Ecuaciones con módulo - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]0\times x=-5[/tex] no tiene solución, así que [tex](a-5)x=2+a[/tex] tampoco debe tenerla: [tex]a-5=0[/tex] y [tex]2+a\neq 0[/tex], es decir, [tex]a=5[/tex].
Para [tex]x\lt -2[/tex]: [tex]|x+2|=-x-2[/tex] y [tex]|x|=-x[/tex]:
[tex]-x-2-x=-x+5 \Rightarrow -x=7 \Rightarrow x=-7[/tex]
[tex]x=-7\lt -2[/tex], así que es solución.

Solución:
De [tex]|b|\,c=4>0[/tex] y [tex]|b|\ge 0[/tex] se deduce que [tex]c>0[/tex].
Entonces [tex]|2a+1|\,c\ge 0[/tex] y [tex]|b+1|\ge 0[/tex]; su suma es [tex]0[/tex] solo si ambos son [tex]0[/tex]:
[tex]|2a+1|=0 \Rightarrow a=-\frac{1}{2}[/tex]; [tex]|b+1|=0 \Rightarrow b=-1[/tex], [tex]c=4[/tex]

Solución:
[tex]f(1)=g(1) \Rightarrow 1+a=2+b \Rightarrow a-b=1[/tex]
[tex]B(0; f(0))=B(0; 2+a)[/tex], [tex]C(0; g(0))=C(0; b)[/tex]
[tex]BC=|2+a-b|=|2+1|=3[/tex]
La altura desde [tex]A[/tex] hasta [tex]BC[/tex] (el eje de ordenadas) es igual a la abscisa de [tex]A[/tex], es decir, [tex]1[/tex]:
[tex]S=\frac{3\times 1}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Curiosamente, el área no depende de [tex]a[/tex] ni de [tex]b[/tex].

Solución:
Caso [tex]x\ge 5[/tex]: [tex]x-5=bx \Rightarrow x(1-b)=5[/tex]. Para [tex]b\neq 1[/tex], [tex]x=\frac{5}{1-b}[/tex], y [tex]x\ge 5[/tex] se cumple exactamente cuando [tex]0\lt 1-b\le 1[/tex], es decir, [tex]0\le b\lt 1[/tex].
Caso [tex]x\lt 5[/tex]: [tex]5-x=bx \Rightarrow x(1+b)=5[/tex]. Para [tex]b\neq -1[/tex], [tex]x=\frac{5}{1+b}[/tex], y [tex]x\lt 5[/tex] se cumple exactamente cuando [tex]1+b>1[/tex] o [tex]1+b\lt 0[/tex], es decir, [tex]b>0[/tex] o [tex]b\lt -1[/tex].
Por lo tanto, hay solución cuando [tex]b\ge 0[/tex] o [tex]b\lt -1[/tex], y no la hay cuando [tex]-1\le b\lt 0[/tex].