Expresiones logarítmicas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Usando [tex]\log_a x - \log_a y = \log_a\frac{x}{y}[/tex]:
[tex]\log_{2}6 - \log_{2}3 = \log_{2}\frac{6}{3} = \log_{2}2 = 1[/tex]

Respuesta: 1

Solución:
Usando [tex]\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)[/tex]:
[tex]\log_{3}5 + \log_{3}1.8 = \log_{3}(5\cdot 1.8) = \log_{3}9 = 2[/tex]

Respuesta: 2

Solución:
Usando [tex]\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)[/tex]:
[tex]\log_{10}2 + \log_{10}5 = \log_{10}10 = 1[/tex]

Respuesta: 1

Solución:
[tex]\frac{1}{2} = 2^{-1}[/tex]
[tex]8 = 2^3[/tex]
Usando [tex]\log_{a^n}a^m = \frac{m}{n}[/tex]:
[tex]\log_{\frac{1}{2}}8 = \log_{2^{-1}}2^3 = \frac{3}{-1} = -3[/tex]

Respuesta: -3

Solución:
Usando [tex]a^{\log_a b} = b[/tex]:
[tex]5^{\log_{5}7} = 7[/tex]

Respuesta: 7

Solución:
[tex]4 = 2^2[/tex]
[tex]8 = 2^3[/tex]
Usando [tex]\log_{a^n}a^m = \frac{m}{n}[/tex]:
[tex]\log_{4}8 = \log_{2^2}2^3 = \frac{3}{2}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{3}{2}[/tex]

Solución:
Usando [tex]\log_a b\cdot \log_b c = \log_a c[/tex]:
[tex]\log_{2}3\cdot \log_{3}8 = \log_{2}8 = 3[/tex]

Respuesta: 3

Solución:
Usando [tex]\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)[/tex]:
[tex]\log_{6}2 + \log_{6}18 = \log_{6}36 = 2[/tex]

Respuesta: 2

Solución:
Usando [tex]\log_a x - \log_a y = \log_a\frac{x}{y}[/tex]:
[tex]\log_{2}80 - \log_{2}5 = \log_{2}16 = 4[/tex]

Respuesta: 4

Solución:
[tex]\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]9 = 3^2[/tex]
Usando [tex]\log_{a^n}a^m = \frac{m}{n}[/tex]:
[tex]\log_{\sqrt{3}}9 = \log_{3^{\frac{1}{2}}}3^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4[/tex]

Respuesta: 4

Solución:
[tex]3^{2\log_{3}5} = (3^{\log_{3}5})^2[/tex]
Usando [tex]a^{\log_a b} = b[/tex]:
[tex](3^{\log_{3}5})^2 = 5^2 = 25[/tex]

Respuesta: 25

Solución:
[tex]\log_{2}16 = \log_{2}2^4 = 4[/tex]
[tex]\log_{2}(\log_{2}16) = \log_{2}4 = 2[/tex]

Respuesta: 2

Solución:
[tex]49 = 7^2[/tex]
[tex]49^3 = (7^2)^3 = 7^6[/tex]
Usando [tex]\log_a a^m = m[/tex]:
[tex]\log_{7}49^3 = \log_{7}7^6 = 6[/tex]

Respuesta: 6

Solución:
[tex]\log_{10}7 + \log_{10}2 = \log_{10}(7\cdot 2) = \log_{10}14[/tex]
Usando [tex]a^{\log_a b} = b[/tex]:
[tex]10^{\log_{10}14} = 14[/tex]

Respuesta: 14

Solución:
[tex]\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}} = 5^{-\frac{1}{2}}[/tex]
Usando [tex]\log_a a^m = m[/tex]:
[tex]\log_{5}\frac{1}{\sqrt{5}} = \log_{5}5^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}[/tex]

Respuesta: [tex]-\frac{1}{2}[/tex]

Solución:
[tex]2\sqrt[3]{2} = 2\cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{1+\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}[/tex]
[tex]\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}[/tex]
Usando [tex]\log_{a^n}a^m = \frac{m}{n}[/tex]:
[tex]\log_{2\sqrt[3]{2}}\frac{1}{16} = \log_{2^{\frac{4}{3}}}2^{-4} = \frac{-4}{\frac{4}{3}} = -4\cdot\frac{3}{4} = -3[/tex]

Respuesta: -3

Solución:
[tex]\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}[/tex]
[tex]\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2^5} = 2^{\frac{5}{4}}[/tex]
Usando [tex]\log_{a^n}a^m = \frac{m}{n}[/tex]:
[tex]\log_{\frac{1}{8}}\sqrt[4]{32} = \log_{2^{-3}}2^{\frac{5}{4}} = \frac{\frac{5}{4}}{-3} = \frac{5}{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{5}{12}[/tex]

Respuesta: [tex]-\frac{5}{12}[/tex]

Solución:
[tex]\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}[/tex]
[tex]0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}[/tex]
Usando [tex]\log_{a^n}a^m = \frac{m}{n}[/tex]:
[tex]\log_{\frac{1}{8}}0{,}25 = \log_{2^{-3}}2^{-2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{2}{3}[/tex]

Solución:
[tex]\log_{30}2+\log_{30}3+\log_{30}5=\log_{30}30=1 \Rightarrow \log_{30}2=1-a-b[/tex]
[tex]\log_{30}8=3\log_{30}2=3(1-a-b)[/tex]

Solución:
[tex]\log \tan 1^\circ+\log \tan 2^\circ+\ldots+\log \tan 89^\circ=\log \left(\tan 1^\circ\times \tan 2^\circ\times \ldots\times \tan 89^\circ\right)[/tex]
[tex]\tan k^\circ\times \tan \left(90^\circ-k^\circ\right)=\tan k^\circ\times \dfrac{1}{\tan k^\circ}=1; \tan 45^\circ=1[/tex]
[tex]\log 1=0[/tex]

Solución:
[tex]C=2[/tex]. Hacemos el cambio [tex]t=\log_6 5\gt 0; t\ne 1; \log_5 6=\dfrac{1}{t}[/tex]:
[tex]B-2=t+\dfrac{1}{t}-2=\dfrac{(t-1)^2}{t}\gt 0 \Rightarrow B\gt C[/tex]

Solución:
[tex]0\lt \operatorname{sen} k^\circ\lt 1\ (k=1; 2; \ldots; 89) \Rightarrow \log \operatorname{sen} k^\circ\lt 0[/tex]
El producto de [tex]89[/tex] factores negativos (un número impar) es negativo.

Solución:
[tex]\left(\sqrt{2005}+\sqrt{1995}\right)\left(\sqrt{2005}-\sqrt{1995}\right)=2005-1995=10[/tex]
[tex]n+\log \left(\sqrt{2005}-\sqrt{1995}\right)=\log 10=1 \Rightarrow \log \left(\sqrt{2005}-\sqrt{1995}\right)=1-n[/tex]

Solución:
[tex]\log_2 3\gt \dfrac{3}{2} \iff 3\gt 2^{\frac{3}{2}} \iff 9\gt 8\ \checkmark[/tex]
[tex]\log_5 11\lt \dfrac{3}{2} \iff 11\lt 5^{\frac{3}{2}} \iff 121\lt 125\ \checkmark[/tex]
[tex]\log_2 3\gt \dfrac{3}{2}\gt \log_5 11[/tex]

Solución:
[tex]\log_{n^2m}\dfrac{n^2}{m}=\dfrac{\log_n\frac{n^2}{m}}{\log_n\left(n^2m\right)}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}{4-2}=3-2\sqrt{2}[/tex]

Solución:
[tex]x^2+1\gt 0[/tex] para todo [tex]x[/tex].
[tex]x+3\gt 0; \log_{0{,} 3}(x+3)\ne 0 \iff x+3\ne 1 \iff x\ne -2[/tex]
Respuesta: [tex]x\in(-3; -2)\cup(-2; +\infty)[/tex]