Ecuaciones lineales simples - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Primero removemos los paréntesis y obtenemos 8+2x-2⋅4=16, o 8+2x-8=16, lo cual nos da 2x=16. Dividimos entre 2 para obtener x=8.

Solución:
[tex]2(x+50)=120 \Rightarrow 2x+100=120 \Rightarrow 2x=20 \Rightarrow x=10[/tex]

Solución:
Primero removemos los paréntesis del lado izquierdo y obtenemos 3n+3⋅15=30+6n, o 3n+45=30+6n. Restamos 3n de ambos lados para obtener 45=30+3n. Restamos 30 de ambos lados y obtenemos 15=3n. Dividiendo ambos lados entre 3, obtenemos la respuesta final n=5.
Segunda solución: dividimos ambos lados por 3, obteniendo n+15=10+2n. Restando n de ambos lados, tenemos 15=10+n. La respuesta final se alcanza restando 10 de ambos lados.

Solución:
Multiplicamos ambos lados por 3 para liberarnos del denominador. Esto nos da x + 3⋅10 = 3⋅2x, o x + 30 = 6x. Al restar x de ambos lados obtenemos 30 = 5x. Dividir ambos lados por 5 nos da la respuesta, x = 6.

Solución:
Multiplicamos ambos lados por 5 para obtener 3x-2⋅5=2x. Restamos 2x de ambos lados y la ecuación se convierte en x-10=0, lo cual significa que x=10 es la solución.

Solución:
Primero debemos multiplicar la ecuación por el mínimo común múltiplo de 2 y 3. Como son números primos relativamente, es su producto 6. Al multiplicar la ecuación por 6, obtenemos [tex] \frac{x}{2} \cdot6 + \frac{x}{3} \cdot6 = 10 \cdot6 [/tex], o 3x + 2x = 60. Tenemos 5x = 60, dividimos ambos lados entre 5 y obtenemos x = 12

Solución:
[tex]x+x+x+x+x+x+1+2+3-1-2-3=24[/tex]
[tex]6x+0=24[/tex]
[tex]x=4[/tex]

Solución:
[tex]10x=23780[/tex]
[tex]x=2378[/tex]

Solución:
12 - 4х + 18 = 36 + 4х + 18 - 6х
-4х - 4х + 6х = 36 + 18 - 12 - 18
-2х = 24
-х = 12
х = -12

Solución:
La ecuación está definida por [tex]x \ne -6[/tex].
Multiplicamos ambos lados por [tex]x+6[/tex]:
[tex]\frac{x+11}{x+6}\cdot(x+6)=6(x+6)[/tex]
[tex]x+11=6x+36[/tex]
[tex]6x-x=11-36[/tex]
[tex]x=-5[/tex], que es un valor válido para [tex]x[/tex] y por tanto una solución.

Solución:
Denotemos el número con [tex]x[/tex]. Tenemos la ecuación
[tex]x=5x[/tex]
[tex]5x-x=0[/tex]
[tex]4x=0[/tex]
[tex]x=0[/tex]

Solución:
2(3x-7)+4(3x+2)=6(5x+9)
6x - 14 + 12x + 8 = 30x + 54
6x + 12x - 30x = 14 - 8 + 54
-12x = 60
x = 60 ÷ (-12)
x = -5

Solución:
[tex]\frac{7x+8x}{15}=723[/tex]
[tex]\frac{15x}{15}=723[/tex]
[tex]x=723[/tex]

Solución:
Multiplicamos ambos lados por 17:
[tex]\frac{5x+1}{17}\cdot17=3\cdot17[/tex]
[tex]5x+1=51[/tex]
[tex]5x=50[/tex]
[tex]x=10[/tex]

Solución:
Multiplicamos ambos lados por 5:
[tex]x+1+x+2=17\cdot 5[/tex]
[tex]2x+3=85[/tex]
[tex]2x=82[/tex]
[tex]x=41[/tex]

Solución:
Primero multipliquemos la ecuación por el mínimo común múltiple de los denominadores. MCM(14,10,7,5)=70, así obtenemos [tex]70\cdot\frac{x}{10}+70\cdot\frac{x}{7}+70\cdot\frac{x}{5}=70\cdot\frac{31}{14}[/tex], lo cual es equivalente a [tex]7x+10x+14x=155[/tex], o [tex]31x=155[/tex], lo que significa que [tex]x=5[/tex].

Solución:
Primero encontramos el mínimo común múltiple de 4 y 3. Es 12. Multiplicando ambos lados por 12 nos da [tex]\frac{x}{3}\cdot12-\frac{x}{4}\cdot12=2\cdot12[/tex], o [tex]4x-3x=24[/tex], lo que significa que [tex]x=24[/tex].

Solución:
El mínimo común múltiple de 2 y 4 obviamente es 4. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 4:
[tex]4\cdot\frac{x+5}{2}+4\cdot\frac{x+8}{4}=4\cdot6[/tex]
[tex]2(x+5)+x+8=24[/tex]
[tex]2x+10+x+8=24[/tex]
[tex]3x+18=24[/tex]. Dividimos ambos lados entre 3:
[tex]\frac{3x}{3}+\frac{18}{3}=\frac{24}{3}[/tex]
[tex]x+6=8[/tex]
[tex]x=2[/tex]

Solución:
El MCM de los denominadores (7 y 14) es 14. Multiplicamos ambos lados por 14: [tex]14\cdot\frac{1}{7}x-14\cdot\frac{4}{14}=14\cdot\frac{5}{7}[/tex]. Obtenemos [tex]2x-4=10[/tex], o [tex]2x=14[/tex]. La división por 2 nos da [tex]x=7[/tex].

Solución:
Primero obtenemos el MCM de los denominadores (6 y 9). Este es 18. Multiplicando ambos lados por 18 nos lleva a [tex]18\cdot\frac{5y+4}{9}=2\cdot18+18\cdot\frac{2y+4}{6}[/tex], lo cual también puede ser escrito como [tex]2(5y+4)=36+3(2y+4)[/tex]. Eliminando los paréntesis obtenemos [tex]10y+8=36+6y+12[/tex]. Restando [tex]6y[/tex] de ambos lados obtenemos [tex]4y+8=48[/tex], o [tex]4y=40[/tex]. Dividiendo por 4 nos da [tex]y=10[/tex].

Solución:
La ecuación está definida por [tex]x \ne -1[/tex]. Multiplicamos ambos lados por [tex]x+1[/tex]:
[tex]\frac{2x+1}{x+1}\cdot(x+1)=3(x+1)[/tex]
[tex]2x+1=3(x+1)[/tex]
[tex]2x+1=3x+3[/tex]
[tex]x=-2[/tex], lo que es un valor válido para [tex]x[/tex].

Solución:
[tex]x^2-4=(x+2)(x-2)=0 \Rightarrow x_1=-2; x_2=2[/tex]
Respuesta: [tex]-2[/tex]

Solución:
[tex]5x=x-48[/tex]
[tex]4x=-48[/tex]
[tex]x=-12[/tex]

Solución:
Multiplicamos ambos lados por [tex]6[/tex]:
[tex]3(x-4)-2(2x+5)=6-(x+4)[/tex]
[tex]3x-12-4x-10=6-x-4 \Rightarrow -x-22=2-x \Rightarrow -22=2[/tex]
Esto es falso para todo [tex]x[/tex], así que la ecuación no tiene solución.

Solución:
Sea [tex]x[/tex] el número de libros del segundo estante:
[tex](x-10)+x+(x+5)=25 \Rightarrow 3x-5=25 \Rightarrow x=10[/tex]
Entonces el primer estante tendría [tex]10-10=0[/tex] libros: quedaría vacío. Por lo tanto, no es posible.

Solución:
[tex]\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{7}+5+\frac{x}{2}+4=x[/tex]
Multiplicamos por [tex]84[/tex] (el mínimo común múltiplo de [tex]6[/tex], [tex]12[/tex], [tex]7[/tex] y [tex]2[/tex]):
[tex]14x+7x+12x+420+42x+336=84x \Rightarrow 75x+756=84x \Rightarrow 9x=756 \Rightarrow x=84[/tex]

Solución:
[tex]x+x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+1=100[/tex]
[tex]\frac{11x}{4}=99 \Rightarrow x=36[/tex]

Solución:
Tras el primer paso quedan [tex]x-3[/tex] manzanas; al tomar un tercio, quedan [tex]\frac{2}{3}(x-3)[/tex]:
[tex]\frac{2}{3}(x-3)-3=\frac{x}{2}[/tex]
[tex]4(x-3)-18=3x \Rightarrow 4x-30=3x \Rightarrow x=30[/tex]
Comprobación: [tex]30-3=27[/tex], [tex]27-9=18[/tex], [tex]18-3=15=\frac{30}{2}[/tex]

Solución:
Tras gastar la cuarta parte le quedaron [tex]\frac{3}{4}x[/tex]; tras perder un tercio, le quedaron [tex]\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}x=\frac{x}{2}[/tex]:
[tex]\frac{x}{2}=300 \Rightarrow x=600[/tex]

Solución:
Sea [tex]b[/tex] la cifra de las unidades; entonces el número es [tex]10(b+2)+b=11b+20[/tex]:
[tex]7\big((b+2)+b\big)=11b+20 \Rightarrow 14b+14=11b+20 \Rightarrow b=2[/tex]
El número es [tex]42[/tex] (comprobación: [tex]4+2=6=42\div 7[/tex]).

Solución:
Una mesa cuesta [tex]0{,} 92\times 25=23[/tex] euros. Sea [tex]t[/tex] el número de mesas:
[tex]23t+25(72-t)=1720 \Rightarrow 1800-2t=1720 \Rightarrow t=40[/tex]

Solución:
Sea [tex]x[/tex] el beneficio de julio; entonces junio: [tex]0{,} 85x[/tex], agosto: [tex]1{,} 4x[/tex]:
[tex]0{,} 85x+x+1{,} 4x=11\,375 \Rightarrow 3{,} 25x=11\,375 \Rightarrow x=3500[/tex]
Junio: [tex]0{,} 85\times 3500=2975[/tex], agosto: [tex]1{,} 4\times 3500=4900[/tex].

Solución:
[tex](n+2)^2-n^2=32 \Rightarrow 4n+4=32 \Rightarrow n=7[/tex]
Los números son [tex]7[/tex] y [tex]9[/tex].

Solución:
[tex](2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1[/tex]
[tex]2x(2x+3)(2x-3)=2x(4x^2-9)=8x^3-18x[/tex]
[tex](6x-5)(2x+1)=12x^2-4x-5[/tex]
[tex]-12x^2+24x-1=19-12x^2+4x[/tex]
[tex]20x=20 \Rightarrow x=1[/tex]

Solución:
[tex](1)\ 3x-4=3x-17 \Rightarrow -4=-17[/tex] – III
[tex](2)\ -7x-22=x+2 \Rightarrow -8x=24 \Rightarrow x=-3[/tex] – I
[tex](3)\ x^2-2x-x^2+9=2x+9 \Rightarrow -4x=0 \Rightarrow x=0[/tex] – IV
[tex](4)\ 4-12x+9x^2-3x=9x^2-15x+4 \Rightarrow 0=0[/tex] – II

Solución:
Buscamos el [tex]x[/tex] para el que [tex]5x-4=6[/tex]:
[tex]5x=10 \Rightarrow x=2[/tex]
[tex]f(6)=2\times 2+1=5[/tex]