Uprošćavanje polinoma - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
$2x^{8}$ zato što je $9\sqrt{x^{7}}=9x^{\frac{7}{2}}$
Eksponent promenljive mora da bude nenegativan ceo broj.

Rešenje:
[tex]\dfrac{\sqrt{6}x^3}{\sqrt{3}x}=\sqrt{\dfrac{6}{3}}\,x^{3-1}=\sqrt{2}x^2[/tex]
Rezultat je monom.

Rešenje:
$-\frac{2\sqrt{x^{4}}}{3}$ zato što je $-\frac{2\sqrt{x^{4}}}{3}=-\frac{2x^{2}}{3}=-\frac{2}{3}x^{2}$
$9(x^{3})^{\frac{1}{2}}= 9x^{\frac{3}{2}}$
Eksponent nepoznate mora da bude nenegativan ceo broj.

Rešenje:
[tex]39x^{7} - 45x^{7} - 134x^{7} - 39x^{7} + 134x^{7} + 44x^{7} =[/tex]
[tex]39x^{7} - 39x^{7} - 45x^{7} + 44x^{7} - 134x^{7} + 134x^{7}=[/tex]
[tex]0 - x^{7} + 0= -x^{7}[/tex]

Rešenje:
Koristimo formulu za kvadrat binoma:
[tex](a + b)^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}[/tex]
[tex](a - b)^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}[/tex]

[tex]5(3x-1)^{2} - 3(2x + 3)^{2} =[/tex]
[tex]5[(3x)^{2} - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^{2}] - 3[(2x)^{2} - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^{2}] =[/tex]
[tex]5(9x^{2} - 6x + 1) - 3(4x^{2} + 12x + 9) =[/tex]
[tex]45x^{2} - 30x + 5 - 12x^{2} - 36x - 27 =[/tex]
[tex]33x^{2} - 66x - 22[/tex]

Rešenje:
Koristimo formulu za razliku kvadrata:
[tex](a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}=[/tex]

[tex]4(2x - 3)(2x + 3) - 5(3x - 4)(3x + 4) =[/tex]
[tex]4[(2x)^{2} - 3^{2}] - 5[(3x)^{2} - 4^{2}) =[/tex]
[tex]4(4x^{2} - 9) - 5(9x^{2} - 16) =[/tex]
[tex]16x^{2} - 36 - 45x^{2} + 80 =[/tex]
[tex]-29x^{2} + 44[/tex]

Rešenje:
Prebacimo [tex]-34[/tex] na levu stranu i zapišimo [tex]34=9+25[/tex]:
[tex]x^2+6x+9+y^2-10y+25=0[/tex]
[tex](x+3)^2+(y-5)^2=0[/tex]
Zbir dva kvadrata jednak je [tex]0[/tex] samo kada su oba kvadrata jednaka [tex]0[/tex]:
[tex]x+3=0[/tex] i [tex]y-5=0[/tex], tj. [tex]x=-3[/tex], [tex]y=5[/tex]
[tex]x^3+y^3=(-3)^3+5^3=-27+125=98[/tex]

Rešenje:
Grupišemo činioce na pogodan način:
[tex]x(x+3)\cdot (x+1)(x+2)=(x^2+3x)(x^2+3x+2)[/tex]
Neka je [tex]t=x^2+3x[/tex]:
[tex]t(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2=(x^2+3x+1)^2[/tex]
Ako je [tex]x[/tex] ceo broj, onda je i [tex]x^2+3x+1[/tex] ceo broj, pa je dobijeni broj potpun kvadrat. Na primer, [tex]1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+1=25=5^2[/tex].

Rešenje:
Iz [tex]a+b+c=0[/tex] sledi [tex]c=-(a+b)[/tex], pa je
[tex]c^3=-(a+b)^3=-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3[/tex]
[tex]a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2=-3ab(a+b)=3ab\cdot \bigl(-(a+b)\bigr)=3abc[/tex]
Na primer, za [tex]a=1[/tex], [tex]b=2[/tex], [tex]c=-3[/tex]: [tex]1+8-27=-18=3\cdot 1\cdot 2\cdot (-3)[/tex].

Rešenje:
Kvadrirajmo zbir:
[tex]0=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=4+2(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx=-2[/tex]
Ponovo kvadrirajmo:
[tex]4=(xy+yz+zx)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2[/tex]
jer je [tex]x+y+z=0[/tex]. Konačno,
[tex]x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)=4^2-2\cdot 4=8[/tex]

Rešenje:
[tex]x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=1-3xy=4 \Rightarrow xy=-1[/tex]
Neka je [tex]S_n=x^n+y^n[/tex]. Množenjem dobijamo
[tex](x^{n-1}+y^{n-1})(x+y)=x^n+y^n+xy(x^{n-2}+y^{n-2})[/tex]
pa je [tex]S_n=(x+y)S_{n-1}-xy\cdot S_{n-2}=S_{n-1}+S_{n-2}[/tex]
[tex]S_1=1; S_2=(x+y)^2-2xy=1+2=3[/tex]
[tex]S_3=4; S_4=7; S_5=11; S_6=18; S_7=29; S_8=47; S_9=76; S_{10}=123[/tex]