Desigualdades con módulo - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]|A|\gt B \Leftrightarrow A\gt B[/tex] o [tex]A\lt -B[/tex] (esto vale para cualquier signo de [tex]B[/tex]):
[tex]x^2-x-6\gt x+3 \Leftrightarrow x^2-2x-9\gt 0 \Leftrightarrow x\lt 1-\sqrt{10}[/tex] o [tex]x\gt 1+\sqrt{10}[/tex]
[tex]x^2-x-6\lt -x-3 \Leftrightarrow x^2-3\lt 0 \Leftrightarrow -\sqrt{3}\lt x\lt \sqrt{3}[/tex]
La respuesta es la unión de los dos conjuntos ([tex]1-\sqrt{10}\approx -2{,} 16\lt -\sqrt{3}\approx -1{,} 73[/tex]):
Respuesta: [tex]x\in\left(-\infty; 1-\sqrt{10}\right)\cup\left(-\sqrt{3}; \sqrt{3}\right)\cup\left(1+\sqrt{10}; +\infty\right)[/tex].
Comprobación: [tex]x=-2[/tex] no es solución ([tex]0\gt 1[/tex] es falso), mientras que [tex]x=0[/tex] sí lo es ([tex]6\gt 3[/tex]).

Solución:
Ambos lados son no negativos, así que podemos elevarlos al cuadrado:
[tex]\left(x^2-8x+15\right)^2-\left(15-x^2\right)^2\leq 0[/tex]
[tex]\left(x^2-8x+15-15+x^2\right)\left(x^2-8x+15+15-x^2\right)\leq 0 \Leftrightarrow \left(2x^2-8x\right)(30-8x)\leq 0[/tex]
[tex]4x(x-4)(15-4x)\leq 0 \Leftrightarrow x(x-4)(4x-15)\geq 0[/tex]
Ceros de los factores: [tex]0; \frac{15}{4}; 4[/tex]. Signos de izquierda a derecha: [tex]-; +; -; +[/tex].
Respuesta: [tex]x\in\left[0; \frac{15}{4}\right]\cup[4; +\infty)[/tex].

Solución:
Dominio: [tex]|x|\neq 1[/tex], es decir, [tex]x\neq\pm 1[/tex].
El numerador es no negativo. La fracción es [tex]\leq 0[/tex] en dos casos.
Si el numerador es [tex]0[/tex]: [tex]|2-x|=3 \Leftrightarrow x=-1[/tex] o [tex]x=5[/tex]. El valor [tex]x=-1[/tex] no está en el dominio, mientras que [tex]x=5[/tex] es solución.
Si el numerador es positivo, el denominador debe ser negativo: [tex]|x|-1\lt 0 \Leftrightarrow -1\lt x\lt 1[/tex] (en este intervalo el numerador es efectivamente positivo).
Respuesta: [tex]x\in(-1; 1)\cup\{5\}[/tex].

Solución:
Dominio: [tex]x\neq 3[/tex].
[tex]x\lt 0:\ \frac{x^2+x-12}{x-3}=\frac{(x+4)(x-3)}{x-3}=x+4\geq 2x \Leftrightarrow x\leq 4[/tex] — cierto para todo [tex]x[/tex] de este intervalo.
[tex]x\geq 0:\ \frac{x^2-x-12}{x-3}-2x=\frac{x^2-x-12-2x^2+6x}{x-3}=\frac{-x^2+5x-12}{x-3}\geq 0[/tex]
[tex]-x^2+5x-12\lt 0[/tex] para todo [tex]x[/tex] [tex](D=25-48\lt 0)[/tex], así que se necesita [tex]x-3\lt 0[/tex], es decir, [tex]0\leq x\lt 3[/tex].
Respuesta: [tex]x\in(-\infty; 3)[/tex].

Solución:
Dominio: [tex]x\neq 0[/tex]. Multiplicamos ambos lados por [tex]3|x|\gt 0[/tex]:
[tex]9\leq |x|(x+6)[/tex]
[tex]x\gt 0:\ x^2+6x-9\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -3+3\sqrt{2}[/tex] (la otra raíz [tex]-3-3\sqrt{2}[/tex] es negativa)
[tex]x\lt 0:\ 9\leq -x(x+6) \Leftrightarrow x^2+6x+9\leq 0 \Leftrightarrow (x+3)^2\leq 0 \Leftrightarrow x=-3[/tex]
Respuesta: [tex]x\in\{-3\}\cup\left[3\sqrt{2}-3; +\infty\right)[/tex].

Solución:
Que no haya soluciones en [tex][-3; 0][/tex] significa que para todo [tex]x\in[-3; 0][/tex] se cumple la desigualdad contraria:
[tex]-6\leq x^2+4x-a\leq 6 \Leftrightarrow a-6\leq x^2+4x\leq a+6[/tex] (para todo [tex]x\in[-3; 0][/tex])
Así que todos los valores de [tex]x^2+4x[/tex] en [tex][-3; 0][/tex] deben estar en [tex][a-6; a+6][/tex].
[tex]x^2+4x=(x+2)^2-4[/tex]: el menor valor es [tex]-4[/tex] (en [tex]x=-2[/tex]) y el mayor es [tex]0[/tex] (en [tex]x=0[/tex]; en [tex]x=-3[/tex] el valor es [tex]-3[/tex]).
Por lo tanto, [tex]a-6\leq -4[/tex] y [tex]0\leq a+6[/tex], es decir, [tex]-6\leq a\leq 2[/tex].
Respuesta: [tex]a\in[-6; 2][/tex].