Ecuaciones logarítmicas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Dominio: [tex]x\gt 0[/tex]. Tomamos logaritmos en base [tex]5[/tex]; [tex]c=\log_5 3; t=\log_5 x[/tex]: [tex]\log_5 15=c+1; \log_5(9x)=2c+t[/tex]
[tex]c(c+1)+(2c+t+1)t=0 \iff t^2+(2c+1)t+c(c+1)=0 \iff (t+c)(t+c+1)=0[/tex]
[tex]t=-c=-\log_5 3 \Rightarrow x=\dfrac{1}{3}; t=-c-1=-\log_5 15 \Rightarrow x=\dfrac{1}{15}[/tex]

Solución:
Dominio: [tex]x\gt 0; x\ne 1[/tex]. [tex]t=\log_2 x=\dfrac{1}{\log_x 2}[/tex]: [tex]t^2+(x-1)t+2x-6=0[/tex]
[tex]D=(x-1)^2-4(2x-6)=x^2-10x+25=(x-5)^2[/tex]
[tex]t=\dfrac{1-x\pm(x-5)}{2}:\ t=-2; t=3-x[/tex]
[tex]\log_2 x=-2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{4}[/tex]
[tex]\log_2 x=3-x[/tex]: El miembro izquierdo es estrictamente creciente y el derecho estrictamente decreciente, así que la ecuación tiene a lo sumo una raíz. [tex]x=2:\ 1=1\ \checkmark[/tex]

Solución:
Para todo [tex]a[/tex] admisible, [tex]\log_a x[/tex] toma todos los valores reales, así que [tex]t=\log_a^2 x[/tex] toma todos los valores de [tex][0; +\infty)[/tex]. Necesitamos que [tex]f(t)=4t^2-4mt+8m-7=0[/tex] tenga una raíz [tex]t\ge 0[/tex].
[tex]f(0)=8m-7\le 0 \iff m\le \dfrac{7}{8}:\ t_1t_2\le 0\ \checkmark[/tex]
[tex]m\gt \dfrac{7}{8}:\ t_1t_2\gt 0; t_1+t_2=m\gt 0; \dfrac{D}{4}=4m^2-4(8m-7)=4(m-1)(m-7)\ge 0[/tex]
[tex]\dfrac{7}{8}\lt m\le 1[/tex] o [tex]m\ge 7[/tex]
Respuesta: [tex]m\in(-\infty; 1]\cup[7; +\infty)[/tex]

Solución:
Hacemos el cambio [tex]t=\log x[/tex]: [tex]a^2-\left(2t^2+1\right)a+t^4+t=0; D=(2t-1)^2[/tex]
[tex]a=t^2+t[/tex] o [tex]a=t^2-t+1 \iff \left(t^2+t-a\right)\left(t^2-t+1-a\right)=0[/tex]
[tex]t^2+t-a=0:\ 1+4a\gt 0 \iff a\gt -\dfrac{1}{4}[/tex]
[tex]t^2-t+1-a=0:\ 4a-3\gt 0 \iff a\gt \dfrac{3}{4}[/tex]
Cada [tex]t[/tex] real da exactamente un [tex]x\gt 0[/tex]. Una raíz común de los dos factores exige [tex]2t-1=0[/tex], es decir [tex]t=\dfrac{1}{2}[/tex], lo que solo ocurre para [tex]a=\dfrac{3}{4}[/tex]. Por lo tanto, hay cuatro raíces distintas exactamente cuando [tex]a\gt \dfrac{3}{4}[/tex].
Respuesta: [tex]a\in\left(\dfrac{3}{4}; +\infty\right)[/tex]