Expresiones racionales: problemas resueltos (parte 2)

Aquí encontrará los problemas 17–28 con sus soluciones completas. La mayoría usan las identidades polinomiales, como ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$ y ${a^2-b^2=(a-b)(a+b)};$ todas ellas están reunidas en la lección Identidades polinomiales. Los problemas 1–16 están en la parte 1, y la teoría, en la lección Expresiones racionales.

Problemas: 17 Completar el cuadrado · 18 Factorización · 19 Simplificar · 20 Identidades · 21 Polinomio desconocido · 22 Valor máximo · 23 Un parámetro · 24 Valor mínimo · 25 Identidades · 26 Simplificar · 27 Identidades · 28 Factorización

Problema 17. Completar el cuadrado

Escriba cada trinomio como la suma del cuadrado de un binomio y un número:

a) ${x^2+8x+25};$ b) ${4x^2-4x+10};$ c) ${16x^2-24x+30};$ d) ${81x^2+6x+32}.$

Solución. Buscamos el cuadrado ${{(p\pm q)^2=p^2\pm2pq+q^2}\text{:}}$ los dos primeros términos nos dan $p$ y $q,$ y el término independiente se descompone en $q^2$ y el resto.

a) ${x^2+8x+25}={x^2+2\cdot x\cdot4+4^2+9}={{(x+4)^2+9}.}$

b) ${4x^2-4x+10}={(2x)^2}-{2\cdot2x\cdot1+1^2+9}={{(2x-1)^2+9}.}$

c) ${16x^2-24x+30}={(4x)^2}-{2\cdot4x\cdot3+3^2+21}={{(4x-3)^2+21}.}$

d) Aquí ${6x=2\cdot9x\cdot\frac{1}{3}},$ así que el cuadrado es $\left(9x+\frac{1}{3}\right)^2\text{:}$

${81x^2+6x+32}={(9x)^2+2\cdot9x\cdot\frac{1}{3}}+{\left(\frac{1}{3}\right)^2+32-\frac{1}{9}}$

$=\left(9x+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{287}{9}.$

Problema 18. Factorización

a) ${4ax-2ay};$ b) ${a^2+ab-a-b};$ c) ${9x+9y+ax+ay};$ d) ${28a^2b^3-4ab^4};$ e) ${a^4+2a^2+1};$ f) ${(a+b)^4-(a-b)^4}.$

Solución. a) ${4ax-2ay}={2a(2x-y)}.$

b) Agrupamos los términos: ${a^2+ab-a-b}={a(a+b)-(a+b)}={{(a+b)(a-1)}.}$

c) ${9x+9y+ax+ay}={9(x+y)+a(x+y)}={{(x+y)(9+a)}.}$

d) ${28a^2b^3-4ab^4}={{4ab^3(7a-b)}.}$

e) Es el cuadrado de una suma: ${a^4+2a^2+1}={(a^2)^2+2\cdot a^2\cdot1+1^2}={{(a^2+1)^2}.}$

f) Usamos una vez la diferencia de cuadrados. Dentro de los corchetes, ${(a+b)^2+(a-b)^2}={2a^2+2b^2}$ y ${(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}$ (ejemplo 14 de la lección):

$(a+b)^4-(a-b)^4$

$={\left[(a+b)^2+(a-b)^2\right]}\cdot {\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]}$

$={(2a^2+2b^2)\cdot4ab}={8ab(a^2+b^2).}$

Problema 19. Simplifique la expresión

a) ${(x-3)^2-x(x+9)};$ b) ${(2a+5)^2-5(4a+5)};$ c) ${b^2+49-(b-7)^2};$ d) ${(y-10)(y-6)}-{(y-8)^2.}$

Solución. a) ${(x-3)^2-x(x+9)}={x^2-6x+9-x^2-9x}={{9-15x}.}$

b) ${(2a+5)^2-5(4a+5)}={4a^2+20a+25}-{20a-25}={{4a^2}.}$

c) ${b^2+49-(b-7)^2}={b^2+49}-{(b^2-14b+49)}={b^2+49-b^2+14b-49}={{14b}.}$

d) ${(y-10)(y-6)}-{(y-8)^2}={y^2-16y+60}-{(y^2-16y+64)}={{-4}.}$

Problema 20. Demuestre la identidad

a) ${(-a-b)^2=(a+b)^2};$ b) ${a^3-3ab(a-b)-b^3}={(a-b)^3;}$ c) ${(x-a)(x-b)}={x^2-(a+b)x+ab;}$ d) ${(a^2+b^2)(c^2+d^2)}={(ac-bd)^2}+{(bc+ad)^2.}$

Solución. Para demostrar una identidad, transformamos uno de sus lados hasta obtener el otro.

a) ${(-a-b)^2}={\left(-(a+b)\right)^2}={{(a+b)^2},}$ porque un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado.

b) Partimos del lado derecho: ${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}={{a^3-3ab(a-b)-b^3}.}$

c) ${(x-a)(x-b)}={x^2-bx-ax+ab}={{x^2-(a+b)x+ab}.}$

d) Partimos del lado derecho:

${(ac-bd)^2}+{(bc+ad)^2}={a^2c^2-2abcd+b^2d^2}+{b^2c^2+2abcd+a^2d^2}$

$={a^2(c^2+d^2)}+{b^2(c^2+d^2)}={(a^2+b^2)(c^2+d^2).}$

Problema 21. Halle el polinomio A

a) ${(a-b)^2+A=(a+b)^2};$ b) ${x^2+x+1+A}={(x-1)^2+1;}$ c) ${2z^2-5z+6+A}={(z+1)^2+(z-1)^2;}$ d) ${(z-1)(z+1)+A}={2z^2+5.}$

Solución. $A$ es uno de los dos sumandos de una suma, así que lo hallamos restando de la suma el otro sumando.

a) ${A}={(a+b)^2-(a-b)^2}={a^2+2ab+b^2}-{(a^2-2ab+b^2)}={{4ab}.}$

b) ${A}={(x-1)^2+1}-{(x^2+x+1)}={x^2-2x+2-x^2-x-1}={{1-3x}.}$

c) ${A}={(z+1)^2+(z-1)^2}-{(2z^2-5z+6)}={2z^2+2-2z^2+5z-6}={{5z-4}.}$

d) ${A}={2z^2+5}-{(z-1)(z+1)}={2z^2+5-(z^2-1)}={{z^2+6}.}$

Problema 22. El valor máximo

Considere la expresión ${A=k-(x+1)^2}.$

a) Halle $k$ si el valor máximo de $A$ es $4.$

b) Sustituya este valor de $k$ en $A$ y factorice la expresión.

Solución. a) ${(x+1)^2\ge0}$ para todo $x,$ así que ${A\le k},$ y ${A=k}$ para ${x=-1}.$ Por tanto, el valor máximo de $A$ es $k,$ y ${k=4}.$

b) Por la diferencia de cuadrados:

${A}={4-(x+1)^2}={2^2-(x+1)^2}={(2-x-1)(2+x+1)}$

$=(1-x)(x+3).$

Problema 23. Una expresión con un parámetro

Considere la expresión ${x^2-2kx+k+2}.$

a) Halle $k$ si el valor de la expresión para ${x=1}$ es $0.$

b) Sustituya este valor de $k$ y factorice la expresión.

Solución. a) Para ${x=1}\text{:}$ ${1^2-2k\cdot1+k+2=0},$ es decir, ${3-k=0},$ así que ${k=3}.$

b) Para ${k=3}$ la expresión es ${x^2-2\cdot3x+3+2}={{x^2-6x+5}.}$ Entonces ${x^2-6x+5}={x^2-x-5x+5}={x(x-1)-5(x-1)}={{(x-1)(x-5)}.}$

Problema 24. El valor mínimo

Considere la expresión ${A=(2x-3)^2+5}.$

a) Halle el valor mínimo de $A.$

b) Escriba ${A-(x-3)^2}$ como un polinomio en $x.$

c) Factorice ${9-A}.$

Solución. a) ${(2x-3)^2\ge0},$ así que ${A\ge5},$ y ${A=5}$ para ${x=\frac{3}{2}}.$ El valor mínimo de $A$ es $5.$

b) ${A-(x-3)^2}={4x^2-12x+9+5}-{(x^2-6x+9)}={{3x^2-6x+5}.}$

c) ${9-A}={9-\left[(2x-3)^2+5\right]}={4-(2x-3)^2}={(2-2x+3)(2+2x-3)}={{(5-2x)(2x-1)}.}$

Problema 25. Demuestre la identidad

a) ${(a^2+2)^2}-{(a-2)(a+2)(a^2+4)}={4(a^2+5);}$ b) ${(a+b)^3}={a(a-3b)^2}+{b(b-3a)^2;}$ c) ${5(a+b)^2-4a^2-4ab}={(a+b)(a+5b).}$

Solución. a) ${(a-2)(a+2)(a^2+4)}={(a^2-4)(a^2+4)}={{a^4-16},}$ así que

${(a^2+2)^2}-{(a-2)(a+2)(a^2+4)}={a^4+4a^2+4-(a^4-16)}$

$=4a^2+20=4(a^2+5).$

b) Transformamos el lado derecho:

${a(a-3b)^2}+{b(b-3a)^2}={a(a^2-6ab+9b^2)}+{b(b^2-6ab+9a^2)}$

$={a^3-6a^2b+9ab^2}+{b^3-6ab^2+9a^2b}$

$={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}={(a+b)^3.}$

${5(a+b)^2-4a^2-4ab}={5a^2+10ab}+{5b^2-4a^2-4ab}$

$={a^2+6ab+5b^2}={a^2+ab+5ab+5b^2}$

$={a(a+b)+5b(a+b)}={(a+b)(a+5b).}$

Problema 26. Simplifique la expresión

a) ${4(a-6)}-{a^2(2+3a)}+{a(5a-4)+3a^2(a-1);}$ b) ${(a^2-1)^2}-{(a-1)(a^2+1)(a+1);}$ c) ${(a+1)^3+(a-1)^3}-{2a(a+1)(a-1);}$ d) ${(a+5)^3}-{a(a-5)^2-25(a+1)^2.}$

Solución. a)

${4(a-6)-a^2(2+3a)}+{a(5a-4)+3a^2(a-1)}$

$={4a-24-2a^2-3a^3}+{5a^2-4a+3a^3-3a^2}={-24.}$

b) ${(a-1)(a+1)(a^2+1)}={(a^2-1)(a^2+1)}={{a^4-1},}$ así que

${(a^2-1)^2}-{(a-1)(a^2+1)(a+1)}={a^4-2a^2+1-(a^4-1)}$

$=2-2a^2.$

${(a+1)^3+(a-1)^3}-{2a(a+1)(a-1)}$

$={a^3+3a^2+3a+1+a^3-3a^2}+{3a-1-2a(a^2-1)}$

$={2a^3+6a-2a^3+2a}={8a.}$

${(a+5)^3}-{a(a-5)^2-25(a+1)^2}$

$={a^3+15a^2+75a+125}-{(a^3-10a^2+25a)}-{25(a^2+2a+1)}$

$={a^3+15a^2+75a+125}-{a^3+10a^2-25a}-{25a^2-50a-25}$

$=100.$

Problema 27. Demuestre la identidad

a) ${(a+b+c)(a+b-c)}={a^2+b^2-c^2+2ab;}$ b) ${(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}={a^4+a^2b^2+b^4.}$

Solución. En los dos productos agrupamos los términos para obtener una diferencia de cuadrados.

a) ${(a+b+c)(a+b-c)}={\left[(a+b)+c\right]\left[(a+b)-c\right]}={(a+b)^2-c^2}={{a^2+2ab+b^2-c^2}.}$

${(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}={\left[(a^2+b^2)-ab\right]\left[(a^2+b^2)+ab\right]}$

$={(a^2+b^2)^2-(ab)^2}={a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2}$

$=a^4+a^2b^2+b^4.$

Problema 28. Factorización

a) ${x^2y-y+xy^2-x};$ b) ${x-1+2ax-2a-y+xy};$ c) ${4x^2-12xy}+{9y^2-4x+6y;}$ d) ${x^2+6x-y^2-4y+5}.$

Solución. a) ${x^2y-y+xy^2-x}={xy(x+y)-(x+y)}={{(x+y)(xy-1)}.}$

b) ${x-1+2ax-2a-y+xy}={(x-1)}+{2a(x-1)+y(x-1)}={{(x-1)(1+2a+y)}.}$

c) Los tres primeros términos forman un cuadrado: ${4x^2-12xy+9y^2}={{(2x-3y)^2}.}$ Así,

${4x^2-12xy}+{9y^2-4x+6y}={(2x-3y)^2}-{2(2x-3y)}$

$={(2x-3y)(2x-3y-2).}$

d) Completamos dos cuadrados: ${x^2+6x=(x+3)^2-9}$ e ${y^2+4y=(y+2)^2-4}.$ Entonces

${x^2+6x-y^2-4y+5}={(x+3)^2-9}-{(y+2)^2+4+5}$

$={(x+3)^2-(y+2)^2}={(x+3-y-2)(x+3+y+2)}$

$={(x-y+1)(x+y+5).}$

Más práctica

Expresiones racionales: problemas resueltos (parte 1) (problemas 1–16).
Expresiones racionales: la lección.
Identidades polinomiales.
Calculadora de factorización de polinomios (con pasos).