Límites y continuidad de las funciones trigonométricas

En esta lección demostraremos que el seno y el coseno son funciones continuas, veremos dónde son continuas las demás funciones trigonométricas y calcularemos dos límites notables que se usan una y otra vez en el cálculo diferencial:

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1}$   y   ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0}.$

La definición de continuidad y sus propiedades se explican en la lección anterior, «Propiedades de las funciones continuas».

En esta página: Seno y coseno · Otras funciones trigonométricas · El teorema del sándwich · El límite de sen x / x · El límite de (1 − cos x) / x · Uso de los dos límites · Problemas

Continuidad del seno y del coseno

Para un ángulo agudo $\theta$ de un triángulo rectángulo, el seno y el coseno son cocientes entre lados:

${\operatorname{sen}\theta}={\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}},$   ${\cos\theta}={\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}}.$

Para ángulos de cualquier tamaño usamos la circunferencia unidad ${x^2+y^2=1}.$ A partir de ahora los ángulos se miden en radianes y escribimos $x$ en lugar de $\theta.$ Si la semirrecta que sale del origen y forma el ángulo $x$ con la parte positiva del eje $x$ (en sentido antihorario; en sentido horario si $x$ es negativo) corta a la circunferencia en el punto $P,$ entonces $P$ tiene las coordenadas ${(\cos x,\,\operatorname{sen}x)}.$

Estas son las gráficas de ${f(x)=\operatorname{sen}x}$ y ${g(x)=\cos x}.$ Ninguna de las dos tiene cortes.

Los límites en 0. Cuando $x$ tiende a $0,$ el punto ${P(\cos x,\,\operatorname{sen}x)}$ se mueve por la circunferencia hacia el punto $B(1,\,0),$ así que sus coordenadas tienden a las coordenadas de $B\text{:}$

${\lim_{x\to0}\operatorname{sen}x=0},$   ${\lim_{x\to0}\cos x=1}.$

Son exactamente los valores en $0\text{:}$ ${\operatorname{sen}0=0}$ y ${\cos0=1}.$ Recordemos la definición de continuidad:

Según esta definición, el seno y el coseno son continuos en $0.$

Teorema. Las funciones ${\operatorname{sen}x}$ y ${\cos x}$ son continuas en todo número real.

Demostración. Sea $c$ un número real cualquiera y pongamos ${h=x-c},$ es decir, ${x=c+h}.$ Entonces ${x\to c}$ significa lo mismo que ${h\to0},$ y la continuidad de $f$ en $c$ significa que

${\lim_{h\to0}f(c+h)=f(c)}.$

La función ${\operatorname{sen}x}$ está definida en todos los puntos. Por la fórmula del seno de una suma, las propiedades de los límites y los límites en $0,$

${\lim_{h\to0}\operatorname{sen}(c+h)}={\lim_{h\to0}(\operatorname{sen}c\cos h+\cos c\operatorname{sen}h)}$

$={\operatorname{sen}c\cdot\lim_{h\to0}\cos h}+{\cos c\cdot\lim_{h\to0}\operatorname{sen}h}={\operatorname{sen}c\cdot1+\cos c\cdot0}={{\operatorname{sen}c}.}$

Del mismo modo, con ${\cos(c+h)}={{\cos c\cos h-\operatorname{sen}c\operatorname{sen}h},}$

${\lim_{h\to0}\cos(c+h)}={\cos c\cdot1-\operatorname{sen}c\cdot0}={{\cos c}.}$

Continuidad de las demás funciones trigonométricas

Las demás funciones trigonométricas son cocientes formados con el seno y el coseno:

${\tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}},$   ${\cot x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}},$   ${\sec x=\frac{1}{\cos x}},$   ${\csc x=\frac{1}{\operatorname{sen}x}}.$

Un cociente de funciones continuas es continuo en todos los puntos en los que el denominador no vale $0.$ El coseno vale $0$ en ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi},$ es decir, en ${x=\pm\frac{\pi}{2}},$ ${\pm\frac{3\pi}{2}},$ ${\pm\frac{5\pi}{2}},$ …, y el seno vale $0$ en ${x=k\pi}$ ($k$ entero). Por lo tanto:

Función	Continua para todo $x$ salvo
${\tan x},$ ${\sec x}$	${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$
${\cot x},$ ${\csc x}$	${x=k\pi}$

En estos puntos las funciones no están definidas y sus gráficas tienen asíntotas verticales. Por ejemplo, ${\lim_{x\to(\pi/2)^-}\tan x=+\infty}$ y ${\lim_{x\to(\pi/2)^+}\tan x=-\infty}.$

En todo punto en el que una función trigonométrica es continua, su límite se calcula por sustitución.

Ejemplo 1. Halla los límites:

${\lim_{x\to\pi/4}\tan x}={\tan\frac{\pi}{4}}={1},$   ${\lim_{x\to\pi}x\cos x}={\pi\cos\pi}={-\pi},$   ${\lim_{x\to0}\cos(x^2+x)}={\cos0}={1}.$

En el último límite hemos usado el teorema de las funciones compuestas: ${\cos(x^2+x)}$ es una función continua de la función continua ${x^2+x}.$

Cálculo de límites por acotación

Consideremos ahora los límites ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}}$ y ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}}.$ Aquí la sustitución no sirve: en ${x=0}$ las dos fracciones se convierten en ${\frac{0}{0}}.$ Cuando $x$ tiende a $0,$ el numerador tiende a $0,$ lo que empuja la fracción hacia $0,$ mientras que el denominador también tiende a $0,$ lo que hace crecer la fracción. ¿Cuál de los dos efectos gana? No hay ningún factor común que se pueda simplificar algebraicamente, como hacíamos con las funciones racionales. Las gráficas sugieren las respuestas $1$ y $0\text{:}$

Para demostrar límites como estos usamos el siguiente teorema.

Teorema del sándwich (o del emparedado). Sean $f,$ $g$ y $h$ funciones tales que ${g(x)\le f(x)\le h(x)}$ para todo $x$ de algún intervalo abierto que contiene el punto $c,$ salvo quizá en el propio $c.$ Si ${\lim_{x\to c}g(x)}={\lim_{x\to c}h(x)}={L},$ entonces también ${\lim_{x\to c}f(x)=L}.$

La función $f$ queda atrapada entre $g$ y $h,$ y las dos tienden al mismo número $L,$ así que $f$ no tiene otro sitio adonde ir: también tiende a $L.$

Ejemplo 2. Usa el teorema del sándwich para hallar ${\lim_{x\to0}x^2\operatorname{sen}^2\frac{1}{x}}.$

No podemos usar la propiedad del producto, porque ${\lim_{x\to0}\operatorname{sen}^2\frac{1}{x}}$ no existe (la función oscila entre $0$ y $1$). Pero para todo ${x\ne0}$ se cumple ${-1\le\operatorname{sen}\frac{1}{x}\le1},$ así que ${0\le\operatorname{sen}^2\frac{1}{x}\le1}.$ Al multiplicar por ${x^2\ge0}$ obtenemos

${0}\le{x^2\operatorname{sen}^2\frac{1}{x}}\le{x^2}.$

Como ${\lim_{x\to0}0=\lim_{x\to0}x^2=0},$ el teorema del sándwich da ${\lim_{x\to0}x^2\operatorname{sen}^2\frac{1}{x}=0}.$

La misma idea permite justificar con rigor los límites del seno y del coseno en $0\text{:}$ el segmento que va de $P$ al eje $x,$ de longitud ${|\operatorname{sen}x|},$ es más corto que el arco $BP,$ de longitud $|x|,$ así que ${-|x|\le\operatorname{sen}x\le|x|},$ y el teorema del sándwich da ${\lim_{x\to0}\operatorname{sen}x=0}.$

El límite de sen x / x

La demostración usa el área de un sector circular. Un sector de ángulo $\theta$ (en radianes) es la fracción ${\frac{\theta}{2\pi}}$ del círculo completo, cuya área es ${\pi r^2},$ así que su área es

${A}={\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2}={\frac{1}{2}r^2\theta}.$

Teorema. ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1}.$

Demostración. Supongamos primero que ${0\lt x\lt\frac{\pi}{2}}.$ En la circunferencia unidad tomamos los puntos $O(0,\,0),$ $B(1,\,0),$ ${P(\cos x,\,\operatorname{sen}x)}$ y ${Q(1,\,\tan x)},$ el punto en el que la semirrecta $OP$ corta a la recta vertical que pasa por $B$ (esta recta es tangente a la circunferencia en $B;$ en el triángulo rectángulo $OBQ$ se tiene ${BQ=OB\cdot\tan x=\tan x}$). El triángulo $OBP$ está contenido en el sector $OBP,$ que a su vez está contenido en el triángulo $OBQ\text{:}$

Sus áreas son (la base es ${OB=1};$ las alturas de los triángulos son $\operatorname{sen}x$ y ${BQ=\tan x}$):

${A_{\triangle OBP}}={\frac{1}{2}\cdot1\cdot\operatorname{sen}x}={\frac{1}{2}\operatorname{sen}x},$   ${A_{\text{sector}}}={\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot x}={\frac{1}{2}x},$   ${A_{\triangle OBQ}}={\frac{1}{2}\cdot1\cdot\tan x}={\frac{1}{2}\tan x},$

de modo que

${0}\lt{\frac{1}{2}\operatorname{sen}x}\lt{\frac{1}{2}x}\lt{{\frac{1}{2}\tan x}.}$

Al dividir entre el número positivo ${\frac{1}{2}\operatorname{sen}x}$ obtenemos ${1\lt\frac{x}{\operatorname{sen}x}\lt\frac{1}{\cos x}},$ y al tomar los inversos (lo que invierte el sentido de las desigualdades) obtenemos

${\cos x}\lt{\frac{\operatorname{sen}x}{x}}\lt{1}.$

Si ${-\frac{\pi}{2}\lt x\lt0},$ entonces ${0\lt-x\lt\frac{\pi}{2}},$ así que la desigualdad que acabamos de demostrar se cumple para $-x\text{:}$ ${\cos(-x)}\lt{\frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x}}\lt{1}.$ Como ${\cos(-x)=\cos x}$ y ${\frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x}}={\frac{-\operatorname{sen}x}{-x}}={{\frac{\operatorname{sen}x}{x}},}$ se obtiene de nuevo ${\cos x\lt\frac{\operatorname{sen}x}{x}\lt1}.$ Por lo tanto, la desigualdad se cumple para todo $x$ con ${0\lt|x|\lt\frac{\pi}{2}}.$ Por último, ${\lim_{x\to0}\cos x=1}$ y ${\lim_{x\to0}1=1},$ así que, por el teorema del sándwich,

$$\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.$$

Recuerda que esto es válido para $x$ en radianes: la fórmula del área ${\frac{1}{2}r^2\theta}$ solo es cierta para un ángulo medido en radianes.

El límite de (1 − cos x) / x

Teorema. ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0}.$

Demostración. Multiplicamos el numerador y el denominador por ${1+\cos x}$ y usamos que ${1-\cos^2x=\operatorname{sen}^2x}\text{:}$

${\frac{1-\cos x}{x}}={\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)}}={\frac{\operatorname{sen}^2x}{x(1+\cos x)}}={{\frac{\operatorname{sen}x}{x}\cdot\frac{\operatorname{sen}x}{1+\cos x}}.}$

Cuando ${x\to0},$ el primer factor tiende a $1$ y el segundo tiende a ${\frac{0}{1+1}=0},$ así que el límite es ${1\cdot0=0}.$

Uso de los dos límites

Ejemplo 3. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}}={\lim_{x\to0}\left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\right)}={1\cdot1}={{1}.}$

Ejemplo 4. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}3x}{x}}.$

Escribimos la fracción de modo que el argumento del seno aparezca también en el denominador y ponemos ${t=3x}$ (${t\to0}$ cuando ${x\to0}$):

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}3x}{x}}={\lim_{x\to0}3\cdot\frac{\operatorname{sen}3x}{3x}}={3\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}}={{3}.}$

Ejemplo 5. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}.$

Como en la demostración anterior, multiplicamos por ${1+\cos x}\text{:}$

${\frac{1-\cos x}{x^2}}={\frac{\operatorname{sen}^2x}{x^2(1+\cos x)}}={{\left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}},}$

que tiende a ${1^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}.$

Problemas para practicar

1. Halla ${\lim_{x\to\pi/6}(\operatorname{sen}x+\cos2x)}.$

Respuesta

Las dos funciones son continuas: ${\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}}={\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}={{1}.}$

2. ¿Dónde es continua ${f(x)=\frac{\tan x}{x}}?$

Respuesta

En todo $x$ salvo en ${x=0}$ (el denominador vale $0$) y en ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$ (la tangente no está definida). La discontinuidad en $0$ es evitable: allí el límite es $1$ (ejemplo 3).

3. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}5x}{x}}.$

Respuesta

${5\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}5x}{5x}=5}.$

4. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{x}}.$

Respuesta

${\frac{\tan2x}{x}}={{2\cdot\frac{\operatorname{sen}2x}{2x}\cdot\frac{1}{\cos2x}},}$ que tiende a ${2\cdot1\cdot1=2}.$

5. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}2x}{\operatorname{sen}3x}}.$

Respuesta

${\frac{\operatorname{sen}2x}{\operatorname{sen}3x}}={{\frac{\operatorname{sen}2x}{2x}\cdot\frac{3x}{\operatorname{sen}3x}\cdot\frac{2}{3}},}$ que tiende a ${1\cdot1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}}.$

6. Halla ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}}.$

Respuesta

Como ${1-\cos2x=2\operatorname{sen}^2x},$ la fracción es ${2\left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)^2},$ que tiende a $2.$

7. Usa el teorema del sándwich para hallar ${\lim_{x\to0}x\operatorname{sen}\frac{1}{x}}.$

Respuesta

Como ${\left|x\operatorname{sen}\frac{1}{x}\right|\le|x|},$ se cumple ${-|x|\le x\operatorname{sen}\frac{1}{x}\le|x|}.$ Tanto ${-|x|}$ como $|x|$ tienden a $0,$ por lo que el límite es $0.$

8. Halla ${\lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{x}}.$

Respuesta

Para ${x\gt0}\text{:}$ ${-\frac{1}{x}\le\frac{\operatorname{sen}x}{x}\le\frac{1}{x}},$ y las dos cotas tienden a $0.$ Por el teorema del sándwich (que también es válido cuando ${x\to+\infty}$), el límite es $0.$

Lección anterior: Propiedades de las funciones continuas. Mira también Límites (introducción intuitiva), donde el límite ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1}$ se estimó por primera vez a partir de una tabla.