex]A=(a+t)^2+(a-t)(a+t)-2a^2+4a[/tex]
[tex]=a^2+2at+t^2+a^2-t^2-2a^2+4a=2at+4a[/tex]
[tex]=2a(b-2)+4a=2ab-4a+4a=2ab[/tex]

Solución:
[tex]x=9[/tex]
[tex]y=2^9\times \left(-\frac{1}{2^5}\right)\times \frac{1}{2^4}=-\frac{2^9}{2^9}=-1[/tex]
Primero simplificamos:
[tex](x+y-3)^2=x^2+y^2+9+2xy-6x-6y[/tex]
[tex]A=x^2+y^2+9+2xy-6x-6y-x^2+5x-xy-y^2-xy=9-x-6y[/tex]
[tex]A=9-9-6\times (-1)=6[/tex]

Solución:
[tex]a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab[/tex]
[tex]a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3ab[/tex]
[tex]A=2(1-3ab)-3(1-2ab)=2-6ab-3+6ab=-1[/tex]

Solución:
Agrupamos:
[tex]\big[(a+b+c)^3-a^3\big]-\big(b^3+c^3\big)[/tex]
Usamos [tex]x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)[/tex] y [tex]x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)[/tex]:
[tex](a+b+c)^3-a^3=(b+c)\big[(a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2\big][/tex]
[tex]b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2)[/tex]
Sacando el factor común [tex]b+c[/tex], dentro del corchete queda:
[tex](a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2-b^2+bc-c^2[/tex]
[tex]=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+a^2+ab+ac+a^2-b^2+bc-c^2[/tex]
[tex]=3a^2+3ab+3ac+3bc=3(a^2+ab+ac+bc)=3(a+b)(a+c)[/tex]
Por lo tanto, [tex](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(b+c)(a+b)(a+c)=3(a+b)(b+c)(c+a)[/tex].

Solución:
Elevamos [tex]a+b+c=0[/tex] al cuadrado:
[tex]a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0 \Rightarrow 1+2(ab+bc+ca)=0 \Rightarrow ab+bc+ca=-\frac{1}{2}[/tex]
Elevamos de nuevo al cuadrado:
[tex](ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2[/tex]
Por lo tanto, [tex]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{1}{4}[/tex].
Por último, elevamos al cuadrado [tex]a^2+b^2+c^2=1[/tex]:
[tex]a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=1 \Rightarrow a^4+b^4+c^4=1-2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}[/tex]