Expresiones racionales: monomios, polinomios y fracciones algebraicas

Expresiones como $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5}$ y $\frac{x+1}{2y+x}$ se forman con números y letras (variables) mediante los signos de suma, resta, multiplicación y división. Se llaman expresiones racionales. En esta lección aprenderá qué tipos hay (monomios, polinomios y fracciones algebraicas), cómo calcular su valor y cómo simplificarlas. Cada regla va acompañada de ejemplos resueltos, y al final hay problemas para practicar con sus respuestas.

En esta página: Expresiones racionales · Valor numérico · Valores admisibles · Monomios · Términos semejantes · Polinomios · Operaciones con polinomios · Identidades · Fracciones algebraicas · Simplificar fracciones · Multiplicar y dividir fracciones · Sumar y restar fracciones · Para practicar

¿Qué es una expresión racional?

Una expresión racional está formada por números y variables unidos por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación con exponente natural.

Ejemplos: $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5},$ $\frac{3a+c}{5},$ $\frac{4}{5xy+12},$ $\frac{x+1}{2y+x}.$ Un número solo, como $7,$ y una variable sola, como $x,$ también son expresiones racionales. Las expresiones $\sqrt{x}$ (la raíz de una variable) y $2^x$ (una variable en el exponente) no son racionales.

Expresiones enteras y fraccionarias

En los tres primeros ejemplos no se divide entre ninguna expresión que contenga una variable. Estas expresiones se llaman expresiones racionales enteras. En los dos últimos se divide entre una expresión con una variable; se llaman expresiones racionales fraccionarias.

• Enteras: $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5},$ $\frac{3a+c}{5}.$
• Fraccionarias: $\frac{4}{5xy+12},$ $\frac{x+1}{2y+x}.$

En una expresión entera sí se puede dividir entre un número: $\frac{3a+c}{5}$ es lo mismo que ${\frac{1}{5}(3a+c)}.$ También podemos fijarnos en una sola variable: $\frac{3x+2}{a-1}$ es entera respecto a $x$ (no hay ninguna $x$ en el denominador), pero fraccionaria respecto a $a.$

El valor numérico de una expresión

Si sustituimos las variables por números y efectuamos las operaciones, obtenemos un número. Ese número se llama valor numérico de la expresión para esos valores de las variables.

Ejemplo 1. Halle el valor de ${x^2y+2y^2}$ para ${x=2}$ e ${y=3}.$

Solución. ${x^2y+2y^2}={2^2\cdot3+2\cdot3^2}={12+18}={{30}.}$

Ejemplo 2. Halle el valor de ${3a^2-a}$ para ${a=-2}.$

Solución. Un número negativo se escribe entre paréntesis: ${3a^2-a}={3\cdot(-2)^2-(-2)}={12+2}={{14}.}$

Valores admisibles

No se puede dividir entre cero, así que una expresión fraccionaria no tiene valor cuando alguno de sus denominadores es $0.$ Los valores de las variables para los que una expresión tiene valor se llaman sus valores admisibles (forman el dominio de la expresión). Una expresión entera tiene valor para cualquier valor de sus variables.

Ejemplo 3. ¿Para qué valores de $x$ tiene valor la expresión $\frac{x+1}{x-3}?$

Solución. El denominador es $0$ cuando ${x-3=0},$ es decir, para ${x=3}.$ Por tanto, la expresión tiene valor para cualquier $x$ excepto $3.$ Lo escribimos así: ${x\ne3}.$

Ejemplo 4. Halle los valores admisibles de $\frac{5}{x^2-4x}.$

Solución. ${x^2-4x}={x(x-4)}.$ Este producto es $0$ para ${x=0}$ y para ${x=4}.$ Los valores admisibles son todos los números excepto $0$ y $4\text{:}$ ${x\ne0},$ ${x\ne4}.$

Monomios

Un monomio es un producto de números, variables y potencias de variables con exponente natural. Un número solo y una variable sola también son monomios.

Son monomios: $2ab,$ $a^3,$ ${7x^2y^4},$ $-5,$ $x,$ ${\frac{2}{3}m^2n}.$

No son monomios: ${x+3}$ (una suma), ${a^2-b}$ (una diferencia) y $\frac{2x}{y}$ (se divide entre una variable, así que es una expresión fraccionaria).

Forma reducida, coeficiente y grado

Un monomio está en forma reducida si tiene un solo factor numérico (el coeficiente), escrito en primer lugar, y cada variable aparece en él una sola vez, como potencia. El coeficiente $1$ no se escribe, y las variables suelen escribirse en orden alfabético. Para escribir un monomio en forma reducida, se multiplican los números y se agrupan las potencias de cada variable con la regla ${a^m\cdot a^n=a^{m+n}}.$

Ejemplo 5. Escriba en forma reducida: a) ${3x\cdot5a\cdot y\cdot x};$ b) ${-2a^2b\cdot4ab^3};$ c) ${14(xy)xy^2}.$

Solución. a) ${3x\cdot5a\cdot y\cdot x}={(3\cdot5)\cdot a\cdot(x\cdot x)\cdot y}={{15ax^2y}.}$

b) ${-2a^2b\cdot4ab^3}={(-2\cdot4)}\cdot {(a^2\cdot a)\cdot(b\cdot b^3)}={{-8a^3b^4}.}$

c) Aquí $x$ e $y$ aparecen dos veces: ${14(xy)xy^2}={14x^2y^3}.$

En un monomio en forma reducida, el factor numérico es su coeficiente, y la suma de los exponentes de todas sus variables es su grado.

Monomio	Coeficiente	Grado
${-8a^3b^4}$	$-8$	${3+4=7}$
${14x^2y^3}$	$14$	${2+3=5}$
${x^2y}$	$1$	${2+1=3}$
${-ab}$	$-1$	${1+1=2}$
$7$	$7$	$0$

Del coeficiente $-1$ solo se escribe el signo menos. Un número distinto de $0$ es un monomio de grado $0.$

Ejemplo 6. Eleve a la potencia indicada: a) ${(2x^3)^3};$ b) ${(-3a^2b)^2}.$

Solución. Se eleva cada factor a la potencia, y ${(a^m)^n=a^{m\cdot n}}\text{:}$ a) ${(2x^3)^3}={2^3\cdot(x^3)^3}={{8x^9};}$ b) ${(-3a^2b)^2}={(-3)^2\cdot(a^2)^2\cdot b^2}={{9a^4b^2}.}$

Términos semejantes

Los monomios que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes (monomios semejantes). Solo pueden diferir en sus coeficientes. Para comparar monomios, primero escríbalos en forma reducida:

• $2a^2$ y $10a^2$ son semejantes;
• $5xy$ y $xy$ son semejantes;
• $a^3b^2c$ y $20a^2b^2ac$ son semejantes, porque ${20a^2b^2ac=20a^3b^2c};$
• $2a^2$ y $2a^3$ no son semejantes (los exponentes son distintos), y tampoco lo son $x^2y$ y $xy^2.$

Para reducir términos semejantes, se suman sus coeficientes y se mantiene la parte literal.

Ejemplo 7. a) ${3x^2-5x^2+8x^2}={(3-5+8)x^2}={{6x^2};}$ b) ${7ab+2ab-ab}={8ab};$ c) ${4x^2+3x-x^2+2x}={{3x^2+5x}.}$

Los términos que no son semejantes no se pueden reducir: ${2x+3y}$ y ${3x^2+5x}$ se quedan como están.

Polinomios

Un polinomio es una suma de monomios. Esos monomios se llaman sus términos.

Ejemplos: ${2x+3},$ ${2ab+a^3},$ ${c^2-2xa+93y^2b^5}.$ Una diferencia también es una suma: los términos de ${c^2-2xa+93y^2b^5}$ son $c^2,$ ${-2ax}$ y ${93b^5y^2}.$ Un polinomio de dos términos se llama binomio, y uno de tres términos, trinomio. Un monomio es un polinomio de un solo término.

Forma reducida y grado de un polinomio

Un polinomio está en forma reducida si cada uno de sus términos es un monomio en forma reducida y no tiene términos semejantes. Por ejemplo, ${5x^2+7x}$ y ${60xy^2+34x-10}$ están en forma reducida. El grado de un polinomio en forma reducida es el mayor de los grados de sus términos: los términos de ${60xy^2+34x-10}$ tienen grados $3,$ $1$ y $0,$ así que su grado es $3.$

Ejemplo 8. Escriba ${3x^2+2x-5x^2+4-x}$ en forma reducida y halle su grado.

Solución. Reducimos los términos semejantes: ${3x^2-5x^2=-2x^2}$ y ${2x-x=x}.$ Así, ${3x^2+2x-5x^2+4-x}={{-2x^2+x+4},}$ un polinomio de grado $2.$ Los términos suelen ordenarse de mayor a menor grado.

Operaciones con polinomios

Suma y resta

Después se reducen los términos semejantes.

Ejemplo 9. Halle la suma y la diferencia de ${3x^2-2x+1}$ y ${x^2+5x-4}.$

Solución. La suma:

${(3x^2-2x+1)}+{(x^2+5x-4)}$

$={3x^2-2x+1}+{x^2+5x-4}={4x^2+3x-3.}$

La diferencia: los signos de ${x^2+5x-4}$ cambian.

${(3x^2-2x+1)}-{(x^2+5x-4)}$

$={3x^2-2x+1}-{x^2-5x+4}={2x^2-7x+5.}$

Multiplicación

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y después se reducen los términos semejantes.

Ejemplo 10. ${2x(3x^2-x+4)}={{6x^3-2x^2+8x}.}$

Ejemplo 11. ${(x+3)(2x-5)}={2x^2-5x+6x-15}={{2x^2+x-15}.}$

Ejemplo 12. ${(a-2)(a^2+2a+4)}={a^3+2a^2+4a}-{2a^2-4a-8}={{a^3-8}.}$

Algunos productos aparecen tan a menudo que conviene recordarlos, por ejemplo ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},$ ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$ y ${(a-b)(a+b)=a^2-b^2}.$ Están reunidos en la lección Identidades polinomiales.

División de un polinomio entre un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio (distinto de $0$), se divide cada término entre el monomio. En las potencias se restan los exponentes: ${\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$ $(a\ne0).$

Ejemplo 13. a) ${\frac{12x^5y^2}{4x^2y}}={3x^3y}$ (para ${x\ne0},$ ${y\ne0}$); b) ${\frac{6x^3-4x^2+2x}{2x}}={\frac{6x^3}{2x}-\frac{4x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}}={3x^2-2x+1}$ (para ${x\ne0}$).

Un polinomio se divide entre otro polinomio mediante la división larga; vea División de polinomios.

Expresiones idénticamente iguales e identidades

Dos expresiones son idénticamente iguales si toman valores iguales para todos los valores admisibles de sus variables. Una igualdad entre dos expresiones idénticamente iguales se llama identidad.

Por ejemplo, ${(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}$ es una identidad. Comprobémosla para ${x=5}$ e ${y=2}\text{:}$ el lado izquierdo vale ${(5-2)^2=9}$ y el lado derecho vale ${25-20+4=9}.$

Una comprobación con algunos números no es una demostración, porque una identidad debe cumplirse para todos los valores admisibles. Para demostrar una identidad, se transforma uno de sus lados hasta obtener el otro.

Ejemplo 14. Demuestre que ${(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}.$

Solución. Transformamos el lado izquierdo:

${(a+b)^2-(a-b)^2}={a^2+2ab+b^2}-{(a^2-2ab+b^2)}$

$={a^2+2ab+b^2}-{a^2+2ab-b^2}={4ab.}$

Hemos obtenido el lado derecho, así que la identidad queda demostrada.

Para mostrar que una igualdad no es una identidad, basta con un solo ejemplo. La igualdad ${(x-y)^2=x^2-y^2}$ no es una identidad: para ${x=3}$ e ${y=1}$ el lado izquierdo vale ${(3-1)^2=4},$ pero el lado derecho vale ${3^2-1^2=8}.$

Las expresiones con fracciones solo se comparan en sus valores admisibles. Por ejemplo, ${\frac{x^2-1}{x-1}=x+1}$ para todo ${x\ne1};$ para ${x=1}$ el lado izquierdo no tiene valor.

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica (fracción racional) es una fracción cuyo numerador y cuyo denominador son polinomios, por ejemplo $\frac{x+1}{x-3}$ o $\frac{5}{x^2-4x}.$ Toda expresión racional fraccionaria se puede escribir como una sola fracción algebraica. Las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas que las fracciones numéricas.

Propiedad fundamental de las fracciones. El numerador y el denominador se pueden multiplicar o dividir por una misma expresión, siempre que no sea $0\text{:}$ ${\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}},$ donde ${B\ne0}$ y ${C\ne0}.$

Simplificación de fracciones algebraicas

1. Factorice el numerador y el denominador: saque factor común o use las identidades polinomiales.
2. Halle los valores para los que el denominador es $0\text{:}$ quedan excluidos.
3. Simplifique los factores comunes.

Ejemplo 15. ${\frac{6x^2y}{9xy^3}}={\frac{3xy\cdot2x}{3xy\cdot3y^2}}={\frac{2x}{3y^2}}$ para ${x\ne0},$ ${y\ne0}.$

Ejemplo 16. ${\frac{x^2-9}{x^2+3x}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}}={\frac{x-3}{x}}$ para ${x\ne0},$ ${x\ne-3}.$

Ejemplo 17. ${\frac{a^2-4a+4}{2a-4}}={\frac{(a-2)^2}{2(a-2)}}={\frac{a-2}{2}}$ para ${a\ne2}.$

Solo se pueden simplificar factores comunes, nunca sumandos. En $\frac{x+3}{x}$ la $x$ del numerador es un sumando, no un factor, así que esta fracción no se puede simplificar.

A veces dos factores solo se diferencian en el signo: ${3-x=-(x-3)},$ así que ${\frac{3-x}{x-3}=-1}$ para ${x\ne3}.$

Multiplicación y división

${\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}}$ y ${\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}}$

Primero factorice y simplifique, y solo después multiplique: así las expresiones se mantienen cortas.

Ejemplo 18. ${\frac{x^2-1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x+1}}={\frac{(x-1)(x+1)\cdot6x^2}{3x\cdot(x+1)}}={2x(x-1)}$ para ${x\ne0},$ ${x\ne-1}.$

Ejemplo 19. ${\frac{a^2-4}{a}\div\frac{a+2}{a^2}}={\frac{(a-2)(a+2)}{a}\cdot\frac{a^2}{a+2}}={a(a-2)}$ para ${a\ne0},$ ${a\ne-2}.$

Suma y resta

Fracciones con el mismo denominador: se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Ejemplo 20. ${\frac{3x}{x+2}+\frac{6}{x+2}}={\frac{3x+6}{x+2}}={\frac{3(x+2)}{x+2}}={3}$ para ${x\ne-2}.$

Las fracciones con denominadores distintos se reducen primero a común denominador. El más sencillo es el mínimo común denominador: se factorizan los denominadores y se toma cada factor con el mayor exponente con el que aparece en alguno de ellos.

Ejemplo 21. ${\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}}={\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{2x}{x(x+1)}}={{\frac{3x+1}{x(x+1)}}.}$

Ejemplo 22. Simplifique ${\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}}.$

Solución. ${x^2-4=(x-2)(x+2)},$ así que el común denominador es ${(x-2)(x+2)}.$ Multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por ${x+2}\text{:}$

${\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}}={\frac{x(x+2)-8}{(x-2)(x+2)}}$

$=\frac{x^2+2x-8}{(x-2)(x+2)}$

$={\frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(x+2)}}={\frac{x+4}{x+2}.}$

El numerador se ha factorizado por agrupación: ${x^2+2x-8}={(x^2-4)+(2x-4)}={(x-2)(x+2)}+{2(x-2)}={{(x-2)(x+4)}.}$ El resultado es válido para ${x\ne2}$ y ${x\ne-2}.$

Problemas para practicar

1. ¿Cuáles de estas expresiones son enteras y cuáles son fraccionarias? a) $\frac{a+b}{2};$ b) $\frac{2}{a+b};$ c) ${x^2-\frac{x}{3}};$ d) ${\frac{1}{x}+x}.$

Respuesta

a) y c) son enteras: en ellas solo se divide entre números. b) y d) son fraccionarias: en ellas se divide entre una expresión con una variable.

2. Halle el valor de ${2a^2-3ab}$ para ${a=-1}$ y ${b=2}.$

Respuesta

${2a^2-3ab}={2\cdot(-1)^2}-{3\cdot(-1)\cdot2}={2+6}={{8}.}$

3. ¿Para qué valores de $x$ no tiene valor la expresión $\frac{2x+1}{x^2-9}?$

Respuesta

Cuando ${x^2-9=0}.$ Como ${x^2-9=(x-3)(x+3)},$ esto ocurre para ${x=3}$ y para ${x=-3}.$

4. Escriba en forma reducida e indique el coeficiente y el grado: a) ${-2x\cdot3xy\cdot y^2};$ b) ${(-2a^2b)^3}.$

Respuesta

a) ${-2x\cdot3xy\cdot y^2}={-6x^2y^3\text{:}}$ el coeficiente es $-6$ y el grado es $5.$

b) ${(-2a^2b)^3=-8a^6b^3}\text{:}$ el coeficiente es $-8$ y el grado es $9.$

5. Simplifique ${(4x^2-3x+2)}-{(x^2-3x-5).}$

Respuesta

${(4x^2-3x+2)}-{(x^2-3x-5)}={4x^2-3x+2}-{x^2+3x+5}={{3x^2+7}.}$

6. Multiplique: a) ${-3a(a^2-2a+5)};$ b) ${(2a-3)(a+4)}.$

Respuesta

a) ${-3a(a^2-2a+5)}={{-3a^3+6a^2-15a}.}$

b) ${(2a-3)(a+4)}={2a^2+8a-3a-12}={{2a^2+5a-12}.}$

7. Divida: ${\frac{9a^3b-6a^2b^2}{3a^2b}}.$

Respuesta

${\frac{9a^3b-6a^2b^2}{3a^2b}}={\frac{9a^3b}{3a^2b}-\frac{6a^2b^2}{3a^2b}}={3a-2b}$ para ${a\ne0},$ ${b\ne0}.$

8. Demuestre la identidad ${x(x+2)-(x+1)^2=-1}.$

Respuesta

${x(x+2)-(x+1)^2}={x^2+2x-(x^2+2x+1)}={x^2+2x-x^2-2x-1}={{-1}.}$

9. Simplifique: a) $\frac{15a^3b}{10ab^2};$ b) $\frac{5x+10}{x^2-4};$ c) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}.$

Respuesta

a) ${\frac{15a^3b}{10ab^2}}={\frac{5ab\cdot3a^2}{5ab\cdot2b}}={\frac{3a^2}{2b}}$ para ${a\ne0},$ ${b\ne0}.$

b) ${\frac{5x+10}{x^2-4}}={\frac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)}}={\frac{5}{x-2}}$ para ${x\ne2},$ ${x\ne-2}.$

c) ${\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}}={\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}}={\frac{x-3}{x+3}}$ para ${x\ne3},$ ${x\ne-3}.$

10. Simplifique: a) ${\frac{a^2-ab}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2-b^2}};$ b) ${\frac{x^2-4}{x}\div\frac{x-2}{3x}}.$

Respuesta

a) ${\frac{a(a-b)}{b^2}}\cdot {\frac{b}{(a-b)(a+b)}}={\frac{a}{b(a+b)}}$ para ${b\ne0},$ ${a\ne b},$ ${a\ne-b}.$

b) ${\frac{(x-2)(x+2)}{x}\cdot\frac{3x}{x-2}}={3(x+2)}$ para ${x\ne0},$ ${x\ne2}.$

11. Simplifique: a) ${\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}};$ b) ${\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}}.$

Respuesta

a) ${\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}}={{\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}}.}$

b) Como ${b-a=-(a-b)}\text{:}$ ${\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}}={\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}}={\frac{a-b}{a-b}}={1}$ para ${a\ne b}.$

12. Simplifique ${\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\div\frac{b-a}{ab}}.$

Respuesta

Primero, ${\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}={\frac{b-a}{ab}}.$ Después, ${\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\div\frac{b-a}{ab}}={\frac{b-a}{ab}\cdot\frac{ab}{b-a}}={1}$ para ${a\ne0},$ ${b\ne0},$ ${a\ne b}.$

Más problemas

• Expresiones racionales: problemas resueltos (parte 1): expresiones enteras y fraccionarias, monomios, polinomios, multiplicación y división.
• Parte 2: cuadrados perfectos, factorización y demostración de identidades.
• Calculadora de factorización de polinomios (con pasos).