Problemas sobre reglas de divisibilidad - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Los números que son divisibles por 3 y 2 también son divisibles por 6. Los números que terminan con (0, 2, 4, 6, 8) son divisibles por 2, y los números para los cuales la suma de todos los dígitos individuales es divisible por 3 es totalmente divisible por 3,
215496 termina con "6", por lo que es divisible por 2.
Y (2 + 1 + 5 + 4 + 9 + 6) = 27, que es divisible por 3.
Dado que 215496 es divisible entre 2 y 3, también es divisible por 6.

Solución:
5152 es divisible por 2 porque el último dígito es 2. Pero (5 + 1 + 5 + 2) = 13, que NO es divisible por 3.
1980 termina en 0, por lo tanto, es divisible por 2. Y (1 + 9 + 8 + 0) = 18, que es divisible por 3. Por lo tanto, es divisible por ambos.
9023 termina en 3, que no es un múltiplo de 2, por lo que NO es divisible por 2. Y (9 + 0 + 2 + 3) = 14, que NO es divisible por 3.
1980 es el número divisible entre 2 y 3.

Solución:
4 + 1 + 4 + 6 = 15. 15 es divisible por 3 pero no es divisible por 9.
2 + 9 + 5 + 3 = 19. 19 no es divisible entre 3 ni 9.
1 + 8 + 6 + 3 = 18. 18 es divisible por AMBOS 3 y 9. Por lo tanto, 1863 es divisible por 3 y 9

Solución:
6 + 3 + 1 + 3 = 13. 13 no es divisible por 3.
5 + 3 + 1 + 3 = 12. 12 es divisible por 3. Pero termina en 3 (no es divisible por 2) por lo que no es divisible por 6.
9 + 8 + 7 + 0 = 24. 24 es divisible por 3. Y termina en 0 (divisible por 2). Como es divisible entre 2 y 3, también es divisible entre 6.

Solución:
1429 termina en el número "9". Por lo tanto no es divisible por 5 ni por 10.
8625 termina en el número "5". Por lo tanto, es divisible por 5 pero no por 10.
4620 termina en el número "0". De ahí que sea divisible tanto por 5 como por 10.

Solución:
4563 termina en 3, que no es un múltiplo de 2, por lo que es indivisible por 2. Pero (4 + 5 + 6 + 3) = 18, que es divisible por 9.
9792 termina en 2, por lo que es divisible por 2. Y (9 + 7 + 9 + 2) = 27, que es divisible por 9. Por lo tanto, es divisible por 2 y 9.
2302 termina en 2, por lo tanto, es divisible por 2. Pero (2 + 3 + 0 + 2) = 7, que es indivisible por 9.

Solución:
4460 termina en 0 por lo que es divisible por 10. Pero (4 + 4 + 6 + 0) = 14, que es indivisible por 9.
3969 termina en 9, por lo que es indivisible por 10. Pero (3 + 9 + 6 + 9) = 27, que es divisible por 9.
1440 termina en 0, por lo que es divisible por 10. Y (1 + 4 + 4 + 0) = 9, que es divisible por 9. Por lo tanto, 1440 es divisible por 9 y 10.

Solución:
5661 termina en 1 por lo que NO es divisible por 5. Pero (5 + 6 + 6 + 1) = 18, que es divisible por 9.
8425 termina en 5, por lo que es divisible por 5. Pero (8 + 4 + 2 + 5) = 19, que NO es divisible por 9.
4590 termina en 0 por lo que es divisible por 5. Y (4 + 5 + 9 + 0) = 18, que es divisible por 9. Por lo tanto, 4590 es divisible por 5 y 9.

Solución:
6723 termina en 3, de modo que NO es divisible por 5. Pero (6 + 7 + 2 + 3) = 18, que es divisible por 3.
4875 termina en 5, por lo que es divisible por 5. Y (4 + 8 + 7 + 5) = 24, que es divisible por 3. Por lo tanto, es divisible por ambos.
9460 termina en 0, por lo que es divisible por 5. Pero (9 + 4 + 6 + 0) = 19, que NO es divisible por 3.

Solución:
1908 no termina en 0, por lo que NO es divisible por 10. 1908 termina en 8 (divisible por 2) y (1 + 9 + 0 + 8) = 18 es divisible por 3, por lo que es divisible por 6.
5930 termina en 0 por lo que es divisible por 10. 5930 termina en 0 (divisible por 2) pero (5 + 9 + 3 + 0) = 17 no es divisible por 3, por lo tanto, NO es divisible por 6.
2700 termina en 0 por lo que es divisible por 10. 2700 termina en 0 (divisible por 2) y (2 + 7 + 0 + 0) = 9 es divisible por 3, por lo tanto es divisible por 6. Por lo tanto, es divisible por ambos.

Solución:
5062 termina en 2 por lo que es divisible por 2. Pero NO es divisible por 5.
4390 termina en 0 por lo que es divisible por 2. Y también divisible por 5. Por lo tanto, es divisible por 2 y 5.
7585 termina en 5 por lo que NO es divisible por 2. Pero es divisible por 5.

Solución:
Para que un número sea divisible por 6, debe ser divisible al mismo tiempo por 2 y por 3.

6843 termina en 3 (indivisible por 2). Pero (6 + 8 + 4 + 3) = 21, que es divisible por 3 pero no por 9.
9756 termina en 6 (divisible por 2). Y (9 + 7 + 5 + 6) = 27, que es divisible entre 3 y 9. Por lo tanto, es divisible entre 3, 6 y 9.
8433 termina en 3 (indivisible por 2). Pero (8 + 4 + 3 + 3) = 18, que es divisible entre 3 y 9.

Solución:
2952 = 2+9+5+2 = 18. 2952 es divisible por 4 porque 52 ÷ 4 = 13. (Los dos últimos dígitos del número deben ser divisibles por 4 para que el número completo sea divisible por 4.)
Para que un número sea divisible por 12, debe ser divisible por 3 y por 4.
2952 es divisible por 3: 2+9+5+2=18, 18 ÷ 3 = 6. Ya sabemos que 2952 es divisible por 4 porque sus dos últimos dígitos son divisibles por 4. Por lo tanto, la respuesta correcta es 2952.

Solución:
Sea el número [tex]\overline{a14b}[/tex], [tex]a\neq 0[/tex].
Divisibilidad entre [tex]5[/tex]: [tex]b=0[/tex] o [tex]b=5[/tex].
[tex]b=0[/tex]: [tex]a+1+4+0=a+5[/tex] debe ser divisible entre [tex]3[/tex], por lo tanto [tex]a\in\{1; 4; 7\}[/tex].
[tex]b=5[/tex]: [tex]a+1+4+5=a+10[/tex] debe ser divisible entre [tex]3[/tex], por lo tanto [tex]a\in\{2; 5; 8\}[/tex].
Los números son [tex]1140[/tex], [tex]4140[/tex], [tex]7140[/tex], [tex]2145[/tex], [tex]5145[/tex], [tex]8145[/tex] – hay [tex]6[/tex].

Solución:
Si los números son [tex]n[/tex], [tex]n+1[/tex], [tex]n+2[/tex], su suma es [tex]n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)[/tex].
Como [tex]n[/tex] es impar, [tex]n+1[/tex] es par, así que la suma [tex]3(n+1)[/tex] es divisible entre [tex]3[/tex] y es par.
La suma es par, así que su última cifra [tex]a[/tex] es par: [tex]a\in\{0; 2; 4; 6; 8\}[/tex].
Divisibilidad entre [tex]3[/tex]: la suma de las cifras [tex]7+a+9+a=16+2a[/tex] debe ser divisible entre [tex]3[/tex]:
[tex]16+2a\in\{16; 20; 24; 28; 32\}[/tex]
Solo [tex]24[/tex] es divisible entre [tex]3[/tex], así que [tex]a=4[/tex].
Comprobación: [tex]2497+2498+2499=7494[/tex]

Solución:
Múltiplos de [tex]9[/tex] de tres cifras: desde [tex]108=9\times 12[/tex] hasta [tex]999=9\times 111[/tex], es decir, [tex]111-12+1=100[/tex] números.
Un número divisible entre [tex]9[/tex] y entre [tex]12[/tex] es divisible entre su mínimo común múltiplo [tex]36[/tex]. Múltiplos de [tex]36[/tex] de tres cifras: desde [tex]108=36\times 3[/tex] hasta [tex]972=36\times 27[/tex], es decir, [tex]27-3+1=25[/tex] números.
Los quitamos: [tex]100-25=75[/tex].

Solución:
Sea el número [tex]\overline{abc}=100a+10b+c[/tex], y el número invertido [tex]\overline{cba}=100c+10b+a[/tex].
[tex]\overline{abc}-\overline{cba}=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)[/tex]
Como [tex]99=9\times 11[/tex] y [tex]9=3\times 3[/tex], la diferencia [tex]99(a-c)[/tex] es divisible entre [tex]3[/tex], [tex]9[/tex] y [tex]11[/tex].