Задачи на экстремальные значения - сложные задачи с решениями

Решение:
[tex]f(x)[/tex] есть параболой, которая открыта вверху (так как ее старший коэффициент есть [tex]a^2+1>0[/tex]), и тогда она имеет только один экстремум и он же есть минимумом. [tex]f'(x)=0 <=> 2(a^2+1)x-2a=0[/tex], или [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. К счатью для нас, [tex]\frac{a}{a^2+1}=\frac{1}{2}.\frac{2a}{a^2+1} \le \frac{1}{2}[/tex] (так как [tex]0 \le \frac{2a}{a^2+1} \le 1[/tex] для любого положительного a). Тогда минимум в интервале достигается при [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. Подставляем это в f(x) чтобы получить
[tex]f_{min}(x)=f(\frac{a}{a^2+1})=(a^2+1).(\frac{a}{a^2+1})^2-2a.\frac{a}{a^2+1}+10=\frac{a^2}{a^2+1}-\frac{2a^2}{a^2+1}+10=10-\frac{a^2}{a^2+1}=\frac{9a^2+10}{a^2+1}[/tex]. Мы хотим, чтобы это значение было равным [tex]\frac{451}{50}[/tex]:
[tex]\frac{9a^2+10}{a^2+1}=\frac{451}{50}[/tex], умножаем перекрестно:
[tex]450a^2+500=451a^2+451[/tex], или [tex]a^2=49[/tex]. Что означает, что [tex]a=7[/tex], так как a есть положительным.