Problemas verbales - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Supongamos que comía [tex]n[/tex] caramelos al día durante [tex]d[/tex] días; la caja tenía [tex]nd[/tex] caramelos:
[tex](n-1)(d+9)=nd \Rightarrow 9n-d=9[/tex]
[tex](n+1)(d-6)=nd \Rightarrow d-6n=6[/tex]
[tex]3n=15 \Rightarrow n=5; d=36[/tex]
Comprobación: [tex]5\times 36=4\times 45=6\times 30=180[/tex]

Solución:
Supongamos que una vaca come [tex]1[/tex] unidad de hierba al día, que al principio hay [tex]G[/tex] unidades y que cada día crecen [tex]r[/tex] unidades:
[tex]G+24r=70\times 24=1680; G+60r=30\times 60=1800[/tex]
[tex]36r=120 \Rightarrow r=\dfrac{10}{3}; G=1680-80=1600[/tex]
Para [tex]96[/tex] días y [tex]x[/tex] vacas:
[tex]96x=G+96r=1600+320=1920 \Rightarrow x=20[/tex]

Solución:
Sea [tex]n[/tex] el número de niños y [tex]a[/tex] su edad media, así que la suma de sus edades es [tex]na[/tex]:
[tex]\dfrac{na-45}{n-5}=a+1 \Rightarrow na-45=na-5a+n-5 \Rightarrow 5a-n=40[/tex]
[tex]\dfrac{na+85}{n+5}=a+1 \Rightarrow na+85=na+5a+n+5 \Rightarrow 5a+n=80[/tex]
[tex]10a=120 \Rightarrow a=12; n=20[/tex]
Comprobación: [tex]\dfrac{240-45}{15}=\dfrac{240+85}{25}=13[/tex]

Solución:
Supongamos que el primero vendió [tex]x[/tex] kg a precio [tex]p[/tex] y el segundo [tex]100-x[/tex] kg a precio [tex]q[/tex]. Entonces [tex]p(100-x)=72[/tex], [tex]qx=32[/tex], y la igualdad de ingresos da [tex]px=q(100-x)[/tex]:
[tex]\dfrac{72x}{100-x}=\dfrac{32(100-x)}{x} \Rightarrow 9x^2=4(100-x)^2[/tex]
Ambos lados son cuadrados de números positivos, así que:
[tex]3x=2(100-x) \Rightarrow 5x=200 \Rightarrow x=40[/tex]
Los hermanos vendieron [tex]40[/tex] y [tex]60[/tex] kg. Comprobación: [tex]p=1{,}2[/tex], [tex]q=0{,}8[/tex] y [tex]40\times 1{,}2=60\times 0{,}8=48[/tex].

Solución:
El peso total es [tex]46\times 106=4876[/tex] kg. Si [tex]k[/tex] atletas pesan más de [tex]125[/tex] kg y los demás al menos [tex]82[/tex] kg:
[tex]4876\gt 125k+82(46-k)=3772+43k \Rightarrow 43k\lt 1104 \Rightarrow k\le 25[/tex]
[tex]25[/tex] es posible: por ejemplo, [tex]25[/tex] atletas de [tex]126[/tex] kg, [tex]20[/tex] de [tex]82[/tex] kg y uno de [tex]86[/tex] kg.

Solución:
Supongamos que al entrar tenía [tex]x[/tex] euros y [tex]y[/tex] céntimos ([tex]y\lt 100[/tex]), es decir, [tex]100x+y[/tex] céntimos. Al salir tenía [tex]\frac{y}{2}[/tex] euros y [tex]x[/tex] céntimos, es decir, [tex]50y+x[/tex] céntimos:
[tex]50y+x=\dfrac{100x+y}{2} \Rightarrow 100y+2x=100x+y \Rightarrow 99y=98x[/tex]
Como [tex]98[/tex] y [tex]99[/tex] no tienen divisores comunes mayores que [tex]1[/tex], [tex]y[/tex] es múltiplo de [tex]98[/tex]. De [tex]0\lt y\lt 100[/tex] obtenemos [tex]y=98[/tex] y [tex]x=99[/tex].
Comprobación: [tex]99{,}98\div 2=49{,}99[/tex]

Solución:
Sean [tex]A[/tex] las setas de la primera clase, [tex]B[/tex] las de la segunda y [tex]n[/tex] los recolectores. Cada uno recibió [tex]\frac{A}{7}+\frac{B}{9}[/tex] setas:
[tex]n\left(\dfrac{A}{7}+\dfrac{B}{9}\right)=A+B[/tex]
Si [tex]n\le 7[/tex], el lado izquierdo es como mucho [tex]A+\frac{7B}{9}\lt A+B[/tex]. Si [tex]n\ge 9[/tex], es al menos [tex]\frac{9A}{7}+B\gt A+B[/tex]. Por tanto, [tex]n=8[/tex] (por ejemplo, [tex]A=7[/tex], [tex]B=9[/tex] y cada uno recibe [tex]2[/tex] setas).

Solución:
Sean [tex]n[/tex] los pescadores y [tex]F[/tex] los peces capturados. Los otros [tex]n-2[/tex] pescadores capturaron [tex]F-\frac{F}{5}-\frac{F}{7}=\frac{23F}{35}[/tex] peces, cada uno más de [tex]\frac{F}{7}[/tex] y menos de [tex]\frac{F}{5}[/tex]:
[tex](n-2)\times \dfrac{F}{7}\lt \dfrac{23F}{35}\lt (n-2)\times \dfrac{F}{5}[/tex]
[tex]5(n-2)\lt 23\lt 7(n-2) \Rightarrow \dfrac{23}{7}\lt n-2\lt \dfrac{23}{5} \Rightarrow n-2=4[/tex]
Había [tex]6[/tex] pescadores (por ejemplo, [tex]140[/tex] peces: [tex]28[/tex], [tex]20[/tex] y cuatro capturas de [tex]23[/tex]).