Koordinatni sistem - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Ukoliko se tačka A nalazi na x osi, udaljenost tačke A od x ose je 0, stoga je a = 0.

Rešenje:
Ukoliko se tačka B nalazi na y osi, njena udaljenost od y ose iznosi 0, stoga je a = 0.

Rešenje:
S obzirom da se tačka nalazi u II kvadrantu, njena prva koordinata je negativna, a njena druga koordinata je pozitivna. S obzirom da njena udaljenost od y ose iznosi 4 jedinične duži, njena prva koordinata je -4. Pošto njena udaljenost od x ose iznosi 2 jedinične duži, druga koordinata je 2. Koordinate date tačke su (-4, 2).

Rešenje:
S obzirom da se tačka nalazi u trećem kvadrantu obe njene koordinate su negativne. Pošto je udaljena 4 jedinične duži od x ose, njena druga koordinata je -4. S obzirom da je udaljena 3 jedinične duži od y ose, njena prva koordinata je -3. Koordinate tačke su (-3, -4).

Rešenje:
S obzirom da se tačka nalazi u I kvadrantu, obe njene koordinate su pozitivne. Pošto je udaljena 3 jedinične duži od x ose, njena druga koordinata je 3. S obzirom da je udaljena 2 jedinične duži od y ose, njena prva koordinata je 2. Koordinate tačke su (2, 3).

Rešenje:
S obzirom da se tačka nalazi u IV kvadrantu, njena prva koordinata je pozitivna, a druga koordinata je negativna. S obzirom da je udaljena 1 jediničnu duž od y ose, njena prva koordinata je 1, a pošto je udaljena 4 jedinične duži od x ose, njena druga koordinata je -4. Koordinate tačke su (1,-4).

Rešenje:
S obzirom da tačke imaju istu y koordinatu, duž AB je paralelna sa x osom. Razdaljina između 2 tačke je jednaka razlici x koordinata. Razdaljina između tačke A i tačke B je 4 - 1 = 3 jedinične duži.

Rešenje:
Dužina duži AB je jednaka razdaljini od tačke A do tačke B. S obzirom da obe tačke imaju istu y koordinatu, duž AB je paralelna sa x osom. Dužina duži AB je jednaka razlici x koordinata, stoga 2 - (-3) = 2 + 3 = 5.

Rešenje:
Dužina duži AB jednaka je udaljenosti od tačke A do tačke B. S obzirom da obe tačke imaju istu x koordinatu, duž AB je paralelna sa y osom. Dužina duži AB jednaka je razlici y koordinata, što je 6 - 2 = 4.

Rešenje:
Tačka simetrična tački A u odnosu na tačku B je tačka A', koja se nalazi na istoj pravoj kao i A i B. Tačka B se nalazi na polovini između tačaka A i A'. Udaljenost tačke A' od y ose je veća za 6 jediničnih duži, pa je njena prva koordinata 8. Udaljenost od x ose je ista, pa je druga koordinata tačke A' 3.
Koordinate tačke A' su (8,3).

Rešenje:
Dužina duži AB jednaka je udaljenosti tačke A od tačke B. S obzirom da obe tačke imaju istu x koordinatu, duž AB je paralelna sa y osom. Dužina duži AB jednaka je razlici y koordinata, pa je dužina 3 - (-5) = 8.

Rešenje:
Dužina duži AB jednaka je udaljenosti tačke A od tačke B. S obzirom da obe tačke imaju istu x koordinatu, duž AB je paralelna sa y osom. Dužina duži AB jednaka je razlici y koordinata, tj. 5 - (-1) = 5 + 1 = 6.

Rešenje:
S obzirom da tačka A ima koordinate (3, 3) a duž AB je horizontalna duž, tačka B će imati istu y-koordinatu. S obzirom da je dužina duži AB 4, x koordinata tačke B je 3 + 4 = 7. Tačka B ima koordinate (7, 3).

Rešenje:
S obzirom da tačka A ima koordinate (3, 3) a duž AB je vertikalna duž, tačka B će imati istu x koordinatu. S obzirom da je dužina duži AB 4, y koordinata tačke B je 3 - 4 = -1. Tačka B ima koordinate (3, -1).

Rešenje:
S obzirom da je duž AB horizontalna duž, y koordinata tačke B je 1 i x koordinata je 1 + 2 = 3. Prema tome, tačka B ima koordinate (3, 1). Pošto je duž BC vertikalna duž, x koordinata tačke C je 3 a y koordinata je 1 + 1 = 2. Dakle, tačka C ima koordinate (3, 2).

Rešenje:
S obzirom da sve horizontalne linije imaju dužinu od 1 jedinične duži, x koordinata tačke B je 1 + 4 = 5.
S obzirom da sve vertikalne linije imaju dužinu od 1 jedninične duži, y koordinata tačke B je -3 + 5 = 2.
Tačka B ima koordinate (5, 2).

Rešenje:
Presek sa osom [tex]Oy[/tex] ([tex]x=0[/tex]): [tex]y=2[/tex], tačka [tex](0; 2)[/tex].
Presek sa osom [tex]Ox[/tex] ([tex]y=0[/tex]): [tex]-0{,} 5x+2=0 \Rightarrow x=4[/tex], tačka [tex](4; 0)[/tex].
Trougao je pravougli sa katetama [tex]2[/tex] i [tex]4[/tex]:
[tex]P=\frac{2\cdot 4}{2}=4[/tex]

Rešenje:
Prava kroz koordinatni početak je grafik direktne proporcionalnosti [tex]y=kx[/tex].
[tex]N(-4; 3)[/tex]: [tex]3=k(-4) \Rightarrow k=-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]x=-3[/tex]: [tex]y=-\frac{3}{4}\cdot (-3)=\frac{9}{4}=2{,} 25[/tex]

Rešenje:
[tex]y=3\cdot 2=6 \Rightarrow A(2; 6)[/tex]
[tex]9=3x \Rightarrow x=3 \Rightarrow B(3; 9)[/tex]
[tex]A[/tex] i [tex]C[/tex] imaju istu ordinatu, a [tex]B[/tex] i [tex]C[/tex] istu apscisu, pa je ugao kod [tex]C[/tex] prav: [tex]AC=3-2=1[/tex], [tex]BC=9-6=3[/tex].
[tex]P=\frac{1\cdot 3}{2}=1{,} 5[/tex]

Rešenje:
Nijedna stranica nije paralelna nekoj osi, pa oko trougla opisujemo pravougaonik sa stranicama paralelnim osama: [tex]-5\le x\le 0[/tex], [tex]0\le y\le 4[/tex]. Njegova površina je [tex]5\cdot 4=20[/tex].
Oduzimamo tri pravougla trougla van trougla [tex]ABC[/tex]:
[tex]AB[/tex]: [tex]\frac{5\cdot 3}{2}=7{,} 5[/tex]
[tex]BC[/tex]: [tex]\frac{4\cdot 1}{2}=2[/tex]
[tex]CA[/tex]: [tex]\frac{1\cdot 4}{2}=2[/tex]
[tex]P=20-7{,} 5-2-2=8{,} 5[/tex]

Rešenje:
[tex]B[/tex], [tex]D[/tex], [tex]F[/tex] i [tex]H[/tex] su temena kvadrata stranice [tex]4-(-4)=8[/tex] i površine [tex]8\cdot 8=64[/tex].
Van kvadrata ostaju četiri jednaka trougla, na primer [tex]HAB[/tex] sa osnovicom [tex]HB=8[/tex] i visinom [tex]5-4=1[/tex]; njegova površina je [tex]\frac{8\cdot 1}{2}=4[/tex].
[tex]P=64+4\cdot 4=80[/tex]

Rešenje:
Oko četvorougla opisujemo pravougaonik [tex]-3\le x\le 4[/tex], [tex]-3\le y\le 3[/tex] površine [tex]7\cdot 6=42[/tex].
Van [tex]ABCD[/tex] ostaju četiri pravougla trougla i jedan mali pravougaonik:
[tex]AB[/tex]: [tex]\frac{5\cdot 1}{2}=2{,} 5[/tex]
[tex]BC[/tex]: [tex]\frac{2\cdot 6}{2}=6[/tex]
[tex]CD[/tex]: [tex]\frac{6\cdot 2}{2}=6[/tex]
[tex]DA[/tex]: [tex]\frac{1\cdot 3}{2}=1{,} 5[/tex]
pravougaonik u gornjem levom uglu: [tex]1\cdot 2=2[/tex]
[tex]P=42-(2{,} 5+6+6+1{,} 5+2)=42-18=24[/tex]

Rešenje:
Zamenjujemo [tex]x=p-1[/tex] i [tex]y=3p+1[/tex]:
[tex]3p+1=3(p-1)-2[/tex]
[tex]3p+1=3p-5[/tex]
[tex]1=-5[/tex], što nije tačno ni za jedno [tex]p[/tex].
Zaista, sve tačke [tex](p-1; 3p+1)[/tex] leže na pravoj [tex]y=3x+4[/tex], koja je paralelna pravoj [tex]y=3x-2[/tex]. Dakle, takvo [tex]p[/tex] ne postoji.

Rešenje:
Prave [tex]y=1[/tex] i [tex]y=3[/tex] su paralelne (osi [tex]Ox[/tex]), a paralelne su i [tex]y=3x+3[/tex] i [tex]y=3x+6[/tex] (isti koeficijent pravca [tex]3[/tex]). Četvorougao je paralelogram.
Temena na pravoj [tex]y=1[/tex]: [tex]3x+3=1 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}[/tex] i [tex]3x+6=1 \Rightarrow x=-\frac{5}{3}[/tex].
Stranica na pravoj [tex]y=1[/tex] ima dužinu [tex]-\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{3}\right)=1[/tex].
Visina je rastojanje između [tex]y=1[/tex] i [tex]y=3[/tex]: [tex]h=2[/tex].
[tex]P=1\cdot 2=2[/tex]