Teorema de Pitágoras - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Sean los lados [tex]8k[/tex] y [tex]15k[/tex].
Por el teorema de Pitágoras: [tex](8k)^2+(15k)^2=68^2 \Rightarrow 289k^2=68^2 \Rightarrow 17k=68 \Rightarrow k=4[/tex]
Los lados miden [tex]32[/tex] y [tex]60[/tex], y el perímetro es
[tex]2(32+60)=184[/tex]

Solución:
Sea [tex]x[/tex] el cateto menor; entonces el otro cateto es [tex]x+5[/tex] y la hipotenusa es [tex]x+10[/tex]:
[tex]x^2+(x+5)^2=(x+10)^2[/tex]
[tex]x^2+x^2+10x+25=x^2+20x+100[/tex]
[tex]x^2-10x-75=0 \Rightarrow (x-15)(x+5)=0[/tex]
Como [tex]x\gt 0[/tex], [tex]x=15[/tex]: los lados miden [tex]15[/tex], [tex]20[/tex], [tex]25[/tex] y la hipotenusa es [tex]25[/tex].

Solución:
Sea [tex]P[/tex] el pie de la escalera, [tex]R[/tex] y [tex]L[/tex] sus puntos superiores en la pared derecha e izquierda, y [tex]R_0[/tex], [tex]L_0[/tex] los pies de las paredes. Los triángulos rectángulos [tex]PR_0R[/tex] y [tex]LL_0P[/tex] tienen hipotenusas iguales [tex]PR=PL[/tex] (la escalera).
Como [tex]\angle LPR=90^\circ[/tex], tenemos [tex]\angle LPL_0+\angle RPR_0=90^\circ[/tex]; además [tex]\angle PRR_0+\angle RPR_0=90^\circ[/tex]. Por lo tanto [tex]\angle PRR_0=\angle LPL_0[/tex] y los dos triángulos son congruentes. Así, [tex]PR_0=LL_0=3[/tex]:
[tex]PR^2=PR_0^2+RR_0^2=3^2+4^2=25 \Rightarrow PR=5[/tex]

Solución:
Sea [tex]x[/tex] la base; entonces la altura es [tex]x+2[/tex] y cada lado igual es [tex]x+3[/tex]. La altura divide la base por la mitad:
[tex]\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+(x+2)^2=(x+3)^2[/tex]
[tex]\dfrac{x^2}{4}+x^2+4x+4=x^2+6x+9 \Rightarrow \dfrac{x^2}{4}=2x+5[/tex]
[tex]x^2-8x-20=0 \Rightarrow (x-10)(x+2)=0 \Rightarrow x=10[/tex]
La base mide [tex]10[/tex], la altura [tex]12[/tex], cada lado igual [tex]13[/tex], y el perímetro es
[tex]10+13+13=36[/tex]

Solución:
Sean [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] las longitudes de los caminos. Son los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa [tex]13[/tex]:
[tex]x+y=17[/tex], [tex]x^2+y^2=169[/tex]
[tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy \Rightarrow 289=169+2xy \Rightarrow xy=60[/tex]
Dos números con suma [tex]17[/tex] y producto [tex]60[/tex] son [tex]5[/tex] y [tex]12[/tex] (comprobación: [tex]5^2+12^2=169[/tex]). El pueblo más lejano está a [tex]12[/tex] km.

Solución:
Primero hallamos la altura sobre la base (divide la base por la mitad):
[tex]h^2=17^2-8^2=289-64=225 \Rightarrow h=15[/tex]
[tex]S=\dfrac{16\times 15}{2}=120[/tex]
La misma área se puede calcular con un lado igual y la altura [tex]h_1[/tex] relativa a él:
[tex]\dfrac{17\times h_1}{2}=120 \Rightarrow h_1=\dfrac{240}{17}=14\dfrac{2}{17}[/tex]

Solución:
Sean los catetos [tex]x[/tex] y [tex]2x[/tex].
Por el teorema de Pitágoras: [tex]x^2+(2x)^2=10^2 \Rightarrow 5x^2=100 \Rightarrow x^2=20[/tex]
Expresamos el área de dos maneras (ni siquiera necesitamos hallar [tex]x[/tex]):
[tex]\dfrac{x\times 2x}{2}=\dfrac{10\times h}{2} \Rightarrow 10h=2x^2=40 \Rightarrow h=4[/tex]

Solución:
La altura desde un vértice de la base menor corta en la base mayor un segmento de [tex]\frac{14-4}{2}=5[/tex]; el resto de la base mayor mide [tex]14-5=9[/tex].
[tex]h^2=13^2-5^2=169-25=144 \Rightarrow h=12[/tex]
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos [tex]12[/tex] y [tex]9[/tex]:
[tex]d^2=12^2+9^2=144+81=225 \Rightarrow d=15[/tex]

Solución:
La recta que pasa por los centros es perpendicular a la cuerda común y la divide por la mitad; media cuerda mide [tex]12[/tex]. Las distancias de los centros a la cuerda son:
[tex]d_1^2=13^2-12^2=25 \Rightarrow d_1=5[/tex]
[tex]d_2^2=15^2-12^2=81 \Rightarrow d_2=9[/tex]
Si los centros están a distintos lados de la cuerda, la distancia es [tex]5+9=14[/tex]; si están del mismo lado, es [tex]9-5=4[/tex]. Ambos casos son posibles.

Solución:
Sean [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex] los puntos de tangencia. Los radios [tex]O_1A[/tex] y [tex]O_2B[/tex] son perpendiculares a [tex]AB[/tex], así que [tex]O_1ABO_2[/tex] es un trapecio rectángulo. Trazamos [tex]O_2K\parallel AB[/tex] ([tex]K[/tex] en [tex]O_1A[/tex]); entonces [tex]O_2K=AB[/tex] y
[tex]O_1O_2=50+32=82[/tex], [tex]O_1K=50-32=18[/tex]
[tex]AB^2=82^2-18^2=(82-18)(82+18)=64\times 100=6400 \Rightarrow AB=80[/tex]

Solución:
Sean [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] los catetos. Cada mediana relativa a un cateto es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el otro cateto y la mitad de este cateto:
[tex]b^2+\dfrac{a^2}{4}=52[/tex], [tex]a^2+\dfrac{b^2}{4}=73[/tex]
Sumamos las dos igualdades:
[tex]\dfrac{5}{4}(a^2+b^2)=125 \Rightarrow a^2+b^2=100 \Rightarrow c=10[/tex]

Solución:
Sea la altura [tex]CH=h[/tex], [tex]AH=9[/tex], [tex]BH=16[/tex]. Por el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos pequeños:
[tex]AC^2=h^2+81[/tex], [tex]BC^2=h^2+256[/tex]
y en el triángulo grande [tex]AC^2+BC^2=AB^2=25^2[/tex]:
[tex]2h^2+337=625 \Rightarrow 2h^2=288 \Rightarrow h^2=144 \Rightarrow h=12[/tex]

Solución:
Sea [tex]MD=x[/tex]; entonces [tex]MC=10-x[/tex]. De los triángulos rectángulos [tex]ADM[/tex] y [tex]BCM[/tex]:
[tex]AM^2=16+x^2[/tex], [tex]BM^2=16+(10-x)^2[/tex]
En el triángulo rectángulo [tex]AMB[/tex]: [tex]AM^2+BM^2=AB^2[/tex]:
[tex]16+x^2+16+100-20x+x^2=100 \Rightarrow x^2-10x+16=0 \Rightarrow (x-2)(x-8)=0[/tex]
Como [tex]MC\gt MD[/tex], [tex]MD=2[/tex] y [tex]MC=8[/tex].

Solución:
Sean [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] los catetos y [tex]c[/tex] la hipotenusa. Entonces
[tex]a+b=60-c[/tex], [tex]ab=2\times 150=300[/tex], [tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
[tex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab \Rightarrow (60-c)^2=c^2+600[/tex]
[tex]3600-120c+c^2=c^2+600 \Rightarrow 120c=3000 \Rightarrow c=25[/tex]
(Los catetos miden [tex]15[/tex] y [tex]20[/tex].)

Solución:
Sea [tex]T[/tex] el punto más bajo de la cuerda. Cada parte de la cuerda, desde el extremo de un poste hasta [tex]T[/tex], mide al menos lo que el descenso vertical [tex]10-2{,}5=7{,}5[/tex].
Pero las dos partes juntas miden solo [tex]15=7{,}5+7{,}5[/tex], así que cada parte mide exactamente [tex]7{,}5[/tex]. Si un poste estuviera a una distancia horizontal [tex]x\gt 0[/tex] de [tex]T[/tex], esa parte mediría al menos la hipotenusa [tex]\sqrt{(7{,}5)^2+x^2}\gt 7{,}5[/tex].
Por lo tanto, la distancia entre los postes es [tex]0[/tex]: están uno junto al otro y la cuerda cuelga doblada.

Solución:
Bruno oye el trueno por teléfono en el mismo momento que Álex, es decir, [tex]15[/tex] s después del relámpago, y directamente [tex]10[/tex] s más tarde, es decir, [tex]25[/tex] s después del relámpago. Así, el relámpago está a [tex]15\times 300=4500[/tex] m de Álex y a [tex]25\times 300=7500[/tex] m de Bruno.
El relámpago está justo al este y el refugio justo al norte de Álex, así que el ángulo en Álex es recto y la distancia de Bruno al relámpago es la hipotenusa:
[tex]x^2=7500^2-4500^2=(7500-4500)(7500+4500)=3000\times 12000=36000000 \Rightarrow x=6000[/tex]
Álex está a [tex]6000[/tex] m [tex]=6[/tex] km del refugio.