Problemas de trabajo conjunto - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Sea [tex]x[/tex] el número de días que trabajaron juntos:
[tex]x\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}\right)+\dfrac{3}{8}=1 \Rightarrow \dfrac{5x}{24}=\dfrac{5}{8} \Rightarrow x=3[/tex]
[tex]3+3=6[/tex]

Solución:
Cada uno solo tardaría [tex]10[/tex] horas, es decir, hace [tex]\frac{1}{10}[/tex] del pedido por hora. Los nuevos rendimientos son [tex]\frac{1}{10}[/tex] y [tex]1{,}4\times \frac{1}{10}=\frac{7}{50}[/tex]:
[tex]\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{50}=\dfrac{12}{50}=\dfrac{6}{25}[/tex]
[tex]\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}[/tex] h = [tex]4[/tex] h [tex]10[/tex] min

Solución:
Sea [tex]t[/tex] el tiempo a ritmo normal ([tex]\frac{1}{8}[/tex] de la cuota por hora) y otras [tex]t[/tex] horas al doble de ritmo:
[tex]\dfrac{t}{8}+\dfrac{2t}{8}=1 \Rightarrow t=\dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3}[/tex]
Trabajó [tex]2t=5\frac{1}{3}[/tex] h = [tex]5[/tex] h [tex]20[/tex] min, así que salió [tex]2[/tex] h [tex]40[/tex] min antes.

Solución:
El trabajo equivale a [tex]6\times 45=270[/tex] horas-obrero. Si duró [tex]T[/tex] horas:
[tex]6T+3\times \dfrac{T}{2}=270 \Rightarrow 7{,}5T=270 \Rightarrow T=36[/tex]

Solución:
El trabajo equivale a [tex]30\times 10=300[/tex] días-obrero. En los [tex]3[/tex] primeros días se hacen [tex]90[/tex] y quedan [tex]210[/tex]. Los [tex]25[/tex] obreros restantes hacen [tex]1{,}4[/tex] unidades al día cada uno, en total [tex]35[/tex]:
[tex]210\div 35=6; 3+6=9[/tex]
El trabajo se terminó el día [tex]9[/tex], un día antes de lo previsto.

Solución:
Tom pinta [tex]\frac{0{,}75}{2}=\frac{3}{8}[/tex] de la valla por hora y Huck, [tex]\frac{0{,}6}{2}=\frac{3}{10}[/tex]. El [tex]10\%[/tex] de Tom en solitario le llevó:
[tex]0{,}1\div \dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{15}[/tex]
es decir, [tex]16[/tex] min. Juntos pintan [tex]\frac{3}{8}+\frac{3}{10}=\frac{27}{40}[/tex] por hora, así que el [tex]90\%[/tex] restante lleva [tex]0{,}9\div \frac{27}{40}=\frac{4}{3}[/tex] h = [tex]1[/tex] h [tex]20[/tex] min. En total: [tex]1[/tex] h [tex]36[/tex] min.

Solución:
Sean [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] las partes de la piscina que llena cada tubo por hora. Sumamos las tres condiciones:
[tex]2(a+b+c)=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{35}=\dfrac{7+5+4}{140}=\dfrac{16}{140}[/tex]
[tex]a+b+c=\dfrac{8}{140}=\dfrac{2}{35}[/tex]
[tex]\frac{35}{2}=17\frac{1}{2}[/tex] h = [tex]17[/tex] h [tex]30[/tex] min

Solución:
Sea [tex]t[/tex] el número de horas transcurridas desde las [tex]6{:}00[/tex]. Las partes sin arar son [tex]1-\frac{t}{8}[/tex] y [tex]1-\frac{t-1}{10}[/tex]:
[tex]\dfrac{11-t}{10}=2\times \dfrac{8-t}{8} \Rightarrow 4(11-t)=10(8-t) \Rightarrow 6t=36 \Rightarrow t=6[/tex]
A las [tex]12{:}00[/tex] las partes sin arar son [tex]\frac{1}{4}[/tex] y [tex]\frac{1}{2}[/tex].

Solución:
Sea [tex]V[/tex] el volumen de la zanja en metros cúbicos. [tex]3[/tex] h [tex]20[/tex] min [tex]=\frac{10}{3}[/tex] h, así que por hora las excavadoras sacan [tex]\frac{V}{2}[/tex] y [tex]V\div \frac{10}{3}=\frac{3V}{10}[/tex]:
[tex]\dfrac{V}{2}-\dfrac{3V}{10}=24 \Rightarrow \dfrac{V}{5}=24 \Rightarrow V=120[/tex]

Solución:
Sea [tex]t[/tex] el tiempo que estuvo abierto el primer tubo; el segundo estuvo abierto [tex]t-1[/tex] horas:
[tex]\dfrac{t}{9}-\dfrac{t-1}{15}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow 10t-6(t-1)=45 \Rightarrow 4t=39 \Rightarrow t=9\dfrac{3}{4}[/tex]
El primer tubo estuvo abierto [tex]9[/tex] h [tex]45[/tex] min (y el segundo, [tex]8[/tex] h [tex]45[/tex] min).

Solución:
En [tex]2[/tex] horas juntas escriben [tex]\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/tex] del texto, así que en [tex]10[/tex] horas la primera escribió [tex]\frac{2}{3}[/tex]; sola tardaría [tex]10\div \frac{2}{3}=15[/tex] h. La segunda escribe por hora:
[tex]\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{5-2}{30}=\dfrac{1}{10}[/tex]
La primera: [tex]15[/tex] h; la segunda: [tex]10[/tex] h.

Solución:
Sean [tex]x[/tex] obreros e [tex]y[/tex] días. El trabajo equivale a [tex]xy[/tex] días-obrero:
[tex]xy=(x+3)(y-2)=(x+12)(y-5)[/tex]
[tex]3y-2x-6=0; 12y-5x-60=0[/tex]
[tex]4(2x+6)=5x+60 \Rightarrow x=12; y=10[/tex]
Comprobación: [tex]12\times 10=15\times 8=24\times 5=120[/tex]

Solución:
Sean [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] las horas que tarda cada grifo solo:
[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}; \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}=25 \Rightarrow a+b=50[/tex]
[tex]\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{1}{12} \Rightarrow ab=600[/tex]
Por tanto, [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] son las raíces de [tex]z^2-50z+600=0[/tex], es decir, [tex]20[/tex] y [tex]30[/tex] horas.

Solución:
Sea [tex]x[/tex] los días que necesita el primer equipo y [tex]x+3[/tex] el segundo. El primero trabajó [tex]10[/tex] días y el segundo, [tex]6[/tex]:
[tex]\dfrac{10}{x}+\dfrac{6}{x+3}=1 \Rightarrow x^2-13x-30=0 \Rightarrow (x-15)(x+2)=0 \Rightarrow x=15[/tex]
Comprobación: [tex]\dfrac{10}{15}+\dfrac{6}{18}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1[/tex]

Solución:
[tex]3[/tex] h [tex]44[/tex] min [tex]=3\frac{44}{60}=\frac{56}{15}[/tex] h. Sean [tex]x[/tex] y [tex]x+1[/tex] las horas de cada tubo:
[tex]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{15}{56} \Rightarrow 15x^2-97x-56=0 \Rightarrow (x-7)(15x+8)=0 \Rightarrow x=7[/tex]
Comprobación: [tex]\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{15}{56}[/tex]