Sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas

Calculadora de sistemas de ecuaciones de segundo grado

Escriba los coeficientes de las dos ecuaciones de la forma ${ax^2+bxy}+{cy^2+dx+ey}={f.}$ Pueden ser enteros, decimales (por ejemplo 0,5) o fracciones (por ejemplo 1/3). Una casilla vacía significa 0. La calculadora elige un método de la lección (sustitución, reducción, cambio de variable o factorización), halla todas las soluciones reales del sistema y muestra la solución paso a paso. Si ninguno de estos métodos sirve, la calculadora halla las soluciones numéricamente.

¿Qué es un sistema de ecuaciones de segundo grado?

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de segundo grado si una de sus ecuaciones es de segundo grado y la otra es de primer o de segundo grado. Por ejemplo, en el sistema

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

la primera ecuación es de primer grado y la segunda es de segundo grado (los términos ${x^2,}$ ${xy}$ e ${y^2}$ son de segundo grado). Toda ecuación de segundo grado con dos incógnitas se puede escribir en la forma

Una solución del sistema es todo par ordenado de números ${(x,\ y),}$ tal que satisface las dos ecuaciones. Resolver el sistema significa hallar todas sus soluciones o demostrar que no tiene ninguna. Por ejemplo, ${(4,\ -3)}$ es una solución del sistema anterior, porque ${4-(-3)=7}$ y ${4^2-4\cdot(-3)-(-3)^2}={16+12-9}={19.}$ El par ${(8,\ 1)}$ satisface la primera ecuación, pero no la segunda (${64-8-1=55\ne 19}$), así que no es una solución.

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones (en particular, si ninguno de los dos tiene soluciones). Los métodos de abajo sustituyen el sistema dado por un sistema más sencillo equivalente a él, o por varios sistemas más sencillos cuyas soluciones reunimos.

En esta página: Calculadora · Sustitución · Reducción · Eliminar una incógnita · Sistemas simétricos · Factorización · Ecuaciones homogéneas · Aplicaciones · Ejercicios

Sistemas con una ecuación de primer grado: método de sustitución

De una ecuación de primer grado siempre se puede despejar una de las incógnitas. Después de la sustitución obtenemos una ecuación con una incógnita, por lo general cuadrática. Por eso, cualquier sistema de segundo grado en el que una de las ecuaciones sea de primer grado se puede resolver por sustitución.

1. De la ecuación de primer grado despejamos una de las incógnitas en función de la otra. Conviene elegir una incógnita con coeficiente 1 o ${-1.}$
2. Sustituimos la expresión obtenida en la ecuación de segundo grado y obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Resolvemos esta ecuación (normalmente es una ecuación cuadrática).
4. Para cada raíz, hallamos la otra incógnita con la expresión del paso 1.
5. Escribimos las soluciones como pares ${(x,\ y).}$

En el paso 4 hallamos la otra incógnita con la expresión obtenida de la ecuación de primer grado, y no con la ecuación de segundo grado. De lo contrario, podemos obtener pares que no son soluciones. Así, en el ejemplo 1 de abajo, para ${x=3}$ la ecuación ${x^2+y^2=25}$ da ${y=4}$ e ${y=-4,}$ pero ${(3,\ -4)}$ no es solución del sistema, porque ${3+(-4)\ne 7.}$

Ejemplo 1

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x+y=7\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Solución. De la primera ecuación, ${y=7-x.}$ Sustituimos en la segunda ecuación:

${x^2+(7-x)^2=25}$

$x^2+49-14x+x^2=25$

${2x^2-14x+24}={0\iff x^2-7x+12}={0}$

Las raíces son ${x_1=3}$ y ${x_2=4}$ (su suma es 7 y su producto es 12). De ${y=7-x}$ obtenemos ${y_1=7-3=4}$ e ${y_2=7-4=3.}$

Respuesta: ${(3,\ 4)}$ y ${(4,\ 3).}$

Ejemplo 2

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

Solución. De la primera ecuación, ${x=7+y.}$ Sustituimos en la segunda ecuación:

${(7+y)^2-(7+y)y-y^2}={19}$

${49+14y+y^2}-{7y-y^2-y^2}={19}$

${-y^2+7y+30}={0\iff y^2-7y-30}={0}$

${D}={(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)}={49+120}={169,}$ de donde ${y_{1,2}=\frac{7\pm 13}{2},}$ es decir, ${y_1=-3}$ e ${y_2=10.}$ De ${x=7+y}$ obtenemos ${x_1=4}$ y ${x_2=17.}$

Comprobación para ${(17,\ 10)\text{:}}$ ${17-10=7}$ y ${17^2-17\cdot 10-10^2}={289-170-100}={19.}$

Respuesta: ${(4,\ -3)}$ y ${(17,\ 10).}$

Ejemplo 3. Una solución o ninguna

a) Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}3x+4y=25\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Solución. De la primera ecuación, ${y=\frac{25-3x}{4}.}$ Sustituimos en la segunda ecuación y multiplicamos por 16:

${x^2+\frac{(25-3x)^2}{16}}={25\iff 16x^2+625}-{150x+9x^2}={400}$

${25x^2-150x+225}={0\iff x^2-6x+9}={0\iff (x-3)^2}={0}$

La ecuación tiene una sola raíz, ${x=3,}$ de donde ${y=\frac{25-9}{4}=4.}$ Respuesta: ${(3,\ 4).}$ El sistema tiene una sola solución.

b) Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x+y=10\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Solución. De la primera ecuación, ${y=10-x.}$ Sustituimos en la segunda ecuación:

${x^2+(10-x)^2}={25\iff 2x^2-20x+75}={0}$

${D}={(-20)^2-4\cdot 2\cdot 75}={400-600}={-200}\lt{0,}$ así que la ecuación cuadrática no tiene raíces reales. Respuesta: el sistema no tiene solución.

Sistemas con dos ecuaciones de segundo grado: método de reducción

Cuando las dos ecuaciones son de segundo grado, normalmente ninguna de las incógnitas se puede despejar fácilmente. Entonces buscamos la manera de obtener una ecuación más sencilla. Algunos de estos sistemas se resuelven por reducción, es decir, sumando las ecuaciones, o por reducción y sustitución.

Los números se eligen de modo que, al sumar, desaparezcan los términos de segundo grado. Obtenemos una ecuación de primer grado y continuamos por sustitución. (Restar dos ecuaciones es sumarlas después de multiplicar la segunda por ${-1.}$)

Ejemplo 4

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2+2x=39\\x^2+y^2-y=27\end{array}$$

Solución. Aquí ninguna de las incógnitas se puede despejar fácilmente, porque las dos ecuaciones contienen ${x^2}$ e ${y^2.}$ Observamos, sin embargo, que si restamos la segunda ecuación de la primera, los términos ${x^2}$ e ${y^2}$ desaparecen:

${(x^2+y^2+2x)}-{(x^2+y^2-y)}={39-27\iff 2x+y}={12}$

Obtenemos un sistema equivalente al dado:

$$\begin{array}{|l}2x+y=12\\x^2+y^2+2x=39\end{array}$$

Lo resolvemos por sustitución. De la primera ecuación, ${y=12-2x,}$ y la segunda da

${x^2+(12-2x)^2+2x}={39\iff 5x^2-46x+105}={0}$

${D}={(-46)^2-4\cdot 5\cdot 105}={2116-2100}={16,}$ de donde ${x_{1,2}=\frac{46\pm 4}{10},}$ es decir, ${x_1=5}$ y ${x_2=\frac{21}{5}.}$ Entonces ${y_1=12-10=2}$ e ${y_2=12-\frac{42}{5}=\frac{18}{5}.}$

Respuesta: ${(5,\ 2)}$ y ${\left(\frac{21}{5},\ \frac{18}{5}\right),}$ es decir, ${(4{,}2;\ 3{,}6).}$

Ejemplo 5

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

Solución. Los términos de segundo grado de la primera ecuación son el doble de los de la segunda: ${4x^2-2xy}={2(2x^2-xy).}$ Si multiplicamos la segunda ecuación por ${-2}$ y la sumamos a la primera, obtenemos una ecuación de primer grado:

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\-4x^2+2xy-4x+2y=-18\end{array}$$

$-3x+3y=-3\iff x-y=1$

El sistema es equivalente al sistema

$$\begin{array}{|l}x-y=1\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

De la primera ecuación, ${x=1+y.}$ Sustituimos en la segunda ecuación:

${2(1+y)^2}-{y(1+y)+2(1+y)-y}={9\iff y^2+4y-5}={0}$

Las raíces son ${y_1=-5}$ e ${y_2=1}$ (su suma es ${-4,}$ y su producto es ${-5}$). Entonces ${x_1=1+(-5)=-4}$ y ${x_2=1+1=2.}$

Respuesta: ${(-4,\ -5)}$ y ${(2,\ 1).}$

Eliminación de una de las incógnitas

A veces, sumando las ecuaciones de forma adecuada, podemos eliminar todos los términos con una de las incógnitas, y no solo los términos de segundo grado. Obtenemos una ecuación que solo contiene la otra incógnita. La resolvemos y, para cada una de sus raíces, hallamos la incógnita eliminada a partir de una de las ecuaciones del sistema. Por el teorema del método de reducción, la nueva ecuación y cualquiera de las ecuaciones dadas forman un sistema equivalente al dado. Por eso, todo par obtenido de esta manera es una solución.

Esto no contradice la advertencia del método de sustitución. Allí la ecuación de primer grado relaciona ${x}$ e ${y,}$ mientras que aquí la nueva ecuación solo contiene una de las incógnitas. Por eso, para cada una de sus raíces, todo valor de la otra incógnita que satisfaga la ecuación que conservamos da una solución.

Ejemplo 6

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\x^2-y^2=5\end{array}$$

Solución. Sumamos las dos ecuaciones: ${2x^2=18,}$ es decir, ${x^2=9}$ y ${x=\pm 3.}$ Restamos la segunda ecuación de la primera: ${2y^2=8,}$ es decir, ${y^2=4}$ e ${y=\pm 2.}$ El sistema es equivalente al sistema ${x^2=9,}$ ${y^2=4,}$ así que cada uno de los dos valores de ${x}$ se combina con cada uno de los dos valores de ${y.}$

Respuesta: ${(3,\ 2),}$ ${(3,\ -2),}$ ${(-3,\ 2)}$ y ${(-3,\ -2).}$

Ejemplo 7

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x^2+2y^2-5x+4y=-2\\x^2-3y^2-6y=-2\end{array}$$

Solución. Los términos con ${y}$ son ${2y^2+4y}$ en la primera ecuación y ${-3y^2-6y}$ en la segunda. Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, y las sumamos, desaparecen todos los términos con ${y\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}3x^2+6y^2-15x+12y=-6\\2x^2-6y^2-12y=-4\end{array}$$

${5x^2-15x}={-10\iff x^2-3x+2}={0}$

Las raíces son ${x_1=1}$ y ${x_2=2.}$ Sustituimos cada una de ellas en la segunda ecuación (es la más sencilla):

• para ${x=1\text{:}}$ ${1-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-1}={0,}$ de donde ${y=-1\pm\sqrt{2};}$
• para ${x=2\text{:}}$ ${4-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-2}={0,}$ de donde ${y=-1\pm\sqrt{3}.}$

Respuesta: el sistema tiene las cuatro soluciones ${(1,\ -1+\sqrt{2}),}$ ${(1,\ -1-\sqrt{2}),}$ ${(2,\ -1+\sqrt{3})}$ y ${(2,\ -1-\sqrt{3}).}$

Sistemas simétricos

Un sistema es simétrico si sus dos ecuaciones no cambian al intercambiar ${x}$ e ${y.}$ Por ejemplo, la ecuación ${x^2+xy+y^2=7}$ es simétrica: después del intercambio obtenemos ${y^2+yx+x^2=7,}$ es decir, la misma ecuación. Los sistemas simétricos se resuelven cómodamente con el cambio de variable

Si ${t_1}$ y ${t_2}$ son las raíces de ${t^2-ut+v=0,}$ el sistema tiene las soluciones ${(t_1,\ t_2)}$ y ${(t_2,\ t_1)}$ (cuando ${t_1=t_2}$ se trata de una sola solución: ${(t_1,\ t_1)}$). Si esta ecuación no tiene raíces reales, es decir, si ${u^2-4v\lt 0,}$ el par correspondiente ${u,}$ ${v}$ no da ninguna solución.

Ejemplo 8

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x+y=5\\xy=6\end{array}$$

Solución. Aquí directamente ${u=5}$ y ${v=6.}$ Los números ${x}$ e ${y}$ son las raíces de la ecuación ${t^2-5t+6=0,}$ es decir, ${t_1=2}$ y ${t_2=3.}$ (Este mismo sistema también se puede resolver por sustitución: ${y=5-x}$ y ${x(5-x)=6.}$)

Respuesta: ${(2,\ 3)}$ y ${(3,\ 2).}$

Ejemplo 9

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\xy=6\end{array}$$

Solución. Hacemos el cambio de variable ${x+y=u}$ y ${xy=v.}$ Como ${x^2+y^2=u^2-2v,}$ el sistema queda

$$\begin{array}{|l}u^2-2v=13\\v=6\end{array}$$

Por lo tanto, ${u^2=25,}$ es decir, ${u=5}$ o ${u=-5.}$

• Para ${u=5}$ y ${v=6\text{:}}$ ${t^2-5t+6=0,}$ ${t_1=2,}$ ${t_2=3.}$
• Para ${u=-5}$ y ${v=6\text{:}}$ ${t^2+5t+6=0,}$ ${t_1=-3,}$ ${t_2=-2.}$

Respuesta: ${(2,\ 3),}$ ${(3,\ 2),}$ ${(-2,\ -3)}$ y ${(-3,\ -2).}$

Ejemplo 10

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=7\\x+xy+y=5\end{array}$$

Solución. El sistema es simétrico. Como ${x^2+xy+y^2}={(x^2+y^2)+xy}={u^2-2v+v}={u^2-v,}$ con el cambio de variable ${x+y=u,}$ ${xy=v}$ obtenemos

$$\begin{array}{|l}u^2-v=7\\u+v=5\end{array}$$

Sumamos las dos ecuaciones: ${u^2+u=12,}$ es decir, ${u^2+u-12=0,}$ de donde ${u_1=3}$ y ${u_2=-4.}$ Entonces ${v_1=5-3=2}$ y ${v_2=5-(-4)=9.}$

• Para ${u=3}$ y ${v=2\text{:}}$ ${t^2-3t+2=0,}$ ${t_1=1,}$ ${t_2=2.}$ Obtenemos ${(1,\ 2)}$ y ${(2,\ 1).}$
• Para ${u=-4}$ y ${v=9\text{:}}$ la ecuación ${t^2+4t+9=0}$ tiene discriminante ${16-36=-20\lt 0,}$ así que no da soluciones.

Respuesta: ${(1,\ 2)}$ y ${(2,\ 1).}$

Factorización

Si una de las ecuaciones se puede escribir en la forma ${A\cdot B=0,}$ donde ${A}$ y ${B}$ son expresiones de primer grado, esta ecuación se cumple exactamente cuando ${A=0}$ o ${B=0.}$ Entonces el sistema se descompone en dos sistemas, y en cada uno de ellos una de las ecuaciones es de primer grado. Los resolvemos por sustitución y reunimos sus soluciones.

Ejemplo 11

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x^2-5xy+6y^2=0\\x^2+y^2=10\end{array}$$

Solución. El lado izquierdo de la primera ecuación se factoriza igual que ${t^2-5t+6}={(t-2)(t-3)\text{:}}$ ${x^2-5xy+6y^2}={(x-2y)(x-3y)}$ (compruébelo desarrollando los paréntesis). Por lo tanto, ${x=2y}$ o ${x=3y.}$

• Para ${x=2y}$ la segunda ecuación da ${4y^2+y^2=10,}$ es decir, ${y^2=2}$ e ${y=\pm\sqrt{2}.}$ Obtenemos ${(2\sqrt{2},\ \sqrt{2})}$ y ${(-2\sqrt{2},\ -\sqrt{2}).}$
• Para ${x=3y}$ la segunda ecuación da ${9y^2+y^2=10,}$ es decir, ${y^2=1}$ e ${y=\pm 1.}$ Obtenemos ${(3,\ 1)}$ y ${(-3,\ -1).}$

Respuesta: ${(2\sqrt{2},\ \sqrt{2}),}$ ${(-2\sqrt{2},\ -\sqrt{2}),}$ ${(3,\ 1)}$ y ${(-3,\ -1).}$

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación como ${x^2-5xy+6y^2=0,}$ en la que todos los términos son de segundo grado y el lado derecho es 0, se llama homogénea. Si no vemos enseguida cómo factorizarla, para ${y\ne 0}$ dividimos entre ${y^2}$ y hacemos el cambio ${t=\frac{x}{y}.}$ De ${x^2-5xy+6y^2=0}$ obtenemos ${t^2-5t+6=0,}$ con raíces ${t=2}$ y ${t=3,}$ es decir, ${x=2y}$ o ${x=3y.}$ El caso ${y=0}$ lo comprobamos aparte, porque no se puede dividir entre 0. Aquí, para ${y=0}$ la ecuación da ${x^2=0,}$ es decir, el punto ${(0,\ 0),}$ que no satisface ${x^2+y^2=10.}$ (Si la ecuación no tiene término en ${x^2,}$ por ejemplo ${5xy+6y^2=0,}$ para ${y=0}$ se cumple para cualquier valor de ${x.}$ Entonces ${y}$ es factor común: ${y(5x+6y)=0.}$)

Si las dos ecuaciones del sistema solo contienen términos de segundo grado y términos independientes, las multiplicamos por números adecuados y las sumamos de modo que desaparezcan los términos independientes. Obtenemos una ecuación homogénea.

Ejemplo 12

Resuelva el sistema

$$\begin{array}{|l}x^2+xy=15\\xy+y^2=10\end{array}$$

Solución. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por ${-3,}$ y las sumamos:

${2x^2+2xy-3xy-3y^2}={30-30\iff 2x^2-xy-3y^2}={0}$

Por el teorema del método de reducción, el sistema es equivalente al sistema formado por la ecuación homogénea obtenida y la segunda ecuación. Si ${y=0,}$ la ecuación homogénea da ${2x^2=0,}$ es decir, ${x=0,}$ y ${(0,\ 0)}$ no satisface ${xy+y^2=10.}$ Para ${y\ne 0}$ dividimos entre ${y^2}$ y hacemos el cambio ${t=\frac{x}{y}\text{:}}$ ${2t^2-t-3=0,}$ de donde ${t_1=-1}$ y ${t_2=\frac{3}{2}.}$ Por lo tanto, ${x=-y}$ o ${x=\frac{3y}{2}.}$ Lo mismo se obtiene con la factorización ${2x^2-xy-3y^2}={(x+y)(2x-3y).}$

• Para ${x=-y}$ la segunda ecuación da ${-y^2+y^2=10,}$ es decir, ${0=10,}$ lo cual es falso.
• Para ${x=\frac{3y}{2}}$ la segunda ecuación da ${\frac{3y^2}{2}+y^2=10,}$ es decir, ${y^2=4}$ e ${y=\pm 2.}$ Para ${y=2}$ obtenemos ${x=3,}$ y para ${y=-2}$ obtenemos ${x=-3.}$

Respuesta: ${(3,\ 2)}$ y ${(-3,\ -2).}$ Comprobación: ${9+6=15}$ y ${6+4=10.}$

Otra forma. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos ${x^2+2xy+y^2=25,}$ es decir, ${(x+y)^2=25}$ y ${x+y=\pm 5.}$ La primera ecuación es ${x(x+y)=15.}$ Para ${x+y=5}$ obtenemos ${5x=15,}$ ${x=3,}$ ${y=2,}$ y para ${x+y=-5}$ obtenemos ${x=-3,}$ ${y=-2.}$

Problemas de aplicación

Problema 1. El perímetro de un rectángulo es 34 cm y su diagonal mide 13 cm. Halle los lados del rectángulo.

Solución. Sean ${x}$ cm e ${y}$ cm los lados. Entonces ${2(x+y)=34,}$ y por el teorema de Pitágoras ${x^2+y^2=13^2\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}x+y=17\\x^2+y^2=169\end{array}$$

El sistema es simétrico: ${u=x+y=17}$ y ${u^2-2v=169,}$ es decir, ${289-2v=169}$ y ${v=xy=60.}$ Los números ${x}$ e ${y}$ son las raíces de ${t^2-17t+60=0\text{:}}$ ${t_1=5}$ y ${t_2=12.}$ Respuesta: los lados miden 5 cm y 12 cm. Comprobación: ${5+12=17}$ y ${25+144=169.}$

Problema 2. El producto de las cifras de un número de dos cifras es 24, y la suma de los cuadrados de sus cifras es 52. ¿Cuál puede ser el número?

Solución. Supongamos que la cifra de las decenas es ${x,}$ y la de las unidades, ${y.}$ Entonces ${xy=24}$ y ${x^2+y^2=52.}$ Por lo tanto, ${(x+y)^2}={x^2+y^2+2xy}={52+48}={100,}$ y como las cifras son positivas (su producto es 24, así que ninguna de ellas es 0), ${x+y=10.}$ Las cifras son las raíces de ${t^2-10t+24=0,}$ es decir, 4 y 6. Respuesta: el número es 46 o 64.

Problema 3. La diferencia de dos números es 3 y su producto es 40. Halle los números.

Solución. Sean ${x}$ e ${y}$ los números:

$$\begin{array}{|l}x-y=3\\xy=40\end{array}$$

De la primera ecuación, ${x=y+3.}$ Sustituimos en la segunda: ${(y+3)y=40,}$ es decir, ${y^2+3y-40=0,}$ de donde ${y_1=-8}$ e ${y_2=5.}$ Entonces ${x_1=-5}$ y ${x_2=8.}$ Respuesta: los números son 8 y 5, o bien ${-5}$ y ${-8.}$ Los dos pares cumplen la condición: ${8-5=3,}$ ${8\cdot 5=40}$ y ${-5-(-8)=3,}$ ${(-5)\cdot(-8)=40.}$

Problema 4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y su área es 24 cm². Halle los catetos.

Solución. Sean ${x}$ cm e ${y}$ cm los catetos. Entonces ${x^2+y^2=100}$ y ${\frac{xy}{2}=24,}$ es decir, ${xy=48.}$ Por lo tanto, ${(x+y)^2}={100+96}={196}$ y ${x+y=14}$ (los catetos son positivos). Los números ${x}$ e ${y}$ son las raíces de ${t^2-14t+48=0,}$ es decir, 6 y 8. Respuesta: los catetos miden 6 cm y 8 cm. Comprobación: ${36+64=100}$ y ${\frac{6\cdot 8}{2}=24.}$

Problemas para practicar

Intente resolverlos por su cuenta y después abra la respuesta. También puede comprobar su solución con la calculadora del principio de la página.

1. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x+y=8\\xy=15\end{array}$

Los números ${x}$ e ${y}$ son las raíces de ${t^2-8t+15=0,}$ es decir, 3 y 5. Respuesta: ${(3,\ 5)}$ y ${(5,\ 3).}$

2. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x-y=2\\x^2+y^2=20\end{array}$

${y=x-2,}$ ${x^2+(x-2)^2}={20\iff x^2-2x-8}={0,}$ ${x_1=-2,}$ ${x_2=4.}$ Respuesta: ${(-2,\ -4)}$ y ${(4,\ 2).}$

3. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}2x+y=5\\x^2+y^2=10\end{array}$

${y=5-2x,}$ ${x^2+(5-2x)^2}={10\iff x^2-4x+3}={0,}$ ${x_1=1,}$ ${x_2=3.}$ Respuesta: ${(1,\ 3)}$ y ${(3,\ -1).}$

4. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x+2y=7\\xy=6\end{array}$

${x=7-2y,}$ ${(7-2y)y}={6\iff 2y^2-7y+6}={0,}$ ${y_1=\frac{3}{2},}$ ${y_2=2.}$ Respuesta: ${\left(4,\ \frac{3}{2}\right)}$ y ${(3,\ 2).}$

5. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x^2+y^2=41\\x^2-y^2=9\end{array}$

Sumamos: ${2x^2=50,}$ ${x^2=25.}$ Restamos: ${2y^2=32,}$ ${y^2=16.}$ Respuesta: ${(5,\ 4),}$ ${(5,\ -4),}$ ${(-5,\ 4)}$ y ${(-5,\ -4).}$

6. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x+y=3\\x^2+y^2=1\end{array}$

${y=3-x,}$ ${x^2+(3-x)^2}={1\iff x^2-3x+4}={0,}$ ${D=9-16=-7\lt 0.}$ Respuesta: el sistema no tiene solución.

7. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x^2+y^2-2x=15\\x^2+y^2+4y=25\end{array}$

Restamos la segunda ecuación de la primera: ${-2x-4y=-10,}$ es decir, ${x=5-2y.}$ Sustituimos en la segunda: ${(5-2y)^2+y^2+4y}={25\iff 5y^2-16y}={0,}$ ${y_1=0,}$ ${y_2=\frac{16}{5}.}$ Respuesta: ${(5,\ 0)}$ y ${\left(-\frac{7}{5},\ \frac{16}{5}\right).}$

8. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x^2+y^2=20\\x+y=6\end{array}$

${u=6,}$ ${u^2-2v=20,}$ ${v=8,}$ ${t^2-6t+8=0.}$ Respuesta: ${(2,\ 4)}$ y ${(4,\ 2).}$

9. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=13\\x+y=4\end{array}$

${x^2+xy+y^2=u^2-v,}$ así que ${16-v=13}$ y ${v=3,}$ ${t^2-4t+3=0.}$ Respuesta: ${(1,\ 3)}$ y ${(3,\ 1).}$

10. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}x^2-3xy+2y^2=0\\x^2+y^2=20\end{array}$

${(x-y)(x-2y)=0.}$ Para ${x=y\text{:}}$ ${2y^2=20,}$ ${y=\pm\sqrt{10}.}$ Para ${x=2y\text{:}}$ ${5y^2=20,}$ ${y=\pm 2.}$ Respuesta: ${(\sqrt{10},\ \sqrt{10}),}$ ${(-\sqrt{10},\ -\sqrt{10}),}$ ${(4,\ 2)}$ y ${(-4,\ -2).}$

11. Resuelva el sistema $\begin{array}{|l}xy=12\\x^2+y^2=25\end{array}$

$(x+y)^2=25+24=49,$ ${x+y=\pm 7.}$ Para ${u=7\text{:}}$ ${t^2-7t+12=0;}$ para ${u=-7\text{:}}$ ${t^2+7t+12=0.}$ Respuesta: ${(3,\ 4),}$ ${(4,\ 3),}$ ${(-3,\ -4)}$ y ${(-4,\ -3).}$

12. La suma de dos números es 12 y la suma de sus cuadrados es 74. Halle los números.

${x+y=12,}$ ${x^2+y^2=74,}$ así que ${xy=\frac{144-74}{2}=35}$ y ${t^2-12t+35=0.}$ Respuesta: los números son 5 y 7.