Cómo graficar funciones cuadráticas (parábolas)

Una función cuadrática es una función de la forma ${f(x)=ax^2+bx+c},$ donde $a,$ $b$ y $c$ son números y ${a\ne0}.$ Su gráfica es una curva llamada parábola. En esta lección aprenderá a trazar esta gráfica de forma rápida y precisa: hacia dónde se abre la parábola, dónde está su vértice, dónde corta los ejes y qué puntos conviene poner en la tabla de valores. Después encontrará ejemplos resueltos con gráficas y problemas para practicar con respuestas.

En esta página: La parábola · El coeficiente a · Vértice y eje de simetría · Cortes con los ejes · Pasos para graficar · Ejemplos resueltos · Forma canónica · Propiedades · Ecuación desde la gráfica · Foco y directriz · Para practicar

La función cuadrática y la parábola

La gráfica de una función $f$ es el conjunto de todos los puntos ${(x,\ f(x))}$ del plano cartesiano: para cada $x$ avanzamos $x$ unidades a lo largo del eje $x$ y $f(x)$ unidades a lo largo del eje $y$ (vea Plano cartesiano y gráficas). Por ejemplo, si ${f(x)=3x-1},$ entonces ${f(2)=3\cdot2-1=5},$ así que el punto $(2,\ 5)$ pertenece a la gráfica de $f.$

La función cuadrática más sencilla es ${f(x)=x^2}.$ Hagamos una tabla de valores:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Representamos los siete puntos y los unimos con una curva suave (no con segmentos rectos):

Esta figura muestra las características principales de toda parábola:

• El punto más bajo de la gráfica es $(0,\ 0).$ Se llama vértice de la parábola.
• La gráfica es simétrica respecto al eje $y\text{:}$ $x$ y $-x$ dan el mismo valor, por ejemplo ${f(-2)=f(2)=4}.$ La recta de simetría de una parábola se llama eje de simetría.
• Lejos del vértice, la gráfica sube cada vez más rápido: de ${x=0}$ a ${x=1}$ el valor aumenta en 1, y de ${x=2}$ a ${x=3}$ aumenta en 5.

El coeficiente a: dirección y anchura

Ahora comparemos ${y=x^2}$ con ${y=ax^2}$ para otros valores de $a.$ Cada valor de $x^2$ se multiplica por $a\text{:}$

${y=x^2}$ (negro), ${\textcolor{#c0392b}{y=2x^2}}$ (rojo), ${\textcolor{#2b7a2b}{y=\frac{1}{2}x^2}}$ (verde) y ${\textcolor{#1b64a8}{y=-x^2}}$ (azul).

Los números $b$ y $c$ no cambian la forma de la parábola. Como veremos más adelante, la gráfica de ${y=ax^2+bx+c}$ es la parábola ${y=ax^2}$ trasladada a otro lugar.

El vértice y el eje de simetría

Para hallar el vértice, completamos el cuadrado. Dentro del paréntesis sumamos $\frac{b^2}{4a^2},$ y fuera de él restamos ${a\cdot\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a}}\text{:}$

${ax^2+bx+c}={a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c}$

$={a\left(x^2+2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x+\frac{b^2}{4a^2}\right)}-{\frac{b^2}{4a}+c}$

$={a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.}$

Con el discriminante ${D=b^2-4ac}$ (también se escribe $\Delta$) obtenemos la forma canónica (forma de vértice) de la función cuadrática:

$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a}.$$

El cuadrado ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}$ nunca es negativo, y vale $0$ solo para ${x=-\frac{b}{2a}}.$ Por lo tanto:

• si ${a\gt0},$ el valor mínimo de $f$ es ${-\frac{D}{4a}},$ y $f$ lo alcanza en ${x=-\frac{b}{2a}};$
• si ${a\lt0},$ el valor máximo de $f$ es ${-\frac{D}{4a}},$ y $f$ lo alcanza en ${x=-\frac{b}{2a}}.$

En la práctica, muchas veces es más fácil hallar la coordenada $y$ del vértice por sustitución: ${y_V=f(x_V)},$ donde ${x_V=-\frac{b}{2a}}.$ Las dos maneras dan el mismo número.

Si ${a\gt0},$ el vértice es el punto más bajo (mínimo); si ${a\lt0},$ es el punto más alto (máximo).

¿Por qué la recta ${x=-\frac{b}{2a}}$ es un eje de simetría? En la forma canónica, $f(x)$ depende solo de la distancia de $x$ a ${-\frac{b}{2a}}.$ Dos números situados a la misma distancia a la izquierda y a la derecha de ${-\frac{b}{2a}}$ dan el mismo valor de $f,$ así que los puntos de la gráfica van por parejas, simétricos entre sí respecto a esta recta. Por eso, al hacer una tabla de valores, elegimos valores de $x$ simétricos respecto a ${-\frac{b}{2a}}\text{:}$ cada valor que calculamos nos da dos puntos de la gráfica.

Puntos de corte con los ejes

Los puntos donde la gráfica corta los ejes de coordenadas son los más importantes para trazarla.

I. El eje $y.$ Todo punto del eje $y$ tiene la coordenada $x$ igual a $0.$ Por lo tanto, la gráfica corta el eje $y$ en el punto ${(0,\ f(0))},$ y para una función cuadrática ${f(0)}={a\cdot0^2+b\cdot0+c}={c\text{:}}$

La parábola ${y=ax^2+bx+c}$ corta el eje $y$ en el punto ${(0,\ c)}.$

El punto simétrico de ${(0,\ c)}$ respecto al eje ${x=-\frac{b}{2a}}$ es ${\left(-\frac{b}{a},\ c\right)},$ y también pertenece a la gráfica. Comprobación: ${f\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{a}+c=c}.$

II. El eje $x.$ Todo punto del eje $x$ tiene la coordenada $y$ igual a $0.$ Por lo tanto, la gráfica corta el eje $x$ en los puntos ${(x,\ 0)}$ para los que ${f(x)=0}\text{:}$

Para hallar dónde corta la parábola el eje $x,$ resuelva la ecuación cuadrática ${ax^2+bx+c=0}.$

El número de soluciones depende del signo del discriminante ${D=b^2-4ac}$ (vea Ecuaciones cuadráticas):

• ${D\gt0}\text{:}$ dos raíces distintas ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}};$ llamamos $x_1$ a la menor y $x_2$ a la mayor. La parábola corta el eje $x$ en dos puntos, ${(x_1,\ 0)}$ y ${(x_2,\ 0)}.$
• ${D=0}\text{:}$ una raíz doble, ${x_1=x_2=-\frac{b}{2a}}.$ La parábola toca el eje $x$ en su vértice.
• ${D\lt0}\text{:}$ no hay raíces reales. La parábola no corta el eje $x\text{:}$ queda toda por encima de él (si ${a\gt0}$) o toda por debajo (si ${a\lt0}$).

Las seis posiciones posibles de una parábola respecto al eje $x.$

Pasos necesarios para graficar una función cuadrática

Para trazar la gráfica de ${f(x)=ax^2+bx+c}\text{:}$

1. Dirección. Fíjese en el signo de $a\text{:}$ si ${a\gt0},$ la parábola se abre hacia arriba; si ${a\lt0},$ se abre hacia abajo.
2. Vértice. Calcule ${x_V=-\frac{b}{2a}}$ e ${y_V=f(x_V)}$ (o ${y_V=-\frac{D}{4a}}$). Trace el eje de simetría ${x=x_V}$ con una línea discontinua.
3. El corte con el eje $y.$ Represente ${(0,\ c)}$ y su punto simétrico ${\left(-\frac{b}{a},\ c\right)}.$
4. Los cortes con el eje $x.$ Resuelva ${f(x)=0}.$ Si ${D\lt0},$ no hay ninguno; si ${D=0},$ solo está el vértice. En ambos casos, elija uno o dos pares más de valores de $x$ simétricos respecto a $x_V$ y calcule $f$ en ellos.
5. Tabla de valores. Escriba todos estos puntos en una tabla, ordenados según $x.$
6. Trazado. Represente los puntos y únalos con una curva suave. La curva es simétrica respecto al eje de simetría, redondeada en el vértice (no en punta) y continúa más allá de los últimos puntos.

Cuando ${D\gt0},$ la tabla suele tener estas cinco columnas:

$x$	$x_1$	$0$	$-\frac{b}{2a}$	$-\frac{b}{a}$	$x_2$
$f(x)$	$0$	$c$	$-\frac{D}{4a}$	$c$	$0$

Las columnas deben ir en orden creciente de $x,$ y ese orden depende de la función: por ejemplo, si ${-\frac{b}{2a}\lt0},$ el punto simétrico ${-\frac{b}{a}}$ queda a la izquierda de $0.$ Si ${b=0},$ el propio vértice es ${(0,\ c)};$ si ${c=0},$ el origen es uno de los cortes con el eje $x.$ En esos casos, tome un par más de valores de $x$ simétricos respecto a $x_V.$

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Trace la gráfica de ${f(x)=x^2-2x-3}.$

1) ${a=1\gt0},$ así que la parábola se abre hacia arriba.

2) ${x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot1}=1}$ e ${y_V}={f(1)}={1-2-3}={-4.}$ El vértice es ${V(1,\ -4)},$ y el eje de simetría es la recta ${x=1}.$ (Con la fórmula: ${D}={(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}={16}$ y ${-\frac{D}{4a}=-\frac{16}{4}=-4}.$)

3) ${f(0)=-3}$ da el punto ${(0,\ -3)}.$ El número simétrico de $0$ respecto a $1$ es $2,$ así que ${(2,\ -3)}$ también pertenece a la gráfica.

4) ${x^2-2x-3=0}\text{:}$ ${x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}},$ de donde ${x_1=-1}$ y ${x_2=3}.$ Los puntos son ${(-1,\ 0)}$ y ${(3,\ 0)}.$

5) Para ver mejor la forma, añadimos el par simétrico ${x=-2}$ y ${x=4}\text{:}$ ${f(-2)=f(4)=5}.$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Ejemplo 2. Trace la gráfica de ${f(x)=-x^2-2x+8}.$

1) ${a=-1\lt0},$ así que la parábola se abre hacia abajo.

2) ${x_V=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1}$ e ${y_V}={f(-1)}={-1+2+8}={9.}$ El vértice es ${V(-1,\ 9)},$ y el eje de simetría es ${x=-1}.$ (También ${D}={(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot8}={36}$ y ${-\frac{D}{4a}=-\frac{36}{-4}=9}.$)

3) ${f(0)=8}\text{:}$ el punto ${(0,\ 8)}.$ El número simétrico de $0$ respecto a $-1$ es $-2,$ así que también ${f(-2)=8}.$

4) ${-x^2-2x+8=0}$ equivale a ${x^2+2x-8=0},$ de donde ${x_1=-4}$ y ${x_2=2}.$

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$
$f(x)$	$0$	$8$	$9$	$8$	$0$

Ejemplo 3. Trace la gráfica de ${f(x)=x^2-4x+4}.$

1) ${a=1\gt0}\text{:}$ la parábola se abre hacia arriba.

2) ${x_V=-\frac{-4}{2\cdot1}=2}$ e ${y_V=4-8+4=0}.$ El vértice es ${V(2,\ 0)};$ está sobre el eje $x.$

3) ${f(0)=4},$ y el número simétrico de $0$ respecto a $2$ es $4\text{:}$ los puntos ${(0,\ 4)}$ y ${(4,\ 4)}.$

4) ${{D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0}\text{:}}$ la ecuación ${x^2-4x+4=0}$ tiene la raíz doble ${x_1=x_2=2},$ así que la parábola toca el eje $x$ en su vértice. De hecho, ${x^2-4x+4=(x-2)^2}.$ Añadimos dos pares simétricos más: ${f(1)=f(3)=1}$ y ${f(-1)=f(5)=9}.$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Ejemplo 4. Trace la gráfica de ${f(x)=-x^2+4x-5}.$

1) ${a=-1\lt0}\text{:}$ la parábola se abre hacia abajo.

2) ${x_V=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2}$ e ${y_V=-4+8-5=-1}.$ El vértice es ${V(2,\ -1)}.$

3) ${f(0)=-5},$ y el número simétrico de $0$ respecto a $2$ es $4\text{:}$ los puntos ${(0,\ -5)}$ y ${(4,\ -5)}.$

4) ${D}={4^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)}={16-20}={-4}\lt{0\text{:}}$ la ecuación ${-x^2+4x-5=0}$ no tiene soluciones reales, y la parábola no corta el eje $x.$ Se abre hacia abajo desde el vértice ${(2,\ -1)},$ así que queda toda por debajo del eje $x.$ Elegimos más valores simétricos respecto a $2\text{:}$ ${f(1)=f(3)=-2}$ y ${f(-1)=f(5)=-10}.$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$-10$	$-5$	$-2$	$-1$	$-2$	$-5$	$-10$

Ejemplo 5. Trace la gráfica de ${f(x)=2x^2-6x+3}.$ Aquí el vértice y las raíces no son números enteros.

1) ${a=2\gt0}\text{:}$ la parábola se abre hacia arriba y es más estrecha que ${y=x^2}.$

2) ${x_V=-\frac{-6}{2\cdot2}=\frac{3}{2}}$ e ${y_V}={2\cdot\frac{9}{4}-6\cdot\frac{3}{2}+3}={\frac{9}{2}-9+3}={-\frac{3}{2}.}$ El vértice es ${V\left(\frac{3}{2},\ -\frac{3}{2}\right)},$ es decir, ${(1{,}5;\ -1{,}5)}.$

3) ${f(0)=3};$ el número simétrico de $0$ es ${-\frac{b}{a}=3},$ así que ${f(3)=3}.$

4) ${D=36-24=12}$ y ${x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}}.$ Para representar estos puntos los redondeamos: ${x_1\approx0{,}63}$ y ${x_2\approx2{,}37}.$

5) Un par simétrico más: ${f(1)=f(2)=-1}.$

$x$	$0$	$\approx0{,}63$	$1$	$1{,}5$	$2$	$\approx2{,}37$	$3$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$-1{,}5$	$-1$	$0$	$3$

Si el dominio de la función no es el conjunto de todos los números reales sino un intervalo, trazamos solo la parte de la parábola cuyos puntos tienen $x$ en ese intervalo. Los extremos del intervalo deben estar en la tabla.

Ejemplo 6. Trace la gráfica de ${f(x)=x^2-2x-3}$ para ${x\ge0},$ es decir, ${f\colon[0,\ +\infty)\to\mathbb{R}}.$

Es la función del ejemplo 1: el vértice es ${V(1,\ -4)},$ ${f(0)=-3}$ y ${f(2)=-3}.$ De las raíces $-1$ y $3,$ solo ${x=3}$ está en el dominio, porque ${-1\lt0}.$ El extremo ${x=0}$ pertenece al dominio, así que el punto ${(0,\ -3)}$ se dibuja relleno.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

La gráfica es la parte de la parábola trazada con línea continua. La parte discontinua, para ${x\lt0},$ no pertenece a ella.

Puede ver cómo cambia la parábola al variar $a,$ $b$ y $c$ en el Programa para graficar y estudiar funciones: mueva los deslizadores, y el vértice, los puntos de corte y la tabla de valores se actualizan al instante.

Graficar a partir de la forma canónica

Denotemos las coordenadas del vértice como ${h=-\frac{b}{2a}}$ y ${k=-\frac{D}{4a}}.$ Entonces la forma canónica de la función cuadrática queda así:

$$y=a(x-h)^2+k.$$

Ejemplo 7. Trace la gráfica de ${y=x^2+2x-3}$ trasladando la gráfica de ${y=x^2}.$

Completamos el cuadrado: ${x^2+2x-3}={(x^2+2x+1)-1-3}={(x+1)^2-4.}$ Por lo tanto, ${h=-1}$ y ${k=-4}\text{:}$ la gráfica es la parábola ${y=x^2}$ trasladada $1$ unidad a la izquierda y $4$ unidades hacia abajo, y su vértice es ${(-1,\ -4)}.$ Los cortes con el eje $x$ se obtienen de ${(x+1)^2=4},$ es decir, ${x+1=\pm2}\text{:}$ ${x=-3}$ y ${x=1}.$ El corte con el eje $y$ es ${(0,\ -3)}.$

Si ${D\ge0},$ una función cuadrática también se puede escribir en forma factorizada ${y=a(x-x_1)(x-x_2)}.$ Entonces las raíces $x_1$ y $x_2$ se leen directamente, y el eje de simetría está justo a mitad de camino entre ellas: ${x_V=\frac{x_1+x_2}{2}}.$ Por ejemplo, la parábola ${y=-(x-1)(x+3)}$ corta el eje $x$ en $1$ y en $-3,$ así que ${x_V=\frac{1+(-3)}{2}=-1}$ e ${y_V}={-(-1-1)(-1+3)}={4.}$ Su vértice es ${(-1,\ 4)}.$ Las tres formas se comparan en la tabla Tres formas de escribir una función cuadrática.

Propiedades de la función cuadrática

La gráfica muestra de un vistazo las propiedades principales de ${f(x)=ax^2+bx+c}.$ A continuación, ${x_V=-\frac{b}{2a}}$ e ${y_V=-\frac{D}{4a}}$ son las coordenadas del vértice, y ${x_1\lt x_2}$ son las raíces cuando ${D\gt0}.$

Propiedad	${a\gt0}$	${a\lt0}$
Dominio	todos los números reales	todos los números reales
Recorrido	${[y_V,\ +\infty)}$	${(-\infty,\ y_V]}$
Valor extremo	mínimo $y_V$ en ${x=x_V},$ sin máximo	máximo $y_V$ en ${x=x_V},$ sin mínimo
Crecimiento y decrecimiento	decreciente en ${(-\infty,\ x_V]},$ creciente en ${[x_V,\ +\infty)}$	creciente en ${(-\infty,\ x_V]},$ decreciente en ${[x_V,\ +\infty)}$
Signo si ${D\gt0}$	${f(x)\lt0}$ entre las raíces, ${f(x)\gt0}$ para ${x\lt x_1}$ y para ${x\gt x_2}$	${f(x)\gt0}$ entre las raíces, ${f(x)\lt0}$ para ${x\lt x_1}$ y para ${x\gt x_2}$
Signo si ${D=0}$	${f(x)\gt0}$ para todo ${x\ne x_V}$	${f(x)\lt0}$ para todo ${x\ne x_V}$
Signo si ${D\lt0}$	${f(x)\gt0}$ para todo $x$	${f(x)\lt0}$ para todo $x$

Ejemplo 8. Lea las propiedades de ${f(x)=x^2-2x-3}$ en su gráfica del ejemplo 1.

El vértice es ${(1,\ -4)}$ y la parábola se abre hacia arriba, así que el valor mínimo de $f$ es $-4$ (en ${x=1}$) y el recorrido (imagen) es ${[-4,\ +\infty)}.$ La función es decreciente en ${(-\infty,\ 1]}$ y creciente en ${[1,\ +\infty)}.$ Sus raíces (ceros) son $-1$ y $3;$ ${f(x)\lt0}$ para ${-1\lt x\lt3}$ (ahí la gráfica está por debajo del eje $x$), y ${f(x)\gt0}$ para ${x\lt-1}$ y para ${x\gt3}.$ Así se resuelven las inecuaciones cuadráticas (vea Inecuaciones polinómicas y racionales): la inecuación ${x^2-2x-3\lt0}$ se cumple exactamente para ${-1\lt x\lt3}.$

Cómo hallar la ecuación de una parábola a partir de su gráfica

Ejemplo 9. Halle la función cuadrática cuya gráfica se muestra en la figura.

Solución 1 (forma factorizada). La parábola corta el eje $x$ en $-1$ y en $3,$ así que ${y=a(x+1)(x-3)}.$ Pasa por ${(0,\ 3)}\text{:}$ ${3=a\cdot1\cdot(-3)},$ de donde ${a=-1}$ y

${y}={-(x+1)(x-3)}={-x^2+2x+3.}$

Solución 2 (forma canónica). El vértice es ${(1,\ 4)},$ así que ${y=a(x-1)^2+4}.$ El punto ${(3,\ 0)}$ pertenece a la gráfica: ${0=a\cdot2^2+4},$ de donde ${a=-1}$ e ${y}={-(x-1)^2+4}={-x^2+2x+3.}$

Si solo conocemos tres puntos de la gráfica y ninguno de ellos es el vértice ni una raíz, los sustituimos en ${y=ax^2+bx+c}$ y resolvemos el sistema de tres ecuaciones lineales con las incógnitas $a,$ $b$ y $c.$

Cómo se construye una parábola: foco y directriz (animación)

Una parábola también se puede definir geométricamente, sin fórmula. Tomemos una recta $d,$ llamada directriz, y un punto $F$ que no está en ella, llamado foco. La parábola es el conjunto de todos los puntos $M$ que están a la misma distancia del foco que de la directriz: ${MF=MH},$ donde $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $M$ a $d.$

El punto $M$ se mueve por la parábola ${y=\frac{x^2}{4}}.$ Su distancia al foco ${F(0,\ 1)}$ es siempre igual a su distancia a la directriz ${y=-1}.$

Comprobémoslo para la parábola ${y=\frac{x^2}{4}}.$ Para un punto ${M\left(x,\ \frac{x^2}{4}\right)},$ la distancia a la directriz es ${MH=\frac{x^2}{4}+1},$ y

${MF^2}={x^2+\left(\frac{x^2}{4}-1\right)^2}={\frac{x^4}{16}+\frac{x^2}{2}+1}={\left(\frac{x^2}{4}+1\right)^2,}$

así que ${MF=MH}.$ En general, la parábola ${y=ax^2}$ tiene el foco ${\left(0,\ \frac{1}{4a}\right)}$ y la directriz ${y=-\frac{1}{4a}}.$ Un espejo con forma de parábola refleja hacia el foco todos los rayos paralelos a su eje, y convierte la luz de una lámpara situada en el foco en un haz de rayos paralelos. Por eso las antenas parabólicas y las cocinas solares (los rayos van al foco) y los faros de los coches (la luz sale del foco) tienen forma parabólica. Más sobre esta curva: Elipse, parábola, hipérbola.

Problemas para practicar

1. Sin trazar la gráfica, diga hacia dónde se abre cada parábola y halle su vértice y su eje de simetría: a) ${y=x^2+6x+5};$ b) ${y=-2x^2+8x-3};$ c) ${y=3x^2-12}.$

Respuesta

a) ${a=1\gt0},$ hacia arriba; ${x_V=-\frac{6}{2}=-3},$ ${y_V=9-18+5=-4};$ vértice ${(-3,\ -4)},$ eje ${x=-3}.$

b) ${a=-2\lt0},$ hacia abajo; ${x_V=-\frac{8}{-4}=2},$ ${y_V=-8+16-3=5};$ vértice ${(2,\ 5)},$ eje ${x=2}.$

c) ${a=3\gt0},$ hacia arriba; ${b=0},$ así que ${x_V=0}$ e ${y_V=-12};$ vértice ${(0,\ -12)},$ el eje de simetría es el eje $y$ (${x=0}$).

2. Halle los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas: a) ${y=x^2-x-6};$ b) ${y=x^2+4x+4};$ c) ${y=2x^2-x+3}.$

Respuesta

a) Eje $y\text{:}$ ${(0,\ -6)}.$ ${x^2-x-6=0}$ da ${x=-2}$ y ${x=3}\text{:}$ los puntos ${(-2,\ 0)}$ y ${(3,\ 0)}.$

b) Eje $y\text{:}$ ${(0,\ 4)}.$ ${x^2+4x+4=(x+2)^2=0}$ da ${x=-2}\text{:}$ la parábola toca el eje $x$ en ${(-2,\ 0)}.$

c) Eje $y\text{:}$ ${(0,\ 3)}.$ ${D=1-24=-23\lt0}\text{:}$ la gráfica no corta el eje $x.$

3. Trace la gráfica de ${y=x^2+2x-8}.$

Respuesta

Hacia arriba; ${x_V=-1},$ ${y_V=1-2-8=-9};$ el corte con el eje $y,$ ${(0,\ -8)},$ y su punto simétrico, ${(-2,\ -8)};$ las raíces ${x=-4}$ y ${x=2}.$ Un par más: ${f(-5)=f(3)=7}.$

$x$	$-5$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$3$
$y$	$7$	$0$	$-8$	$-9$	$-8$	$0$	$7$

4. Trace la gráfica de ${y=-x^2+6x-9}.$

Respuesta

${-x^2+6x-9}={-(x-3)^2.}$ Hacia abajo; el vértice ${(3,\ 0)}$ está sobre el eje $x$ (${D=0}$), y el eje de simetría es ${x=3}.$ El corte con el eje $y,$ ${(0,\ -9)},$ y su punto simétrico, ${(6,\ -9)};$ un par más: ${f(2)=f(4)=-1}.$

$x$	$0$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$-9$	$-1$	$0$	$-1$	$-9$

5. a) ¿Qué parábola es más ancha: ${y=3x^2}$ o ${y=\frac{1}{3}x^2}?$ b) ¿Cuáles de las parábolas ${y=-2x^2+1},$ ${y=5-x+x^2}$ e ${y=4-3x^2}$ se abren hacia abajo?

Respuesta

a) ${y=\frac{1}{3}x^2},$ porque $\frac{1}{3}$ está más cerca de $0$ que $3.$ b) ${y=-2x^2+1}$ (${a=-2}$) e ${y=4-3x^2}$ (${a=-3}$). En ${y=5-x+x^2}$ el coeficiente de $x^2$ es ${a=1\gt0},$ así que se abre hacia arriba.

6. Escriba en forma canónica e indique el vértice: a) ${y=x^2-6x+11};$ b) ${y=2x^2+4x-1}.$

Respuesta

a) ${x^2-6x+11}={(x^2-6x+9)+2}={(x-3)^2+2;}$ vértice ${(3,\ 2)}.$

b) ${2x^2+4x-1}={2(x^2+2x+1)-2-1}={2(x+1)^2-3;}$ vértice ${(-1,\ -3)}.$

7. Para ${f(x)=-x^2+4x+1},$ halle el valor máximo, el recorrido y los intervalos en los que $f$ es creciente y decreciente.

Respuesta

${x_V=-\frac{4}{-2}=2},$ ${y_V=-4+8+1=5}$ y ${a\lt0}.$ El valor máximo es $5$ (en ${x=2}$), y el recorrido es ${(-\infty,\ 5]};$ $f$ es creciente en ${(-\infty,\ 2]}$ y decreciente en ${[2,\ +\infty)}.$

8. Halle el valor mínimo y el valor máximo de ${f(x)=x^2-4x}$ para ${1\le x\le5}.$

Respuesta

${x_V=2}$ está en el intervalo ${[1,\ 5]},$ así que el valor mínimo es ${f(2)=-4}.$ El valor máximo se alcanza en uno de los extremos: ${f(1)=-3},$ ${f(5)=5},$ así que es $5.$ El recorrido de $f$ en este intervalo es ${[-4,\ 5]}.$

9. Halle la función cuadrática cuya gráfica tiene el vértice ${(2,\ -3)}$ y pasa por el punto ${(0,\ 1)}.$

Respuesta

${y=a(x-2)^2-3}$ y ${1=4a-3},$ de donde ${a=1}\text{:}$ ${y}={(x-2)^2-3}={x^2-4x+1.}$

10. La parábola ${y=x^2+bx+c}$ tiene el vértice ${(-2,\ 1)}.$ Halle $b$ y $c.$

Respuesta

${x_V=-\frac{b}{2}=-2},$ así que ${b=4}.$ Entonces ${y_V=4-8+c=1},$ de donde ${c=5}\text{:}$ ${y}={x^2+4x+5}={(x+2)^2+1.}$

11. ¿Para qué valores de $m$ la parábola ${y=x^2-4x+m}$ no corta el eje $x?$

Respuesta

Necesitamos ${D\lt0}\text{:}$ ${16-4m\lt0},$ es decir, ${m\gt4}.$

12. Se lanza una pelota hacia arriba. Su altura al cabo de $t$ segundos es ${h(t)=-5t^2+20t+1}$ metros. ¿En qué momento alcanza la altura máxima y cuál es esa altura?

Respuesta

La gráfica de $h$ es una parábola que se abre hacia abajo, así que la altura máxima se alcanza en el vértice: ${t_V=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2}$ segundos y ${h(2)}={-20+40+1}={21}$ metros.