Koordinatni sistem - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Tačka simetrična tački A u odnosu na tačku O je tačka A', koja se nalazi na istoj pravoj kao i tačke A i O. O se nalazi na polovini između tačaka A i A'. Tačka A je najviša tačka pravougaonika u I kvadrantu sa dužinom od 2 i širinom od 3 jedinične duži, i čija dijagonala je OA. Tačka A' je najviša tačka pravougaonika iste veličine, ali u III kvadrantu i sa dijagonalom OA'. Koordinate tačke A' su (-2, -3).

Rešenje:
Duž AB je paralelna sa x osom i ima dužinu od 7 - 2 = 5 jediničnih duži. Dužina duži AM jednaka je polovini dužine duži AB = 2,5 jedinične duži. Koordinate tačke M su (2 + 2,5; 3) = (4,5; 3).

Rešenje:
Ako kvadrat ima površinu od 9 jediničnih kvadrata, onda njegova strana ima dužinu od 3 jedinične duži. Ako je tačka O u preseku osa, onda se tačke C i B nalaze na x i y osama i one imaju koordinate (3, 0) i (0, 3). Tačka A se nalazi 3 jedinične duži od x ose i 3 jedinične duži od y ose, i ima koordinate (3, 3).

Rešenje:
Tačke koje se nalaze na krugu moraju biti udaljene 2 jedinične duži od tačke O. Tačke koje ispunjavaju ovaj uslov su tačke A, D, G i J. Ostale tačke su udaljene više od 2 jedinične duži od tačke O.

Rešenje:
Trougao ABC može biti deo kvadrata MOCN. Možemo izraziti površinu trougla kao razliku između površine kvadrata i površine 3 pravougla trougla. Površina kvadrata MOCN je 9 jediničnih kvadrata. Površina trougla AMB je 2 jedinična kvadrata. Površina trougla BOC je 1,5 jediničnih kvadrata. Površina trougla CAN je 1,5 jediničnih kvadrata. Prema tome, površina trougla ABC je 9 - (2 + 1,5 + 1,5) = 9 - 5 = 4 jedinična kvadrata.

Rešenje:
Od [tex]D(-4; -1)[/tex] do [tex]B(6; 4)[/tex] apscisa raste za [tex]10[/tex], a ordinata za [tex]5[/tex], tj. duž [tex]DB[/tex] ordinata raste dvostruko sporije od apscise.
Od [tex]D[/tex] do ose [tex]Oy[/tex] apscisa raste za [tex]4[/tex] (od [tex]-4[/tex] do [tex]0[/tex]), pa ordinata raste za [tex]2[/tex]: [tex]M(0; -1+2)=M(0; 1)[/tex].
[tex]a=AM=1-(-2)=3[/tex], [tex]b=CM=6-1=5[/tex]
[tex]a:b=3:5[/tex]

Rešenje:
Prav ugao može biti kod [tex]O[/tex], kod [tex]M[/tex] ili kod [tex]N[/tex].
Prav ugao kod [tex]O[/tex] ([tex]ON=OM[/tex], [tex]ON\perp OM[/tex]): [tex]N(-2; 2)[/tex] ili [tex]N(2; -2)[/tex].
Prav ugao kod [tex]M[/tex] ([tex]MN=MO[/tex], [tex]MN\perp MO[/tex]): [tex]N(4; 0)[/tex] ili [tex]N(0; 4)[/tex].
Prav ugao kod [tex]N[/tex] ([tex]OM[/tex] je hipotenuza): [tex]N(2; 0)[/tex] ili [tex]N(0; 2)[/tex].
Ukupno [tex]2+2+2=6[/tex] mogućnosti.

Rešenje:
Površina trougla [tex]ABC[/tex]: opisujemo pravougaonik [tex]-5\le x\le 2[/tex], [tex]-6\le y\le 0[/tex] površine [tex]7\cdot 6=42[/tex] i oduzimamo tri pravougla trougla:
[tex]S_{ABC}=42-\frac{2\cdot 6}{2}-\frac{7\cdot 2}{2}-\frac{5\cdot 4}{2}=42-6-7-10=19[/tex]
Trouglovi [tex]APC[/tex] i [tex]ABC[/tex] imaju zajedničku visinu iz [tex]C[/tex], pa je [tex]S_{APC}=\frac{AP}{AB}\cdot S_{ABC}=\frac{2}{5}\cdot 19[/tex].
Trouglovi [tex]APM[/tex] i [tex]APC[/tex] imaju zajedničku visinu iz [tex]P[/tex], pa je
[tex]S_{APM}=\frac{AM}{AC}\cdot S_{APC}=\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot 19=\frac{152}{25}=6{,} 08[/tex]