Potencias y exponentes

Cuando un número se multiplica por sí mismo varias veces, el producto se puede escribir de forma abreviada. En lugar de ${2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}$ escribimos $2^5$ y lo leemos “2 elevado a la quinta”. El número que se multiplica, aquí $2,$ es la base. El número pequeño escrito arriba a la derecha, aquí $5,$ es el exponente: indica cuántos factores iguales hay. La expresión completa $2^5$ se llama potencia, y su valor es ${2^5=32}.$

Con los exponentes se escribe mucho menos: un producto de 45 factores, todos iguales a $a,$ es simplemente $a^{45}.$ Hallar el valor de una potencia se llama potenciación o elevar a una potencia.

En esta página: Definición · Bases negativas · Propiedades · Exponente cero · Exponentes negativos · Exponentes fraccionarios · Simplificación · Función exponencial · Comparación · Ecuaciones · Problemas

Definición de potencia

Los exponentes $2$ y $3$ tienen nombres propios: $a^2$ se lee “$a$ al cuadrado” y $a^3$ se lee “$a$ al cubo”. Estos nombres vienen de la geometría: el área de un cuadrado de lado $a$ es $a^2,$ y el volumen de un cubo de arista $a$ es $a^3.$

Ejemplo 1. Calcula las potencias.

• ${5^3=5\cdot5\cdot5=125};$
• ${3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81};$
• ${16^1=16};$
• ${10^3}={10\cdot10\cdot10}={1000\text{:}}$ en general, $10^n$ se escribe como un $1$ seguido de $n$ ceros;
• ${\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}};$
• ${0{,}5^2=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25};$
• ${1^{100}=1}$ y ${0^7=0}\text{:}$ toda potencia de $1$ es igual a $1,$ y toda potencia de $0$ con exponente natural es igual a $0.$

Las potencias y el orden de las operaciones

Un exponente afecta solo al número o a la letra que lo precede. Cuando afecta a toda una expresión, esa expresión se escribe entre paréntesis. Las potencias se calculan después de las operaciones entre paréntesis, pero antes de las multiplicaciones, las divisiones, las sumas y las restas.

Ejemplo 2.

• ${2\cdot3^2=2\cdot9=18},$ pero ${(2\cdot3)^2=6^2=36};$
• ${5+2^3=5+8=13},$ pero ${(5+2)^3=7^3=343};$
• $3x^2$ significa ${3\cdot x\cdot x}\text{:}$ solo $x$ se eleva al cuadrado, mientras que ${(3x)^2=3x\cdot3x=9x^2}.$

Potencias de números negativos

Un producto de números negativos es positivo cuando el número de factores es par, y negativo cuando es impar. Por eso:

Ejemplo 3.

• ${(-2)^2}={(-2)\cdot(-2)}={4;}$
• ${(-2)^3}={(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)}={-8;}$
• ${(-2)^4=16}$ y ${(-2)^5=-32};$
• ${(-1)^{100}=1}$ y ${(-1)^{101}=-1}.$

En general, ${(-a)^n=a^n}$ cuando $n$ es par, y ${(-a)^n=-a^n}$ cuando $n$ es impar. Una potencia de exponente par nunca es negativa: por ejemplo, ${a^2\ge0}$ para todo $a.$

Cuidado con los paréntesis: ${(-3)^2}={(-3)\cdot(-3)}={9,}$ pero ${-3^2=-(3\cdot3)=-9}.$ En $-3^2$ el exponente afecta solo al $3,$ y el signo menos se aplica después de calcular la potencia.

Propiedades de las potencias

Cinco reglas, también llamadas leyes de los exponentes, facilitan los cálculos con potencias. Cada una se obtiene contando los factores. Aquí las demostramos para exponentes naturales; más adelante, en esta misma lección, las extendemos a los exponentes cero, negativos y fraccionarios.

Producto de potencias de la misma base

${2^3\cdot2^4}={(2\cdot2\cdot2)}\cdot {(2\cdot2\cdot2\cdot2)}={2^7\text{:}}$ la primera potencia tiene $3$ factores iguales a $2,$ la segunda tiene $4,$ así que en total hay ${3+4=7}$ factores. Del mismo modo, $a^m$ tiene $m$ factores iguales a $a$ y $a^n$ tiene $n,$ así que su producto tiene ${m+n}$ factores.

Ejemplo 4. ${2^6\cdot2^3=2^{6+3}=2^9=512};$ ${x^5\cdot x=x^{5+1}=x^6};$ ${a^2\cdot a^3\cdot a^4=a^{2+3+4}=a^9}.$

Cociente de potencias de la misma base

Al dividir $5^6$ entre $5^4,$ cuatro factores $5$ del numerador se simplifican con los cuatro factores del denominador:

${\frac{5^6}{5^4}}={\frac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5}}={5\cdot5}={5^2}$

Quedan dos factores, y ${2=6-4}.$ En general, si ${a\ne0}$ y ${m\gt n},$ al simplificar $n$ factores quedan ${m-n}$ factores.

Ejemplo 5. ${\frac{15^{10}}{15^8}}={15^{10-8}}={15^2}={225;}$ ${\frac{7^{12}}{7^{11}}=7^1=7};$ ${\frac{x^9}{x^4}=x^5}$ para ${x\ne0}.$

La base no puede ser cero, porque no se puede dividir entre cero. Lo que ocurre cuando ${m=n}$ o ${m\lt n}$ se explica en los apartados Exponente cero y Exponentes negativos.

Potencia de una potencia

${(3^2)^3}={3^2\cdot3^2\cdot3^2}={3^{2+2+2}}={3^6\text{:}}$ hay $3$ grupos con $2$ factores iguales a $3$ en cada uno, así que hay ${2\cdot3=6}$ factores. En general, $(a^m)^n$ tiene $n$ grupos de $m$ factores.

Ejemplo 6. ${(5^3)^4=5^{3\cdot4}=5^{12}};$ ${(x^2)^5=x^{10}};$ ${\left((-2)^2\right)^3=(-2)^6=64}.$

No confundas $(a^m)^n$ con ${a^m\cdot a^n}\text{:}$ ${(2^3)^2=2^6=64},$ pero ${2^3\cdot2^2=2^5=32}.$ Una “torre” de exponentes es otra cosa: se calcula de arriba abajo, así que ${2^{3^2}=2^9=512}.$

Potencia de un producto

${(2\cdot5)^3}={(2\cdot5)}\cdot {(2\cdot5)\cdot(2\cdot5)}={(2\cdot2\cdot2)\cdot(5\cdot5\cdot5)}={2^3\cdot5^3\text{:}}$ cambiamos el orden de los factores y agrupamos los iguales. Los dos miembros valen $1000,$ porque ${10^3=1000}$ y ${8\cdot125=1000}.$

La regla también se usa de derecha a izquierda: para multiplicar potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente.

Ejemplo 7.

• ${(2\cdot5)^2}={2^2\cdot5^2}={4\cdot25}={100;}$
• ${(3x)^4=3^4x^4=81x^4};$
• ${(-2a^3)^3}={(-2)^3(a^3)^3}={-8a^9;}$
• ${2^{12}\cdot3^{12}}={(2\cdot3)^{12}}={6^{12};}$
• ${4^5\cdot25^5}={(4\cdot25)^5}={100^5}={10^{10}.}$

La regla vale también para tres o más factores, y junto con la regla anterior da ${(a^nb^m)^p=a^{np}b^{mp}}.$ Por ejemplo, ${(x^2y^3)^4=x^8y^{12}}.$

Potencia de un cociente

${\left(\frac{2}{3}\right)^3}={\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}}={\frac{2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3}}={\frac{2^3}{3^3}}={\frac{8}{27}\text{:}}$ al multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Ejemplo 8. ${\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}};$ ${\left(-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}};$ ${\left(\frac{x}{3}\right)^3=\frac{x^3}{27}};$ ${\frac{15^4}{5^4}=\left(\frac{15}{5}\right)^4=3^4=81}.$

Aquí tienes las cinco propiedades juntas. Se cumplen para cualesquiera números $a$ y $b$ y números naturales $m$ y $n,$ con ${a\ne0}$ y ${m\gt n}$ en la regla del cociente y ${b\ne0}$ en la última regla.

Propiedad	Ejemplo
${a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$	${2^3\cdot2^4=2^7=128}$
${\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$	${\frac{5^6}{5^4}=5^2=25}$
${(a^m)^n=a^{mn}}$	${(3^2)^3=3^6=729}$
${(ab)^n=a^nb^n}$	${(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000}$
${\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}}$	${\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}}$

Para las sumas y las restas no hay reglas de este tipo. ${2^3+2^4=8+16=24},$ y no ${2^7=128}.$ Y $(a+b)^2$ no es igual a ${a^2+b^2}\text{:}$ ${(1+2)^2=9},$ pero ${1^2+2^2=5}.$ Estas reglas tampoco permiten combinar potencias de bases distintas y exponentes distintos: ${2^3\cdot3^2=8\cdot9=72},$ no $6^5.$ Si las bases son potencias de un mismo número, sí se pueden combinar, como en el ejemplo 15 más abajo. El cuadrado de una suma se explica en la lección Identidades polinomiales.

Exponente cero

¿Qué debería significar $5^0?$ Un producto de cero factores no tiene sentido, así que elegimos el significado que mantiene válidas las propiedades de las potencias. Por la regla del cociente, ${\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0}.$ Pero un número distinto de cero dividido entre sí mismo da $1.$ Por eso definimos:

Ejemplo 9. ${76^0=1};$ ${(-5)^0=1};$ ${\left(\frac{2}{7}\right)^0=1};$ ${(x^2+1)^0=1},$ porque ${x^2+1}$ nunca es cero. Pero ${-5^0=-1},$ porque el exponente afecta solo al $5.$

En las matemáticas escolares, $0^0$ se deja sin definir: el razonamiento anterior no sirve para la base $0,$ porque habría que dividir $0^3$ entre $0^3,$ es decir, dividir entre cero.

Exponentes negativos

Observa las potencias de $2.$ Cada vez que el exponente disminuye en $1,$ el valor se divide entre $2\text{:}$

$n$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$
$2^n$	$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Si seguimos más allá del $0,$ obtenemos ${2^{-1}=\frac{1}{2}},$ ${2^{-2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}}$ y ${2^{-3}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}}.$ Las propiedades de las potencias llevan al mismo significado: ${a^{-n}\cdot a^n=a^{-n+n}=a^0=1},$ así que $a^{-n}$ es el inverso (recíproco) de $a^n.$

Un exponente negativo no hace negativo el número: significa $1$ dividido entre la potencia. Por ejemplo, ${2^{-3}=\frac{1}{8}},$ y no $-8$ ni $-6.$

Ejemplo 10.

• ${20^{-1}=\frac{1}{20}};$
• ${2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}};$
• ${(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}};$
• ${10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001};$
• ${\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}}\text{:}$ una fracción con exponente negativo se invierte: ${\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n}$ para ${a\ne0}$ y ${b\ne0};$
• ${\frac{1}{x^{-3}}=\frac{1}{\frac{1}{x^3}}=x^3}$ para ${x\ne0}\text{:}$ un factor puede pasar del denominador al numerador (o al revés) si se cambia el signo de su exponente.

Con los exponentes cero y negativos, las cinco propiedades de las potencias se cumplen para todos los números enteros $m$ y $n,$ siempre que las bases no sean cero. Ahora la regla del cociente sirve para dos exponentes cualesquiera: ${\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}}.$ Al simplificar se obtiene el mismo resultado, porque ${\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}=\frac{1}{a\cdot a}}.$

Ejemplo 11. Simplifica y escribe el resultado sin exponentes negativos.

${x^5\cdot x^{-8}}={x^{5+(-8)}}={x^{-3}}={\frac{1}{x^3}}$

${(2^{-3})^{-2}}={2^{(-3)\cdot(-2)}}={2^6}={64}$

${\frac{a^{-2}b^3}{a^4b^{-1}}}={a^{-2-4}b^{3-(-1)}}={a^{-6}b^4}={\frac{b^4}{a^6}}$

$3x^{-2}=3\cdot\frac{1}{x^2}=\frac{3}{x^2}$ el exponente afecta solo a $x$

Las potencias de $10$ con exponente negativo se usan para escribir números pequeños: ${10^{-1}=0{,}1},$ ${10^{-2}=0{,}01},$ ${10^{-3}=0{,}001}.$ En $10^{-n},$ la cifra $1$ ocupa el lugar $n$-ésimo después de la coma decimal. Por ejemplo, un milímetro equivale a $10^{-3}$ metros.

Exponentes fraccionarios

Un exponente también puede ser una fracción. De nuevo elegimos el significado que mantiene válidas las propiedades de las potencias. Por la regla de la potencia de una potencia, ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2=9^{\frac{1}{2}\cdot2}=9^1=9}.$ Por tanto, el cuadrado de $9^{\frac{1}{2}}$ tiene que ser $9.$ Hay dos números con esta propiedad, $3$ y $-3;$ tomamos el positivo, para que las potencias de un número positivo sigan siendo positivas: ${9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3}.$ Del mismo modo, ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^3=8},$ así que ${8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2}.$

Aquí $\sqrt[n]{a},$ la raíz $n$-ésima de ${a\gt0},$ es el número positivo cuya potencia $n$-ésima es $a\text{:}$ por ejemplo, ${\sqrt[4]{16}=2},$ porque ${2^4=16}.$ En $a^{\frac{m}{n}},$ el denominador $n$ es el índice de la raíz, y el numerador $m$ es el exponente de la potencia. Al calcular, suele ser más fácil extraer primero la raíz, porque así los números se mantienen pequeños.

Ejemplo 12.

• ${16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4};$
• ${27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3};$
• ${14^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{14}}\text{:}$ esta raíz no es un número entero;
• ${8^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4};$
• ${16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8};$
• ${x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^3}}$ para ${x\gt0};$
• ${32^{-\frac{2}{5}}}={\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}}={\frac{1}{\left(\sqrt[5]{32}\right)^2}}={\frac{1}{4};}$
• ${0{,}25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5}.$

Las potencias de exponente fraccionario están definidas solo para una base positiva (y para la base $0$ con exponente positivo: ${0^{\frac{m}{n}}=0}$). Con una base negativa, las reglas se contradirían entre sí. Por ejemplo, ${\frac{1}{3}=\frac{2}{6}},$ pero ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ mientras que ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$ Por eso usamos las potencias de exponente fraccionario solo con bases positivas. Algunos libros y calculadoras dan a $(-8)^{\frac{1}{3}}$ el valor $-2,$ pero entonces las propiedades de las potencias pueden fallar. La raíz cúbica de $-8$ se escribe con el signo radical: ${\sqrt[3]{-8}=-2}.$

Para bases positivas, las propiedades de las potencias se cumplen también con exponentes fraccionarios, y a menudo son el camino más corto para operar con raíces: ${\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}}={a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}={a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}}={a^{\frac{5}{6}}}={\sqrt[6]{a^5}}$ para ${a\gt0}.$ Encontrarás más ejemplos en la lección Radicales y raíces.

Para ${a\gt0},$ la potencia $a^x$ se puede definir para todo exponente real $x,$ incluso irracional. Los números $1{,}4;$ $1{,}41;$ $1{,}414;$ … se acercan cada vez más a ${\sqrt{2}=1{,}41421\ldots},$ y las potencias $2^{1{,}4};$ $2^{1{,}41};$ $2^{1{,}414};$ … se acercan cada vez más a un único número, que es $2^{\sqrt{2}}\text{:}$ ${2^{\sqrt{2}}\approx2{,}67}.$ Para bases positivas, las propiedades de las potencias se cumplen para todos los exponentes reales. Con una base negativa pueden fallar: ${\left((-3)^2\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3},$ no $-3.$

Simplificación de expresiones con potencias

Para simplificar una expresión, aplica las propiedades paso a paso: primero elimina los paréntesis con las reglas de la potencia de un producto, de un cociente o de una potencia, y después multiplica o divide las potencias de la misma base. Los números se multiplican como siempre.

Ejemplo 13. Simplifica ${(2x^3y)^2\cdot3xy^4}.$

${(2x^3y)^2\cdot3xy^4}={4x^6y^2\cdot3xy^4}$ la potencia de un producto

$=12x^{6+1}y^{2+4}=12x^7y^6$ multiplicamos los números y sumamos los exponentes

Ejemplo 14. Simplifica $\frac{(a^2b^3)^4}{a^5b^{10}}$ para ${a\ne0}$ y ${b\ne0}.$

${\frac{(a^2b^3)^4}{a^5b^{10}}}={\frac{a^8b^{12}}{a^5b^{10}}}={a^{8-5}b^{12-10}}={a^3b^2}$

Ejemplo 15. Calcula $\frac{4^5\cdot8^2}{16^3}$ sin calculadora.

Todas las bases son potencias de $2\text{:}$ ${4=2^2},$ ${8=2^3}$ y ${16=2^4}.$

${\frac{4^5\cdot8^2}{16^3}}={\frac{(2^2)^5\cdot(2^3)^2}{(2^4)^3}}={\frac{2^{10}\cdot2^6}{2^{12}}}={\frac{2^{16}}{2^{12}}}={2^4}={16}$

Ejemplo 16. Calcula ${\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}+5^0-27^{\frac{2}{3}}}.$

${\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}+5^0-27^{\frac{2}{3}}}={3^2+1-\left(\sqrt[3]{27}\right)^2}={9+1-9}={1}$

La función exponencial

Si la base ${a\gt0}$ se mantiene fija y el exponente varía, obtenemos la función exponencial ${y=a^x}.$ Para ${a=1}$ es la función constante ${y=1},$ así que tomamos ${a\ne1}.$ Estos son los valores de ${y=2^x}$ y de ${y=\left(\frac{1}{2}\right)^x}$ para algunos valores de $x\text{:}$

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Las gráficas muestran las propiedades de toda función exponencial ${y=a^x}\text{:}$

• está definida para todo número real $x;$
• sus valores son siempre positivos: la gráfica está por encima del eje $x,$ se acerca cada vez más a él por uno de los lados, pero nunca lo toca;
• la gráfica pasa por el punto ${(0,\ 1)},$ porque ${a^0=1};$
• para ${a\gt1}$ la función es creciente: cuanto mayor es $x,$ mayor es $a^x;$
• para ${0\lt a\lt1}$ la función es decreciente: cuanto mayor es $x,$ menor es $a^x.$

Las dos gráficas son simétricas respecto al eje $y,$ porque ${\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}}.$ Puedes cambiar la base en el graficador de funciones: mueve el deslizador $a$ y observa la gráfica. La inversa de la función exponencial es la función logarítmica, que se explica en la lección Logaritmo.

Ejemplo 17. Una colonia de bacterias se duplica cada hora. Si ahora hay $100$ bacterias, dentro de $t$ horas habrá ${100\cdot2^t}\text{:}$ al cabo de $1$ hora, ${100\cdot2^1=200};$ al cabo de $3$ horas, ${100\cdot2^3=800};$ y al cabo de $5$ horas, ${100\cdot2^5=3200}.$ Cuando una cantidad se multiplica por el mismo número en intervalos de tiempo iguales, hablamos de crecimiento exponencial, que pronto se vuelve muy rápido.

Comparación de potencias

Potencias de la misma base

Como la función exponencial es creciente para ${a\gt1}$ y decreciente para ${0\lt a\lt1}\text{:}$

Ejemplo 18. ${4^2\lt4^3},$ porque ${4\gt1}$ y ${2\lt3};$ en efecto, ${16\lt64}.$ Pero ${\left(\frac{1}{2}\right)^2\gt\left(\frac{1}{2}\right)^3},$ porque ${\frac{1}{4}\gt\frac{1}{8}}\text{:}$ multiplicar una vez más por $\frac{1}{2}$ hace más pequeño el número. Del mismo modo, ${3^{-5}\lt3^{-2}}$ y ${0{,}7^{10}\lt0{,}7^3}.$

Potencias con el mismo exponente

Ejemplo 19. ${3^2\lt5^2},$ porque ${9\lt25}.$ Pero ${3^{-2}\gt5^{-2}}\text{:}$ ${3^{-2}=\frac{1}{9}}$ y ${5^{-2}=\frac{1}{25}},$ y ${\frac{1}{9}\gt\frac{1}{25}},$ porque de dos fracciones con el mismo numerador es mayor la que tiene el denominador menor.

Aquí las bases tienen que ser positivas: ${-3\lt2},$ pero ${(-3)^2=9}$ es mayor que ${2^2=4}.$

Bases y exponentes distintos

Primero escribe las dos potencias con la misma base o con el mismo exponente.

Ejemplo 20. ¿Cuál es mayor, $27^5$ o $9^7?$ Las dos bases son potencias de $3\text{:}$ ${27^5=(3^3)^5=3^{15}}$ y ${9^7=(3^2)^7=3^{14}}.$ Como ${15\gt14},$ resulta ${27^5\gt9^7}.$

Ejemplo 21. ¿Cuál es mayor, $2^{30}$ o $3^{20}?$ Los exponentes tienen el factor común $10\text{:}$ ${2^{30}=(2^3)^{10}=8^{10}}$ y ${3^{20}=(3^2)^{10}=9^{10}}.$ Como ${8\lt9},$ resulta ${2^{30}\lt3^{20}}.$

Ecuaciones con la incógnita en el exponente

Una función exponencial es creciente o decreciente, así que dos potencias de la misma base ${a\gt0},$ ${a\ne1},$ son iguales solo cuando sus exponentes son iguales: ${a^x=a^y}$ equivale a ${x=y}.$ Para resolver una ecuación como ${2^x=32},$ escribe los dos miembros como potencias de la misma base.

Ejemplo 22. Resuelve las ecuaciones: a) ${2^x=32};$ b) ${3^{x-1}=\frac{1}{9}};$ c) ${4^x=8}.$

a) ${32=2^5},$ así que ${2^x=2^5}$ y ${x=5}.$

b) ${\frac{1}{9}=3^{-2}},$ así que ${3^{x-1}=3^{-2}}.$ Entonces ${x-1=-2}$ y ${x=-1}.$

c) ${4^x=(2^2)^x=2^{2x}}$ y ${8=2^3},$ así que ${2x=3}$ y ${x=\frac{3}{2}}.$ Comprobación: ${4^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{4}\right)^3=2^3=8}.$

Una ecuación como ${2^x=5}$ no se puede resolver de esta manera, porque $2$ y $5$ no son potencias de un mismo número entero. Como ${2^2=4}$ y ${2^3=8},$ la solución está entre $2$ y $3\text{:}$ es el logaritmo ${x=\log_2 5\approx2{,}32}.$

Problemas para practicar

1. Calcula: a) $3^4;$ b) $(-2)^5;$ c) $-2^4;$ d) $\left(\frac{2}{5}\right)^3;$ e) $0{,}1^3;$ f) $(-1)^{25}.$

Respuesta

a) ${3^4=81}.$ b) ${(-2)^5=-32}.$ c) ${-2^4}={-(2\cdot2\cdot2\cdot2)}={-16.}$ d) ${\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{125}}.$ e) ${0{,}1^3=0{,}001}.$ f) ${(-1)^{25}=-1}.$

2. Escribe como una sola potencia: a) ${a^4\cdot a^7};$ b) $\frac{x^{12}}{x^5};$ c) $(y^3)^6;$ d) ${5^3\cdot5^{-5}};$ e) $(2^{-2})^{-3};$ f) $\frac{3^{-4}}{3^2}.$

Respuesta

a) $a^{11}.$ b) $x^7.$ c) $y^{18}.$ d) ${5^{3+(-5)}=5^{-2}}.$ e) ${2^{(-2)\cdot(-3)}=2^6}.$ f) ${3^{-4-2}=3^{-6}}.$

3. Calcula: a) $7^0;$ b) $4^{-2};$ c) $\left(\frac{3}{5}\right)^{-1};$ d) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3};$ e) $10^{-4}.$

Respuesta

a) ${7^0=1}.$ b) ${4^{-2}=\frac{1}{16}}.$ c) ${\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{3}}.$ d) ${\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}=(-2)^3=-8}.$ e) ${10^{-4}=0{,}0001}.$

4. Calcula: a) $25^{\frac{1}{2}};$ b) $64^{\frac{1}{3}};$ c) $81^{\frac{3}{4}};$ d) $8^{-\frac{2}{3}};$ e) $\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}.$

Respuesta

a) ${\sqrt{25}=5}.$ b) ${\sqrt[3]{64}=4}.$ c) ${\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=3^3=27}.$ d) ${\frac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2}=\frac{1}{4}}.$ e) ${\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}}.$

5. Escribe como potencia de exponente fraccionario (${x\gt0}$): a) $\sqrt{x};$ b) $\sqrt[3]{x^2};$ c) $\frac{1}{\sqrt{x}};$ d) ${\sqrt{x}\cdot\sqrt[4]{x}}.$

Respuesta

a) $x^{\frac{1}{2}}.$ b) $x^{\frac{2}{3}}.$ c) ${\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{-\frac{1}{2}}}.$ d) ${x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=x^{\frac{3}{4}}}.$

6. Simplifica (ninguna letra es cero): a) $(3a^2b)^3;$ b) $\frac{12x^7y^3}{4x^2y^5};$ c) ${(-2x^3)^2\cdot5x};$ d) $\left(\frac{a^3}{2b}\right)^4.$

Respuesta

a) $27a^6b^3.$ b) ${3x^5y^{-2}=\frac{3x^5}{y^2}}.$ c) ${4x^6\cdot5x=20x^7}.$ d) $\frac{a^{12}}{16b^4}.$

7. Escribe sin exponentes negativos (ninguna letra es cero): a) $x^{-4};$ b) $5a^{-3};$ c) $\frac{2}{y^{-2}};$ d) $(2x)^{-3};$ e) $\frac{a^{-2}}{b^{-5}}.$

Respuesta

a) $\frac{1}{x^4}.$ b) $\frac{5}{a^3}.$ c) $2y^2.$ d) ${\frac{1}{(2x)^3}=\frac{1}{8x^3}}.$ e) $\frac{b^5}{a^2}.$

8. Calcula sin calculadora: a) $\frac{2^{10}\cdot2^{-3}}{2^5};$ b) $\frac{9^4\cdot3^5}{27^4};$ c) ${5^{12}\cdot0{,}2^{12}};$ d) $\frac{6^8}{2^8\cdot3^7}.$

Respuesta

a) ${2^{10-3-5}=2^2=4}.$

b) ${9^4=(3^2)^4=3^8}$ y ${27^4=(3^3)^4=3^{12}},$ así que ${\frac{3^8\cdot3^5}{3^{12}}}={3^{8+5-12}}={3^1}={3.}$

c) ${(5\cdot0{,}2)^{12}=1^{12}=1}.$

d) ${\frac{2^8\cdot3^8}{2^8\cdot3^7}=3^1=3}.$

9. Calcula ${\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-3^0+16^{\frac{3}{4}}}.$

Respuesta

${2^3-1+\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}={8-1+8}={15.}$

10. ¿Qué número es mayor? a) $\left(\frac{3}{4}\right)^5$ o $\left(\frac{3}{4}\right)^7;$ b) $5^{-3}$ o $4^{-3};$ c) $8^6$ o $16^4;$ d) $2^{60}$ o $5^{25}.$

Respuesta

a) La base es menor que $1,$ así que el exponente menor da la potencia mayor: ${\left(\frac{3}{4}\right)^5\gt\left(\frac{3}{4}\right)^7}.$

b) ${5^{-3}=\frac{1}{125}}$ y ${4^{-3}=\frac{1}{64}},$ así que ${4^{-3}\gt5^{-3}}.$

c) ${8^6=(2^3)^6=2^{18}}$ y ${16^4=(2^4)^4=2^{16}},$ así que ${8^6\gt16^4}.$

d) ${2^{60}=(2^{12})^5=4096^5}$ y ${5^{25}=(5^5)^5=3125^5},$ así que ${2^{60}\gt5^{25}}.$

11. Resuelve las ecuaciones: a) ${3^x=81};$ b) ${2^{x+3}=\frac{1}{4}};$ c) ${25^x=125};$ d) ${10^{2x-1}=1000}.$

Respuesta

a) ${3^x=3^4},$ así que ${x=4}.$

b) ${2^{x+3}=2^{-2}},$ así que ${x+3=-2}$ y ${x=-5}.$

c) ${5^{2x}=5^3},$ así que ${2x=3}$ y ${x=\frac{3}{2}}.$

d) ${10^{2x-1}=10^3},$ así que ${2x-1=3}$ y ${x=2}.$