Expresiones logarítmicas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]\log_{2}3\cdot \log_{3}4 = \log_{2}4[/tex]
[tex]\log_{2}4\cdot \log_{4}5 = \log_{2}5[/tex]
Usando [tex]\log_a b\cdot \log_b c = \log_a c[/tex]:
[tex]\log_{2}5\cdot \log_{5}8 = \log_{2}8 = 3[/tex]

Respuesta: 3

Solución:
[tex]\frac{1}{\log_{2}6} = \log_{6}2[/tex]
[tex]\frac{1}{\log_{3}6} = \log_{6}3[/tex]
Usando [tex]\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)[/tex]:
[tex]\log_{6}2 + \log_{6}3 = \log_{6}6 = 1[/tex]

Respuesta: 1

Solución:
[tex]\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}[/tex]
Usando [tex]\log_{a^n}a^m = \frac{m}{n}[/tex]:
[tex]\log_{\sqrt{2}}\sqrt[3]{4} = \log_{2^{\frac{1}{2}}}2^{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{3}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{4}{3}[/tex]

Solución:
[tex]5 = \frac{10}{2}[/tex]
Usando [tex]\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y[/tex]:
[tex]\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - a[/tex]

Respuesta: [tex]1-a[/tex]

Solución:
[tex]8 = 2^3[/tex]
[tex]8^{\log_{2}5} = (2^3)^{\log_{2}5} = (2^{\log_{2}5})^3[/tex]
Usando [tex]a^{\log_a b} = b[/tex]:
[tex](2^{\log_{2}5})^3 = 5^3 = 125[/tex]

Respuesta: 125

Solución:
[tex]\log_{2}65536 = \log_{2}2^{16} = 16[/tex]
[tex]\log_{2}16 = \log_{2}2^4 = 4[/tex]
[tex]\log_{2}(\log_{2}(\log_{2}65536)) = \log_{2}4 = 2[/tex]

Respuesta: 2

Solución:
[tex]a>0,\; a\neq 1,\; b>0,\; b\neq 1[/tex]
Usando [tex]\log_a b = \frac{1}{\log_b a}[/tex]:
[tex]\log_a b\cdot \log_b a = \frac{1}{\log_b a}\cdot \log_b a = 1[/tex]

Respuesta: 1

Solución:
[tex]2\log_{10}5 = \log_{10}5^2 = \log_{10}25[/tex]
Usando [tex]\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)[/tex]:
[tex]\log_{10}4 + \log_{10}25 = \log_{10}100 = 2[/tex]

Respuesta: 2

Solución:
[tex]\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}}[/tex]
Usando [tex]\log_a a^m = m[/tex]:
[tex]\log_{3}\sqrt[4]{27} = \log_{3}3^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{3}{4}[/tex]

Solución:
[tex]32 = 2^5[/tex]
Usando [tex]\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b[/tex]:
[tex]\frac{\log_{5}2}{\log_{5}32} = \log_{32}2 = \log_{2^5}2 = \frac{1}{5}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{1}{5}[/tex]

Solución:
[tex]\log_{4}9 = \frac{\log_{2}9}{\log_{2}4} = \frac{2\log_{2}3}{2} = \log_{2}3[/tex]
Usando [tex]a^{\log_a b} = b[/tex]:
[tex]2^{\log_{4}9} = 2^{\log_{2}3} = 3[/tex]

Respuesta: 3

Solución:
[tex]\log_{8}9 = \frac{\log_{2}9}{\log_{2}8} = \frac{\log_{2}3^2}{3} = \frac{2\log_{2}3}{3}[/tex]
[tex]\log_{8}9 = \frac{2b}{3}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{2b}{3}[/tex]

Solución:
[tex]\log_{3}2\cdot \log_{4}3 = \log_{4}2[/tex]
[tex]\log_{4}2\cdot \log_{5}4 = \log_{5}2[/tex]
[tex]\log_{5}2\cdot \log_{6}5 = \log_{6}2[/tex]
[tex]\log_{6}2\cdot \log_{7}6 = \log_{7}2[/tex]
Usando [tex]\log_b a\cdot \log_c b = \log_c a[/tex]:
[tex]\log_{7}2\cdot \log_{8}7 = \log_{8}2 = \log_{2^3}2 = \frac{1}{3}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{1}{3}[/tex]

Solución:
[tex]4^{1+\log_{2}3} = 4\cdot 4^{\log_{2}3}[/tex]
[tex]4^{\log_{2}3} = (2^2)^{\log_{2}3} = (2^{\log_{2}3})^2 = 3^2 = 9[/tex]
[tex]4^{1+\log_{2}3} = 4\cdot 9 = 36[/tex]

Respuesta: 36

Solución:
[tex]\log_{25}27 = \frac{\log_{5}27}{\log_{5}25} = \frac{3\log_{5}3}{2}[/tex]
Usando [tex]\log_a b\cdot \log_b a = 1[/tex]:
[tex]\log_{3}5\cdot \log_{25}27 = \frac{3}{2}\cdot \log_{3}5\cdot \log_{5}3 = \frac{3}{2}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{3}{2}[/tex]

Solución:
[tex](a+b)^2=4ab[/tex]
Sabemos que [tex](a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab[/tex]
[tex]a^2 + b^2 + 2ab = 4ab[/tex]
[tex]a^2+b^2=4ab-2ab[/tex]
Así [tex]a^2+b^2=2ab[/tex], es decir [tex](a-b)^2=0[/tex] y [tex]a=b[/tex] (con [tex]a>0[/tex] y [tex]b>0[/tex], pues en caso contrario los logaritmos no están definidos)

Entonces [tex]\log(a^2+b^2)=\log(2ab)=\log 2+\log(a)+\log(b)[/tex]
pero [tex]2\log(a)+2\log(b)=\log(a^2b^2)[/tex]
Ambas expresiones son iguales solo si [tex]2ab=a^2b^2[/tex], es decir solo si [tex]ab=2[/tex], lo cual no se deduce de la condición.
Contraejemplo: [tex]a=b=1[/tex] cumple [tex](a+b)^2=4ab[/tex], pero [tex]\log(a^2+b^2)=\log 2\approx 0{,}301[/tex], mientras que [tex]2\log(a)+2\log(b)=0[/tex].

Respuesta: Falso

Solución:
[tex]81^{\frac{1}{\log_5 9}}=81^{\log_9 5}=9^{2\log_9 5}=25[/tex]
[tex]3^{\frac{3}{\log_{\sqrt{6}}3}}=3^{3\log_3\sqrt{6}}=\left(\sqrt{6}\right)^3=6\sqrt{6}[/tex]
[tex]\left(\sqrt{7}\right)^{\frac{2}{\log_{25}7}}=\left(\sqrt{7}\right)^{2\log_7 25}=7^{\log_7 25}=25[/tex]
[tex]125^{\log_{25}6}=5^{3\times \frac{1}{2}\log_5 6}=6^{\frac{3}{2}}=6\sqrt{6}[/tex]
[tex]\dfrac{\left(25+6\sqrt{6}\right)\left(25-6\sqrt{6}\right)}{409}=\dfrac{625-216}{409}=1[/tex]

Solución:
[tex]t=\log_2 3:\ a=\dfrac{\log_2 27}{\log_2 12}=\dfrac{3t}{2+t} \Rightarrow t=\dfrac{2a}{3-a}[/tex]
[tex]\log_6 16=\dfrac{\log_2 16}{\log_2 6}=\dfrac{4}{1+t}=\dfrac{4}{1+\frac{2a}{3-a}}=\dfrac{4(3-a)}{3+a}[/tex]

Solución:
[tex]p=\log_2 3\gt 0; 3=2^p; \log_3 2=\dfrac{1}{p}[/tex]
[tex]3^{\sqrt{\log_3 2}}=\left(2^p\right)^{\frac{1}{\sqrt{p}}}=2^{\sqrt{p}}=2^{\sqrt{\log_2 3}}[/tex]
Respuesta: [tex]0[/tex]

Solución:
[tex]a^{\frac{2}{\log_b a}}=a^{2\log_a b}=b^2 \Rightarrow b\,a^{1+\frac{2}{\log_b a}}=ab^3[/tex]
[tex]a^{1+\log_a b}=ab; b^{1+\log_b a}=ab \Rightarrow 2a^{1+\log_a b}\,b^{1+\log_b a}=2a^2b^2[/tex]
[tex]b^{\frac{2}{\log_a b}}=b^{2\log_b a}=a^2 \Rightarrow a\,b^{1+\frac{2}{\log_a b}}=a^3b[/tex]
[tex]ab^3-2a^2b^2+a^3b=ab(a-b)^2[/tex]

Solución:
[tex]u=\log_7 2; v=\log_7 3:\ a=2u+v; ab=\log_7 12\times \log_{12}24=\log_7 24=3u+v[/tex]
[tex]u=ab-a; v=3a-2ab[/tex]
[tex]\log_{63}168=\dfrac{\log_7\left(2^3\times 3\times 7\right)}{\log_7\left(3^2\times 7\right)}=\dfrac{3u+v+1}{2v+1}=\dfrac{1+ab}{1+6a-4ab}[/tex]

Solución:
[tex]4-3x-x^2\gt 0 \iff (x+4)(x-1)\lt 0 \iff -4\lt x\lt 1[/tex]
[tex]\dfrac{2x+1}{x+1}\gt 0 \iff x\lt -1[/tex] o [tex]x\gt -\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\dfrac{2x+1}{x+1}\ne 1 \iff x\ne 0[/tex]
Respuesta: [tex]x\in(-4; -1)\cup\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)\cup(0; 1)[/tex]

Solución:
[tex]\log_5 32^{-1}=-\log_5 32; 25\lt 32\lt 125 \Rightarrow -3\lt -\log_5 32\lt -2[/tex]
[tex]24\lt 36 \Rightarrow \log_6 24\lt 2 \Rightarrow (\log_6 24)^2\lt 4[/tex]
[tex]2^8=256\gt 243=3^5 \Rightarrow \log_2 3\lt \dfrac{8}{5} \Rightarrow \log_6 2=\dfrac{1}{1+\log_2 3}\gt \dfrac{5}{13}[/tex]
[tex]\log_6 24=1+2\log_6 2\gt \dfrac{23}{13} \Rightarrow (\log_6 24)^2\gt \dfrac{529}{169}\gt 3[/tex]
Las soluciones enteras son [tex]-2; -1; 0; 1; 2; 3[/tex].
Respuesta: [tex]6[/tex]

Solución:
[tex]x=\log_a b; y=\log_b c; z=\log_c a:\ x+y+z=0; xyz=\log_a b\times \log_b c\times \log_c a=1[/tex]
[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0[/tex]
[tex]x^3+y^3+z^3=3xyz=3[/tex]

Solución:
[tex]x=\log_2 3:\ p=\dfrac{\log_2 18}{\log_2 12}=\dfrac{1+2x}{2+x}; q=\dfrac{\log_2 54}{\log_2 24}=\dfrac{1+3x}{3+x}[/tex]
[tex](1+2x)(3+x)-(1+3x)(2+x)=1-x^2[/tex]
[tex]pq+5(p-q)=\dfrac{(1+2x)(1+3x)+5\left(1-x^2\right)}{(2+x)(3+x)}=\dfrac{x^2+5x+6}{(2+x)(3+x)}=1[/tex]

Solución:
Las bases [tex]b+c[/tex] y [tex]c-b[/tex] son positivas ([tex]c\gt b[/tex]) y distintas de [tex]1[/tex]. Para [tex]a=1[/tex] ambos miembros valen [tex]0[/tex].
[tex]X=\log_{b+c}a\ne 0; Y=\log_{c-b}a\ne 0:\ \dfrac{1}{X}+\dfrac{1}{Y}=\log_a(b+c)+\log_a(c-b)=\log_a\left(c^2-b^2\right)=\log_a a^2=2[/tex]
[tex]\dfrac{X+Y}{XY}=2 \iff X+Y=2XY[/tex]

Solución:
[tex]S=\log_h a+\log_h b=\log_h(ab)[/tex]
[tex]\tan \alpha=\dfrac{a}{h}; \tan \beta=\dfrac{b}{h}; \angle C=\alpha+\beta; \alpha; \beta\in\left(0^\circ; 90^\circ\right)[/tex]
[tex]\alpha+\beta\lt 90^\circ \iff \tan \alpha\times \tan \beta\lt 1 \iff ab\lt h^2 \iff S\lt 2\ \ (h\gt 1)[/tex]
Análogamente, para [tex]S=2[/tex] el ángulo es recto y para [tex]S\gt 2[/tex], obtuso.

Solución:
Para [tex]n\ge 4[/tex], por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica:
[tex]\sqrt{\log_3(n-1)\times \log_3(n+1)}\le \dfrac{\log_3\left(n^2-1\right)}{2}\lt \log_3 n \Rightarrow \log_3^2 n\gt \log_3(n-1)\times \log_3(n+1)[/tex]
Multiplicamos estas desigualdades para [tex]n=4; 6; \ldots; 80[/tex]:
[tex]A^2\gt \left(\log_3 3\times \log_3 5\times \ldots\times \log_3 79\right)\left(\log_3 5\times \log_3 7\times \ldots\times \log_3 81\right)=\dfrac{B}{2}\times 2B=B^2[/tex]
[tex]A\gt 0; B\gt 0 \Rightarrow A\gt B[/tex]