Uprošćavanje polinoma - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
$-\dfrac{6}{x^{-5}}$ zato što je $-\dfrac{6}{x^{-5}} =-6(x^{-5})^{-1}=-6x^{5}$
$\dfrac{6}{-x^{5}} = -6x^{-5}$
Eksponent nepoznate mora biti nenegativan ceo broj.

Rešenje:
Sabiramo dva slična monoma:
[tex]-2x^4+5x^4=3x^4[/tex]
Rezultat je monom.

Rešenje:
[tex]2x^{2}y - 17x^{2}y = -15x^{2}y[/tex]

Rešenje:
$-8xy^{3}-12xy^{3}=-20xy^{3}$

Rešenje:
$-5x^{6}+(-4x^{6})=-5x^{6}-4x^{6}=-9x^{6}$

Rešenje:
$14x^{4}-(-9x^{4})=14x^{4}+9x^{4}=23x^{4}$

Rešenje:
$3\cdot(-2x^{4})-5\cdot(-4x^{4})= -6x^{4} + 20x^{4} = 14x^{4}$

Rešenje:
$4x^{2}y^{3}\cdot3xy=4\cdot3x^{2+1}y^{3+1}=12x^{3}y^{4}$

Rešenje:
$-3x^{4}y^{7}\cdot(-4)x^{5}y^{6}=(-3)\cdot(-4)x^{4+5}y^{7+6}=12x^{9}y^{13}$

Rešenje:
$S=L\cdot W=3x^{2}\cdot5x^{3}=15x^{5}$

Rešenje:
$12x^{4}y^{7}:4x^{2}y^{4}=(12:4)x^{4-2}y^{7-4}=3x^{2}y^{3}$

Rešenje:
$ -16x^{14}y^{8}:(-8)x^{7}y^{5}=[(-16):(-8)]x^{14-7}y^{8-5}=2x^{7}y^{3}$

Rešenje:
$42x^{10}y^{5}:(-6)x^{7}y^{5}=$
$[(42):(-6)]x^{10-7}y^{5-5}=-7x^{3}y^{0}=-7x^{3}$

Rešenje:
$(2x^{4}y^{3})^{5}=2^{5}x^{4\cdot5}y^{3\cdot5}=32x^{20}y^{15}$

Rešenje:
$(-5x^{2}y^{4})^{2}=(-5)^{2}x^{2\cdot2}y^{4\cdot2}=25x^{4}y^{8}$

Rešenje:
$S=a^{2}=(3x^{2})^{2}=9x^{4}$

Rešenje:
$V=a^{3}=(3x^{4})^{3}=27x^{12}$

Rešenje:
$[AC]= [AB]+[BC]=(3x^{2}+1)+(5x^{2}-4)=$
$3x^{2}+1+5x^{2}-4 =8x^{2}-3$

Rešenje:
[tex]BC=AC-AB=(7x^2-3)-(3x^2+1)[/tex]
[tex]=7x^2-3-3x^2-1[/tex]
[tex]=4x^2-4[/tex]

Rešenje:
[tex]O=AB+AC+BC=(2x^2+5)+(6-4x)+(x+4x^2-9)[/tex]
[tex]=2x^2+5+6-4x+x+4x^2-9[/tex]
[tex]=6x^2-3x+2[/tex]

Rešenje:
[tex]O=4a=4(2x^2-3x+4)=8x^2-12x+16[/tex]

Rešenje:
[tex]O=2L+2W=2(4x+7)+2(9-2x)[/tex]
[tex]=8x+14+18-4x=4x+32[/tex]

Rešenje:
[tex]P_1(x)+P_2(x)=(3x^2-7x+5)+(-5x^2-4x+2)[/tex]
[tex]=3x^2-7x+5-5x^2-4x+2[/tex]
[tex]=-2x^2-11x+7[/tex]

Rešenje:
$P_{1}(x)-P_{2}x=(-4x^{3}+2x^{2}+3)-(-2x^{3}+7x^{2}-6)=$
$-4x^{3} + 2x^{2} + 3+ 2x^{3} - 7x^{2} +6 =$
$-2x^{3} - 5x^{2} +9$

Rešenje:
$P_{1}(x)=3x^{3}-2x^{2}-4x +5$
$P_{2}(x)=-2x^{3}+3x^{2}-2x +1$
$3P_{1}(x)-2P_{2}(x)=$
$3\cdot(3x^{3}-2x^{2}-4x +5)-2\cdot(-2x^{3}+3x^{2}-2x +1)=$
$9x^{3}-6x^{2}-12x + 15+4x^{3}-6x^{2}+4x-2 =$
$13x^{3}-12x^{2}-8x+13$

Rešenje:
$5x\cdot(2x^{2}-3x)-3x^{2}\cdot(-6x^{3}+4x^{2}+2x -1)=$
$10x^{3}-15x^{2} + 18x^{5}-12x^{4}-6x^{3}+3x^{2} =$
$18x^{5}-12x^{4}+4x^{3}-12x^{2}$

Rešenje:
$S = L\cdot W = (4x+3)(3x-5)=4x\cdot(3x-5)+3\cdot(3x-5)=$
$4x\cdot3x+4x\cdot(-5)+3\cdot3x+3\cdot(-5)=$
$12x^{2}-20x+9x-15=$
$12x^{2}-11x-15$

Rešenje:
$V=D\cdot Š\cdot H=$
$(3x+5)\cdot(x-2)\cdot x^{2}=$
$[3x\cdot(x-2)+5\cdot(x-2)]\cdot x^{2}=$
$(3x^{2}-6x+5x-10)\cdot x^{2}=$
$(3x^{2}-x-10)\cdot x^{2}=$
$3x^{2}\cdot x^{2}-x\cdot x^{2}-10\cdot x^{2}=$
$3x^{4}-x^{3}-10x^{2}$

Rešenje:
Koristimo formulu za kvadrat binoma:
$(a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b + b^{2}$

$(3x^{2}+4)^{2}=$
$(3x^{2})^{2}+2\cdot 3x^{2}\cdot4 +4^{2}=$
$9x^{4}+24x^{2}+16$

Rešenje:
Koristimo formulu za kvadrat binoma::
$(a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b + b^{2}$

$(2x^{2}-1)^{2}=$
$(2x^{2})^{2}-2\cdot 2x^{2}\cdot1 +1^{2}=$
$4x^{4}-4x^{2}+1$

Rešenje:
Koristimo formulu za razliku kvadrata:
$(a+b)\cdot(a-b)=a^{2}-b^{2}$

$(x^{2}+6)\cdot(x^{2}-6)=(x^{2})^{2}-6^{2}=x^{4}-36$

Rešenje:
Koristimo formulu za razliku kvadrata:
[tex](a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}=[/tex]

[tex](x^{3} + 1) \cdot (x^{3} - 1) = (x^{3})^{2} - 1^{2} = x^{6} - 1[/tex]

Rešenje:
Koristimo formulu za razliku kvadrata:
[tex](a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}[/tex]

[tex](9x^{2} + 4) \cdot (9x^{2} - 4) = (9x^{2})^{2} - 4^{2} = 81x^{4} - 16[/tex]

Rešenje:
[tex](2x - 3)(4x + 1) + (3x + 5)(x - 2) =[/tex]
[tex][2x(4x + 1) - 3(4x + 1) + 3x(x - 2) + 5(x - 2)] =[/tex]
[tex](8x^{2} + 2x - 12x - 3 + 3x^{2} - 6x + 5x - 10) =[/tex]
[tex]11x^{2} - 11x - 13[/tex]

Rešenje:
[tex](5x - 2)(3x + 4) - (2x + 7)(x + 3) =[/tex]
[tex]{5x(3x + 4) - 2(3x + 4) -[2x(x + 3) + 7(x + 3)]} =[/tex]
[tex][15x^{2} + 20x - 6x - 8 - (2x^{2} + 6x + 7x + 21)]=[/tex]
[tex](15x^{2} + 20x - 6x - 8 - 2x^{2} - 6x - 7x - 21) =[/tex]
[tex]13x^{2} +x - 29[/tex]

Rešenje:
Koristimo formulu za kvadrat binoma:
[tex](a + b)^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}[/tex]

[tex](x - 3)^{2} - (x + 4)^{2} =[/tex]
[tex](x^{2} - 6x + 9) - (x^{2} + 8x + 16) =[/tex]
[tex]x^{2}- 6x + 9 - x^{2} - 8x - 16 =[/tex]
-14x - 7

Rešenje:
Koristimo formulu za kvadrat binoma:
[tex](a + b)^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}[/tex]

[tex](2x + 5)^{2} - (3x - 4)^{2} =[/tex]
[tex][(2x)^{2} + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^{2}] - [(3x)^{2} - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^{2}] =[/tex]
[tex](4x^{2} + 20x + 25) - (9x^{2} - 24x + 16 =[/tex]
[tex]4x^{2} + 20x + 25 - 9x^{2} + 24x - 16 =[/tex]
[tex]-5x^{2} + 44x + 9[/tex]

Rešenje:
Koristimo formulu za kvadrat binoma:
[tex](a + b)^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}[/tex]
[tex](2x + 1)^{2} + (x - 2)^{2}=[/tex]
[tex][(2x)^{2} + 2˙2x \cdot 1 + 1] + (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) =[/tex]
[tex]4x^{2} + 4x + 1 + x^{2} - 4x + 4 =[/tex]
[tex]5x^{2} + 5[/tex]

Rešenje:
Koristimo formulu za razliku kvadrata:
[tex](a + b) \cdot (a - b)=a^{2} - b^{2}[/tex]

[tex](x - 1)(x + 1) - (x - 3)(x + 3) =[/tex]
[tex](x^{2} - 1^{2}) - (x^{2} - 3^{2}) =[/tex]
[tex](x^{2} - 1) - (x^{2} - 9) =[/tex]
[tex]x^{2} - 1 - x^{2} + 9 = 8[/tex]

Rešenje:
Koristimo formulu za razliku kvadrata:
[tex](a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}=[/tex]

[tex](2x - 3)(2x + 3) - (3x - 5)(3x + 5)=[/tex]
[tex][(2x)^{2} - 3^{2}] - [(3x)^{2} - 5^{2}] =[/tex]
[tex](4x^{2} - 9) - (9x^{2} - 25) =[/tex]
[tex]4x^{2} - 9 - 9x^{2} + 25 =[/tex]
[tex]-5x^{2} + 16[/tex]

Rešenje:
[tex](4x - 7)(4x + 7) + (2x - 9)(2x + 9) =[/tex]
[tex][(4x)^{2} - 7^{2}] + [(2x)^{2} - 9^{2}] =[/tex]
[tex](16x^{2} - 49) + (4x^{2} - 81) =[/tex]
[tex]16x^{2} - 49 + 4x^{2} - 81 =[/tex]
[tex]20x^{2} - 130[/tex]

Rešenje:
Nije potrebno nalaziti [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex]. Dignimo zbir na kub:
[tex](x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y)[/tex]
Dakle, [tex]x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=5^3-3\cdot 4\cdot 5=125-60=65[/tex]
Provera: brojevi [tex]x=1[/tex], [tex]y=4[/tex] zadovoljavaju uslove i [tex]1^3+4^3=65[/tex].

Rešenje:
[tex](x-y)^2=x^2+y^2-2xy[/tex]
[tex]5^2=97-2xy \Rightarrow 2xy=97-25=72 \Rightarrow xy=36[/tex]

Rešenje:
Dopunimo do potpunog kvadrata:
[tex]A=x^2+6x+9-22=(x+3)^2-22\geq -22[/tex]
jer je [tex](x+3)^2\geq 0[/tex]. Vrednost [tex]-22[/tex] se dostiže za [tex]x=-3[/tex].
[tex]B=10-(x^2-4x+4)=10-(x-2)^2\leq 10[/tex]
Vrednost [tex]10[/tex] se dostiže za [tex]x=2[/tex].

Rešenje:
[tex]29\cdot 31=(30-1)(30+1)=30^2-1^2=900-1=899[/tex]
[tex]51^2=(50+1)^2=50^2+2\cdot 50\cdot 1+1^2=2500+100+1=2601[/tex]

Rešenje:
[tex]mx^3-x(mx+m-3x^2+1)=mx^3-mx^2-mx+3x^3-x=(m+3)x^3-mx^2-(m+1)x[/tex]
Koeficijent uz [tex]x^3[/tex] mora biti [tex]0[/tex]:
[tex]m+3=0 \Rightarrow m=-3[/tex]
Tada je polinom [tex]3x^2+2x[/tex].

Rešenje:
[tex](ax+2)^3=(ax)^3+3\cdot (ax)^2\cdot 2+3\cdot ax\cdot 2^2+2^3=a^3x^3+6a^2x^2+12ax+8[/tex]
Uporedimo koeficijente uz [tex]x^3[/tex]:
[tex]a^3=27 \Rightarrow a=3[/tex]
[tex]b=6a^2=6\cdot 9=54[/tex], [tex]c=12a=12\cdot 3=36[/tex]

Rešenje:
Nije potrebno oslobađati se zagrada. Ako zamenimo [tex]x=1[/tex] i [tex]y=1[/tex], svaki monom postaje jednak svom koeficijentu, pa je vrednost polinoma upravo zbir koeficijenata:
[tex](5\cdot 1^2-4\cdot 1^3)^7=(5-4)^7=1^7=1[/tex]

Rešenje:
Prva četiri sabirka su kub razlike [tex](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/tex] za [tex]a=2026[/tex] i [tex]b=2025[/tex]:
[tex](2026-2025)^3-1=1^3-1=0[/tex]

Rešenje:
Kvadrirajmo zbir:
[tex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)[/tex]
[tex]1^2=1+2(ab+bc+ca) \Rightarrow 2(ab+bc+ca)=0 \Rightarrow ab+bc+ca=0[/tex]