Inecuaciones lineales

Una inecuación (o desigualdad) compara dos expresiones mediante uno de los signos $\lt$ (menor que), $\gt$ (mayor que), $\le$ (menor o igual que) o $\ge$ (mayor o igual que). Por ejemplo, ${3x-5\lt6-2x}$ es una inecuación con la incógnita $x.$ Un número es una solución de la inecuación si la desigualdad se cumple al sustituir $x$ por ese número. Resolver una inecuación significa encontrar todas sus soluciones; juntas forman el conjunto solución de la inecuación. Las inecuaciones que tienen el mismo conjunto solución se llaman inecuaciones equivalentes.

Por ejemplo, $1$ es una solución de ${3x-5\lt6-2x}\text{:}$ el primer miembro vale ${3\cdot1-5=-2},$ el segundo vale ${6-2\cdot1=4},$ y ${-2\lt4}$ es verdadero. El número $3$ no es solución: ${3\cdot3-5=4},$ ${6-2\cdot3=0},$ y ${4\lt0}$ es falso. Una ecuación como ${3x-5=6-2x}$ tiene una sola solución, pero una inecuación suele tener infinitas. Por eso escribimos la respuesta como un intervalo y la representamos en la recta numérica.

En esta página: Inecuación lineal · Notación de intervalos · Las reglas · Paso a paso · Ejemplos resueltos · Casos especiales · Inecuaciones compuestas · Valor absoluto · Problemas verbales · Práctica

¿Qué es una inecuación lineal?

Una inecuación lineal (o inecuación de primer grado) con una incógnita es una inecuación que se puede escribir en una de las formas

${ax+b\lt0},$   ${ax+b\gt0},$   ${ax+b\le0},$   ${ax+b\ge0},$

donde $a$ y $b$ son números y ${a\ne0}.$ Por ejemplo, ${2x-6\gt0},$ ${3x-5\lt6-2x}$ y ${\frac{x}{2}+1\ge x}$ son inecuaciones lineales (en la segunda podemos pasar todos los términos al primer miembro y obtener ${5x-11\lt0}$). Las desigualdades con $\lt$ y $\gt$ se llaman estrictas; las que tienen $\le$ y $\ge$ son no estrictas. Una desigualdad no estricta también admite la igualdad, así que el extremo, el número en el que los dos miembros son iguales, también es solución.

Cómo escribir el conjunto solución: intervalos y recta numérica

Las soluciones de una inecuación lineal ocupan toda una semirrecta de la recta numérica. El conjunto solución se puede escribir de tres maneras: como una desigualdad, ${x\lt2};$ en notación de conjuntos, ${\{x\mid x\lt2\}}$ (se lee «el conjunto de todos los $x$ tales que $x$ es menor que $2$»); o en notación de intervalos, ${(-\infty,\ 2)}.$ En la recta numérica, un punto relleno indica que el número pertenece al conjunto, y un punto vacío indica que no pertenece.

Desigualdad	Intervalo	Recta numérica
${x\gt a}$	${(a,\ +\infty)}$
${x\ge a}$	${[a,\ +\infty)}$
${x\lt a}$	${(-\infty,\ a)}$
${x\le a}$	${(-\infty,\ a]}$
${a\lt x\lt b}$	${(a,\ b)}$
${a\le x\le b}$	${[a,\ b]}$
${a\le x\lt b}$	${[a,\ b)}$
${a\lt x\le b}$	${(a,\ b]}$

Aquí $a$ y $b$ representan dos números cualesquiera con ${a\lt b}.$

Algunos libros marcan los extremos en la recta numérica con paréntesis y corchetes en lugar de puntos: un paréntesis en vez de un punto vacío y un corchete en vez de un punto relleno, que se abren hacia el lado de las soluciones. Los dos dibujos significan lo mismo.

Las reglas para resolver inecuaciones

Una inecuación se resuelve casi como una ecuación: paso a paso la sustituimos por inecuaciones equivalentes más sencillas, hasta dejar $x$ sola. Dos reglas nos dicen qué pasos están permitidos. Para cualesquiera números reales $a,$ $b$ y $c\text{:}$

¿Por qué hay que invertir el sentido? Tomemos la desigualdad verdadera ${2\lt5}$ y multipliquemos los dos miembros por $-1.$ Obtenemos $-2$ y $-5,$ y en la recta numérica $-2$ está a la derecha de $-5,$ así que ${-2\gt-5}.$ Multiplicar por $-1$ refleja cada número respecto del $0,$ y el orden de los números se invierte:

Nunca multipliques ni dividas los dos miembros por una expresión cuyo signo no conozcas, como $x$ o ${x-1}\text{:}$ no sabrías si debes mantener o invertir el sentido de la desigualdad.

Cómo resolver una inecuación lineal paso a paso

1. Fracciones. Si hay fracciones, multiplica los dos miembros por el mínimo común denominador. Es un número positivo, así que el sentido no cambia.
2. Paréntesis. Quita los paréntesis y reduce los términos semejantes en cada miembro.
3. Transposición. Pasa los términos con $x$ a un miembro y los números al otro. Todo término que cambia de miembro cambia de signo.
4. División. Divide los dos miembros entre el coeficiente de $x.$ Si este coeficiente es negativo, invierte el sentido de la desigualdad.
5. Respuesta. Escribe el conjunto solución en notación de intervalos y represéntalo en la recta numérica.
6. Comprobación. Un número de tu respuesta debe cumplir la inecuación original, y un número que no esté en ella no debe cumplirla. En el extremo, los dos miembros son iguales.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Resuelve ${3x-5\lt6-2x}$ y representa el conjunto solución.

$3x-5\lt6-2x$

$3x+2x\lt6+5$ pasamos $-2x$ al primer miembro y $-5$ al segundo

$5x\lt11$

$x\lt\frac{11}{5}$ dividimos entre ${5\gt0},$ el sentido no cambia

Todo número menor que ${\frac{11}{5}=2{,}2}$ es solución. El conjunto solución es ${\left\{x\mid x\lt\frac{11}{5}\right\}},$ es decir, ${\left(-\infty,\ \frac{11}{5}\right)}.$ El punto en $\frac{11}{5}$ está vacío, porque $\frac{11}{5}$ no es solución: para ${x=\frac{11}{5}},$ los dos miembros valen $\frac{8}{5}.$

Comprobación: ${x=0}$ está en la respuesta, y ${-5\lt6}$ es verdadero; ${x=3}$ no lo está, y ${4\lt0}$ es falso.

También podemos comprobarlo con una gráfica. Dibujamos las rectas ${y_1=3x-5}$ e ${y_2=6-2x}.$ Se cortan en el punto ${(2{,}2;\ 1{,}6)}.$ La inecuación ${y_1\lt y_2}$ pregunta dónde está la recta $y_1$ por debajo de la recta $y_2,$ y eso ocurre exactamente a la izquierda de ${x=2{,}2}.$

Ejemplo 2. Resuelve ${13-7x\ge10x-4}.$

$13-7x\ge10x-4$

$-7x-10x\ge-4-13$ pasamos $10x$ al primer miembro y $13$ al segundo

$-17x\ge-17$

$x\le1$ dividimos entre ${-17\lt0},$ el sentido se invierte

El conjunto solución es ${\{x\mid x\le1\}},$ es decir, ${(-\infty,\ 1]}.$ El punto en $1$ está relleno: para ${x=1},$ los dos miembros valen $6,$ y ${6\ge6}$ es verdadero.

Puedes evitar dividir entre un número negativo si reúnes los términos con $x$ en el miembro donde su coeficiente queda positivo: ${13+4\ge10x+7x},$ así que ${17\ge17x}$ y ${1\ge x},$ que es lo mismo que ${x\le1}.$

Ejemplo 3. Resuelve ${\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}\lt1}.$

El mínimo común denominador es $6.$ Multiplicamos los dos miembros por $6$ (un número positivo, así que el sentido no cambia). Cada numerador va entre paréntesis:

$3(x+1)-2(2x-1)\lt6$

$3x+3-4x+2\lt6$

$-x+5\lt6$

$-x\lt1$

$x\gt-1$ multiplicamos por $-1$ e invertimos el sentido

El conjunto solución es ${(-1,\ +\infty)}.$

Los paréntesis son importantes: el signo menos delante de la fracción $\frac{2x-1}{3}$ afecta a todo el numerador, así que ${-2(2x-1)=-4x+2},$ y no ${-4x-1}.$ Comprobación con ${x=5}\text{:}$ ${\frac{6}{2}-\frac{9}{3}=3-3=0},$ y ${0\lt1}$ es verdadero.

Casos especiales: sin solución o todos los números reales

A veces los términos con $x$ se cancelan: el coeficiente de $x$ se hace $0.$ Entonces nos queda una desigualdad entre dos números, que es siempre verdadera o siempre falsa.

Ejemplo 4. Resuelve ${2(x+3)\gt2x+1}.$

$2x+6\gt2x+1$

$6\gt1$ restamos $2x$

Esto es verdadero sea cual sea $x,$ así que todo número real es solución: el conjunto solución es ${(-\infty,\ +\infty)=\mathbb{R}}.$

Ejemplo 5. Resuelve ${2(x+3)\lt2x+1}.$

$2x+6\lt2x+1$

$6\lt1$ restamos $2x$

Esto es falso para cualquier $x,$ así que la inecuación no tiene solución. Su conjunto solución es el conjunto vacío $\varnothing.$

Inecuaciones compuestas

Cuando dos inecuaciones se unen con la palabra y o con la palabra o, forman una inecuación compuesta.

Dobles desigualdades

La conjunción ${-3\lt2x+5}$ y ${2x+5\le7}$ se suele escribir de forma abreviada, como la doble desigualdad ${-3\lt2x+5\le7}.$ Para resolver una doble desigualdad, hacemos la misma operación en las tres partes.

Ejemplo 6. Resuelve ${-3\lt2x+5\le7}$ y representa el conjunto solución.

$-3\lt2x+5\le7$

$-8\lt2x\le2$ restamos $5$ a las tres partes

$-4\lt x\le1$ dividimos las tres partes entre $2$

El conjunto solución es ${\{x\mid-4\lt x\le1\}},$ es decir, ${(-4,\ 1]}.$

Ejemplo 7. Resuelve ${1\lt5-2x\le9}.$

$-4\lt-2x\le4$ restamos $5$ a las tres partes

$2\gt x\ge-2$ dividimos entre $-2$ e invertimos los dos signos

Escribimos el resultado del número menor al mayor: ${-2\le x\lt2}.$ El conjunto solución es ${[-2,\ 2)}.$

Dos inecuaciones unidas por «y» u «o»

Ejemplo 8. Resuelve ${3x-1\gt5}$ y ${2x+3\le15}.$

Un par así también se llama sistema de inecuaciones y se escribe con una llave:

$$\begin{cases}3x-1\gt5\\2x+3\le15\end{cases}$$

Resolvemos cada inecuación: ${3x\gt6},$ así que ${x\gt2};$ ${2x\le12},$ así que ${x\le6}.$ Las dos condiciones deben cumplirse, por lo que tomamos la parte común de las dos semirrectas: ${2\lt x\le6}.$ El conjunto solución es ${(2,\ 6]}.$

Si las dos semirrectas van en el mismo sentido, la parte común es la semirrecta que está contenida en la otra: ${x\gt2}$ y ${x\gt5}$ juntas dan ${x\gt5}.$ Si las dos semirrectas no tienen parte común, el sistema no tiene solución. Por ejemplo, ningún número cumple a la vez ${x\lt1}$ y ${x\gt4}.$

Ejemplo 9. Resuelve ${2x-5\le-7}$ o ${2x-5\gt1}$ y representa el conjunto solución.

${2x\le-2}$ o ${2x\gt6}$ sumamos $5$

${x\le-1}$ o ${x\gt3}$ dividimos entre $2$

El conjunto solución es ${\{x\mid x\le-1\ \text{o}\ x\gt3\}}.$ En notación de intervalos unimos los dos intervalos con el signo de unión: ${(-\infty,\ -1]\cup(3,\ +\infty)}.$

Una disyunción como esta no se puede abreviar como doble desigualdad. «${3\lt x\le-1}$» significaría que $x$ es mayor que $3$ y, al mismo tiempo, no es mayor que $-1,$ y no existe ningún número así.

Para comprobarlo con una gráfica, dibuja ${y_1=2x-5}$ y las rectas horizontales ${y_2=-7}$ e ${y_3=1}.$ La recta $y_1$ está por debajo de ${y_2=-7},$ o la toca, para ${x\le-1},$ y por encima de ${y_3=1}$ para ${x\gt3}.$

Inecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto $|x|$ de un número $x$ es su distancia al $0$ en la recta numérica (consulta Valores absolutos). Así, ${|x|\lt3}$ significa que $x$ está a menos de $3$ unidades del $0,$ es decir, ${-3\lt x\lt3}.$ Y ${|x|\gt3}$ significa que $x$ está a más de $3$ unidades del $0,$ es decir, ${x\lt-3}$ o ${x\gt3}.$

Por ejemplo, ${|x|\lt3}$ equivale a ${-3\lt x\lt3};$ ${|y|\ge1}$ equivale a ${y\le-1}$ o ${y\ge1};$ y ${|2x+3|\le4}$ equivale a ${-4\le2x+3\le4}.$

Ejemplo 10. Resuelve ${|3x+2|\lt5}$ y representa el conjunto solución.

$-5\lt3x+2\lt5$ escribimos la doble desigualdad equivalente

$-7\lt3x\lt3$ restamos $2$ a las tres partes

$-\frac{7}{3}\lt x\lt1$ dividimos las tres partes entre $3$

El conjunto solución es ${\left\{x\mid-\frac{7}{3}\lt x\lt1\right\}},$ es decir, ${\left(-\frac{7}{3},\ 1\right)}.$

Comprobación con una gráfica: la gráfica de ${y=|3x+2|}$ tiene forma de «V», con el vértice en ${\left(-\frac{2}{3},\ 0\right)}.$ Está por debajo de la recta ${y=5}$ exactamente entre ${x=-\frac{7}{3}}$ y ${x=1}.$

Ejemplo 11. Resuelve ${|5-2x|\ge1}.$

${5-2x\le-1}$ o ${5-2x\ge1}$ escribimos la disyunción equivalente

${-2x\le-6}$ o ${-2x\ge-4}$ restamos $5$

${x\ge3}$ o ${x\le2}$ dividimos entre $-2$ e invertimos los dos signos

El conjunto solución es ${\{x\mid x\le2\ \text{o}\ x\ge3\}},$ es decir, ${(-\infty,\ 2]\cup[3,\ +\infty)}.$

Ejemplo 12. La expresión ${|x-c|}$ es la distancia entre los números $x$ y $c.$ Resuelve ${|x-4|\le2}.$

Buscamos los números cuya distancia a $4$ es como máximo $2\text{:}$ van desde ${4-2=2}$ hasta ${4+2=6},$ y los propios $2$ y $6$ están incluidos. Aplicando la regla:${-2\le x-4\le2},$ y al sumar $4$ obtenemos ${2\le x\le6}.$ El conjunto solución es ${[2,\ 6]}.$

Las reglas anteriores están enunciadas para ${a\gt0}.$ Cuando el número del segundo miembro es negativo o cero, es más rápido recordar que un valor absoluto nunca es negativo:

• ${|2x-1|\lt-3}$ no tiene solución;
• ${|2x-1|\ge-3}$ se cumple para todo número real $x;$
• ${|x-2|\le0}$ solo se cumple cuando ${x-2=0},$ es decir, para ${x=2};$
• ${|x-2|\gt0}$ se cumple para todo $x$ excepto ${x=2}.$

Una aplicación: problemas verbales

Muchos problemas verbales llevan a inecuaciones. Estas expresiones te indican qué signo debes usar:

En palabras	Desigualdad
$x$ es mayor que $5;$ $x$ supera a $5$	${x\gt5}$
$x$ es menor que $5$	${x\lt5}$
$x$ es al menos $5;$ $x$ no es menor que $5$	${x\ge5}$
$x$ es como máximo $5;$ $x$ no es mayor que $5$	${x\le5}$
$x$ está entre $2$ y $5$	${2\lt x\lt5}$

Ejemplo 13. Planes de pago. Por pintar una casa, a Javier le pueden pagar de una de estas dos formas:

• Plan A: ${250}$ euros más ${10}$ euros por hora;
• Plan B: ${20}$ euros por hora.

Supongamos que el trabajo dura $n$ horas. ¿Para qué valores de $n$ le conviene más a Javier el plan B?

1. Comprender el problema. Probemos con algunos números. Si el trabajo dura $20$ horas, el plan A paga ${250+10\cdot20=450}$ euros y el plan B paga ${20\cdot20=400}$ euros: conviene más el plan A. Si el trabajo dura $30$ horas, el plan A paga ${250+10\cdot30=550}$ euros y el plan B paga ${20\cdot30=600}$ euros: ahora conviene más el plan B. Para hallar todos los valores de $n$ para los que conviene más el plan B, resolvemos una inecuación.

2. Plantear la inecuación. En $n$ horas, el plan A paga ${250+10n}$ euros y el plan B paga ${20n}$ euros. «El plan B paga más que el plan A» se traduce en

$$\underbrace{20n}_{\text{plan B}}\gt\underbrace{250+10n}_{\text{plan A}}.$$

3. Resolver.

$20n\gt250+10n$

$10n\gt250$ restamos $10n$

$n\gt25$ dividimos entre $10$

4. Comprobar. Para ${n=25},$ el plan A paga ${250+10\cdot25=500}$ euros y el plan B paga ${20\cdot25=500}$ euros: los dos planes pagan lo mismo. Con el trabajo de $30$ horas del paso 1, el plan B pagaba más, y ${30\gt25}.$ La gráfica muestra lo mismo: la recta del plan B está por encima de la recta del plan A a la derecha de ${n=25}.$

5. Respuesta. A Javier le conviene más el plan B cuando el trabajo dura más de $25$ horas.

Ejemplo 14. Ana sacó $78,$ $85$ y $90$ puntos en tres exámenes. Cada examen se califica sobre $100$ puntos. ¿Qué puntuación necesita en el cuarto examen para tener un promedio de al menos $85?$

Sea $x$ la puntuación del cuarto examen. El promedio de las cuatro puntuaciones debe ser al menos $85\text{:}$

$\frac{78+85+90+x}{4}\ge85$

$253+x\ge340$ multiplicamos por $4$

$x\ge87$ restamos $253$

Una puntuación no puede ser mayor que $100,$ así que la respuesta es ${87\le x\le100}\text{:}$ Ana necesita al menos $87$ puntos.

Problemas para practicar

1. Resuelve y escribe la respuesta en notación de intervalos: a) ${4x-7\ge9};$ b) ${5-3x\gt11};$ c) ${7x+2\lt4x-10}.$

Respuesta

a) ${4x\ge16},$ así que ${x\ge4}\text{:}$ ${[4,\ +\infty)}.$

b) ${-3x\gt6},$ así que ${x\lt-2}$ (dividimos entre $-3$ e invertimos el sentido): ${(-\infty,\ -2)}.$

c) ${3x\lt-12},$ así que ${x\lt-4}\text{:}$ ${(-\infty,\ -4)}.$

2. Resuelve: a) ${3(x-2)-2(x+1)\le4};$ b) ${2(x-3)-5x\ge x+2}.$

Respuesta

a) ${3x-6-2x-2\le4},$ así que ${x-8\le4}$ y ${x\le12}\text{:}$ ${(-\infty,\ 12]}.$

b) ${2x-6-5x\ge x+2},$ así que ${-3x-6\ge x+2},$ ${-4x\ge8}$ y ${x\le-2}\text{:}$ ${(-\infty,\ -2]}.$

3. Resuelve: a) ${\frac{x}{3}-\frac{x-2}{4}\gt1};$ b) ${\frac{2x-1}{5}\le\frac{x+4}{2}}.$

Respuesta

a) Multiplicamos por $12\text{:}$ ${4x-3(x-2)\gt12},$ así que ${4x-3x+6\gt12}$ y ${x\gt6}\text{:}$ ${(6,\ +\infty)}.$

b) Multiplicamos por $10\text{:}$ ${2(2x-1)\le5(x+4)},$ así que ${4x-2\le5x+20},$ ${-x\le22}$ y ${x\ge-22}\text{:}$ ${[-22,\ +\infty)}.$

4. Resuelve ${0{,}4x-1{,}2\lt0{,}1x+0{,}3}.$

Respuesta

${0{,}3x\lt1{,}5},$ así que ${x\lt5}\text{:}$ ${(-\infty,\ 5)}.$ (También puedes multiplicar primero los dos miembros por $10\text{:}$ ${4x-12\lt x+3}.$)

5. Resuelve: a) ${3(x-1)\ge3x-5};$ b) ${4x+1\lt2(2x-3)}.$

Respuesta

a) ${3x-3\ge3x-5},$ así que ${-3\ge-5},$ que es verdadero: todo número real es solución, ${(-\infty,\ +\infty)}.$

b) ${4x+1\lt4x-6},$ así que ${1\lt-6},$ que es falso: no tiene solución.

6. Resuelve las dobles desigualdades: a) ${-5\le3x+1\lt7};$ b) ${-1\lt\frac{4-x}{3}\le2}.$

Respuesta

a) ${-6\le3x\lt6},$ así que ${-2\le x\lt2}\text{:}$ ${[-2,\ 2)}.$

b) Multiplicamos por $3\text{:}$ ${-3\lt4-x\le6},$ luego ${-7\lt-x\le2},$ y al multiplicar por $-1\text{:}$ ${7\gt x\ge-2}.$ La respuesta es ${[-2,\ 7)}.$

7. Resuelve: a) ${2x+1\gt3}$ y ${3x-4\lt11};$ b) ${x-3\lt-5}$ o ${2x\ge4};$ c) ${5x\gt10}$ y ${x+4\lt3}.$

Respuesta

a) ${x\gt1}$ y ${x\lt5}\text{:}$ ${(1,\ 5)}.$

b) ${x\lt-2}$ o ${x\ge2}\text{:}$ ${(-\infty,\ -2)\cup[2,\ +\infty)}.$

c) ${x\gt2}$ y ${x\lt-1}\text{:}$ las semirrectas no tienen parte común, así que no hay solución.

8. Resuelve: a) ${|x-3|\lt4};$ b) ${|2x+1|\ge5};$ c) ${|4-3x|\le2};$ d) ${|x+5|\lt-1}.$

Respuesta

a) ${-4\lt x-3\lt4},$ así que ${-1\lt x\lt7}\text{:}$ ${(-1,\ 7)}.$

b) ${2x+1\le-5}$ o ${2x+1\ge5},$ así que ${x\le-3}$ o ${x\ge2}\text{:}$ ${(-\infty,\ -3]\cup[2,\ +\infty)}.$

c) ${-2\le4-3x\le2},$ así que ${-6\le-3x\le-2}$ y ${2\ge x\ge\frac{2}{3}}$ (dividimos entre $-3$ e invertimos los dos signos): ${\left[\frac{2}{3},\ 2\right]}.$

d) Un valor absoluto nunca es negativo: no tiene solución.

9. Halla todos los números enteros que cumplen ${-2\lt\frac{3x+1}{2}\le5}.$

Respuesta

Multiplicamos por $2\text{:}$ ${-4\lt3x+1\le10},$ así que ${-5\lt3x\le9}$ y ${-\frac{5}{3}\lt x\le3}.$ Los números enteros de este intervalo son $-1,$ $0,$ $1,$ $2$ y $3.$

10. Un viaje en taxi cuesta ${3}$ euros más ${1{,}50}$ euros por kilómetro. ¿Cuántos kilómetros puedes recorrer gastando como máximo ${30}$ euros?

Respuesta

Para $d$ kilómetros: ${3+1{,}5d\le30},$ así que ${1{,}5d\le27}$ y ${d\le18}.$ Puedes recorrer como máximo $18$ km.

11. El largo de un rectángulo mide $3$ cm más que su ancho. El perímetro mide como máximo $46$ cm. ¿Cuánto puede medir el ancho?

Respuesta

Para el ancho $w\text{:}$ ${2(w+w+3)\le46},$ así que ${4w+6\le46}$ y ${w\le10}.$ El ancho tiene que ser positivo, así que ${0\lt w\le10}\text{:}$ el ancho mide como máximo $10$ cm.

12. ¿Para qué valores de $x$ el valor de la expresión ${\frac{5-2x}{3}}$ no es negativo?

Respuesta

«No negativo» significa ${\ge0}\text{:}$ ${\frac{5-2x}{3}\ge0},$ así que ${5-2x\ge0},$ ${-2x\ge-5}$ y ${x\le\frac{5}{2}}\text{:}$ ${\left(-\infty,\ \frac{5}{2}\right]}.$

Siguiente tema: las inecuaciones cuadráticas y de grado superior, en Inecuaciones polinómicas y racionales. Puedes comprobar tus respuestas con el solucionador de problemas.