Propiedades de las funciones continuas

Intuitivamente, una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel: sin huecos, sin saltos, sin cortes. En esta lección convertiremos esta idea en una definición precisa basada en los límites (ver «Límites y métodos de cálculo») y veremos qué funciones son continuas y para qué sirve la continuidad.

En esta página: Continuidad en un punto · Tipos de discontinuidades · En un intervalo · Polinomios y funciones racionales · Funciones compuestas · Continuidad lateral · Teorema del valor intermedio · Problemas

Continuidad en un punto

Es fácil ver en la gráfica si una función es continua en un punto $c.$ Estas son cuatro formas típicas en las que la gráfica puede romperse en ${x=c}\text{:}$

• En la primera figura, $f$ no está definida en $c\text{:}$ la gráfica tiene un hueco.

• En la segunda figura, el límite por la izquierda y el límite por la derecha son distintos, así que ${\lim_{x\to c}f(x)}$ no existe: la gráfica da un salto.

• En la tercera figura, $f(c)$ está definido, pero los valores $f(x)$ crecen indefinidamente cerca de $c\text{:}$ el límite no existe (es infinito).

• En la cuarta figura, el límite existe y $f(c)$ está definido, pero los dos números son distintos.

Una función es continua en $c$ cuando no ocurre ninguna de estas cosas:

Si falla al menos una de las condiciones, $f$ es discontinua en $c,$ y $c$ se llama punto de discontinuidad de $f.$ En resumen, $f$ es continua en $c$ si el límite en $c$ se puede hallar simplemente sustituyendo ${x=c}.$

Ejemplo 1. La función ${f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ es discontinua en ${x=2},$ porque $f(2)$ no está definido (falla la condición 1). Definamos ahora una nueva función rellenando el hueco con el valor $3\text{:}$

$$g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}, & \text{si } x\ne2,\\ 3, & \text{si } x=2.\end{cases}$$

Ahora ${g(2)=3}$ está definido, y

${\lim_{x\to2}g(x)}={\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$

El límite existe, pero ${\lim_{x\to2}g(x)\ne g(2)},$ así que $g$ sigue siendo discontinua en $2$ (falla la condición 3). Si hubiéramos elegido ${g(2)=4},$ la función sería continua en $2.$

Tipos de discontinuidades

Tipo	Qué ocurre en $c$	Ejemplo
evitable	el límite existe, pero $f(c)$ no está definido o no es igual a él	${\frac{x^2-4}{x-2}}$ en ${x=2}$
de salto	existen los dos límites laterales, pero son distintos	${\frac{|x|}{x}}$ en ${x=0}$
infinita	al menos uno de los límites laterales es $+\infty$ o $-\infty$	${\frac{1}{x^2}}$ en ${x=0}$

Una discontinuidad evitable se puede «reparar» definiendo o redefiniendo un solo valor de la función, como en el ejemplo 1. Una discontinuidad de salto o infinita, no.

No todas las discontinuidades son de uno de estos tres tipos. Por ejemplo, ${\operatorname{sen}\frac{1}{x}}$ oscila infinitas veces entre $-1$ y $1$ cerca de $0,$ así que en $0$ no existe ninguno de los dos límites laterales (ver la lección siguiente).

Continuidad en un intervalo

Una función es continua en un intervalo abierto $(a,\,b)$ si es continua en todos los puntos de $(a,\,b).$ Si una función es continua en todo número real, es decir, en ${(-\infty,\,+\infty)},$ se dice que es continua en toda la recta real o, simplemente, que es una función continua.

Continuidad de los polinomios y de las funciones racionales

Ejemplo 2. Sea ${f(x)=x^2-2x+1}$ y sea $c$ un número real cualquiera. Por las propiedades de los límites,

${\lim_{x\to c}f(x)}={\lim_{x\to c}(x^2-2x+1)}={c^2-2c+1}={{f(c)}.}$

Así pues, $f$ es continua en todo punto $c\text{:}$ es una función continua. El mismo razonamiento sirve para cualquier polinomio:

Teorema. Los polinomios son funciones continuas: si $p$ es un polinomio y $c$ es un número real cualquiera, entonces ${\lim_{x\to c}p(x)=p(c)}.$

Ejemplo 3. Demuestra que ${f(x)=|x|}$ es continua en toda la recta real.

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{si } x\ge0,\\ -x, & \text{si } x\lt0.\end{cases}$$

• Si ${c\gt0},$ los valores de $x$ cercanos a $c$ también son positivos, así que ahí ${f(x)=x}$ y ${\lim_{x\to c}|x|}={\lim_{x\to c}x}={c}={{f(c)}.}$

• Si ${c\lt0},$ los valores de $x$ cercanos a $c$ son negativos, así que ahí ${f(x)=-x}$ y ${\lim_{x\to c}|x|}={\lim_{x\to c}(-x)}={-c}={{f(c)}.}$

• Si ${c=0},$ estudiamos los dos lados: ${\lim_{x\to0^+}|x|}={\lim_{x\to0^+}x}={0}$ y ${\lim_{x\to0^-}|x|}={\lim_{x\to0^-}(-x)}={{0}.}$ Los dos límites laterales valen $0,$ así que ${\lim_{x\to0}|x|}={0}={f(0)}.$

Por lo tanto, $|x|$ es continua en todos los puntos, incluso en el pico (el vértice) de su gráfica.

La continuidad se conserva con las cuatro operaciones aritméticas:

Demostración (para el producto; los demás casos son análogos). Como $f$ y $g$ son continuas en $c,$ se tiene ${\lim_{x\to c}f(x)=f(c)}$ y ${\lim_{x\to c}g(x)=g(c)}.$ Por la propiedad del límite de un producto,

${\lim_{x\to c}[f(x)\cdot g(x)]}={\lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)}={{f(c)\cdot g(c)},}$

que es el valor de ${f\cdot g}$ en $c.$

Una función racional es un cociente de dos polinomios, y los polinomios son continuos. Por lo tanto, una función racional es continua en todos los puntos en los que su denominador no vale $0$, y discontinua en los ceros del denominador.

Ejemplo 4. ¿Dónde es continua ${h(x)=\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}}?$

El denominador es ${x^2-5x+6}={{(x-2)(x-3)},}$ que vale $0$ para ${x=2}$ y ${x=3}.$ Por lo tanto, $h$ es continua en todos los puntos excepto en ${x=2}$ y ${x=3}.$ Las dos discontinuidades son de tipos distintos. Para ${x\ne3},$

${h(x)}={\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}}={{\frac{x+3}{x-2}},}$

así que ${\lim_{x\to3}h(x)=6}\text{:}$ en ${x=3}$ la discontinuidad es evitable (un hueco en $(3,\,6)$). En ${x=2}$ el numerador ${x+3}$ tiende a $5$ y el denominador tiende a $0\text{:}$ la discontinuidad es infinita, y la recta ${x=2}$ es una asíntota vertical.

Continuidad de las funciones compuestas

Dicho en palabras: el límite se puede «meter dentro» de una función continua. Por ejemplo, ${f(x)=|x|}$ y ${g(x)=5-x^2}$ son continuas en toda la recta real, así que ${|5-x^2|}$ también lo es, y

${\lim_{x\to3}|5-x^2|}={\left|\lim_{x\to3}(5-x^2)\right|}={|{-4}|}={{4}.}$

La raíz cuadrada ${\sqrt{x}}$ es continua en todo ${x\gt0}$ (y por la derecha en $0;$ ver la sección siguiente). Por lo tanto,

${\lim_{x\to3}\sqrt{x^2+7}}={\sqrt{\lim_{x\to3}(x^2+7)}}={\sqrt{16}}={{4}.}$

Continuidad lateral y continuidad en un intervalo cerrado

En un extremo de un intervalo, $x$ solo puede acercarse al punto por un lado. Para estos casos usamos los límites laterales.

Por la izquierda en $c$	Por la derecha en $c$
$f(c)$ está definido	$f(c)$ está definido
existe ${\lim_{x\to c^-}f(x)}$	existe ${\lim_{x\to c^+}f(x)}$
${\lim_{x\to c^-}f(x)}={f(c)}$	${\lim_{x\to c^+}f(x)}={f(c)}$

Una función es continua en $c$ si y solo si es continua por la izquierda y por la derecha en $c.$

En la primera figura falla la condición 2, en la segunda falla la condición 3, y la función de la tercera figura es continua en $[a,\,b].$

Ejemplo 5. Demuestra que ${f(x)=\sqrt{9-x^2}}$ es continua en $[-3,\,3].$

La función está definida para ${9-x^2\ge0},$ es decir, para ${-3\le x\le3}.$ Para todo $c$ de $(-3,\,3),$ por el teorema de las funciones compuestas,

${\lim_{x\to c}\sqrt{9-x^2}}={\sqrt{\lim_{x\to c}(9-x^2)}}={\sqrt{9-c^2}}={{f(c)},}$

así que $f$ es continua en $(-3,\,3).$ En los extremos usamos límites laterales (la función no está definida a la derecha de $3$ ni a la izquierda de $-3$). Cuando ${x\to3^-}$ o ${x\to-3^+},$ el número ${9-x^2}$ tiende a $0$ tomando valores positivos, así que su raíz cuadrada tiende a $0\text{:}$

${\lim_{x\to3^-}\sqrt{9-x^2}}={0}={f(3)},$   ${\lim_{x\to-3^+}\sqrt{9-x^2}}={0}={{f(-3)}.}$

Por lo tanto, $f$ es continua por la izquierda en $3$ y por la derecha en $-3,$ y en consecuencia es continua en $[-3,\,3].$ Su gráfica es la mitad superior de la circunferencia ${x^2+y^2=9}.$

El teorema del valor intermedio

Teorema del valor intermedio. Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,\,b]$ y $k$ es un número cualquiera comprendido entre $f(a)$ y $f(b),$ ambos incluidos, entonces existe al menos un número $c$ en $[a,\,b]$ tal que ${f(c)=k}.$

Geométricamente: la gráfica de una función continua que va de la altura $f(a)$ a la altura $f(b)$ tiene que cortar, al menos una vez, cada recta horizontal ${y=k}$ situada entre esas dos alturas (en la figura, tres veces). La continuidad es imprescindible: una función con un salto puede «saltarse» un valor. Por ejemplo, ${\frac{|x|}{x}}$ toma los valores $-1$ y $1$ en $[-1,\,1],$ pero nunca el valor $0;$ no es continua en $[-1,\,1].$

El caso particular más importante es el valor ${k=0}\text{:}$

Teorema de Bolzano (raíces de las funciones continuas). Si $f$ es continua en $[a,\,b]$ y los valores $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces la ecuación ${f(x)=0}$ tiene al menos una solución en el intervalo $(a,\,b).$

Ejemplo 6. Demuestra que la ecuación ${x^3-x-1=0}$ tiene una solución entre $1$ y $2,$ y hállala de forma aproximada.

El primer miembro no se factoriza fácilmente, así que no podemos resolver la ecuación por factorización. Pero ${f(x)=x^3-x-1}$ es un polinomio y, por lo tanto, una función continua, y

${f(1)}={1-1-1}={-1}\lt{0},$   ${f(2)=8-2-1=5\gt0}.$

Por el teorema de Bolzano, hay una solución en $(1,\,2).$

Podemos hallarla con la precisión que queramos dividiendo el intervalo por la mitad una y otra vez (el método de bisección). Empezamos con $[1,\,2],$ calculamos $f$ en el punto medio y nos quedamos con la mitad en la que $f$ cambia de signo:

Punto medio $m$	$f(m)$	La solución está en
1,5	0,875	[1; 1,5]
1,25	−0,297	[1,25; 1,5]
1,375	0,225	[1,25; 1,375]
1,3125	−0,052	[1,3125; 1,375]
1,34375	0,083	[1,3125; 1,34375]

Continuando así, obtenemos la solución ${x\approx1{,}3247}.$ Es la única solución en $(1,\,2),$ porque $f$ es creciente en ese intervalo: para ${1\le x_1\lt x_2},$ ${f(x_2)-f(x_1)}={(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-1)}\gt{{0}.}$

Problemas para practicar

1. ¿Es ${f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$ continua en ${x=1}?$ ¿Qué valor debe tener $f(1)$ para que sea continua?

Respuesta

No: $f(1)$ no está definido. ${\lim_{x\to1}f(x)}={\lim_{x\to1}(x+1)}={{2},}$ así que, definiendo ${f(1)=2},$ la función $f$ pasa a ser continua en $1$ (es una discontinuidad evitable).

2. ¿Es la función

$$f(x)=\begin{cases}x+1, & \text{si } x\lt2,\\ 7-x^2, & \text{si } x\ge2\end{cases}$$

continua en ${x=2}?$

Respuesta

${\lim_{x\to2^-}f(x)=3}$ y ${\lim_{x\to2^+}f(x)}={7-4}={3}={{f(2)}.}$ Los dos límites laterales son iguales a $f(2),$ así que $f$ es continua en $2.$

3. Halla el valor de $a$ para el que la función

$$f(x)=\begin{cases}ax+3, & \text{si } x\lt1,\\ x^2+2a, & \text{si } x\ge1\end{cases}$$

es continua en toda la recta real.

Respuesta

Los dos trozos son polinomios, así que solo hay que comprobar ${x=1}\text{:}$ el límite por la izquierda es ${a+3},$ y el límite por la derecha y $f(1)$ valen ${1+2a}.$ Son iguales cuando ${a+3=1+2a},$ es decir, para ${a=2}.$

4. ¿Dónde es continua ${f(x)=\frac{x}{x^2+1}}?$

Respuesta

En toda la recta real: el denominador ${x^2+1}$ nunca vale $0.$

5. Halla los puntos de discontinuidad de ${f(x)=\frac{x+1}{x^2-4x-5}}$ e indica cuáles de ellos son evitables.

Respuesta

${{x^2-4x-5=(x-5)(x+1)}\text{:}}$ la función es discontinua en ${x=-1}$ y en ${x=5}.$ Para ${x\ne-1},$ ${f(x)=\frac{1}{x-5}},$ así que el límite en $-1$ es ${-\frac{1}{6}}\text{:}$ evitable. En ${x=5}$ la discontinuidad es infinita.

6. Halla ${\lim_{x\to2}\sqrt{x^3+1}}$ y ${\lim_{x\to-1}|x^3-3x|}.$

Respuesta

Por continuidad: ${\sqrt{8+1}}={3}$ y ${|{-1}+3|}={2}.$

7. ¿Es ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ continua en $[1,\,5]?$

Respuesta

Sí. En $(1,\,5)$ es continua por el teorema de las funciones compuestas, ya que ahí ${x-1\gt0}$ y $\sqrt{x}$ es continua en todo número positivo; en el extremo izquierdo, ${\lim_{x\to1^+}\sqrt{x-1}}={0}={f(1)},$ y en el extremo derecho, ${\lim_{x\to5^-}\sqrt{x-1}}={2}={f(5)}.$

8. Demuestra que la ecuación ${x^3+2x-5=0}$ tiene una solución en $(1,\,2).$

Respuesta

${f(x)=x^3+2x-5}$ es continua, ${f(1)=-2\lt0}$ y ${f(2)=7\gt0}.$ Por el teorema de Bolzano, hay una solución en $(1,\,2)$ (es ${x\approx1{,}3283}$).

9. Demuestra que la ecuación ${x^5=x+3}$ tiene solución.

Respuesta

Sea ${f(x)=x^5-x-3},$ una función continua. ${f(1)=-3\lt0}$ y ${f(2)}={32-2-3}={27}\gt{0},$ así que hay una solución en $(1,\,2).$

Siguiente lección: Límites y continuidad de las funciones trigonométricas. Lección anterior: Límites y métodos de cálculo.