Меню
❌
Главная
Форум
Тесты
Задачи
Алгебра
Геометрия
Математические игры
Решение задач
Высшая математика
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
1 класс
Сложение и вычитание чисел до 10.
Сравнение чисел до 10
Сложение и вычитание чисел до 20.
Сложение и вычитание чисел до 10 или 20
2 класс
Сложение и вычитание до 100
Деление
Умножение до 5
Таблица умножения
Периметр
3 класс
Сложение, умножение, деление
Периметр
Площадь
4 класс
Сложение, умножение, деление
Сложение и вычитание до 1000
Четырехзначные числа
5 класс
Проценты
Дроби
Наименьшее общее кратное
Эквивалентные дроби
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Действия с дробями
Cмешанные числа
Десятичные дроби
6 класс
Правила делимости
Уравнения
Отрицательные числа
Координатная плоскость
Текстовые задачи
7 класс
Уравнения
Многочлены
Упрощение многочленов
Свойства треугольников
Текстовые задачи
Системы
Разложиние на множители
Параметрические линейные уравнения
Арифметические корни
Неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Квадратные уравнения
Формулы Виета
Экспоненты
Прогрессии
Арифметические прогрессии
Геометрические прогрессии
Прогрессии
Числовые последовательности
Возвратные уравнения
Логарифмы
Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Тригонометрия
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения
Задачи на экстремальные значения
Числа
Геометрия
Теорема Пифагора
Теорема Фалеса
Теорема синусов
Теорема косинусов
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Задачи на вероятность
Многочлены
Функции
Пределы функций
Пределы функций
Производные
Угловой коэффициент прямой
Матрицы
Комплексные числа
Обратные тригонометрические функции
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Конические сечения
Уравнения окружности
Парабола
Эллипс
Полярные координаты
Интегралы
Интегралы
Интегрирование по частям
Главная
Задачи
Задачи на экстремальные значения
Лёгкий
Средний
Сложный
Задачи на экстремальные значения - нормальные задачи с решениями
Задача 1
Найдите максимальное значение функции [tex]f(x)=-x^2+18x+3[/tex].
Решение:
Запишем
f(x)
как [tex]f(x)=-x^2+18x+3=-x^2+2.9.x-81+81+3=-(x^2-2.9.x+9^2)+84=-(x-9)^2+84[/tex]. Так как [tex]-(x-9)^2 \le 0[/tex], [tex]f(x) \le 84[/tex] есть равенство для
x=9
.
Задача 2
Найдите максимальное значение функции [tex]f(x)=\sqrt{2}|sinx+cosx|[/tex].
Решение:
[tex]f(x)=\sqrt{2}|sinx+cosx|=\sqrt{2}|\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}(sinx+cosx)|=2|\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx|=2|\sin\frac{\pi}{4}sinx+\cos\frac{\pi}{4}cosx|=2|cos(\frac{\pi}{4}-x)|[/tex]. Мы знаем что [tex]|cosu| \le 1[/tex], тогда [tex]2|cos(\frac{\pi}{4}-x)| \le 2.1=2[/tex].
Задача 3
Найдите минимальное значение функции [tex]f(x)=|1+|x-1||[/tex].
Решение:
[tex]1+|x-1| \ge 1[/tex], с равенством для [tex]x=1[/tex]. Тогда [tex]|1+|x-1|| \ge |1|=1[/tex], так как
1
есть положительным числом.
Задача 4
Найдите минимальное значение функции [tex]f(x)=x^2+5x+1[/tex].
Решение:
[tex]f(x)=x^2+2.\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+1=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}[/tex]. Так как [tex](x+\frac{5}{2})^2 \ge 0[/tex], минимальное значение для
f(x)
есть [tex]-\frac{21}{4}[/tex].
Задача 5
Найдите минимальное значение функции [tex]f(x)=x^2+8x+15[/tex].
Решение:
Экстремум [tex]f(x)[/tex] достигается при значениях
x
, для которых ее первая производная равна нулю. [tex]f'(x)=2x+8[/tex], которая равна нулю при [tex]x=-4[/tex]. Тогда, экстремум для
f(x)
есть [tex]f(-4)=(-4)^2+8.(-4)+15=16-32+15=-1[/tex]. Так как график
f(x)
есть параболой с положительным страшим коэффициентом, экстремум является минимумом.
Задача 6
Найдите значение
x
, для которого функция [tex]f(x)=-x^2-10x+8[/tex] имеет максимально значение.
Решение:
Так как функция есть квадратичной функцией с отрицательным старшим коэффициентом, ее единственный экстремум есть максимумом. Он достигается тогда, когда x равно корню уравнения [tex]f'(x)=0[/tex]. Решаем [tex]f'(x)=-2x-10[/tex], и получаем корень [tex]x=-5[/tex].
Задача 7
Найдите минимальное значение [tex]f(x)=\frac{1}{4}x^4+x^3+2x^2-8x+15[/tex].
Решение:
[tex]f(x)[/tex] есть функцией четвертой степени с положительным старшим коэффициентом, и поэтому она имеет минимальное значение. Ее первая производная есть [tex]f'(x)=x^3+3x^2+4x-8=x^3-x^2+4x^2+4x-8=x^2(x-1)+4(x^2+x-2)=x^2(x-1)+(4x+8)(x-1)=(x-1)(x^2+4x+8)[/tex]. Один корень производной есть [tex]x=1[/tex]. Так как [tex]x^2+4x+8=x^2+4x+4+4=(x+2)^2+4>0[/tex], тогда нет других корней. Тогда минимум достигается при [tex]x=1[/tex] и он равен [tex]f(1)=\frac{41}{4}[/tex].
Задача 8
Найдите минимальное значение функции [tex]f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^3+\frac{11}{2}x^2-6x+8[/tex].
Решение:
[tex]f'(x)=x^3-6x^2+11x-6=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)[/tex]. Так как
f(x)
является функцией четвертой степени с положительным старшим коэффициентом, тогда она достигает своего минимального значения в корне [tex]f'(x)[/tex]. Так как [tex]f'(x)[/tex] имеет три корня ([tex]x_1=1,x_2=2,x_3=3[/tex]), мы подставляем каждый из них и вычисляем значение
f(x)
: [tex]f(1)=\frac{23}{4}[/tex], [tex]f(2)=6[/tex] и [tex]f(3)=\frac{23}{4}[/tex]. Поэтому функция имеет минимальное значение [tex]\frac{23}{4}[/tex], которое достигается при [tex]x=1[/tex] и [tex]x=3[/tex].
Задача 9
Найдите максимальное значение функции [tex]f(x)=cos^2x+2cosx+2sin^2x[/tex].
Решение:
Запишем как [tex]f(x)=cos^2x+2cosx+2(1-cos^2x)=cos^2x+2cosx+2-2cos^2x=-cos^2x+2cosx+2[/tex]. Подставляя [tex]cosx=t \in [-1;1][/tex] and get [tex]g(t)=f(x)=-t^2+2t+2, t \in [-1;1][/tex]. Но [tex]g(t)=-t^2+2t+2=-t^2+2t-1+3=-(t-1)^2+3[/tex], которое максимально для [tex]t=1[/tex] и
t=1
находится в заданном интервале, поэтому максимальное значение для
f(x)
есть
3
.
Задача 10
Найдите минимальное значение для функции [tex]f(x)=log_2(|x|+2)[/tex]
Решение:
[tex]f(t)=log_2(t)[/tex] строго возрастающая функция для всех [tex]t > 0[/tex], и поэтому ее минимальное значение достигается при минимальном значении аргумента.Но [tex]|x|+2 \ge 2[/tex] (так как [tex]|x|[/tex] не отрицательно), поэтому [tex]log_2(|x|+2) \ge log_2(2)=1[/tex]
Лёгкий
Средний
Сложный
Прислать задачу
Задача:
Решение:
Ответ:
Имя:
Электронная почта:
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
Об авторе
© 2005 - 2024 Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.