Problemas verbales - problemas difíciles y soluciones

Solución:
[tex]34+x=4(10+x) \Rightarrow 34+x=40+4x \Rightarrow 3x=-6 \Rightarrow x=-2[/tex]
La respuesta negativa significa que eso ocurrió hace [tex]2[/tex] años: el padre tenía [tex]32[/tex] y el hijo [tex]8[/tex]. A partir de ahora la razón entre sus edades solo disminuye, así que no volverá a ocurrir.

Solución:
Vamos hacia atrás. Si tras una venta de [tex]x[/tex] caballos quedan [tex]y[/tex], entonces [tex]y=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}[/tex], es decir, [tex]x=2y+1[/tex]:
[tex]5\to 2\times 5+1=11\to 2\times 11+1=23\to 2\times 23+1=47[/tex]
Comprobación: [tex]47-24=23[/tex], [tex]23-12=11[/tex], [tex]11-6=5[/tex].

Solución:
Tras el primer día queda [tex]\frac{4}{9}[/tex] del libro. El segundo día leyó [tex]\frac{3}{8}\times \frac{4}{9}=\frac{1}{6}[/tex] del libro. La última parte es:
[tex]\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{8-3}{18}=\dfrac{5}{18}[/tex]
[tex]\dfrac{5}{18}x=40 \Rightarrow x=144[/tex]

Solución:
Sean [tex]h[/tex] mi edad y [tex]w[/tex] la de mi esposa. Yo tenía [tex]w[/tex] años hace [tex]h-w[/tex] años; entonces ella tenía [tex]w-(h-w)=2w-h[/tex]:
[tex]h=2(2w-h) \Rightarrow 3h=4w[/tex]
[tex]h+w=63 \Rightarrow \dfrac{4w}{3}+w=63 \Rightarrow w=27; h=36[/tex]
Comprobación: hace [tex]9[/tex] años yo tenía [tex]27[/tex] y ella [tex]18[/tex], y [tex]36=2\times 18[/tex].

Solución:
[tex]\overline{ab}+63=\overline{ba} \Rightarrow 10a+b+63=10b+a \Rightarrow 9(b-a)=63 \Rightarrow b-a=7[/tex]
Junto con [tex]a+b=11[/tex] obtenemos [tex]a=2[/tex], [tex]b=9[/tex]. El número es [tex]29[/tex] (comprobación: [tex]29+63=92[/tex]).

Solución:
Sean [tex]x[/tex] las monedas de [tex]1[/tex] y [tex]51-x[/tex] las de [tex]0{,}1[/tex]:
[tex]x+0{,}1(51-x)=33 \Rightarrow 0{,}9x=27{,}9 \Rightarrow x=31[/tex]
Comprobación: [tex]31+0{,}1\times 20=31+2=33[/tex]

Solución:
Sea [tex]L[/tex] la longitud de la vela gruesa; la delgada mide [tex]L-4[/tex]. En [tex]2[/tex] horas la gruesa se consume [tex]\frac{2}{5}[/tex] de su longitud y la delgada [tex]\frac{2}{3}[/tex], así que quedan [tex]\frac{3}{5}L[/tex] y [tex]\frac{1}{3}(L-4)[/tex]:
[tex]\dfrac{3}{5}L=2\times \dfrac{L-4}{3} \Rightarrow 9L=10L-40 \Rightarrow L=40[/tex]
Las velas miden [tex]40[/tex] y [tex]36[/tex] cm.

Solución:
Las páginas de la [tex]1[/tex] a la [tex]9[/tex] usan [tex]9[/tex] cifras y las de la [tex]10[/tex] a la [tex]99[/tex] usan [tex]90\times 2=180[/tex] cifras, en total [tex]189[/tex]. Las cifras restantes corresponden a números de tres cifras:
[tex](2322-189)\div 3=2133\div 3=711[/tex]
[tex]99+711=810[/tex]

Solución:
Si hay [tex]n[/tex] alumnos, cada uno da [tex]n-1[/tex] fotos:
[tex]n(n-1)=992=32\times 31 \Rightarrow n=32[/tex]

Solución:
El número de partidos es [tex]\frac{4\times 3}{2}=6[/tex]. Un partido con ganador reparte [tex]3[/tex] puntos en total y un empate [tex]2[/tex]. Si hubo [tex]x[/tex] empates:
[tex]3(6-x)+2x=16 \Rightarrow 18-x=16 \Rightarrow x=2[/tex]

Solución:
Sean [tex]m[/tex] hombres, [tex]w[/tex] mujeres y [tex]c[/tex] niños:
[tex]m+w+c=13; 2m+\dfrac{w}{2}+\dfrac{c}{4}=13[/tex]
Multiplicamos la segunda ecuación por [tex]4[/tex] y restamos la primera:
[tex]8m+2w+c=52 \Rightarrow 7m+w=39 \Rightarrow w=39-7m[/tex]
De [tex]w\ge 0[/tex] se sigue [tex]m\le 5[/tex], y de [tex]m+w=39-6m\le 13[/tex] se sigue [tex]m\ge 5[/tex]. Por tanto, [tex]m=5[/tex], [tex]w=4[/tex], [tex]c=4[/tex].
Comprobación: [tex]5\times 2+4\times 0{,}5+4\times 0{,}25=10+2+1=13[/tex]

Solución:
Sean los números [tex]n; n+1; \dots; n+8[/tex]. Su suma es [tex]9n+36[/tex], así que el número borrado es [tex]9n+36-166=9n-130[/tex]. Es uno de los nueve números:
[tex]n\le 9n-130\le n+8 \Rightarrow 130\le 8n\le 138 \Rightarrow n=17[/tex]
[tex]9\times 17-130=23[/tex]

Solución:
Sea [tex]a[/tex] la edad media de los [tex]10[/tex] jugadores (la suma de sus edades es [tex]10a[/tex]) y [tex]c[/tex] la edad del capitán:
[tex]\dfrac{10a+c}{11}=a+1 \Rightarrow 10a+c=11a+11 \Rightarrow c=a+11[/tex]
La edad media del equipo es [tex]a+1[/tex], así que el capitán la supera en [tex](a+11)-(a+1)=10[/tex] años.

Solución:
En la suma [tex]43+48+44[/tex] cada alumno con dos sobresalientes se cuenta dos veces y cada uno con tres, tres veces. Al restar los pares, los alumnos con tres sobresalientes desaparecen por completo, así que los sumamos una vez:
[tex]43+48+44-14-17-15+6=135-46+6=95[/tex]

Solución:
Según el reloj, de las [tex]21{:}25[/tex] a las [tex]6{:}31[/tex] pasan [tex]9[/tex] h [tex]6[/tex] min, es decir, [tex]546[/tex] min. Por cada hora real ([tex]60[/tex] min) el reloj avanza [tex]63[/tex] min, así que el tiempo real transcurrido es:
[tex]546\times \dfrac{60}{63}=520[/tex]
[tex]520[/tex] min [tex]=8[/tex] h [tex]40[/tex] min, así que la alarma suena a las [tex]6{:}05[/tex] hora real. Ivo puede quedarse acostado [tex]26[/tex] minutos.