Problemas de mezclas y aleaciones - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Sean [tex]x[/tex] litros de la disolución al [tex]40\%[/tex] e [tex]y[/tex] litros de la del [tex]60\%[/tex]:
[tex]0{,}4x+0{,}6y=0{,}2(x+y+5) \Rightarrow x+2y=5[/tex]
[tex]0{,}4x+0{,}6y+0{,}8\times 5=0{,}7(x+y+5) \Rightarrow 3x+y=5[/tex]
[tex]x=1; y=2[/tex]

Solución:
Sea [tex]x[/tex] kg del mineral al [tex]50\%[/tex] e [tex]y[/tex] kg del mineral al [tex]60\%[/tex] en la primera mezcla: [tex]0{,}5x+0{,}6y=2800[/tex]. La segunda mezcla también pesa [tex]x+y[/tex] y contiene [tex]2800+500-600=2700[/tex] kg de hierro:
[tex]0{,}54(x+y)=2700 \Rightarrow x+y=5000[/tex]
[tex]0{,}5x+0{,}6(5000-x)=2800 \Rightarrow 0{,}1x=200 \Rightarrow x=2000; y=3000[/tex]

Solución:
Al segundo recipiente se añaden [tex]5[/tex] litros de la disolución al [tex]4\%[/tex]. Su ácido pasa a ser [tex]0{,}08\times 15+0{,}04\times 5=1{,}4[/tex] litros en [tex]20[/tex] litros, es decir, un [tex]7\%[/tex].
En el primer recipiente quedan [tex]5[/tex] litros al [tex]4\%[/tex] y se añaden [tex]15[/tex] litros al [tex]7\%[/tex]: [tex]0{,}04\times 5+0{,}07\times 15=1{,}25[/tex] litros en [tex]20[/tex] litros, es decir, un [tex]6{,}25\%[/tex]. En el segundo queda la disolución al [tex]7\%[/tex].

Solución:
En el agua el cinc pierde [tex]\frac{5}{36}[/tex] de su peso y el plomo [tex]\frac{2}{23}[/tex]; la aleación pierde [tex]292-261=31[/tex] g. Con [tex]z[/tex] g de cinc y [tex]l[/tex] g de plomo:
[tex]z+l=292; \dfrac{5z}{36}+\dfrac{2l}{23}=31[/tex]
[tex]115z+72l=25\,668; 72z+72l=21\,024[/tex]
[tex]43z=4644 \Rightarrow z=108; l=184[/tex]
Comprobación: [tex]\dfrac{5\times 108}{36}+\dfrac{2\times 184}{23}=15+16=31[/tex]

Solución:
Sean [tex]x[/tex] los litros que se sacan cada vez. Tras la primera vez quedan [tex]27-x[/tex] litros de alcohol, es decir, la fracción [tex]\frac{27-x}{27}[/tex] del líquido. Al sacar por segunda vez, del alcohol vuelve a quedar la misma fracción:
[tex]27\left(\dfrac{27-x}{27}\right)^2=12 \Rightarrow (27-x)^2=324 \Rightarrow 27-x=18 \Rightarrow x=9[/tex]
Comprobación: [tex]27-9=18; 18\times \dfrac{18}{27}=12[/tex]

Solución:
Sea [tex]m[/tex] g el peso de la disolución:
[tex]\dfrac{40}{m}-\dfrac{40}{m+200}=\dfrac{1}{10}[/tex]
[tex]400(m+200)-400m=m(m+200) \Rightarrow m^2+200m-80\,000=0[/tex]
[tex](m-200)(m+400)=0 \Rightarrow m=200[/tex]
Agua: [tex]200-40=160[/tex] g; concentración: [tex]\frac{40}{200}=20\%[/tex] (después, [tex]\frac{40}{400}=10\%[/tex]).

Solución:
Sea [tex]V[/tex] la disolución inicial de cada botella, con concentraciones [tex]c_1[/tex], [tex]c_2[/tex], [tex]c_3[/tex]. Las dos primeras reciben [tex]\frac{V}{2}[/tex] de la tercera y quedan con [tex]\frac{3V}{2}[/tex]:
[tex]\dfrac{c_1+\frac{c_3}{2}}{\frac{3}{2}}=0{,}8c_1 \Rightarrow c_3=0{,}4c_1[/tex]
[tex]\dfrac{c_2+\frac{c_3}{2}}{\frac{3}{2}}=1{,}1c_2 \Rightarrow c_3=1{,}3c_2[/tex]
[tex]0{,}4c_1=1{,}3c_2 \Rightarrow c_1:c_2=13:4[/tex]

Solución:
Sean [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex] las concentraciones (en %):
[tex]3a+2b+c=90; b+c+d=72; a+c=20[/tex]
Restando a la primera ecuación el triple de la tercera: [tex]2b-2c=30[/tex], es decir, [tex]b-c=15[/tex]. Entonces:
[tex]2b+d=(b+c+d)+(b-c)=72+15=87 \Rightarrow \dfrac{2b+d}{3}=29[/tex]
Las cuatro concentraciones no se pueden hallar por separado, pero la mezcla pedida es del [tex]29\%[/tex].