Problemas de trabajo conjunto - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Sean [tex]x[/tex] y [tex]x+4[/tex] las horas de cada tubo. El primero llena la mitad en [tex]\frac{x}{2}[/tex] horas:
[tex]\dfrac{x}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+4}\right)=\dfrac{10}{x+4}[/tex]
[tex](x+4)+x=20 \Rightarrow x=8[/tex]
Comprobación: [tex]4\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}[/tex]

Solución:
[tex]2[/tex] h [tex]24[/tex] min [tex]=\frac{12}{5}[/tex] h, así que juntas asfaltan [tex]\frac{2}{3}\div \frac{12}{5}=\frac{5}{18}[/tex] de la calle por hora. Con [tex]b=\frac{2}{3}a[/tex]:
[tex]a+\dfrac{2}{3}a=\dfrac{5}{18} \Rightarrow a=\dfrac{1}{6}; b=\dfrac{1}{9}[/tex]
La primera asfalta la mitad de la calle en [tex]3[/tex] horas, es decir, hasta las [tex]11{:}00[/tex]. [tex]t[/tex] horas después:
[tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{t}{6}=6\times \dfrac{t}{9} \Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{t}{2} \Rightarrow t=1[/tex]
A las [tex]12{:}00[/tex] (la calle aún no está terminada: [tex]\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}[/tex]).

Solución:
Por hora los tubos llenan [tex]\frac{1}{5}=0{,}2[/tex] y [tex]\frac{1}{12{,}5}=0{,}08[/tex] de la piscina, y el tercero vacía [tex]1\div \frac{20}{3}=0{,}15[/tex]. Si los dos primeros funcionaron juntos [tex]t[/tex] horas:
[tex]0{,}28t+5\times 0{,}08=0{,}68 \Rightarrow 0{,}28t=0{,}28 \Rightarrow t=1[/tex]
Vaciar del [tex]68\%[/tex] al [tex]50\%[/tex] lleva [tex]0{,}18\div 0{,}15=1{,}2[/tex] h. En total: [tex]1+5+1{,}2=7{,}2[/tex] h = [tex]432[/tex] min.

Solución:
Sea [tex]p[/tex] lo que achica un marinero por hora, [tex]w[/tex] lo que entra por hora y [tex]V[/tex] el agua inicial:
[tex]V+6w=60p; V+4w=56p \Rightarrow w=2p; V=48p[/tex]
[tex]48p+2pt=18pt \Rightarrow 16t=48 \Rightarrow t=3[/tex]

Solución:
Sean [tex]a[/tex] los días del equipo lento y [tex]b[/tex] los del rápido. Como [tex]\frac{75}{7}\%=\frac{3}{28}[/tex]:
[tex]\dfrac{3}{28}a=\dfrac{3}{7}b-6 \Rightarrow a=4b-56[/tex]
[tex]\dfrac{1}{4b-56}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12} \Rightarrow b^2-29b+168=0 \Rightarrow (b-21)(b-8)=0[/tex]
[tex]b=8[/tex] da [tex]a\lt 0[/tex], así que [tex]b=21[/tex] y [tex]a=28[/tex]: el equipo lento necesita [tex]28[/tex] días y el rápido, [tex]21[/tex] días.

Solución:
Sea [tex]T[/tex] el tiempo real en minutos y [tex]p[/tex], [tex]q[/tex] los ritmos (piezas por minuto):
[tex]2p(T-12)=12; 2q(T+20)=12; (p+q)T=12[/tex]
[tex]\dfrac{6T}{T-12}+\dfrac{6T}{T+20}=12 \Rightarrow 2T^2+8T=2T^2+16T-480 \Rightarrow T=60[/tex]
[tex]p=\frac{6}{48}=\frac{1}{8}[/tex] y [tex]q=\frac{6}{80}=\frac{3}{40}[/tex] piezas por minuto. En [tex]480[/tex] minutos: [tex]60[/tex] y [tex]36[/tex] piezas.

Solución:
Sean [tex]n[/tex] segadores, cada uno siega una unidad de superficie al día. El prado grande mide:
[tex]n\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3n}{4}[/tex]
Así, el prado pequeño mide [tex]\frac{3n}{8}[/tex], y se segó [tex]\frac{n}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{n}{4}[/tex] de él:
[tex]\dfrac{3n}{8}-\dfrac{n}{4}=\dfrac{n}{8}=1 \Rightarrow n=8[/tex]

Solución:
Sean [tex]n[/tex] obreros, cada uno hace [tex]p[/tex] del trabajo al día, así que [tex]24np=1[/tex]. Los tiempos de trabajo forman una progresión aritmética desde [tex]T[/tex] (el primero) hasta [tex]\frac{T}{5}[/tex] (el último); su media es [tex]\frac{1}{2}\left(T+\frac{T}{5}\right)=\frac{3T}{5}[/tex]:
[tex]np\times \dfrac{3T}{5}=1=24np \Rightarrow \dfrac{3T}{5}=24 \Rightarrow T=40[/tex]
El trabajo duró lo que trabajó el primero: [tex]40[/tex] días.