Problemas sobre reglas de divisibilidad - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]28=4\times 7[/tex], así que el número debe ser divisible entre [tex]4[/tex] y entre [tex]7[/tex].
Divisibilidad entre [tex]4[/tex]: [tex]\overline{4b}[/tex] es divisible entre [tex]4[/tex], así que [tex]b\in\{0; 4; 8\}[/tex].
[tex]\overline{ab}+1=10a+b+1=9a+(a+b+1)[/tex], así que [tex]a+b+1[/tex] es divisible entre [tex]9[/tex]: [tex]a+b=8[/tex] o [tex]a+b=17[/tex].
[tex]b=0 \Rightarrow a=8[/tex]: [tex]63840[/tex]
[tex]b=4 \Rightarrow a=4[/tex]: [tex]63444[/tex]
[tex]b=8 \Rightarrow a=0[/tex] o [tex]a=9[/tex]: [tex]63048[/tex], [tex]63948[/tex]
Divisibilidad entre [tex]7[/tex]:
[tex]63840=7\times 9120[/tex]
[tex]63444=7\times 9063+3[/tex]
[tex]63048=7\times 9006+6[/tex]
[tex]63948=7\times 9135+3[/tex]
Respuesta: [tex]63840[/tex]

Solución:
El número [tex]10^{2007}+5=100\ldots 005[/tex] tiene suma de cifras [tex]1+5=6[/tex], así que es divisible entre [tex]3[/tex].
El segundo factor tiene [tex]2008[/tex] sumandos (un número par), así que los agrupamos de dos en dos:
[tex](2+2^2)+(2^3+2^4)+\ldots+(2^{2007}+2^{2008})=2(1+2)+2^3(1+2)+\ldots+2^{2007}(1+2)=3(2+2^3+\ldots+2^{2007})[/tex]
Por lo tanto, el segundo factor también es divisible entre [tex]3[/tex]. El producto de dos números divisibles entre [tex]3[/tex] es divisible entre [tex]3\times 3=9[/tex].

Solución:
Un número y la suma de sus cifras dan el mismo resto al dividirlos entre [tex]9[/tex]. Como [tex]N[/tex] es divisible entre [tex]9[/tex], también lo son [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] y [tex]c[/tex] (y son positivos).
Cada una de las [tex]1998[/tex] cifras es como máximo [tex]9[/tex], así que [tex]a\le 9\times 1998=17982[/tex].
Por lo tanto, [tex]a[/tex] tiene como máximo cinco cifras y, si tiene cinco, la primera es [tex]1[/tex]. Así, [tex]b\le 1+9+9+9+9=37[/tex].
[tex]b[/tex] es un múltiplo de [tex]9[/tex] no mayor que [tex]37[/tex], es decir, [tex]b\in\{9; 18; 27; 36\}[/tex], y en todos los casos [tex]c=9[/tex].

Solución:
Para todo número natural [tex]x[/tex], la diferencia [tex]x-S(x)[/tex] es divisible entre [tex]9[/tex]. En efecto, si [tex]x=\overline{d_k\ldots d_1d_0}[/tex], entonces
[tex]x-S(x)=d_k(10^k-1)+\ldots+d_2(100-1)+d_1(10-1)[/tex]
y cada número [tex]10^m-1=99\ldots 9[/tex] es divisible entre [tex]9[/tex].
Entonces [tex]a-S(a)[/tex] y [tex]2a-S(2a)[/tex] son divisibles entre [tex]9[/tex], y también su diferencia:
[tex](2a-S(2a))-(a-S(a))=a-(S(2a)-S(a))=a-0=a[/tex]
Por lo tanto, [tex]a[/tex] es divisible entre [tex]9[/tex].