Límites y métodos de cálculo

En la lección «Límites (introducción intuitiva)» estimábamos los límites a partir de tablas y gráficas. En esta lección los calcularemos de forma exacta. Veremos:

• los límites de dos funciones muy sencillas: la función constante y ${y=x};$
• las propiedades de los límites, que permiten obtener, a partir de estos dos, los límites de funciones más complicadas;
• técnicas algebraicas para los casos en los que las propiedades no se pueden aplicar directamente: factorizar, multiplicar por el conjugado, estudiar el signo, quedarse con los términos principales.

En esta página: Dos límites básicos · Propiedades de los límites · Polinomios · Funciones racionales · La indeterminación 0/0 · Número dividido entre 0 · Límites en el infinito · Estrategia · Problemas

Dos límites básicos

Empezamos con dos funciones:

• ${f(x)=k},$ la función constante ($k$ es un número fijo); su gráfica es una recta horizontal;

• ${g(x)=x};$ su gráfica es la recta que pasa por el origen con pendiente $1.$

La función constante ${f(x)=k}$

Sea cual sea $x,$ el valor de la función constante es $k.$ Por eso, tanto si $x$ tiende a un número cualquiera $a$ como si crece o decrece indefinidamente, el valor sigue siendo $k\text{:}$

Límite	Ejemplos
${\lim_{x\to a}k=k}$	${\lim_{x\to2}3=3},$   ${\lim_{x\to-2}3=3}$
${\lim_{x\to+\infty}k=k}$	${\lim_{x\to+\infty}3=3},$   ${\lim_{x\to+\infty}0=0}$
${\lim_{x\to-\infty}k=k}$	${\lim_{x\to-\infty}3=3},$   ${\lim_{x\to-\infty}0=0}$

La función ${g(x)=x}$

El valor de esta función es el propio $x.$ Si $x$ tiende a $a,$ el valor tiende a $a.$ Si $x$ crece indefinidamente, el valor también crece indefinidamente, y si $x$ decrece indefinidamente, el valor también decrece indefinidamente:

Límite
${\lim_{x\to a}x=a}$
${\lim_{x\to+\infty}x=+\infty}$
${\lim_{x\to-\infty}x=-\infty}$

Propiedades de los límites

Dicho en palabras: el límite de una suma es la suma de los límites, el límite de un producto es el producto de los límites, etc., siempre que existan los límites de cada función por separado (y, en el caso de un cociente, que el límite del denominador no sea $0$).

Observación. Las propiedades (a) y (c) se enuncian para dos funciones, pero se cumplen para cualquier número finito de funciones. Si existen todos los límites ${\lim f_1(x)},$ ${\lim f_2(x)},$ …, ${\lim f_n(x)},$ entonces

${\lim\,[f_1(x)+\ldots+f_n(x)]}={{\lim f_1(x)+\ldots+\lim f_n(x)},}$

${\lim\,[f_1(x)\cdot\ldots\cdot f_n(x)]}={{\lim f_1(x)\cdot\ldots\cdot\lim f_n(x)}.}$

Si $f_1,$ $f_2,$ …, $f_n$ son todas la misma función $f,$ la segunda fórmula da el límite de una potencia (para ${n=1},$ $2,$ $3,$ …, si existe ${\lim f(x)}$):

$$\lim\,[f(x)]^n=\left[\lim f(x)\right]^n.$$

Dos consecuencias útiles:

A) ${\lim_{x\to a}x^n}={\left[\lim_{x\to a}x\right]^n}={a^n},$   para ${n=1},$ $2,$ $3,$ …;

B) ${\lim\,[k\cdot g(x)]}={\lim k\cdot\lim g(x)}={{k\cdot\lim g(x)},}$ donde $k$ es una constante: un factor constante se puede sacar fuera del límite.

Límites de polinomios

Un polinomio es una función de la forma

${p(x)}={c_0+c_1x+c_2x^2}+{\ldots+c_nx^n,}$

donde $c_0,$ $c_1,$ …, $c_n$ son constantes (números).

Ejemplo 1. Halla ${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}.$

${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}={\lim_{x\to5}x^2-4\lim_{x\to5}x+\lim_{x\to5}3}={5^2-4\cdot5+3}={{8}.}$

Hemos usado las propiedades (a) y (b), las consecuencias A y B y el límite de una constante. El resultado es el valor del polinomio en $5.$ Esto ocurre siempre:

Teorema. Para cualquier polinomio ${p(x)}={c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}$ y cualquier número real $a,$ se cumple ${\lim_{x\to a}p(x)}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$

Demostración. Aplicamos la propiedad de la suma, después la consecuencia B (sacar el factor constante) y después la consecuencia A:

${\lim_{x\to a}p(x)}={\lim_{x\to a}c_0+\lim_{x\to a}c_1x}+{\ldots+\lim_{x\to a}c_nx^n}={c_0+c_1\lim_{x\to a}x}+{\ldots+c_n\lim_{x\to a}x^n}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$

Así pues, el límite de un polinomio en un punto se calcula por sustitución.

Límites de funciones racionales

Una función racional es un cociente de dos polinomios, ${r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}.$ Si ${q(a)\ne0},$ la propiedad del cociente y el teorema anterior dan

$$\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.$$

Ejemplo 2.

${\lim_{x\to2}\frac{5x^3+4}{x-3}}={\frac{\lim_{x\to2}(5x^3+4)}{\lim_{x\to2}(x-3)}}={\frac{5\cdot2^3+4}{2-3}}={\frac{44}{-1}}={{-44}.}$

Si ${q(a)=0},$ no se puede usar la propiedad del cociente, y hay dos casos:

• ${p(a)=0}$ (el numerador también se anula): la «indeterminación ${\frac{0}{0}}$». El límite puede ser cualquier número, $+\infty$ o $-\infty,$ o puede no existir. Primero hay que simplificar.

• ${p(a)\ne0}\text{:}$ la «forma ${\frac{\text{número}}{0}}$». Los valores de la fracción crecen indefinidamente en valor absoluto, y los límites laterales son $+\infty$ o $-\infty.$

La indeterminación $0/0\text{:}$ primero, simplificar

Ejemplo 3. Halla ${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}.$

En ${x=2}$ tanto el numerador como el denominador valen $0.$ Pero el límite solo usa los valores ${x\ne2},$ así que podemos simplificar el factor común ${x-2}\text{:}$

${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$

La función no está definida en ${x=2}\text{:}$ su gráfica es la recta ${y=x+2}$ con un «hueco» (un punto excluido) en $(2,\,4).$ Aun así, el límite es $4.$

Ejemplo 4.

${\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\lim_{x\to3}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\lim_{x\to3}\frac{x-2}{x+3}}={{\frac{1}{6}}.}$

Si $a$ es raíz de los dos polinomios, ambos son divisibles por ${x-a}$ (ver la regla de Horner), así que el factor ${x-a}$ siempre se puede simplificar. Si todavía obtienes ${\frac{0}{0}},$ vuelve a simplificar ${x-a}.$

Ejemplo 5 (una raíz cuadrada: multiplicar por el conjugado). Halla ${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}.$

Otra vez obtenemos ${\frac{0}{0}}.$ Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado ${\sqrt{x}+2}$ y usamos que ${{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4}\text{:}}$

${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}={\lim_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}}={\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$

Un número no nulo dividido entre $0\text{:}$ límites infinitos

El ejemplo más sencillo es ${\frac{1}{x}}$ en ${x=0}.$ Los límites siguientes nos los sugieren su gráfica y la tabla.

$x$	${\frac{1}{x}}$	Conclusión
1; 0,1; 0,01; 0,001; …	1; 10; 100; 1000; …	${\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty}$
−1; −0,1; −0,01; −0,001; …	−1; −10; −100; −1000; …	${\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty}$
1; 10; 100; 1000; …	1; 0,1; 0,01; 0,001; …	${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0}$
−1; −10; −100; −1000; …	−1; −0,1; −0,01; −0,001; …	${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0}$

Para todo número real $a,$ la gráfica de ${g(x)=\frac{1}{x-a}}$ es la gráfica de ${f(x)=\frac{1}{x}}$ desplazada $a$ unidades a la derecha si ${a\gt0},$ y $|a|$ unidades a la izquierda si ${a\lt0}.$ Por lo tanto,

${\lim_{x\to a^-}\frac{1}{x-a}=-\infty},$   ${\lim_{x\to a^+}\frac{1}{x-a}=+\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-a}=0},$   ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-a}=0}.$

En general, si el numerador tiende a un número ${L\ne0}$ y el denominador tiende a $0,$ el valor absoluto de la fracción crece indefinidamente. Si la fracción conserva el signo a un lado de $a$ (una función racional siempre lo conserva), ese signo decide, en ese lado, entre $+\infty$ y $-\infty.$

Ejemplo 6. Halla ${\lim_{x\to4^+}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}.$

En ${x=4}$ el numerador vale ${2-4=-2}$ y el denominador vale $0.$ Marcamos en la recta numérica el cero del numerador ($2$) y los ceros del denominador ($-2$ y $4$). Para valores grandes de $x$ la fracción es negativa (sus términos principales dan ${\frac{-x}{x^2}}={-\frac{1}{x}}$), y el signo cambia en cada punto marcado, porque cada uno de ellos proviene de un factor elevado a la primera potencia (un factor como ${(x-2)^2}$ no cambiaría el signo):

Para $x$ un poco mayor que $4,$ el numerador está cerca de $-2$ (es negativo), ${x-4}$ es un número positivo muy pequeño y ${x+2}$ está cerca de $6$ (es positivo). Por lo tanto, el denominador es un número positivo muy pequeño y la fracción es un número negativo de valor absoluto muy grande:

$$\lim_{x\to4^+}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}=-\infty.$$

Para $x$ un poco menor que $4,$ ${x-4}$ es negativo, la fracción es positiva y ${\lim_{x\to4^-}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}={+\infty}.$ Los límites laterales son distintos, así que el límite bilateral en $4$ no existe. La gráfica tiene las asíntotas verticales ${x=-2}$ y ${x=4}\text{:}$

Límites en el infinito

Potencias de $x$

Para ${n=1},$ $2,$ $3,$ …, la potencia $x^n$ crece indefinidamente cuando ${x\to+\infty}.$ Cuando ${x\to-\infty},$ una potencia de exponente par es positiva y crece indefinidamente, y una de exponente impar es negativa y decrece indefinidamente:

${\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty},$   ${n=1},$ $2,$ $3,$ …

${\lim_{x\to-\infty}x^n}={\begin{cases}+\infty, & n=2,\ 4,\ 6,\ \ldots\\ -\infty, & n=1,\ 3,\ 5,\ \ldots\end{cases}}$

Multiplicar por una constante positiva no cambia un límite infinito, y multiplicar por una constante negativa le cambia el signo:

${\lim_{x\to+\infty}2x^5=+\infty},$   ${\lim_{x\to+\infty}(-7x^6)=-\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}2x^5=-\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}(-7x^6)=-\infty}.$

Para ${n=1},$ $2,$ $3,$ … el límite de una potencia y la tabla anterior dan

${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0},}$   ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0}.}$

Cerca de $0$ las gráficas de ${y=\frac{1}{x^n}}$ son así: para $n$ par las dos ramas suben (${\lim_{x\to0}\frac{1}{x^n}=+\infty}$); para $n$ impar la rama izquierda baja y la derecha sube, como en ${y=\frac{1}{x}}$ (${\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^n}=-\infty},$ ${\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty}$).

Polinomios en el infinito

Cuando ${x\to+\infty}$ o ${x\to-\infty},$ un polinomio se comporta como su término de mayor grado (el término principal). Más exactamente, si ${c_n\ne0},$ entonces

${\lim_{x\to+\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to+\infty}c_nx^n},}$

${\lim_{x\to-\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to-\infty}c_nx^n}.}$

¿Por qué? Sacamos $x^n$ factor común:

${c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}={{x^n\left(\frac{c_0}{x^n}+\ldots+\frac{c_{n-1}}{x}+c_n\right)}.}$

Cuando ${x\to\pm\infty},$ cada fracción del paréntesis tiende a $0,$ así que el paréntesis tiende a $c_n$ y toda la expresión se comporta como ${c_nx^n}.$ Por ejemplo, el polinomio ${p(x)=x^3-6x^2+9x+1}$ y $x^3$ son muy distintos cerca del origen, pero vistas de lejos sus gráficas casi coinciden:

La diferencia ${p(x)-x^3}={-6x^2+9x+1}$ no tiende a $0\text{:}$ las dos gráficas no se acercan entre sí. La diferencia solo es pequeña comparada con $x^3,$ y eso basta para que las dos funciones tengan los mismos límites en $+\infty$ y en $-\infty.$

Ejemplo 7. ${\lim_{x\to-\infty}(x^3-6x^2+9x+1)}={\lim_{x\to-\infty}x^3}={-\infty}$   y   ${\lim_{x\to+\infty}(1+5x^3-2x^4)}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^4)}={{-\infty}.}$

Funciones racionales en el infinito

La misma idea, aplicada al numerador y al denominador, da un método rápido para las funciones racionales. Si ${c_n\ne0}$ y ${d_m\ne0},$ entonces

${\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}{d_0+d_1x+\ldots+d_mx^m}}={{\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.}$

Es decir, solo importan los términos principales:

• si ${n\lt m}$ (el grado del numerador es menor), el límite es $0;$

• si ${n=m},$ el límite es ${\frac{c_n}{d_m}},$ el cociente de los coeficientes principales;

• si ${n\gt m},$ el límite es $+\infty$ o $-\infty;$ cuál de los dos lo decide el signo de ${\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.$

Ejemplo 8.

a) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{2x^2}}={{\frac{3}{2}}.}$

Se obtiene el mismo resultado dividiendo el numerador y el denominador entre $x^2\text{:}$ la fracción ${\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}}$ tiende a ${\frac{3-0+0}{2+0}}={\frac{3}{2}}.$

b) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{4x+1}{x^2-3}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4x}{x^2}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x}}={{0}.}$

c) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3-1}{2x+5}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{2x}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2}}={{+\infty}.}$

d) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2x^3}{x+1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^3}{x}}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^2)}={{-\infty}.}$

Una estrategia para calcular límites

1. Sustituye ${x=a}.$ Si la función es un polinomio, una función racional cuyo denominador no es $0$ en $a,$ o una raíz $n$-ésima ${\sqrt[n]{r(x)}}$ de una función así (con ${r(a)\gt0}$ si $n$ es par), el número que obtienes es el límite.
2. Si obtienes ${\frac{\text{número}}{0}}$ con un número ${\ne0},$ los límites laterales son $+\infty$ o $-\infty\text{:}$ halla el signo de la fracción a cada lado de $a.$
3. Si obtienes ${\frac{0}{0}},$ primero simplifica: factoriza y elimina el factor común, o multiplica por el conjugado. Después vuelve a sustituir.
4. Cuando ${x\to\pm\infty},$ quédate solo con los términos principales (o divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador).

Problemas para practicar

1. Halla ${\lim_{x\to-1}(2x^3-x+4)}.$

Respuesta

Por sustitución: ${2(-1)^3-(-1)+4}={-2+1+4}={{3}.}$

2. Halla ${\lim_{x\to3}\frac{x^2+1}{x-1}}.$

Respuesta

El denominador no es $0$ en $3\text{:}$ ${\frac{9+1}{3-1}}={5}.$

3. Halla ${\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x+3}}.$

Respuesta

Indeterminación ${\frac{0}{0}}.$ Como ${x^2+2x-3}={(x+3)(x-1)},$ el límite es ${\lim_{x\to-3}(x-1)}={-4}.$

4. Halla ${\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}}.$

Respuesta

Como ${x^3-1}={(x-1)(x^2+x+1)},$ el límite es ${1+1+1}={3}.$

5. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}}.$

Respuesta

Multiplica por el conjugado ${\sqrt{x+9}+3}\text{:}$ la fracción queda ${\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}}={{\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}},}$ y el límite es ${\frac{1}{3+3}}={\frac{1}{6}}.$

6. Halla ${\lim_{x\to3^-}\frac{x+1}{x-3}}$ y ${\lim_{x\to3^+}\frac{x+1}{x-3}}.$

Respuesta

El numerador tiende a $4.$ Para ${x\lt3}$ el denominador es un número negativo próximo a cero: $-\infty.$ Para ${x\gt3}$ es un número positivo próximo a cero: $+\infty.$

7. Halla ${\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}}.$

Respuesta

El numerador tiende a $3$ y el denominador es un número positivo próximo a cero a ambos lados: $+\infty.$

8. Halla ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+7}{5x^3+4x^2}}.$

Respuesta

Los grados son iguales: ${\frac{2}{5}}.$

9. Halla ${\lim_{x\to+\infty}\frac{6x-1}{2x^2+3}}.$

Respuesta

El grado del numerador es menor: $0.$

10. Halla ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{x-4}}$ y ${\lim_{x\to-\infty}(1+x^2-4x^5)}.$

Respuesta

${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x}}={\lim_{x\to-\infty}x}={-\infty}.$ ${\lim_{x\to-\infty}(-4x^5)}={+\infty},$ porque $x^5$ es negativo para ${x\lt0}.$

Mira también: Límites (introducción intuitiva), Límites de sucesiones y la calculadora de asíntotas.