Porcientos - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Si los lados eran [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex], los nuevos lados son [tex]1{,}2a[/tex] y [tex]0{,}9b[/tex]:
[tex]1{,}2a\times 0{,}9b=1{,}08ab[/tex]
El área pasa a ser el [tex]108\%[/tex] de la original, es decir, aumenta un [tex]8\%[/tex] (no un [tex]20\%-10\%=10\%[/tex]).

Solución:
Tras cada rebaja del [tex]p\%[/tex] el precio se multiplica por [tex]q=1-\frac{p}{100}[/tex]:
[tex]2000q^2=1280 \Rightarrow q^2=0{,}64 \Rightarrow q=0{,}8 \Rightarrow p=20[/tex]
Cada rebaja fue del [tex]20\%[/tex]: [tex]2000\to 1600\to 1280[/tex]. (El [tex]36\%[/tex] es la rebaja total.)

Solución:
Recaudación = precio [tex]\times[/tex] número de espectadores. Si el precio era [tex]p[/tex] y el número [tex]n[/tex], el nuevo número [tex]n_1[/tex] cumple:
[tex]0{,}8p\times n_1=p\times n \Rightarrow n_1=\dfrac{n}{0{,}8}=1{,}25n[/tex]
El número de espectadores aumentó un [tex]25\%[/tex].

Solución:
La materia seca no cambia. Al principio es el [tex]100\%-97\%=3\%[/tex] de [tex]210[/tex]:
[tex]0{,}03\times 210=6{,}3[/tex]
Después es el [tex]9\%[/tex] del nuevo peso [tex]x[/tex]:
[tex]0{,}09x=6{,}3 \Rightarrow x=70[/tex]
¡Sorprendentemente, el peso se redujo a la tercera parte!

Solución:
La cantidad de sal no cambia:
[tex]0{,}05\times 10=0{,}5[/tex]
Tras añadir [tex]x[/tex] litros debe ser el [tex]2\%[/tex] de [tex]10+x[/tex]:
[tex]0{,}02(10+x)=0{,}5 \Rightarrow 10+x=25 \Rightarrow x=15[/tex]

Solución:
Sea [tex]x[/tex] el precio de [tex]A[/tex]; entonces [tex]B[/tex] cuesta [tex]2x[/tex] y el lote [tex]3x[/tex]. El nuevo precio del lote es
[tex]1{,}4x+1{,}25\times 2x=1{,}4x+2{,}5x=3{,}9x[/tex]
[tex]\dfrac{3{,}9x}{3x}=1{,}3[/tex]
El lote se encarece un [tex]30\%[/tex]. (No la media [tex]32{,}5\%[/tex], porque [tex]B[/tex] es la mayor parte del precio.)

Solución:
Sea [tex]x[/tex] el número de problemas. Tras cada día queda:
[tex]x\to 0{,}6x\to 0{,}4\times 0{,}6x=0{,}24x\to 0{,}7\times 0{,}24x=0{,}168x[/tex]
[tex]0{,}168x=21 \Rightarrow x=125[/tex]
Comprobación: [tex]125\to 75\to 30\to 21[/tex]

Solución:
Sea [tex]x[/tex] lo que tenía Marina; entonces Lina tenía [tex]200-x[/tex]. A Lina le quedó el [tex]40\%[/tex] y a Marina el [tex]20\%[/tex] de su dinero:
[tex]0{,}4(200-x)+0{,}2x=50 \Rightarrow 80-0{,}2x=50 \Rightarrow x=150[/tex]
Comprobación: [tex]0{,}4\times 50+0{,}2\times 150=20+30=50[/tex]

Solución:
Sea [tex]n[/tex] el número inicial de alumnos, es decir, [tex]\frac{2n}{3}[/tex] chicas. Tras irse [tex]4[/tex] chicas:
[tex]\dfrac{2n}{3}-4=0{,}6(n-4)\ \Big|\times 15[/tex]
[tex]10n-60=9n-36 \Rightarrow n=24[/tex]
Había [tex]16[/tex] chicas; ahora hay [tex]12[/tex] de [tex]20[/tex] alumnos, y [tex]\frac{12}{20}=60\%[/tex].

Solución:
Sea [tex]a[/tex] el lado del polígono de [tex]20[/tex] lados; entonces el lado del octógono es [tex]1{,}4a[/tex]. Los perímetros son:
[tex]8\times 1{,}4a=11{,}2a[/tex], [tex]20a[/tex]
[tex]\dfrac{11{,}2a}{20a}=0{,}56=56\%[/tex]
El perímetro del octógono es un [tex]100\%-56\%=44\%[/tex] menor.

Solución:
El interés de un año es el [tex]3{,}5\%[/tex] del depósito [tex]x[/tex]:
[tex]0{,}035x=245 \Rightarrow x=245\div 0{,}035=7000[/tex]

Solución:
Cada año la cantidad se multiplica por [tex]1{,}04[/tex]:
[tex]2500\times 1{,}04=2600[/tex]
[tex]2600\times 1{,}04=2704[/tex]
(Con interés simple serían solo [tex]2700[/tex]: en el segundo año también se cobran intereses sobre los intereses del primer año.)

Solución:
La suma de los seis números es [tex]6\times 32=192[/tex]. Si el número es [tex]x[/tex], los otros cinco suman [tex]192-x[/tex]:
[tex]x=1{,}4\times \dfrac{192-x}{5} \Rightarrow 5x=268{,}8-1{,}4x \Rightarrow 6{,}4x=268{,}8 \Rightarrow x=42[/tex]
Comprobación: [tex]\dfrac{192-42}{5}=30[/tex], [tex]1{,}4\times 30=42[/tex]

Solución:
Aumentar un [tex]150\%[/tex] significa multiplicar por [tex]2{,}5[/tex]. Sean [tex]t[/tex] los tres resultados iguales:
[tex]2{,}5a=t \Rightarrow a=0{,}4t[/tex], [tex]0{,}75b=t \Rightarrow b=\dfrac{4t}{3}[/tex], [tex]c-5=t \Rightarrow c=t+5[/tex]
[tex]0{,}4t+\dfrac{4t}{3}+t+5=87\ \Big|\times 15[/tex]
[tex]6t+20t+15t=1230 \Rightarrow 41t=1230 \Rightarrow t=30[/tex]
[tex]a=12[/tex], [tex]b=40[/tex], [tex]c=35[/tex]

Solución:
[tex]\dfrac{1{,}4a}{1{,}25b}=\dfrac{1{,}4}{1{,}25}\times \dfrac{a}{b}=1{,}12\times \dfrac{a}{b}[/tex]
La fracción aumenta un [tex]12\%[/tex].

Solución:
El precio total de venta es el [tex]105\%[/tex] del precio total de compra:
[tex]210\div 1{,}05=200[/tex]
Sea [tex]x[/tex] el precio de la primera vaca y [tex]200-x[/tex] el de la segunda:
[tex]0{,}9x+1{,}1(200-x)=210 \Rightarrow 220-0{,}2x=210 \Rightarrow x=50[/tex]
Comprobación: [tex]0{,}9\times 50+1{,}1\times 150=45+165=210[/tex]