Expresiones racionales: problemas resueltos (parte 1)

Los problemas 1–16 tratan de expresiones enteras y fraccionarias, monomios y polinomios, y cada uno tiene su solución completa. Las reglas se explican en la lección Expresiones racionales. Los problemas 17–28 (cuadrados perfectos, factorización e identidades) están en la parte 2.

Problemas: 1 ¿Entera o fraccionaria? · 2 ¿Monomio o no? · 3 ¿Forma reducida o no? · 4 Escribir en forma reducida · 5 Valor de un monomio · 6 Grado · 7 Términos semejantes · 8 Valor de un polinomio · 9 Números como polinomios · 10 Polinomio en forma reducida · 11 Factor común · 12 Desarrollo de productos · 13 Simplificar · 14 División de monomios · 15 Potencias · 16 División entre un monomio

Problema 1. ¿Entera o fraccionaria?

¿Cuáles de estas expresiones son enteras respecto a $x?$

a) ${x^2-9x+2};$ b) $\frac{3x+2}{a-1};$ c) ${\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{7}x+\frac{1}{5}a};$ d) $\frac{7-x}{x+1};$ e) ${x^2-\frac{1}{x}};$ f) ${\frac{1}{2}x+\frac{2}{x}}.$

Solución. Una expresión es entera respecto a $x$ si en ella no se divide entre ninguna expresión que contenga $x.$ Sí se puede dividir entre un número o entre una expresión sin $x.$

a), b) y c) son enteras respecto a $x\text{:}$ el denominador ${a-1}$ de b) no contiene $x,$ y en c) solo se divide entre números.
d), e) y f) son fraccionarias respecto a $x\text{:}$ en ellas se divide entre ${x+1}$ y entre $x.$

Problema 2. ¿Monomio o no?

¿Cuáles de estas expresiones son monomios?

a) ${ab^2x};$ b) ${ab\cdot(-3)c};$ c) ${x^3+x};$ d) ${-a+b};$ e) ${2(a+b)^3};$ f) ${0{,}67ab}.$

Respuesta. a), b) y f) son monomios: son productos de números y variables. La forma reducida de b) es ${ab\cdot(-3)c=-3abc}.$ c) y d) son sumas de dos monomios, así que son polinomios, no monomios. e) es una potencia de la suma ${a+b},$ así que tampoco es un monomio; solo se convierte en un polinomio después de desarrollar la potencia.

Problema 3. ¿Está el monomio en forma reducida?

a) ${-3abc};$ b) ${x^2y};$ c) ${0{,}4a\cdot\frac{1}{3}b};$ d) ${x^2yx}.$

Respuesta. a) y b) están en forma reducida. c) y d) no lo están: c) tiene dos factores numéricos y d) contiene dos veces la $x.$ Sus formas reducidas son ${0{,}4a\cdot\frac{1}{3}b=\frac{2}{15}ab}$ y ${x^2yx=x^3y}.$

Problema 4. Escriba el monomio en forma reducida

a) ${12xy^2x^2};$ b) ${3x\cdot5ayx};$ c) ${2\cdot\frac{3}{4}ax^2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)a^2x}.$

Solución. Multiplicamos los números y agrupamos las potencias de cada variable.

a) ${12xy^2x^2}={12x^3y^2}.$

b) ${3x\cdot5ayx}={15ax^2y}.$

c) ${2\cdot\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}\cdot {a\cdot a^2\cdot x^2\cdot x}={{-a^3x^3},}$ porque ${2\cdot\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1}.$

Problema 5. El valor de un monomio

a) ${-7x^2y^2}$ para ${x=-2},$ ${y=1};$ b) ${7a^2bc}$ para ${a=3},$ ${b=2},$ ${c=\frac{5}{7}}.$

Solución. a) ${-7x^2y^2}={-7\cdot(-2)^2\cdot1^2}={-7\cdot4\cdot1}={{-28}.}$

b) ${7a^2bc}={7\cdot3^2\cdot2\cdot\frac{5}{7}}={9\cdot2\cdot5}={{90}.}$

Problema 6. Forma reducida y grado

Escriba cada monomio en forma reducida y halle su grado respecto a las variables $x$ e $y.$

a) ${ax\cdot10xaax};$ b) ${ay\cdot\frac{3}{4}\cdot bxx\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)};$ c) ${5cxy\cdot(-4)cxy}.$

Solución. El grado respecto a $x$ e $y$ solo cuenta los exponentes de $x$ y de $y;$ las demás letras se tratan como números.

a) ${ax\cdot10xaax}={10a^3x^3}\text{:}$ el grado es $3.$

b) ${ay\cdot\frac{3}{4}\cdot bxx\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}={{-\frac{3}{8}abx^2y}\text{:}}$ el grado es ${2+1=3}.$

c) ${5cxy\cdot(-4)cxy}={{-20c^2x^2y^2}\text{:}}$ el grado es ${2+2=4}.$

Problema 7. Reducción de términos semejantes

Simplifique:

a) ${3x^2-5x^2+7{,}5x^2};$ b) ${-\frac{5}{7}a^3b^2-2a^3b^2+8a^3b^2};$ c) ${2x-5xy-8xy}-{3{,}1xy-0{,}2xy;}$ d) ${a^3x^2+3a^3x^2+a^2x^3};$ e) ${9x-[-(5x-1)-8x]};$ f) ${2a}-{\left\{b-[a+(a-2b)]+3a\right\};}$ g) ${(x-y)(x^2+xy+y^2)}+{(x+y)(x^2-xy+y^2).}$

Solución. Sumamos los coeficientes de los términos semejantes; los términos no semejantes se quedan como están.

a) ${3x^2-5x^2+7{,}5x^2}={(3-5+7{,}5)x^2}={{5{,}5x^2}.}$

b) ${-\frac{5}{7}a^3b^2}-{2a^3b^2+8a^3b^2}={\left(-\frac{5}{7}-2+8\right)a^3b^2}={{\frac{37}{7}a^3b^2}.}$

c) ${2x-5xy-8xy}-{3{,}1xy-0{,}2xy}={{2x-16{,}3xy}\text{:}}$ el término $2x$ no es semejante a los demás.

d) ${a^3x^2+3a^3x^2+a^2x^3}={{4a^3x^2+a^2x^3}\text{:}}$ $a^2x^3$ no es semejante a $a^3x^2.$

En e) y f) quitamos los paréntesis de dentro hacia fuera.

e) ${9x-[-(5x-1)-8x]}={9x-(-5x+1-8x)}={9x-(-13x+1)}={9x+13x-1}={{22x-1}.}$

f) ${2a}-{\left\{b-[a+(a-2b)]+3a\right\}}={2a}-{\left\{b-(2a-2b)+3a\right\}}={2a-(b-2a+2b+3a)}={2a-(a+3b)}={{a-3b}.}$

g) Usamos la diferencia y la suma de cubos:

${(x-y)(x^2+xy+y^2)}+{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

$=x^3-y^3+x^3+y^3=2x^3.$

Problema 8. El valor de un polinomio

a) ${100x+10y+z}$ para ${x=2},$ ${y=3},$ ${z=4};$ b) ${-0{,}08b}+{73a^2b+27a^2b}$ para ${a=0{,}2},$ ${b=4}.$

Solución. a) ${100x+10y+z}={100\cdot2+10\cdot3+4}={{234}.}$

b) Primero reducimos los términos semejantes: ${-0{,}08b}+{73a^2b+27a^2b}={{-0{,}08b+100a^2b}.}$ Después, ${-0{,}08b+100a^2b}={-0{,}08\cdot4}+{100\cdot0{,}2^2\cdot4}={-0{,}32+16}={{15{,}68}.}$

Problema 9. Números escritos como polinomios

Las letras $a,$ $b$ y $c$ son cifras. La barra indica que $\overline{ab}$ es el número escrito con las cifras $a$ y $b,$ y no el producto $ab;$ la primera cifra de un número no es $0.$ Escriba cada número como un polinomio: a) $\overline{ab};$ b) $\overline{abc};$ c) $\overline{abba};$ d) $\overline{ba}.$

Solución. En $\overline{abc}$ la cifra $c$ es la de las unidades, $b$ la de las decenas y $a$ la de las centenas. Por tanto:

a) ${\overline{ab}=10a+b};$ b) ${\overline{abc}=100a+10b+c};$ c) ${\overline{abba}}={1000a+100b+10b+a}={{1001a+110b};}$ d) ${\overline{ba}=10b+a}.$

Problema 10. Escriba como un polinomio en forma reducida

a) ${\left(\frac{a^2}{4}\right)^2}+{\frac{1}{32}a(16a-2a^3);}$ b) ${12x\left(y-\frac{1}{6}x\right)}-{2y\left(\frac{1}{2}y+3x\right).}$

Solución. a)

${\left(\frac{a^2}{4}\right)^2}+{\frac{1}{32}a(16a-2a^3)}={\frac{a^4}{16}+\frac{16a^2}{32}-\frac{2a^4}{32}}$

$=\frac{a^4}{16}+\frac{a^2}{2}-\frac{a^4}{16}=\frac{a^2}{2}.$

${12x\left(y-\frac{1}{6}x\right)}-{2y\left(\frac{1}{2}y+3x\right)}={12xy-2x^2-y^2-6xy}$

$=-2x^2+6xy-y^2.$

Problema 11. Saque factor común

a) ${a(c-b)+d(b-c)};$ b) ${a-3b-2x(3b-a)}+{4y(3b-a);}$ c) ${6(3-b)+9(b-3)^2};$ d) ${5a(2x-7)+3b(7-2x)}.$

Solución. Primero conseguimos que los paréntesis sean iguales. Cuando dos paréntesis solo se diferencian en el signo, usamos ${b-c=-(c-b)};$ un cuadrado no cambia si se cambia el signo dentro del paréntesis: ${(b-3)^2=(3-b)^2}.$

a) ${a(c-b)+d(b-c)}={a(c-b)-d(c-b)}={{(c-b)(a-d)}.}$

b) ${a-3b}-{2x(3b-a)+4y(3b-a)}={(a-3b)}+{2x(a-3b)-4y(a-3b)}={{(a-3b)(1+2x-4y)}.}$

c) ${6(3-b)+9(b-3)^2}={6(3-b)+9(3-b)^2}={3(3-b)[2+3(3-b)]}={{3(3-b)(11-3b)}.}$

d) ${5a(2x-7)}+{3b(7-2x)}={5a(2x-7)}-{3b(2x-7)}={{(2x-7)(5a-3b)}.}$

Problema 12. Desarrollo de productos

a) ${(x-y)(x+y)};$ b) ${(x+5)(y-7)};$ c) ${(2y-7)\left(x+\frac{1}{y}\right)};$ d) ${(-2a-3b)(a+b^3)};$ e) ${(a+b-c)(x-y)}.$

Solución. Cada término del primer factor se multiplica por cada término del segundo.

a) ${(x-y)(x+y)}={x^2+xy-xy-y^2}={{x^2-y^2}.}$

b) ${(x+5)(y-7)}={{xy-7x+5y-35}.}$

c) ${(2y-7)\left(x+\frac{1}{y}\right)}={2xy+2-7x-\frac{7}{y}}$ para ${y\ne0}.$

d) ${(-2a-3b)(a+b^3)}={{-2a^2-2ab^3-3ab-3b^4}.}$

e) ${(a+b-c)(x-y)}={{ax-ay+bx-by-cx+cy}.}$

Problema 13. Simplifique y escriba en forma reducida

a) ${(a+1)(a^2-a+1)};$ b) ${(a-7)(a+2)}-{(2a-1)(a-14);}$ c) ${(2-b)(1+2b)}+{(1+b)(b^3+3b);}$ d) ${(x-y)(x+y)}+{x^2+2xy+y^2;}$ e) ${-(x-y)^2+x^2}-{2xy+y^2.}$

Solución. a) ${(a+1)(a^2-a+1)}={a^3-a^2+a+a^2-a+1}={a^3+1}$ (la suma de cubos).

b) El segundo producto se resta, así que lo dejamos entre paréntesis hasta desarrollarlo:

${(a-7)(a+2)}-{(2a-1)(a-14)}$

$={a^2-5a-14}-{(2a^2-29a+14)}$

$={a^2-5a-14}-{2a^2+29a-14}={-a^2+24a-28.}$

${(2-b)(1+2b)}+{(1+b)(b^3+3b)}$

$={2+3b-2b^2+b^3}+{3b+b^4+3b^2}$

$=b^4+b^3+b^2+6b+2.$

d) ${(x-y)(x+y)}+{x^2+2xy+y^2}={x^2-y^2+x^2+2xy+y^2}={{2x^2+2xy}.}$

e) ${-(x-y)^2}+{x^2-2xy+y^2}={-(x^2-2xy+y^2)}+{x^2-2xy+y^2}={{0}.}$

Problema 14. División de monomios

a) $\frac{2x\cdot(-5xy)}{2xy};$ b) ${21x^3y^2\div\frac{-7x^2y}{x^5}};$ c) ${a^8\div\left(\frac{a^2}{a}\div\frac{a^2}{a}\right)}.$

Solución. Todas las variables son distintas de $0.$

a) ${\frac{2x\cdot(-5xy)}{2xy}}={\frac{-10x^2y}{2xy}}={{-5x}.}$

b) Dividir entre una fracción es multiplicar por su inversa: ${21x^3y^2\div\frac{-7x^2y}{x^5}}={21x^3y^2\cdot\frac{x^5}{-7x^2y}}={\frac{21x^8y^2}{-7x^2y}}={{-3x^6y}.}$

c) Una expresión dividida entre sí misma da $1\text{:}$ ${\frac{a^2}{a}\div\frac{a^2}{a}=1},$ así que ${a^8\div1=a^8}.$

Problema 15. Potencias de la misma base

Simplifique ($m,$ $p$ y $q$ son números naturales; ${x\ne0},$ ${y\ne0}$):

a) ${-a^2\cdot a^6};$ b) ${-x^p\cdot x^q};$ c) ${3x^p\cdot y\cdot x\cdot y^p};$ d) ${\frac{x^{3m}}{x^m}\div x^m};$ e) $\frac{x^py^q}{x^{4-p}y^{-4+q}}.$

Solución. Al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes; al dividirlas, se restan.

a) ${-a^2\cdot a^6}={-a^{2+6}}={{-a^8}.}$

b) ${-x^p\cdot x^q}={-x^{p+q}}.$

c) ${3x^p\cdot y\cdot x\cdot y^p}={{3x^{p+1}y^{p+1}}.}$

d) ${\frac{x^{3m}}{x^m}\div x^m}={x^{2m}\div x^m}={x^m}.$

e) ${\frac{x^py^q}{x^{4-p}y^{-4+q}}}={x^{p-(4-p)}y^{q-(-4+q)}}={{x^{2p-4}y^4}.}$

Problema 16. División de un polinomio entre un monomio

a) $\frac{x^3-x^2+yx^2}{x^2};$ b) $\frac{mna^2+3anm^2-2na^2}{3an};$ c) $\frac{-6x^2y^3+8yx^3-xy}{-2x}.$

Solución. Se divide cada término entre el monomio (que no es $0$).

a) ${\frac{x^3-x^2+yx^2}{x^2}}={\frac{x^3}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}+\frac{yx^2}{x^2}}={{x-1+y}.}$

b) ${\frac{mna^2+3anm^2-2na^2}{3an}}={\frac{mna^2}{3an}+\frac{3anm^2}{3an}-\frac{2na^2}{3an}}={{\frac{1}{3}am+m^2-\frac{2}{3}a}.}$

c) ${\frac{-6x^2y^3+8yx^3-xy}{-2x}}={\frac{-6x^2y^3}{-2x}+\frac{8yx^3}{-2x}+\frac{-xy}{-2x}}={{3xy^3-4x^2y+\frac{1}{2}y}.}$

Más práctica

Expresiones racionales: problemas resueltos (parte 2) (problemas 17–28).
Expresiones racionales: la lección.
Identidades polinomiales.