División de polinomios

por Catalin David

Introducción

Calculadora de división de polinomios

Ingrese el dividendo y el divisor: la calculadora los divide paso a paso y escribe la división como en los ejemplos de abajo, y cuando el divisor es de primer grado, también divide con la regla de Horner. Los ejemplos son los de esta página. La misma calculadora está también en una página propia: Calculadora de división de polinomios.

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Forma general de un monomio

f(x)=axⁿ, donde:

-a es el coeficiente y puede ser parte de los conjuntos N, Z, Q, R, C

-x es la variable

-n es el grado y pertenece a N

Dos monomios son iguales si tienen la misma variable y el mismo grado.

Ejemplo: 3x² y -5x²; ½x⁴ y 2√3x⁴

La suma de monomios desiguales se llama polinomio. En este caso, los monomios serán los términos del polinomio. Un polinomio formado por dos términos se llama binomio.
Ejemplo: p(x)=3x²-5; h(x)=5x-1
Un polinomio formado por tres términos se llama trinomio.

Forma general de un polinomio con una sola variable.
p(x)=a_nxⁿ+a_n-1dondex^n-1+...+a₁x¹ +a₀
donde:

• a_n,a_n-1,a_n-2,...,a₁,a₀ son los coeficientes del polinomio. Pueden ser números naturales, enteros, racionales, reales o complejos.
• a_n es el coeficiente del término de mayor grado (el coeficiente principal)
• a₀ es el coeficiente del término de menor grado (la constante)
• n es el grado del polinomio

Ejemplo 1
p(x)=5x³-2x²+7x-1

• Polinomio de tercer grado con coeficientes 5, -2, 7 y -1
• 5 es el coeficiente principal
• -1 es la constante o término independiente
• x es la variable

Ejemplo 2
h(x)=-2√3x⁴+½x-4

• Polinomio de cuarto grado con coeficientes -2√3,½ y -4
• -2√3 es el coeficiente principal
• -4 es la constante
• x es la variable

División de polinomios

p(x) y q(x) son dos polinomios:
p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x¹ +a₀
q(x)=a_px^p+a_p-1x^p-1+...+a₁x¹ +a₀

Para encontrar el cociente y el residuo de la división de p(x) por q(x) necesitamos usar el siguiente algoritmo:

1. El grado de p(x) tiene que ser igual o mayor que el grado de q(x).
2. Escribimos los términos de cada polinomio en orden descendente de los grados.Si p(x) tiene un término faltante, se escribirá con el coeficiente 0.
3. El término principal de p(x) se divide entre el término principal de q(x) y el resultado se escribe debajo de la línea del divisor (denominador).
4. Multiplicamos el resultado con todos los términos de q(x) y los resultados se escriben con signo cambiado bajo los términos de p(x) con los correspondientes grados.
5. Sumamos los términos con los mismos grados.
6. Junto a los resultados, escribimos los otros términos de p(x).
7. Dividimos el término principal del nuevo polinomio por el primer término de q(x) y repetimos los pasos 3-6.
8. Repetimos todos estos pasos hasta que el nuevo polinomio sea de un grado menor que el de q(x). Este será el residuo de la división.
9. El polinomio escrito debajo de la línea del divisor será el cociente.

Ejemplo 1
Paso 1 y 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

Ejemplo 2
p(x)=x⁴+3x²+2x-8
q(x)=x²-3x

Dividiendo por un polinomio de primer grado

Se puede hacer usando el algoritmo mencionado anteriormente, o de una manera más rápida usando la regla de Horner.
Si f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1 +...+a₁x+a₀, el polinomio puede ser escrito f(x)=a₀+x(a₁+x(a₂+...+x(a_n-1+a_nx)...))

q(x) es de primer grado ⇒ q(x)=mx+n
El polinomio cociente será de grado n-1.

Siguiendo la regla de Horner, $x_0=-\frac{n}{m}$.
b_n-1=a_n
b_n-2=x₀.b_n-1+a_n-1
b_n-3=x₀.b_n-2+a_n-2
...
b₁=x₀.b₂+a₂
b₀=x₀.b₁+a₁
r=x₀.b₀+a₀
donde b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+...+b₁x+b₀ es el cociente. El resto será un polinomio de grado cero porque el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor.
División euclidiana ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r si $x_0=-\frac{n}{m}$
Podemos observar que p(x₀)=0.c(x₀)+r ⇒ p(x₀)=r

Ejemplo 3
p(x)=5x⁴-2x³+4x²-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x₀=3

b₃=5
b₂=3.5-2=13
b₁=3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x³+13x²+43x+123; r=362
b₀=3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x⁴-2x³+4x²-6x-7=(x-3)(5x³+13x²+43x+123)+362

Ejemplo 4
p(x)=-2x⁵+3x⁴+x²-4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x⁵+3x⁴+0x³+x²-4x+1
q(x)=x+2
x₀=-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b₄=-2          b₁=(-2).(-14)+1=29
b₃=(-2).(-2)+3=7     b₀=(-2).29-4=-62
b₂=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x⁴+7x³-14x²+29x-62; r=125
-2x⁵+3x⁴+x²-4x+1=(x+2)(-2x⁴+7x³-14x²+29x-62)+125

Ejemplo 5
p(x)=3x³-5x²+2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac{1}{2}$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b₂=3
$b_1=\frac{1}{2}\cdot 3-5=-\frac{7}{2}$
$b_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+2=-\frac{7}{4}+2=\frac{1}{4}$
$r=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}+3=\frac{25}{8}$
$\Rightarrow {3x^3-5x^2+2x+3}={\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(3x^2-\frac{7}{2}x+\frac{1}{4}\right)}+\frac{25}{8}$
La regla de Horner da el cociente de la división entre ${x-x_0}={x-\frac{1}{2}}$. Como ${2x-1}={2\left(x-\frac{1}{2}\right)}$, el cociente de la división entre ${2x-1}$ es la mitad de ese cociente:
$\Rightarrow c(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{7}{4}x+\frac{1}{8};\quad r=\frac{25}{8}$
${3x^3-5x^2+2x+3}={\left(2x-1\right)\left(\frac{3}{2}x^2-\frac{7}{4}x+\frac{1}{8}\right)}+\frac{25}{8}$
Conclusión
Si dividimos por un polinomio de un grado mayor que uno, para encontrar el cociente y el residuo usamos los pasos 1-9.
Si dividimos por un polinomio de primer grado mx+n, para encontrar el cociente y el residuo usamos la regla de Horner donde $x_0=-\frac{n}{m}$.
Si solo tenemos que encontrar el residuo de una división por un polinomio de primer grado, encontramos p(x₀).
Ejemplo 6
p(x)=-4x⁴+3x³+5x²-x+2
q(x)=x-1
x₀=1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5