Меню
❌
Главная
Форум
Тесты
Задачи
Алгебра
Геометрия
Математические игры
Решение задач
Высшая математика
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
1 класс
Сложение и вычитание чисел до 10.
Сравнение чисел до 10
Сложение и вычитание чисел до 20.
Сложение и вычитание чисел до 10 или 20
2 класс
Сложение и вычитание до 100
Деление
Умножение до 5
Таблица умножения
Периметр
3 класс
Сложение, умножение, деление
Площадь
Периметр
4 класс
Сложение и вычитание до 1000
Сложение, умножение, деление
Четырехзначные числа
5 класс
Проценты
Дроби
Наименьшее общее кратное
Эквивалентные дроби
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Действия с дробями
Cмешанные числа
Десятичные дроби
6 класс
Правила делимости
Уравнения
Отрицательные числа
Текстовые задачи
Координатная плоскость
7 класс
Уравнения
Свойства треугольников
Многочлены
Упрощение многочленов
Разложиние на множители
Текстовые задачи
Системы
Параметрические линейные уравнения
Арифметические корни
Неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Квадратные уравнения
Формулы Виета
Экспоненты
Прогрессии
Арифметические прогрессии
Геометрические прогрессии
Прогрессии
Числовые последовательности
Возвратные уравнения
Логарифмы
Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Тригонометрия
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения
Задачи на экстремальные значения
Числа
Геометрия
Теорема Пифагора
Теорема Фалеса
Теорема синусов
Теорема косинусов
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Задачи на вероятность
Многочлены
Функции
Пределы функций
Пределы функций
Производные
Угловой коэффициент прямой
Матрицы
Комплексные числа
Обратные тригонометрические функции
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Уравнения окружности
Конические сечения
Парабола
Эллипс
Полярные координаты
Интегралы
Интегралы
Интегрирование по частям
Главная
Задачи
Задачи на экстремальные значения
Лёгкий
Средний
Сложный
Задачи на экстремальные значения - сложные задачи с решениями
Задача 1
Найдите значение положительного положительный натуральный параметр
a
, для которого минимальное значение функции [tex]f(x)=(a^2+1)x^2-2ax+10[/tex] в интервале [tex]x \in [0; \frac{1}{2}][/tex] есть [tex]f_{min}(x)=\frac{451}{50}[/tex]
Решение:
[tex]f(x)[/tex] есть параболой, которая открыта вверху (так как ее старший коэффициент есть [tex]a^2+1>0[/tex]), и тогда она имеет только один экстремум и он же есть минимумом. [tex]f'(x)=0 <=> 2(a^2+1)x-2a=0[/tex], или [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. К счатью для нас, [tex]\frac{a}{a^2+1}=\frac{1}{2}.\frac{2a}{a^2+1} \le \frac{1}{2}[/tex] (так как [tex]0 \le \frac{2a}{a^2+1} \le 1[/tex] для любого положительного
a
). Тогда минимум в интервале достигается при [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. Подставляем это в
f(x)
чтобы получить
[tex]f_{min}(x)=f(\frac{a}{a^2+1})=(a^2+1).(\frac{a}{a^2+1})^2-2a.\frac{a}{a^2+1}+10=\frac{a^2}{a^2+1}-\frac{2a^2}{a^2+1}+10=10-\frac{a^2}{a^2+1}=\frac{9a^2+10}{a^2+1}[/tex]. Мы хотим, чтобы это значение было равным [tex]\frac{451}{50}[/tex]:
[tex]\frac{9a^2+10}{a^2+1}=\frac{451}{50}[/tex], умножаем перекрестно:
[tex]450a^2+500=451a^2+451[/tex], или [tex]a^2=49[/tex]. Что означает, что [tex]a=7[/tex], так как
a
есть положительным.
Лёгкий
Средний
Сложный
Прислать задачу
Задача:
Решение:
Ответ:
Имя:
Электронная почта:
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
Об авторе
© 2005 - 2024 Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.