MenúLímites (introducción intuitiva)
El límite es la idea central del cálculo diferencial e integral. Dicho de forma sencilla, el límite de una función en un punto es el valor al que se acerca la función cuando $x$ se acerca a ese punto. En esta página veremos de dónde surgen los límites (de dos antiguos problemas geométricos), cómo estimar un límite a partir de una tabla o de una gráfica, cuándo puede fallar esta estimación y qué significan los límites infinitos y los límites en el infinito. Cómo se calculan los límites de forma exacta se explica en la siguiente lección, «Límites y métodos de cálculo».
En esta página: Dos problemas · Rectas tangentes · Áreas · Un límite con una tabla · Límites laterales · Trampas numéricas · Límites infinitos · Límites en el infinito · Resumen · Problemas
Dos problemas que llevan a los límites
El problema de la tangente. Dados una función $f$ y un punto $P(x_0,\,y_0)$ de su gráfica, hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en $P.$
El problema del área. Dada una función $f$ con ${f(x)\ge0},$ hallar el área comprendida entre la gráfica de $f$ y un intervalo $[a,\,b]$ del eje $x.$
Los dos problemas parecen sencillos, pero ninguno se puede resolver solo con el álgebra y la geometría de las rectas y los polígonos. Ambos se resuelven con la misma idea nueva: el límite.
El problema de la tangente
Para una circunferencia, la tangente es fácil de definir: una recta es tangente a una circunferencia si tiene exactamente un punto en común con ella. Esa recta es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.
Para otras curvas esta definición no sirve. En la primera figura de abajo, la recta horizontal y la parábola ${x=y^2}$ tienen un solo punto común, $P,$ pero la recta no es tangente: no toca la curva en $P,$ sino que la atraviesa. La recta que toca la curva en $P$ es la vertical. En la segunda figura, la recta toca la curva en $P$ y es tangente en ese punto, pero aun así tiene otros dos puntos comunes con la curva.
Una definición que sirve también para otras curvas usa las rectas secantes. Tomamos un segundo punto $Q$ de la curva y trazamos la recta $PQ.$ Ahora hacemos que $Q$ se mueva sobre la curva hacia $P.$ La recta secante gira y, a medida que $Q$ se acerca cada vez más a $P,$ se aproxima a una posición límite, si es que existe. La recta en esa posición límite es la recta tangente en $P.$
Ejemplo 1. Halla la tangente a la parábola ${y=x^2}$ en el punto $P(1,\,1).$
Tomamos un punto $Q(x,\,x^2)$ de la parábola, con ${x\ne1}.$ La pendiente de la recta secante $PQ$ es
${m_{PQ}}={\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={{x+1}.}$
Estas son las pendientes para puntos $Q$ cada vez más cercanos a $P,$ por ambos lados:
| $Q$ a la derecha de $P$ | $Q$ a la izquierda de $P$ | ||
|---|---|---|---|
| $x$ | ${m_{PQ}}$ | $x$ | ${m_{PQ}}$ |
| 3 | 4 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | 0,5 | 1,5 |
| 1,5 | 2,5 | 0,9 | 1,9 |
| 1,1 | 2,1 | 0,99 | 1,99 |
| 1,01 | 2,01 | 0,999 | 1,999 |
| 1,001 | 2,001 | 0,9999 | 1,9999 |
Cuanto más cerca está $Q$ de $P,$ más se acerca la pendiente a $2.$ Decimos que la pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las secantes cuando $x$ tiende a $1,$ y escribimos
$$m=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$La tangente pasa por $P(1,\,1)$ y tiene pendiente $2,$ así que su ecuación es ${y-1=2(x-1)},$ es decir, ${y=2x-1}.$ Observa que la fracción ${\frac{x^2-1}{x-1}}$ no está definida en ${x=1}$ (se convierte en ${\frac{0}{0}}$). El límite usa solo los valores cerca de $1,$ nunca el valor en $1.$ La pendiente de la tangente en un punto se llama derivada de la función en ese punto.
El problema del área
El área de algunas regiones planas se puede hallar dividiéndolas en un número finito de rectángulos o triángulos y sumando las áreas de las piezas: ${A=A_1+A_2}$ en la figura de la izquierda y ${A=A_1+A_2+A_3}$ en la de la derecha.
Para una región con un lado curvo, como la región bajo la gráfica de $f$ entre ${x=a}$ y ${x=b},$ esto es imposible: ningún número finito de rectángulos o triángulos la llena exactamente.
En su lugar, aproximamos el área. Dividimos $[a,\,b]$ en $n$ partes de igual anchura y sobre cada parte colocamos un rectángulo, lo más alto posible sin sobrepasar la curva (un rectángulo inscrito). La suma de las áreas de estos rectángulos es un poco menor que el área de la región. Al crecer $n,$ los rectángulos se hacen más estrechos, los espacios entre ellos y la curva se reducen y las sumas se acercan al área exacta como a un valor límite.
Ejemplo 2. Halla el área bajo la curva ${y=x^2}$ entre ${x=0}$ y ${x=1}.$
Dividimos $[0,\,1]$ en $n$ partes de anchura ${\frac{1}{n}}.$ Los rectángulos inscritos tienen alturas ${(k/n)^2}$ para ${k=0},$ $1,$ …, ${n-1}.$ Los rectángulos que cubren la región tienen alturas ${(k/n)^2}$ para ${k=1},$ $2,$ …, $n;$ su área total es un poco mayor que el área de la región. Con la fórmula
${1^2+2^2+\ldots+m^2}={{\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}},}$
hallamos la suma $s_n$ de los rectángulos inscritos y la suma $S_n$ de los que cubren la región:
${s_n=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}}$ y ${S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}}.$
| $n$ | $s_n$ (bajo la curva) | $S_n$ (cubren la región) |
|---|---|---|
| 4 | 0,21875 | 0,46875 |
| 10 | 0,285 | 0,385 |
| 100 | 0,32835 | 0,33835 |
| 1000 | 0,3328335 | 0,3338335 |
Para cada $n$ el área está entre $s_n$ y $S_n,$ y las dos sumas se acercan a ${\frac{1}{3}}.$ Por tanto, el área es exactamente ${\frac{1}{3}}.$ Un número que se obtiene como límite de sumas de este tipo se llama integral (definida); aquí es la integral de $x^2$ desde $0$ hasta $1.$
Estimar un límite con una tabla
Tomemos
$$f(x)=\frac{\operatorname{sen}x}{x},$$donde $x$ está en radianes. Esta función no está definida en ${x=0},$ porque ahí la fracción se convierte en ${\frac{0}{0}}.$ ¿Qué le ocurre a $f(x)$ cuando $x$ está cerca de $0?$ Con una calculadora en modo radianes obtenemos:
| $x$ | ${\frac{\operatorname{sen}x}{x}}$ | $x$ | ${\frac{\operatorname{sen}x}{x}}$ |
|---|---|---|---|
| 1,0 | 0,84147 | −1,0 | 0,84147 |
| 0,8 | 0,89670 | −0,8 | 0,89670 |
| 0,6 | 0,94107 | −0,6 | 0,94107 |
| 0,4 | 0,97355 | −0,4 | 0,97355 |
| 0,2 | 0,99335 | −0,2 | 0,99335 |
| 0,01 | 0,99998 | −0,01 | 0,99998 |
Los valores para $x$ y para $-x$ son iguales, porque ${\frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x}}={\frac{-\operatorname{sen}x}{-x}}={{\frac{\operatorname{sen}x}{x}}.}$ Cuando $x$ se acerca a $0$ por la izquierda o por la derecha, $f(x)$ se acerca a $1.$
Decimos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $0$ es $1,$ y escribimos
$$\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.$$La tabla solo sugiere este resultado; se demuestra en los cursos de cálculo y es uno de los límites más importantes. En muchos libros se conoce como el «límite notable» (límite fundamental trigonométrico). Observa que $f(0)$ no está definido: la gráfica tiene un «hueco» (un punto excluido) en $(0,\,1).$ El límite describe los valores de $f$ cerca de $0,$ no en $0.$
Límite (definición informal). Escribimos ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ y decimos «el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$» si los valores $f(x)$ se pueden acercar a $L$ tanto como queramos tomando $x$ suficientemente cerca de $a,$ pero distinto de $a.$
Ni siquiera hace falta que la función esté definida en $a\text{:}$ basta con que lo esté en los puntos cercanos a $a.$ Y, si lo está, el valor $f(a)$ no influye: cambiar $f(a)$ no cambia el límite.
Límites laterales y límite bilateral
A veces importa por qué lado se acerca $x$ a $a.$ Si $x$ se acerca a $a$ tomando valores mayores que $a$ (por la derecha), escribimos ${x\to a^+}.$ Si $x$ se acerca a $a$ tomando valores menores que $a$ (por la izquierda), escribimos ${x\to a^-}.$
| Notación | Cómo se lee |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a^+}f(x)=L_1}$ | El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la derecha es $L_1$ (el límite por la derecha) |
| ${\lim_{x\to a^-}f(x)=L_2}$ | El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda es $L_2$ (el límite por la izquierda) |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$ (el límite bilateral) |
Para la función anterior, la tabla sugiere ${\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1}$ (límite por la derecha) y ${\lim_{x\to0^-}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1}$ (límite por la izquierda).
El límite bilateral ${\lim_{x\to a}f(x)}$ existe y es igual a $L$ si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales a $L.$
Ejemplo 3. Sea ${f(x)=\frac{|x|}{x}}.$ Para ${x\gt0}$ tenemos ${|x|=x},$ así que ${f(x)=1}.$ Para ${x\lt0}$ tenemos ${|x|=-x},$ así que ${f(x)=-1}.$ Por tanto,
${\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1},$ ${\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1}.$
Los límites laterales son distintos, así que el límite ${\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}}$ no existe. La gráfica «salta» en $0.$
Trampas numéricas
Una tabla de valores solo puede sugerir un límite, y puede sugerir uno equivocado. Consideremos
$$f(x)=\operatorname{sen}\frac{\pi}{x}.$$Para ${x=1};$ $0{,}1;$ $0{,}01;$ … el número ${\frac{\pi}{x}}$ es $\pi,$ $10\pi,$ $100\pi,$ …, un múltiplo entero de $\pi,$ y el seno de un número así es $0\text{:}$
| $x$ | $f(x)$ | $x$ | $f(x)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | −1 | 0 |
| 0,1 | 0 | −0,1 | 0 |
| 0,01 | 0 | −0,01 | 0 |
| 0,001 | 0 | −0,001 | 0 |
| 0,0001 | 0 | −0,0001 | 0 |
La tabla sugiere que ${\lim_{x\to0}\operatorname{sen}\frac{\pi}{x}=0}.$ Esto es falso. Para ${x=\frac{2}{5}},$ ${\frac{2}{9}},$ ${\frac{2}{13}},$ …, es decir, para ${x=\frac{2}{4k+1}},$ obtenemos ${\frac{\pi}{x}}={\frac{\pi}{2}+2k\pi},$ y el seno de este número es $1.$ Estos valores de $x$ (${k=1},$ $2,$ $3,$ …) también se acercan a $0$ tanto como queramos. Lo mismo ocurre a la izquierda de $0\text{:}$ para ${x=-\frac{2}{4k+3}}$ (${-\frac{2}{3}},$ ${-\frac{2}{7}},$ …) obtenemos ${\frac{\pi}{x}}={-\frac{3\pi}{2}-2k\pi},$ y el seno vuelve a ser $1.$ Así, cerca de $0,$ la función toma una y otra vez el valor $0$ y el valor $1$ (y también $-1$): su gráfica oscila infinitas veces entre $-1$ y $1.$ Los valores no se acercan a ningún número concreto, así que ${\lim_{x\to0^+}\operatorname{sen}\frac{\pi}{x}},$ ${\lim_{x\to0^-}\operatorname{sen}\frac{\pi}{x}}$ y ${\lim_{x\to0}\operatorname{sen}\frac{\pi}{x}}$ no existen.
En los puntos rojos (${x=\pm1},$ ${\pm\frac{1}{2}},$ ${\pm\frac{1}{3}},$ ${\pm\frac{1}{10}}$) se cumple ${f(x)=0},$ como en la tabla; en los puntos verdes, ${f(x)=1}.$ Cerca de $0$ las oscilaciones son demasiado densas para dibujarlas.
Una tabla, una calculadora o un programa de gráficas pueden engañarnos. Una conjetura obtenida a partir de una tabla debe comprobarse con álgebra o estudiando con cuidado la función.
Límites infinitos
Consideremos ${f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}}.$ Cuando $x$ está cerca de $2,$ por cualquiera de los dos lados, ${(x-2)^2}$ es un número positivo pequeño, así que $f(x)$ es un número positivo grande. Por ejemplo, ${f(2{,}01)}={f(1{,}99)}={10\,000}$ y ${f(2{,}001)}={1\,000\,000}.$ Los valores crecen indefinidamente, y escribimos
${\lim_{x\to2^-}f(x)}={\lim_{x\to2^+}f(x)}={\lim_{x\to2}f(x)}={{+\infty}.}$
Del mismo modo, para ${g(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}}$ los valores decrecen indefinidamente a ambos lados de $2,$ y ${\lim_{x\to2}g(x)=-\infty}.$
La función ${h(x)=\frac{1}{x-2}}$ se comporta de forma distinta a cada lado. Para $x$ un poco mayor que $2,$ ${x-2}$ es un número positivo pequeño y $h(x)$ es un número positivo grande. Para $x$ un poco menor que $2,$ ${x-2}$ es un número negativo próximo a cero y $h(x)$ es un número negativo de valor absoluto grande:
${\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty},$ ${\lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty}.$
Los símbolos $+\infty$ y $-\infty$ no son números. Escribir ${\lim_{x\to2}f(x)=+\infty}$ no significa que el límite exista; nos dice cómo deja de existir: los valores superan cualquier cota. Para $h$ los límites laterales son distintos, así que ${\lim_{x\to2}h(x)}$ no es ni $+\infty$ ni $-\infty;$ solo decimos que no existe.
En las tres figuras, la recta de trazos ${x=2}$ es una asíntota vertical. En general, la recta ${x=a}$ es una asíntota vertical de la gráfica de $f$ si al menos uno de los límites laterales de $f$ en $a$ es $+\infty$ o $-\infty.$
Límites en el infinito
También podemos preguntarnos qué le ocurre a $f(x)$ cuando $x$ crece indefinidamente (${x\to+\infty}$) o decrece indefinidamente (${x\to-\infty}$). Escribimos ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L}$ si $f(x)$ se puede acercar a $L$ tanto como queramos tomando $x$ suficientemente grande, y de forma análoga para ${x\to-\infty}.$ Entonces la recta ${y=L}$ es una asíntota horizontal de la gráfica.
Ejemplo 4. Para la función de la figura de abajo
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=4}.$
Los dos límites existen. Son distintos, pero eso no es ningún problema: describen los dos extremos de la gráfica. Las rectas ${y=-1}$ e ${y=4}$ son asíntotas horizontales.
Ejemplo 5. Para la función de abajo, cuando ${x\to-\infty},$ ${f(x)\to+\infty},$ es decir, ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}.$ Cuando ${x\to+\infty},$ la gráfica oscila alrededor de la recta ${y=-2},$ pero las oscilaciones son cada vez más pequeñas, así que $f(x)$ se acerca a $-2\text{:}$
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2}.$
La recta ${y=-2}$ es una asíntota horizontal, aunque la gráfica la corta una y otra vez.
Ejemplo 6. Para la función de abajo, cuando ${x\to-\infty},$ ${f(x)\to-\infty}.$ Cuando ${x\to+\infty},$ $f(x)$ sigue oscilando entre $-3$ y $3$ y no se acerca a ningún número. Así, ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty},$ y ${\lim_{x\to+\infty}f(x)}$ no existe (tampoco es $+\infty$ ni $-\infty$). Esta gráfica no tiene asíntota horizontal.
Resumen de la notación
| Notación | Significado |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | $f(x)$ está tan cerca de $L$ como queramos para todo ${x\ne a}$ lo bastante cerca de $a$ |
| ${\lim_{x\to a^+}f(x)=L}$ | lo mismo, pero solo para ${x\gt a}$ |
| ${\lim_{x\to a^-}f(x)=L}$ | lo mismo, pero solo para ${x\lt a}$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ | $f(x)$ es mayor que cualquier número dado para todo ${x\ne a}$ lo bastante cerca de $a$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=-\infty}$ | $f(x)$ es menor que cualquier número dado para todo ${x\ne a}$ lo bastante cerca de $a$ |
| ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ está tan cerca de $L$ como queramos para todo $x$ lo bastante grande |
| ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ está tan cerca de $L$ como queramos para todo $x$ negativo con $|x|$ lo bastante grande |
Problemas para practicar
1. Con una calculadora en modo radianes, estima ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}$ a partir de los valores en ${x=0{,}5};$ $0{,}1$ y $0{,}01.$
Respuesta
Los valores son aproximadamente $0{,}489670;$ $0{,}499583$ y $0{,}499996$ (los mismos para $-x$). Parece que el límite es ${\frac{1}{2}},$ y ese es, en efecto, su valor.
2. Usando rectas secantes, halla la pendiente de la tangente a ${y=x^2}$ en $P(3,\,9)$ y una ecuación de esa tangente.
Respuesta
Para ${x\ne3}$ la pendiente de $PQ$ es ${\frac{x^2-9}{x-3}}={x+3},$ que tiende a $6$ cuando ${x\to3}.$ La tangente es ${y-9=6(x-3)},$ es decir, ${y=6x-9}.$
3. Aproxima el área bajo la recta ${y=x}$ entre ${x=0}$ y ${x=1}$ con $n$ rectángulos inscritos. Su área total es ${\frac{n-1}{2n}}.$ Calcúlala para ${n=10},$ $100,$ $1000.$ ¿Cuál es el límite?
Respuesta
$0{,}45;$ $0{,}495;$ $0{,}4995.$ El límite es ${\frac{1}{2}},$ el área del triángulo rectángulo de catetos $1$ y $1.$
4. Sea ${f(x)=\frac{x^2-x}{|x-1|}}.$ Halla ${\lim_{x\to1^+}f(x)}$ y ${\lim_{x\to1^-}f(x)}.$ ¿Existe ${\lim_{x\to1}f(x)}?$
Respuesta
${x^2-x=x(x-1)}.$ Para ${x\gt1}\text{:}$ ${f(x)=x},$ que tiende a $1.$ Para ${x\lt1}\text{:}$ ${f(x)=-x},$ que tiende a $-1.$ Los límites laterales son $1$ y $-1,$ así que el límite no existe.
5. La función $g$ está definida por ${g(x)=x+1}$ para ${x\lt2},$ ${g(x)=5-x}$ para ${x\gt2}$ y ${g(2)=7}.$ Halla ${\lim_{x\to2^-}g(x)},$ ${\lim_{x\to2^+}g(x)},$ ${\lim_{x\to2}g(x)}$ y $g(2).$
Respuesta
$3,$ $3,$ $3$ y $7.$ El límite existe y es igual a $3,$ aunque ${g(2)=7}\text{:}$ el valor en el punto no importa.
6. Halla ${\lim_{x\to3^-}\frac{1}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3^+}\frac{1}{x-3}}$ y ${\lim_{x\to3}\frac{1}{(x-3)^2}}.$
Respuesta
$-\infty,$ $+\infty$ y $+\infty.$ La recta ${x=3}$ es una asíntota vertical de las dos gráficas.
7. Halla ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$ y ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}}.$ ¿Qué recta es una asíntota horizontal de ${y=\frac{1}{x}}?$
Respuesta
Los dos límites son $0$ (por ejemplo, ${\frac{1}{1000}=0{,}001}$ y ${\frac{1}{-1000}=-0{,}001}$). La asíntota horizontal es el eje $x,$ es decir, la recta ${y=0}.$
8. Estima ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x}}$ a partir de los valores en ${x=10},$ $100,$ $1000$ y después explica el resultado.
Respuesta
$2{,}1;$ $2{,}01;$ $2{,}001\text{:}$ el límite es $2,$ porque ${\frac{2x+1}{x}}={2+\frac{1}{x}}$ y ${\frac{1}{x}}$ tiende a $0.$
9. ¿Existe ${\lim_{x\to0}\cos\frac{\pi}{x}}?$
Respuesta
No. Para ${x=\frac{1}{2k}}$ el valor es ${\cos2k\pi=1},$ y para ${x=\frac{1}{2k+1}}$ es ${\cos(2k+1)\pi=-1}.$ Los dos tipos de valores de $x$ se acercan a $0$ tanto como queramos, así que los valores de la función no se acercan a un único número.
Siguiente lección: «Límites y métodos de cálculo», donde se calculan de forma exacta con las propiedades de los límites. Los límites de sucesiones se explican en «Límites de sucesiones».
Límites de funciones (Lim)