Задачи на экстремальные значения - сложные задачи с решениями

Решение:
Запишем [tex]f(x)[/tex] как [tex]f(x)=-x^2+18x+3=-x^2+2 \cdot 9 \cdot x-81+81+3=-(x^2-2 \cdot 9 \cdot x+9^2)+84=-(x-9)^2+84[/tex]. Так как [tex]-(x-9)^2 \le 0[/tex], [tex]f(x) \le 84[/tex] есть равенство для [tex]x=9[/tex].

Решение:
[tex]f(x)=\sqrt{2}|sinx+cosx|=\sqrt{2}|\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}(sinx+cosx)|=2|\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx|=2|\sin\frac{\pi}{4}sinx+\cos\frac{\pi}{4}cosx|=2|cos(\frac{\pi}{4}-x)|[/tex]. Мы знаем что [tex]|cosu| \le 1[/tex], тогда [tex]2|cos(\frac{\pi}{4}-x)| \le 2 \cdot 1=2[/tex].

Решение:
[tex]1+|x-1| \ge 1[/tex], с равенством для [tex]x=1[/tex]. Тогда [tex]|1+|x-1|| \ge |1|=1[/tex], так как [tex]1[/tex] есть положительным числом.

Решение:
[tex]f(x)=x^2+2 \cdot \frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+1=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}[/tex]. Так как [tex](x+\frac{5}{2})^2 \ge 0[/tex], минимальное значение для [tex]f(x)[/tex] есть [tex]-\frac{21}{4}[/tex].

Решение:
Экстремум [tex]f(x)[/tex] достигается при значениях [tex]x[/tex], для которых ее первая производная равна нулю. [tex]f'(x)=2x+8[/tex], которая равна нулю при [tex]x=-4[/tex]. Тогда, экстремум для [tex]f(x)[/tex] есть [tex]f(-4)=(-4)^2+8 \cdot (-4)+15=16-32+15=-1[/tex]. Так как график [tex]f(x)[/tex] есть параболой с положительным страшим коэффициентом, экстремум является минимумом.

Решение:
Так как функция есть квадратичной функцией с отрицательным старшим коэффициентом, ее единственный экстремум есть максимумом. Он достигается тогда, когда x равно корню уравнения [tex]f'(x)=0[/tex]. Решаем [tex]f'(x)=-2x-10[/tex], и получаем корень [tex]x=-5[/tex].

Решение:
[tex]f(x)[/tex] есть функцией четвертой степени с положительным старшим коэффициентом, и поэтому она имеет минимальное значение. Ее первая производная есть [tex]f'(x)=x^3+3x^2+4x-8=x^3-x^2+4x^2+4x-8=x^2(x-1)+4(x^2+x-2)=x^2(x-1)+(4x+8)(x-1)=(x-1)(x^2+4x+8)[/tex]. Один корень производной есть [tex]x=1[/tex]. Так как [tex]x^2+4x+8=x^2+4x+4+4=(x+2)^2+4>0[/tex], тогда нет других корней. Тогда минимум достигается при [tex]x=1[/tex] и он равен [tex]f(1)=\frac{41}{4}[/tex].

Решение:
[tex]f'(x)=x^3-6x^2+11x-6=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)[/tex]. Так как [tex]f(x)[/tex] является функцией четвертой степени с положительным старшим коэффициентом, тогда она достигает своего минимального значения в корне [tex]f'(x)[/tex]. Так как [tex]f'(x)[/tex] имеет три корня ([tex]x_1=1,x_2=2,x_3=3)[/tex], мы подставляем каждый из них и вычисляем значение [tex]f(x)[/tex]: [tex]f(1)=\frac{23}{4}[/tex], [tex]f(2)=6[/tex] и [tex]f(3)=\frac{23}{4}[/tex]. Поэтому функция имеет минимальное значение [tex]\frac{23}{4}[/tex], которое достигается при [tex]x=1[/tex] и [tex]x=3[/tex].

Решение:
Запишем как [tex]f(x)=cos^2x+2cosx+2(1-cos^2x)=cos^2x+2cosx+2-2cos^2x=-cos^2x+2cosx+2[/tex]. Подставляя [tex]cosx=t \in [-1;1][/tex] and get [tex]g(t)=f(x)=-t^2+2t+2, t \in [-1;1][/tex]. Но [tex]g(t)=-t^2+2t+2=-t^2+2t-1+3=-(t-1)^2+3[/tex], которое максимально для [tex]t=1[/tex] и [tex]t=1[/tex] находится в заданном интервале, поэтому максимальное значение для [tex]f(x)[/tex] есть [tex]3[/tex].

Решение:
[tex]f(t)=log_2(t)[/tex] строго возрастающая функция для всех [tex]t > 0[/tex], и поэтому ее минимальное значение достигается при минимальном значении аргумента.Но [tex]|x|+2 \ge 2[/tex] (так как [tex]|x|[/tex] не отрицательно), поэтому [tex]log_2(|x|+2) \ge log_2(2)=1[/tex]