Ecuaciones cúbicas y cuárticas

Calculadora de ecuaciones cúbicas y cuárticas

Elija el grado y escriba los coeficientes. Pueden ser enteros, decimales (por ejemplo 0,5) o fracciones (por ejemplo 1/3). Una casilla vacía significa 0. La calculadora busca raíces racionales y divide entre los factores correspondientes con la regla de Horner. Si queda una ecuación cuadrática, la resuelve con la fórmula general; una cúbica, con la fórmula de Cardano o el método trigonométrico, y una cuártica, con el método de Ferrari. También reconoce las ecuaciones bicuadradas y las recíprocas. Las raíces que no se pueden escribir de forma sencilla se dan de forma aproximada.

¿Qué son las ecuaciones cúbicas y cuárticas?

Una ecuación cúbica tiene como máximo tres raíces reales, y una ecuación cuártica, como máximo cuatro. Toda ecuación cúbica tiene al menos una raíz real. Cuando $|x|$ es grande, el término $ax^3$ domina sobre todos los demás. Por eso $ax^3+bx^2+cx+d$ tiene un signo para los valores muy grandes de $x$ y el signo contrario para los valores muy negativos de $x.$ La gráfica de $y=ax^3+bx^2+cx+d$ es una curva continua (sin saltos), así que tiene que cortar el eje $x.$ Una ecuación cuártica puede no tener ninguna raíz real; por ejemplo, $x^4+1=0$ no tiene ninguna, porque $x^4+1\ge 1.$

Para las dos ecuaciones hay fórmulas generales de las raíces: la fórmula de Cardano para la cúbica y el método de Ferrari para la cuártica, ambos del siglo XVI. Los cálculos con ellos son largos, así que empiece por los métodos sencillos. Las ecuaciones de los problemas escolares suelen tener una raíz racional o una forma especial, y entonces la factorización las resuelve rápidamente.

En esta página: Calculadora · Número de raíces · Estrategia · Factorización · Raíces racionales · Fórmulas de Vieta · Fórmula de Cardano · Tres raíces reales · Ecuaciones cuárticas · Método de Ferrari · Formularios · Problemas de aplicación · Ejercicios

¿Cuántas raíces reales puede haber?

Las raíces reales de $P(x)=0$ son los valores de $x$ en los que la gráfica de $y=P(x)$ corta o toca el eje $x.$ Las figuras muestran los casos posibles.

• Una ecuación cúbica tiene una, dos o tres raíces reales distintas. Cuando tiene dos, una de ellas es una raíz doble: en ese punto la gráfica solo toca el eje $x.$
• Una ecuación cuártica tiene cuatro, tres, dos, una o ninguna raíz real.
• Si $a\gt 0,$ la gráfica de un polinomio cúbico sube por la derecha y baja por la izquierda; si $a\lt 0,$ ocurre al revés. La gráfica de un polinomio de cuarto grado sube por los dos extremos cuando $a\gt 0$ (y baja por los dos extremos cuando $a\lt 0$), así que puede no cortar el eje $x,$ mientras que la de un polinomio cúbico siempre lo corta.

Una raíz es doble cuando el factor $x-x_0$ aparece dos veces en la factorización. Por ejemplo, ${x^3-3x+2}={(x-1)^2(x+2),}$ así que $x=1$ es una raíz doble y $x=-2$ es una raíz simple. En la figura central de la fila superior, la gráfica toca el eje $x$ en $x=1$ y lo corta en $x=-2.$

Si también contamos las raíces complejas y cada raíz doble cuenta dos veces, una ecuación cúbica siempre tiene exactamente tres raíces, y una cuártica, exactamente cuatro (es el teorema fundamental del álgebra). Las raíces complejas de una ecuación con coeficientes reales aparecen en pares de complejos conjugados $u\pm vi.$

Cómo resolver una ecuación cúbica o cuártica

1. Pase todos los términos al lado izquierdo y reduzca los términos semejantes. Si hay fracciones, multiplique por un denominador común. Si todos los coeficientes tienen un factor común, divida entre él.
2. Si no hay término independiente, saque $x$ (o una potencia de $x$) como factor común: entonces $x=0$ es una raíz.
3. Busque una forma especial: una suma o diferencia de cubos, una ecuación bicuadrada $ax^4+bx^2+c=0,$ una ecuación recíproca o una expresión que se repite y se puede sustituir por una nueva incógnita.
4. Intente factorizar por agrupación.
5. Busque raíces racionales (con el teorema de las raíces racionales, más abajo) y, por cada raíz que encuentre, divida el polinomio entre el factor correspondiente con la regla de Horner (muchos libros la llaman «regla de Ruffini» o «división sintética»). Cada raíz encontrada reduce el grado en uno.
6. Cuando quede un factor cuadrático, iguálelo a cero y resuelva la ecuación con la fórmula general.
7. Si no hay raíces racionales, use la fórmula de Cardano o el método trigonométrico para una cúbica y el método de Ferrari para una cuártica, o halle las raíces de forma aproximada.

Factorización: factor común y agrupación

Ejemplo 1: un factor común

Resuelva la ecuación $x^3-9x=0.$

Sacamos $x$ como factor común y después usamos la diferencia de cuadrados:

$x(x^2-9)=0,$  $x(x-3)(x+3)=0$

Un producto es cero exactamente cuando alguno de sus factores es cero. Respuesta: $x=0,$ $x=3,$ $x=-3.$

No divida los dos lados entre $x\text{:}$ así se pierde la raíz $x=0.$

Ejemplo 2: agrupación

Resuelva la ecuación $x^3+2x^2-9x-18=0.$

Agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos:

${x^2(x+2)-9(x+2)}={0,}$  $(x+2)(x^2-9)=0,$  ${(x+2)(x-3)(x+3)}={0}$

Respuesta: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=3.$

Ejemplo 3: una diferencia de cubos

Resuelva la ecuación $x^3-8=0.$

Por la fórmula ${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ (vea las identidades notables):

${x^3-8}={(x-2)(x^2+2x+4)}={0}$

El factor cuadrático no tiene raíces reales: su discriminante es $D=4-16=-12\lt 0.$ Respuesta: $x=2.$

La misma respuesta se obtiene directamente de $x^3=8\text{:}$ un número real tiene exactamente una raíz cúbica real, así que $x=\sqrt[3]{8}=2.$ El factor cuadrático da las dos raíces complejas $x=-1\pm i\sqrt{3}.$

Raíces racionales y regla de Horner

Por qué es cierto. Sustituimos $x=\frac{p}{q}$ y multiplicamos por $q^n\text{:}$

${a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q}+{\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n}={0}$

Todos los términos excepto el último contienen el factor $p,$ así que $p$ divide a $a_0q^n.$ Como $p$ y $q$ no tienen ningún factor común, $p$ divide a $a_0.$ Del mismo modo, todos los términos excepto el primero contienen $q,$ así que $q$ divide a $a_np^n$ y, por lo tanto, a $a_n.$

El teorema da una lista corta de candidatos. Dos de ellos se comprueban rápidamente:

• $x=1$ es raíz exactamente cuando la suma de todos los coeficientes es $0;$
• $x=-1$ es raíz exactamente cuando los coeficientes de las potencias pares y los de las potencias impares tienen la misma suma (el término independiente cuenta como potencia par, $x^0$).

Si $x_0$ es una raíz, el polinomio es divisible entre $x-x_0\text{:}$ $P(x)=(x-x_0)\,Q(x)$ (es el teorema del factor). El cociente $Q(x)$ tiene un grado menos, y la regla de Horner da sus coeficientes en una sola línea.

Ejemplo 4: tres raíces enteras

Resuelva la ecuación $x^3-6x^2+11x-6=0.$

El coeficiente principal es $1,$ así que toda raíz racional es un número entero divisor de $6.$ Los candidatos son $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6.$ La suma de los coeficientes es $1-6+11-6=0,$ así que $x=1$ es una raíz. Dividimos entre $x-1\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 1 & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

El último número es el residuo $0,$ y los demás son los coeficientes del cociente:

${x^3-6x^2+11x-6}={(x-1)(x^2-5x+6)}$

La ecuación cuadrática $x^2-5x+6=0$ tiene las raíces $2$ y $3$ (su suma es $5$ y su producto es $6$). Respuesta: $x=1,$ $x=2,$ $x=3.$

Ejemplo 5: una raíz fraccionaria

Resuelva la ecuación $2x^3+3x^2-8x+3=0.$

Aquí $p$ divide a $3$ y $q$ divide a $2,$ así que los candidatos son $\pm 1,$ $\pm 3,$ $\pm\frac12,$ $\pm\frac32.$ La suma de los coeficientes es $2+3-8+3=0,$ así que $x=1$ es una raíz:

$\begin{array}{r|rrr|r} & 2 & 3 & -8 & 3 \\ 1 & & 2 & 5 & -3 \\ \hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$

Así, ${(x-1)(2x^2+5x-3)}={0.}$ Para la ecuación cuadrática, $D=25+24=49$ y

$x=\frac{-5\pm 7}{4},$  $x=\frac12,$  $x=-3$

Respuesta: $x=-3,$ $x=\frac12,$ $x=1.$

Ejemplo 6: raíces irracionales

Resuelva la ecuación $x^3-3x^2-2x+4=0.$

La suma de los coeficientes es $1-3-2+4=0,$ así que $x=1$ es una raíz:

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -3 & -2 & 4 \\ 1 & & 1 & -2 & -4 \\ \hline & 1 & -2 & -4 & 0\end{array}$

El cociente da $x^2-2x-4=0,$ con $D=4+16=20$ y

${x}={\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}}={\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}}={1\pm\sqrt{5}}$

Respuesta: $x=1,$ $x=1+\sqrt{5}\approx 3{,}236,$ $x=1-\sqrt{5}\approx -1{,}236.$ El teorema de las raíces racionales solo encontró $x=1;$ las otras dos raíces son irracionales y se obtuvieron con la fórmula general.

Ejemplo 7: una raíz doble

Resuelva la ecuación $x^3-3x+2=0.$

La suma de los coeficientes es $1-3+2=0,$ así que $x=1$ es una raíz. No olvide escribir en la tabla el coeficiente cero de $x^2\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0\end{array}$

El cociente ${x^2+x-2}={(x-1)(x+2)}$ vuelve a tener la raíz $1,$ así que

${x^3-3x+2}={(x-1)^2(x+2)}$

Respuesta: $x=1$ (raíz doble) y $x=-2.$

Si ninguno de los candidatos es raíz, la ecuación cúbica no tiene raíces racionales, y sus raíces reales son irracionales. Use la fórmula de Cardano, que veremos más abajo, o halle las raíces de forma aproximada. (Una ecuación cuártica sin raíces racionales aun así puede descomponerse en dos factores cuadráticos, como en el ejemplo 14.)

Fórmulas de Vieta

Las raíces están relacionadas con los coeficientes, igual que en la ecuación cuadrática. Si $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ son las raíces de $ax^3+bx^2+cx+d=0$ (incluidas las raíces complejas y las repetidas), entonces

Estas fórmulas se obtienen al comparar los coeficientes en ${ax^3+bx^2+cx+d}={a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).}$ Para una ecuación cuártica ${ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}={0}$ con raíces $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4\text{:}$

Comprobación del ejemplo 4. Para $x^3-6x^2+11x-6=0$ y las raíces $1,$ $2,$ $3\text{:}$ $1+2+3=6,$ $1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=11,$ $1\cdot 2\cdot 3=6.$ Son precisamente $-\frac{b}{a}=6,$ $\frac{c}{a}=11$ y $-\frac{d}{a}=6.$

Una ecuación con raíces dadas. Para las raíces $-1,$ $2$ y $4$ la suma es $5,$ la suma de los productos de dos en dos es $-2-4+8=2$ y el producto es $-8.$ Por lo tanto, con $a=1\text{:}$

$x^3-5x^2+2x+8=0$

Lo mismo se obtiene al desarrollar $(x+1)(x-2)(x-4).$

La fórmula de Cardano para la ecuación cúbica

Una ecuación cúbica sin raíces racionales se resuelve con la fórmula que Gerolamo Cardano publicó en 1545 en su libro Ars Magna. Scipione del Ferro y Niccolò Tartaglia la habían encontrado antes que él. El método tiene dos pasos.

Paso 1: eliminar el término en x²

Divida la ecuación entre $a$ y haga el cambio $x=t-\frac{b}{3a}.$ Los términos en $t^2$ se cancelan, y se obtiene la ecuación cúbica reducida (una cúbica sin término de segundo grado)

¿Por qué $\frac{b}{3a}?$ Al desarrollar $(t-h)^3$ y $\frac{b}{a}(t-h)^2,$ los términos en $t^2$ son $-3ht^2$ y $\frac{b}{a}t^2.$ Se cancelan cuando $h=\frac{b}{3a}.$ Por ejemplo, $x^3+3x^2+6x+2=0$ con $x=t-1$ se convierte en

${(t-1)^3}+{3(t-1)^2+6(t-1)+2}={t^3+3t-2}={0}$

Paso 2: resolver t³ + pt + q = 0

Buscamos $t$ en forma de suma $t=u+v.$ Como ${(u+v)^3}={u^3+v^3+3uv(u+v),}$ el número $t=u+v$ cumple

${t^3-3uv\cdot t-(u^3+v^3)}={0}$

Coincide con nuestra ecuación si $3uv=-p$ y $u^3+v^3=-q.$ Entonces $u^3v^3=-\frac{p^3}{27},$ así que, por las fórmulas de Vieta, $u^3$ y $v^3$ son las raíces de la ecuación cuadrática $z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0\text{:}$

$u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta},$  $v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta},$  $\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$

Cuando $\Delta\ge 0,$ se toman las raíces cúbicas reales; la raíz cúbica de un número negativo es negativa, por ejemplo $\sqrt[3]{-8}=-2.$ Después, la raíz $x$ de la ecuación dada es $x=t-\frac{b}{3a}.$

El signo de Δ y el número de raíces reales

Signo de $\Delta$	Raíces de la ecuación
$\Delta\gt 0$	una raíz real y dos raíces complejas conjugadas
$\Delta=0$	dos raíces reales distintas: $t_1=\frac{3q}{p}$ y la raíz doble $t_2=t_3=-\frac{3q}{2p}$ (si $p=q=0,$ entonces $t=0$ es una raíz triple)
$\Delta\lt 0$	tres raíces reales distintas

Observe que la regla es la contraria a la de las ecuaciones cuadráticas: aquí $\Delta\gt 0$ da una sola raíz real. (Muchos libros usan el discriminante de la cúbica $-4p^3-27q^2=-108\Delta,$ que tiene el signo opuesto: es positivo cuando hay tres raíces reales distintas.)

La figura explica la tabla para las ecuaciones $x^3-3x+q=0.$ Sus raíces son los valores de $x$ de los puntos comunes de la gráfica $y=x^3-3x$ y la recta horizontal $y=-q.$ Aquí $p=-3$ y $\Delta=\frac{q^2}{4}-1.$ La gráfica tiene un máximo local en el punto $(-1,\ 2)$ y un mínimo local en el punto $(1,\ -2).$ Una recta que pasa entre los dos puntos ($|q|\lt 2,$ $\Delta\lt 0$) corta la gráfica en tres puntos; una recta que pasa por uno de ellos ($|q|=2,$ $\Delta=0$) toca la gráfica en ese punto, y una recta que pasa por encima o por debajo de los dos ($|q|\gt 2,$ $\Delta\gt 0$) la corta en un solo punto.

Ejemplo 8: una raíz real

Resuelva la ecuación $x^3-6x-6=0.$

Los candidatos $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6$ no son raíces, así que no hay raíces racionales. La ecuación no tiene término en $x^2,$ de modo que $p=-6$ y $q=-6$ directamente:

${\Delta}={\left(\frac{-6}{2}\right)^2+\left(\frac{-6}{3}\right)^3}={9-8}={1}\gt{0}$

Hay una sola raíz real. Como $-\frac{q}{2}=3$ y $\sqrt{\Delta}=1,$

${x}={\sqrt[3]{3+1}+\sqrt[3]{3-1}}={\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}\approx{1{,}5874+1{,}2599}={2{,}8473}$

Respuesta: $x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\approx 2{,}847.$ (Comprobación: ${uv}={\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}}={\sqrt[3]{8}}={2}={-\frac{p}{3}.}$)

Ejemplo 9: con término en x²

Resuelva la ecuación $x^3+3x^2+6x+2=0.$

Los candidatos son $\pm 1$ y $\pm 2.$ Al sustituirlos se obtiene $12,$ $-2,$ $34$ y $-6,$ nunca $0.$ Como vimos arriba, $x=t-1$ da $t^3+3t-2=0,$ así que $p=3,$ $q=-2$ y

$\Delta=(-1)^2+1^3=2,$  $t=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}$

El número $1-\sqrt{2}$ es negativo, y también lo es su raíz cúbica: $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}\approx 1{,}3415$ y $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}\approx -0{,}7454.$ Así, $t\approx 0{,}5961$ y

${x}={t-1}={-1+\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}}\approx{-0{,}4039}$

Respuesta: $x\approx -0{,}404.$ Las otras dos raíces son complejas, porque $\Delta\gt 0.$

La fórmula de Cardano puede esconder una raíz entera. Para $x^3+6x-20=0$ da $\Delta=100+8=108,$ $\sqrt{\Delta}=6\sqrt{3}$ y ${x}={\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}+\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}}.}$ Pero $(1+\sqrt{3})^3=10+6\sqrt{3}$ y $(1-\sqrt{3})^3=10-6\sqrt{3},$ así que ${x}={(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})}={2.}$ El teorema de las raíces racionales encuentra $x=2$ enseguida. Busque siempre primero las raíces racionales.

Tres raíces reales: el método trigonométrico

Cuando $\Delta\lt 0,$ la cúbica tiene tres raíces reales, pero $\sqrt{\Delta}$ en la fórmula de Cardano es la raíz cuadrada de un número negativo. La fórmula sigue funcionando con números complejos; Rafael Bombelli lo demostró en 1572, lo que supuso un paso importante hacia los números complejos. Para hallar las raíces reales hay un camino más sencillo, basado en la fórmula del ángulo triple

$\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$

Si $\Delta\lt 0,$ entonces $p\lt 0$ (porque $\frac{q^2}{4}\ge 0$). Sea $r=\sqrt{-\frac{p}{3}}$ (de modo que $p=-3r^2$); buscamos las raíces de $t^3+pt+q=0$ en la forma $t=2r\cos\varphi\text{:}$

$8r^3\cos^3\varphi-6r^3\cos\varphi+q=0,$  $2r^3(4\cos^3\varphi-3\cos\varphi)=-q$

Los ángulos $\varphi+120^\circ$ y $\varphi+240^\circ$ también dan raíces, porque $3(\varphi+120^\circ)=3\varphi+360^\circ$ y $3(\varphi+240^\circ)=3\varphi+720^\circ$ tienen el mismo coseno que $3\varphi.$ Como $0^\circ\lt 3\varphi\lt 180^\circ,$ se cumple $0^\circ\lt\varphi\lt 60^\circ,$ así que $t_1$ es la mayor raíz y $t_2$ la menor.

Ejemplo 10: tres raíces irracionales

Resuelva la ecuación $x^3-3x+1=0.$

Los candidatos $\pm 1$ dan $-1$ y $3,$ así que no hay raíces racionales. Aquí $p=-3,$ $q=1$ y $\Delta=\frac14-1=-\frac34\lt 0\text{:}$ hay tres raíces reales. No hay término en $x^2,$ así que $t=x.$ Entonces $r=\sqrt{1}=1,$ y con $x=2\cos\varphi\text{:}$

$\cos 3\varphi=-\frac{1}{2},$  $3\varphi=120^\circ,$  $\varphi=40^\circ$

$x_1=2\cos 40^\circ\approx 1{,}5321,$  ${x_2}={2\cos 160^\circ}\approx{-1{,}8794,}$  $x_3=2\cos 280^\circ\approx 0{,}3473$

Respuesta: $x=2\cos 40^\circ,$ $x=2\cos 160^\circ,$ $x=2\cos 280^\circ.$ Comprobación con las fórmulas de Vieta: la suma de las raíces debe ser $-\frac{b}{a}=0,$ y en efecto ${1{,}5321}-{1{,}8794+0{,}3473}={0.}$ En la figura, las raíces son las proyecciones sobre el eje $x$ de tres puntos de la circunferencia de radio $2$ separados $120^\circ$ entre sí.

Cómo resolver ecuaciones cuárticas

En una ecuación cuártica los primeros pasos son los mismos: buscar raíces racionales y formas especiales. Cada raíz racional reduce el grado, así que una cuártica con una raíz racional se reduce a una cúbica.

Ejemplo 11: raíces racionales

Resuelva la ecuación ${x^4-2x^3-7x^2+8x+12}={0.}$

Los candidatos son los divisores de $12.$ La suma de los coeficientes es $1-2-7+8+12=12,$ así que $1$ no es raíz. Para $x=-1$ los coeficientes de las potencias pares suman $1-7+12=6$ y los de las potencias impares suman $-2+8=6,$ así que $x=-1$ es una raíz:

$\begin{array}{r|rrrr|r} & 1 & -2 & -7 & 8 & 12 \\ -1 & & -1 & 3 & 4 & -12 \\ \hline & 1 & -3 & -4 & 12 & 0\end{array}$

El cociente, de tercer grado, se factoriza por agrupación:

${x^3-3x^2-4x+12}={x^2(x-3)-4(x-3)}={(x-3)(x-2)(x+2)}$

Respuesta: $x=-2,$ $x=-1,$ $x=2,$ $x=3.$

Ejemplo 12: un cambio de variable

Resuelva la ecuación ${(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}={24.}$

Si multiplicáramos los cuatro paréntesis, obtendríamos una ecuación cuártica. Es más rápido multiplicar el primer paréntesis por el último y el segundo por el tercero:

${(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)}={24}$

Los dos paréntesis contienen $x^2+5x.$ Hacemos el cambio $y=x^2+5x+5,$ que es la media de los dos paréntesis:

$(y-1)(y+1)=24,$  $y^2=25,$  $y=\pm 5$

De $x^2+5x+5=5$ obtenemos $x(x+5)=0,$ así que $x=0$ o $x=-5.$ De $x^2+5x+5=-5$ obtenemos $x^2+5x+10=0,$ donde $D=25-40\lt 0\text{:}$ no hay raíces reales.

Respuesta: $x=0,$ $x=-5.$

Una cuártica que solo tiene potencias pares, $ax^4+bx^2+c=0,$ se resuelve con el cambio $u=x^2;$ vea ecuaciones bicuadradas.

Ejemplo 13: una ecuación recíproca

En la ecuación ${ax^4+bx^3+cx^2+bx+a}={0}$ los coeficientes son los mismos leídos de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Una ecuación así se llama recíproca (o simétrica). Como $a\ne 0,$ el número $0$ no es raíz, así que podemos dividir entre $x^2$ y agrupar:

${a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}+{b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c}={0}$

Con $t=x+\frac{1}{x}$ tenemos $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2,$ porque $t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}.$ La ecuación se convierte en una ecuación cuadrática en $t.$

Resuelva la ecuación ${x^4-5x^3+6x^2-5x+1}={0.}$

${\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-{5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6}={0,}$  $t^2-2-5t+6=0,$  $t^2-5t+4=0$

Así, $t=1$ o $t=4.$

• $x+\frac{1}{x}=1$ da $x^2-x+1=0,$ donde $D=1-4\lt 0\text{:}$ no hay raíces reales.
• $x+\frac{1}{x}=4$ da $x^2-4x+1=0$ y $x=2\pm\sqrt{3}.$

Respuesta: $x=2+\sqrt{3},$ $x=2-\sqrt{3}.$

Las dos raíces son inversas entre sí: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1.$ Esto siempre ocurre: si $x$ es raíz de una ecuación recíproca, también lo es $\frac{1}{x}.$ Una ecuación cúbica recíproca $ax^3+bx^2+bx+a=0$ siempre tiene la raíz $-1,$ y el cociente es una ecuación cuadrática recíproca.

El método de Ferrari para la ecuación cuártica

Lodovico Ferrari, alumno de Cardano, descubrió cómo reducir una ecuación cuártica a una cúbica. El método sirve para cualquier ecuación cuártica.

1. Divida entre $a$ y haga el cambio $x=t-\frac{b}{4a}.$ Así desaparece el término en $t^3\text{:}$ $t^4+pt^2+qt+r=0.$ (Si $q=0,$ la ecuación es bicuadrada.)
2. Escriba la ecuación como $t^4=-pt^2-qt-r$ y sume $2mt^2+m^2$ a los dos lados, donde $m$ es un número que elegiremos después:

   ${(t^2+m)^2}={(2m-p)t^2}-{qt+(m^2-r)}$

3. Elija $m$ de modo que el lado derecho sea un cuadrado perfecto, es decir, que el discriminante de este trinomio de segundo grado en $t$ sea $0\text{:}$

   $q^2=4(2m-p)(m^2-r)$

   Es una ecuación cúbica en $m,$ la resolvente cúbica. Sea $k=2m-p.$ Basta con una raíz $m$ para la que $k\gt 0$ (necesitamos $k\gt 0$ para poder calcular $\sqrt{k}$). Esa raíz siempre existe cuando $q\ne 0\text{:}$ para $m=\frac{p}{2}$ el lado derecho $4(2m-p)(m^2-r)$ vale $0,$ que es menor que $q^2,$ y para valores grandes de $m$ es mayor que $q^2.$
4. Ahora el lado derecho es igual a $k\left(t-\frac{q}{2k}\right)^2,$ y la ecuación es una diferencia de cuadrados. Se descompone en dos ecuaciones cuadráticas:

   $t^2+m=\pm\sqrt{k}\left(t-\frac{q}{2k}\right)$

Ejemplo 14: el método de Ferrari

Resuelva la ecuación $x^4-2x^2-8x-3=0.$

Los candidatos $\pm 1,$ $\pm 3$ dan $-12,$ $4,$ $36$ y $84,$ así que no hay raíces racionales. No hay término en $x^3,$ así que empezamos por el paso 2:

$x^4=2x^2+8x+3,$  ${(x^2+m)^2}={(2m+2)x^2}+{8x+(m^2+3)}$

El lado derecho es un cuadrado perfecto cuando su discriminante es $0\text{:}$

$64=4(2m+2)(m^2+3),$  $(m+1)(m^2+3)=8$

Al desarrollar queda $m^3+m^2+3m-5=0,$ y el teorema de las raíces racionales da $m=1\text{:}$ $1+1+3-5=0.$ Aquí $k=2m+2=4\gt 0.$ Entonces el lado derecho es $4x^2+8x+4=(2x+2)^2,$ y

${(x^2+1)^2-(2x+2)^2}={0,}$  ${(x^2-2x-1)(x^2+2x+3)}={0}$

La ecuación $x^2-2x-1=0$ da $x=1\pm\sqrt{2},$ y $x^2+2x+3=0$ tiene $D=4-12\lt 0.$

Respuesta: $x=1+\sqrt{2},$ $x=1-\sqrt{2}.$ (Las dos raíces complejas son $-1\pm i\sqrt{2}.$)

Para las ecuaciones de grado cinco o superior no existe una fórmula general por radicales. Lo demostraron Paolo Ruffini (1799, con una laguna en la demostración) y Niels Henrik Abel (1824), y Évariste Galois explicó qué ecuaciones se pueden resolver por radicales. En la práctica, estas ecuaciones se resuelven factorizando o de forma aproximada.

Formulario: la ecuación cúbica x³ + a₁x² + a₂x + a₃ = 0

Estas son las fórmulas generales en la forma en que aparecen en los manuales. Primero divida la ecuación entre su coeficiente principal, para que el coeficiente de $x^3$ sea $1.$ (Aquí $a_1$ es el coeficiente de $x^2,$ no de $x.$) Sean

$Q=\frac{3a_2-a_1^2}{9},$  ${R}={\frac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54},}$  $D=Q^3+R^2$

$S=\sqrt[3]{R+\sqrt{D}},$  $T=\sqrt[3]{R-\sqrt{D}}$

Son los números del método de Cardano: $Q=\frac{p}{3},$ $R=-\frac{q}{2}$ y $D=\Delta.$ Si $D\ge 0,$ se toman las raíces cúbicas reales. Las raíces son

$x_1=S+T-\frac{a_1}{3}$

${x_2}={-\frac{S+T}{2}-\frac{a_1}{3}}+{\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\,(S-T)}$

${x_3}={-\frac{S+T}{2}-\frac{a_1}{3}}-{\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\,(S-T)}$

Si $a_1,$ $a_2,$ $a_3$ son reales, entonces

• $D\gt 0\text{:}$ una raíz es real y dos son complejas conjugadas;
• $D=0\text{:}$ todas las raíces son reales y al menos dos de ellas son iguales;
• $D\lt 0\text{:}$ todas las raíces son reales y distintas.

Si $D\lt 0,$ la raíz cuadrada $\sqrt{D}$ es imaginaria, y es más fácil usar la forma trigonométrica:

$x_1=2\sqrt{-Q}\cos\frac{\theta}{3}-\frac{a_1}{3}$

${x_2}={2\sqrt{-Q}\cos\left(\frac{\theta}{3}+120^\circ\right)}-{\frac{a_1}{3}}$

${x_3}={2\sqrt{-Q}\cos\left(\frac{\theta}{3}+240^\circ\right)}-{\frac{a_1}{3}}$

donde $\cos\theta=\frac{R}{\sqrt{-Q^3}},$ $0^\circ\le\theta\le 180^\circ.$ Las raíces cumplen

$x_1+x_2+x_3=-a_1,$  $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a_2,$  $x_1x_2x_3=-a_3$

Formulario: la ecuación cuártica x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ = 0

Primero divida la ecuación entre su coeficiente principal, para que el coeficiente de $x^4$ sea $1.$ Sea $y_1$ una raíz real de la ecuación resolvente cúbica

${y^3-a_2y^2}+{(a_1a_3-4a_4)y}+{(4a_2a_4-a_3^2-a_1^2a_4)}={0}$

y sean

$A=\sqrt{a_1^2-4a_2+4y_1},$  $B=\pm\sqrt{y_1^2-4a_4}$

donde el signo de $B$ se elige de modo que $AB=a_1y_1-2a_3.$ Entonces las cuatro raíces de la ecuación cuártica son las raíces de las dos ecuaciones cuadráticas

${z^2+\frac{a_1+A}{2}\,z+\frac{y_1+B}{2}}={0,}$  $z^2+\frac{a_1-A}{2}\,z+\frac{y_1-B}{2}=0$

La resolvente siempre tiene una raíz real $y_1$ para la que los dos números bajo las raíces cuadradas son no negativos. Con esa raíz las dos ecuaciones cuadráticas tienen coeficientes reales, y el cálculo es más sencillo. De hecho, $y_1$ es la suma de los términos independientes de los dos factores cuadráticos de ${x^4+a_1x^3}+{a_2x^2+a_3x+a_4.}$ Las raíces cumplen

$x_1+x_2+x_3+x_4=-a_1$

${x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4}+{x_4x_1+x_1x_3+x_2x_4}={a_2}$

${x_1x_2x_3+x_2x_3x_4}+{x_1x_2x_4+x_1x_3x_4}={-a_3}$

$x_1x_2x_3x_4=a_4$

Problemas de aplicación

1. El producto de tres números enteros consecutivos es $210.$ Halle los números.

Solución. Sean los números $n,$ $n+1,$ $n+2.$ Entonces

$n(n+1)(n+2)=210,$  $n^3+3n^2+2n-210=0$

El producto de tres números cercanos entre sí es aproximadamente el cubo del número central, y $\sqrt[3]{210}\approx 5{,}9.$ Probamos con $n=5\text{:}$ $5\cdot 6\cdot 7=210.$ Dividimos entre $n-5\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & 3 & 2 & -210 \\ 5 & & 5 & 40 & 210 \\ \hline & 1 & 8 & 42 & 0\end{array}$

La ecuación cuadrática $n^2+8n+42=0$ tiene $D=64-168\lt 0,$ así que no hay más raíces. Respuesta: $5,$ $6$ y $7.$

2. De las esquinas de una lámina cuadrada de cartón de $20$ cm por $20$ cm se cortan cuadrados iguales, y se doblan los lados hacia arriba para formar una caja sin tapa. El volumen de la caja es $576$ cm³. Halle el lado de los cuadrados cortados.

Solución. Sea $x$ cm el lado de cada cuadrado cortado, donde $0\lt x\lt 10.$ La caja tiene altura $x$ y una base cuadrada de lado $20-2x\text{:}$

$x(20-2x)^2=576,$  ${4x^3-80x^2}+{400x-576}={0,}$  ${x^3-20x^2+100x-144}={0}$

Entre los divisores de $144$ encontramos la raíz $x=4\text{:}$ ${64-320+400-144}={0.}$ Entonces

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -20 & 100 & -144 \\ 4 & & 4 & -64 & 144 \\ \hline & 1 & -16 & 36 & 0\end{array}$

$x^2-16x+36=0,$  $x=8\pm\sqrt{28}=8\pm 2\sqrt{7}$

La raíz $8+2\sqrt{7}\approx 13{,}29$ es demasiado grande: el lado $20-2x$ sería negativo. La raíz $8-2\sqrt{7}\approx 2{,}71$ es válida.

Respuesta: $4$ cm o $8-2\sqrt{7}\approx 2{,}71$ cm. Comprobación: $4\cdot 12^2=576$ y ${(8-2\sqrt{7})(4+4\sqrt{7})^2}={576.}$

Problemas para practicar

Resuelva los problemas y después ábralos para ver las respuestas. Puede comprobar su trabajo con la calculadora de arriba.

1. Resuelva la ecuación $x^3-7x+6=0.$

La suma de los coeficientes es $0,$ así que $x=1$ es una raíz, y ${x^3-7x+6}={(x-1)(x^2+x-6)}={(x-1)(x-2)(x+3).}$ Respuesta: $x=-3,$ $x=1,$ $x=2.$

2. Resuelva la ecuación $x^3-2x^2-x+2=0.$

Por agrupación: ${x^2(x-2)-(x-2)}={(x-2)(x^2-1)}={(x-2)(x-1)(x+1).}$ Respuesta: $x=-1,$ $x=1,$ $x=2.$

3. Resuelva la ecuación $x^3+27=0.$

${x^3+27}={(x+3)(x^2-3x+9),}$ y $x^2-3x+9=0$ tiene $D=9-36\lt 0.$ Respuesta: $x=-3.$

4. Resuelva la ecuación $2x^3-x^2-13x-6=0.$

Los candidatos son $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6,$ $\pm\frac12,$ $\pm\frac32.$ Para $x=-2\text{:}$ $-16-4+26-6=0.$ La regla de Horner da $2x^2-5x-3=0,$ con las raíces $3$ y $-\frac12.$ Respuesta: $x=-2,$ $x=-\frac12,$ $x=3.$

5. Resuelva la ecuación $x^3-3x^2+4=0.$

Para $x=-1\text{:}$ $-1-3+4=0.$ El cociente es $x^2-4x+4=(x-2)^2,$ así que ${x^3-3x^2+4}={(x+1)(x-2)^2.}$ Respuesta: $x=-1,$ $x=2$ (raíz doble).

6. Resuelva la ecuación $x^3+x^2-3x-3=0.$

Por agrupación: ${x^2(x+1)-3(x+1)}={(x+1)(x^2-3).}$ Respuesta: $x=-1,$ $x=\sqrt{3},$ $x=-\sqrt{3}.$

7. Escriba una ecuación cúbica con coeficientes enteros cuyas raíces sean $-2,$ $1$ y $\frac12.$

${(x+2)(x-1)(2x-1)}={(x^2+x-2)(2x-1)}={2x^3+x^2-5x+2.}$ Respuesta: $2x^3+x^2-5x+2=0$ (o cualquier ecuación que se obtenga de ella al multiplicarla por un número distinto de cero).

8. Resuelva la ecuación $x^3+9x-6=0$ con la fórmula de Cardano.

Aquí $p=9,$ $q=-6$ y $\Delta=9+27=36,$ así que $\sqrt{\Delta}=6$ y hay una sola raíz real: $x=\sqrt[3]{3+6}+\sqrt[3]{3-6}.$ Respuesta: $x=\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}\approx 0{,}6378.$

9. Resuelva la ecuación $x^3-3x-1=0.$

Aquí $p=-3,$ $q=-1,$ $\Delta=\frac14-1\lt 0,$ $r=1.$ Con $x=2\cos\varphi\text{:}$ $\cos 3\varphi=\frac12,$ $3\varphi=60^\circ,$ $\varphi=20^\circ.$ Respuesta: $x=2\cos 20^\circ\approx 1{,}8794,$ $x=2\cos 140^\circ\approx -1{,}5321,$ $x=2\cos 260^\circ\approx -0{,}3473.$

10. Sin resolverlas, halle cuántas raíces reales tiene cada ecuación: a) $x^3+3x-5=0;$ b) $x^3-12x+16=0;$ c) $x^3-12x+5=0.$

a) $\Delta=\frac{25}{4}+1\gt 0\text{:}$ una raíz real. b) $\Delta=64-64=0\text{:}$ dos raíces reales distintas, la raíz doble $x=2$ y la raíz $x=-4.$ c) $\Delta=\frac{25}{4}-64\lt 0\text{:}$ tres raíces reales.

11. Resuelva la ecuación $x^4+x^3-7x^2-x+6=0.$

La suma de los coeficientes es $0,$ así que $x=1$ es una raíz, y también lo es $x=-1$ ($1-7+6=0$ y $1-1=0$). Al dividir entre $x-1$ y después entre $x+1$ con la regla de Horner queda ${x^2+x-6}={(x-2)(x+3).}$ Respuesta: $x=-3,$ $x=-1,$ $x=1,$ $x=2.$

12. Resuelva la ecuación ${(x^2+x)^2}-{8(x^2+x)+12}={0.}$

Con $y=x^2+x\text{:}$ $y^2-8y+12=0,$ $y=2$ o $y=6.$ Entonces $x^2+x-2=0$ da $x=1,$ $x=-2,$ y $x^2+x-6=0$ da $x=2,$ $x=-3.$ Respuesta: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=1,$ $x=2.$

13. Resuelva la ecuación ${x(x+1)(x+2)(x+3)}={120.}$

$x(x+3)=x^2+3x$ y ${(x+1)(x+2)}={x^2+3x+2.}$ Con $y=x^2+3x\text{:}$ $y(y+2)=120,$ $y=10$ o $y=-12.$ Entonces $x^2+3x-10=0$ da $x=2,$ $x=-5,$ y $x^2+3x+12=0$ no tiene raíces reales. Respuesta: $x=-5,$ $x=2.$

14. Resuelva la ecuación ${2x^4+3x^3-x^2+3x+2}={0.}$

Es una ecuación recíproca. Dividimos entre $x^2$ y hacemos el cambio $t=x+\frac{1}{x}\text{:}$ $2(t^2-2)+3t-1=0,$ $2t^2+3t-5=0,$ $t=1$ o $t=-\frac52.$ La ecuación $x+\frac{1}{x}=1$ no tiene raíces reales, y $x+\frac{1}{x}=-\frac52$ da $2x^2+5x+2=0.$ Respuesta: $x=-2,$ $x=-\frac12.$

15. Resuelva la ecuación $x^4+4x-1=0$ con el método de Ferrari.

${(x^2+m)^2}={2mx^2-4x+(m^2+1).}$ El lado derecho es un cuadrado perfecto cuando $16=8m(m^2+1),$ es decir, $m(m^2+1)=2\text{:}$ $m=1.$ Entonces $(x^2+1)^2=2(x-1)^2,$ así que $x^2+1=\pm\sqrt{2}(x-1).$ La ecuación $x^2-\sqrt{2}x+1+\sqrt{2}=0$ no tiene raíces reales, y $x^2+\sqrt{2}x+1-\sqrt{2}=0$ da las dos raíces reales. Respuesta: $x=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2},$ es decir, $x\approx 0{,}2490$ y $x\approx -1{,}6633.$