Inecuaciones cuadráticas

Calculadora de inecuaciones cuadráticas

Escribe los coeficientes $a,$ $b,$ $c$ y elige el signo de la desigualdad. Los coeficientes pueden ser enteros, decimales (por ejemplo, 0,5) o fracciones (por ejemplo, 1/3). Una casilla vacía en $b$ o $c$ significa 0. La calculadora halla las raíces, te dice dónde está la parábola por encima o por debajo del eje $x$ y escribe el conjunto solución. Si ${a=0,}$ resuelve la inecuación lineal ${bx+c\gt 0}$ (o la que corresponda al signo elegido).

¿Qué es una inecuación cuadrática?

Las inecuaciones cuadráticas también se llaman desigualdades cuadráticas. Resolver una inecuación significa encontrar todos los valores de $x$ que la cumplen. Juntos forman el conjunto solución. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces, pero una inecuación cuadrática suele tener infinitas soluciones: todo un intervalo o dos semirrectas de la recta numérica.

Por ejemplo, ${x=1}$ es una solución de ${x^2-\frac12\gt 0,}$ porque ${1^2-\frac12=\frac12}$ y ${\frac12\gt 0}$ es verdadero. El número ${x=0}$ no es solución: ${0^2-\frac12=-\frac12,}$ y ${-\frac12\gt 0}$ es falso.

Antes de resolver, pasa todos los términos a un mismo miembro, de modo que el otro miembro sea 0. Por ejemplo, ${2x^2+5x\ge 3}$ se convierte en ${2x^2+5x-3\ge 0}$ (aquí ${a=2,}$ ${b=5,}$ ${c=-3}$), y ${x^2\lt 4}$ se convierte en ${x^2-4\lt 0}$ (aquí ${a=1,}$ ${b=0,}$ ${c=-4}$).

En esta página: Calculadora · La idea principal · Pasos · Tres casos · Ejemplos · Método de los intervalos · Sistemas · Problemas verbales · Con parámetro · Práctica

La idea principal: mira la parábola

La gráfica de ${y=ax^2+bx+c}$ es una parábola. Para cada $x,$ el valor de ${ax^2+bx+c}$ es la ordenada (la coordenada $y$) del punto de la gráfica, así que

• ${ax^2+bx+c\gt 0}$ donde la parábola está por encima del eje $x;$
• ${ax^2+bx+c\lt 0}$ donde la parábola está por debajo del eje $x;$
• ${ax^2+bx+c=0}$ donde la parábola corta o toca el eje $x,$ es decir, en las raíces.

Así, para resolver una inecuación cuadrática basta con leer un dibujo. Tomemos ${y=x^2-x-6.}$ Las raíces de ${x^2-x-6=0}$ son ${x_1=-2}$ y ${x_2=3,}$ porque ${x^2-x-6}={{(x+2)}{(x-3)}.}$ El coeficiente ${a=1}$ es positivo, así que la parábola se abre hacia arriba.

La parábola está por debajo del eje $x$ entre las raíces y por encima de él fuera de ese intervalo. Por tanto,

• ${x^2-x-6\lt 0}$ para ${-2\lt x\lt 3;}$
• ${x^2-x-6\gt 0}$ para ${x\lt -2}$ y para ${x\gt 3;}$
• ${x^2-x-6\le 0}$ para ${-2\le x\le 3,}$ y ${x^2-x-6\ge 0}$ para ${x\le -2}$ y para ${x\ge 3}$ (con ${\le}$ y ${\ge}$ las raíces también son soluciones).

Comprueba un número de cada parte: ${x=-3}$ da ${9+3-6=6\gt 0,}$ ${x=0}$ da ${-6\lt 0,}$ y ${x=4}$ da ${16-4-6=6\gt 0.}$

La respuesta depende solo de dos cosas: dónde corta o toca la parábola el eje $x$ (las raíces) y hacia dónde se abre (el signo de $a$). El vértice, el punto de corte con el eje $y$ y la forma exacta no importan, así que basta con un esbozo aproximado.

Cómo resolver una inecuación cuadrática

1. Pasa todos los términos al primer miembro, de modo que la inecuación tenga la forma ${ax^2+bx+c\gt 0}$ (o la misma con ${\lt,}$ ${\ge}$ o ${\le}$).
2. Resuelve la ecuación ${ax^2+bx+c=0}\text{:}$ factorizando, o con el discriminante ${D=b^2-4ac}$ y la fórmula general ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.}$ Si ${D\lt 0,}$ no hay raíces reales y la parábola no corta el eje $x;$ si ${D=0,}$ toca el eje en un solo punto (mira los tres casos más abajo).
3. Haz un esbozo de la parábola: pasa por las raíces sobre el eje $x$ y se abre hacia arriba si ${a\gt 0}$ y hacia abajo si ${a\lt 0.}$
4. Lee la respuesta en el esbozo: para ${\gt 0}$ y ${\ge 0}$ toma los valores de $x$ en los que la parábola está por encima del eje; para ${\lt 0}$ y ${\le 0}$ toma aquellos en los que está por debajo del eje.
5. Decide qué pasa con las raíces: con ${\ge}$ y ${\le}$ pertenecen a la respuesta (corchetes); con los signos estrictos ${\gt}$ y ${\lt}$ no pertenecen (paréntesis). Escribe la respuesta en notación de intervalos; ${-\infty}$ y ${+\infty}$ siempre llevan paréntesis.

Si ${a\gt 0}$ y las raíces son ${x_1\lt x_2,}$ entonces ${ax^2+bx+c\lt 0}$ entre las raíces y ${ax^2+bx+c\gt 0}$ fuera del intervalo entre las raíces.

Tres casos: D > 0, D = 0 y D < 0

El discriminante ${D=b^2-4ac}$ nos dice cuántos puntos tiene la parábola en común con el eje $x\text{:}$ dos si ${D\gt 0,}$ uno (la parábola toca el eje) si ${D=0,}$ y ninguno si ${D\lt 0.}$ Estos son los seis dibujos posibles. Las partes de la parábola que están por encima del eje $x$ aparecen en verde, y las que están por debajo, en rojo.

Si ${a\gt 0}$, la parábola se abre hacia arriba:

Si ${a\lt 0}$, la parábola se abre hacia abajo:

Los dibujos para ${a\gt 0}$ se resumen en la tabla siguiente. Aquí ${x_1\lt x_2}$ son las dos raíces cuando ${D\gt 0,}$ y ${x_0=-\frac{b}{2a}}$ es la única raíz cuando ${D=0.}$

Inecuación	${D\gt 0}$	${D=0}$	${D\lt 0}$
${ax^2+bx+c\gt 0}$	${(-\infty,\ x_1)}\cup{(x_2,\ +\infty)}$	${(-\infty,\ x_0)}\cup{(x_0,\ +\infty)}$	$\mathbb{R}$
${ax^2+bx+c\ge 0}$	${(-\infty,\ x_1]}\cup{[x_2,\ +\infty)}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
${ax^2+bx+c\lt 0}$	$(x_1,\ x_2)$	sin solución	sin solución
${ax^2+bx+c\le 0}$	$[x_1,\ x_2]$	solo ${x=x_0}$	sin solución

$\mathbb{R}$ es el conjunto de todos los números reales, ${(-\infty,\ +\infty).}$ «Sin solución» significa que el conjunto solución es el conjunto vacío: $\varnothing.$

Cuando ${a\lt 0,}$ todo se invierte. Si ${D\gt 0,}$ entonces ${ax^2+bx+c\gt 0}$ entre las raíces y ${ax^2+bx+c\lt 0}$ fuera del intervalo entre ellas. Si ${D=0,}$ la expresión es negativa en todas partes salvo en $x_0,$ donde vale 0. Si ${D\lt 0,}$ es negativa para todo $x.$ No hace falta aprender una segunda tabla. Multiplica la inecuación por ${-1}$ e invierte el sentido de la desigualdad; así el coeficiente principal $a$ (el coeficiente de $x^2$) queda positivo. Por ejemplo, ${-x^2+4x-3\gt 0}$ tiene las mismas soluciones que ${x^2-4x+3\lt 0.}$

Ejemplos resueltos

En los esbozos, la parte de la parábola que corresponde a las soluciones y la respuesta sobre el eje $x$ están en naranja. En una recta numérica, la respuesta está en azul.

Ejemplo 1: fuera de las raíces

Resuelve la inecuación ${x^2+3x-10\gt 0.}$

Primero resuelve la ecuación ${x^2+3x-10=0}\text{:}$

${D}={3^2-4\cdot 1\cdot(-10)}={9+40}={49,}$   ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2},}$   ${x_1=-5,}$   ${x_2=2}$

El coeficiente ${a=1}$ es positivo, así que la parábola se abre hacia arriba. Está por encima del eje $x$ a la izquierda de ${-5}$ y a la derecha de $2.$ La inecuación es estricta, por lo que las raíces no son soluciones: en ${x=-5}$ y en ${x=2}$ el primer miembro vale 0, y ${0\gt 0}$ es falso.

Respuesta: ${x\lt -5}$ o ${x\gt 2,}$ es decir, $x\in{(-\infty,\ -5)}\cup{(2,\ +\infty)}.$

Ejemplo 2: raíces incluidas

Resuelve la inecuación ${x^2+5x-6\ge 0.}$

Resuelve ${x^2+5x-6=0}\text{:}$ ${D=25+24=49}$ y ${x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2},}$ así que ${x_1=-6}$ y ${x_2=1.}$ (Las fórmulas de Vieta dan el mismo resultado: el producto de las raíces es ${-6}$ y su suma es ${-5.}$)

La parábola se abre hacia arriba y está por encima del eje fuera del intervalo entre las raíces. El signo es ${\ge,}$ así que las raíces también son soluciones: en ellas el primer miembro vale 0, y ${0\ge 0}$ es verdadero. En la recta numérica, las raíces se marcan con puntos rellenos.

Respuesta: $x\in{(-\infty,\ -6]}\cup{[1,\ +\infty)}.$

Ejemplo 3: entre las raíces

Resuelve la inecuación ${x^2-6x+8\le 0.}$

${D=36-32=4}$ y ${x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2},}$ así que ${x_1=2}$ y ${x_2=4.}$ La parábola se abre hacia arriba, por lo que está por debajo del eje $x$ entre las raíces. Con ${\le}$ las raíces están incluidas.

Respuesta: ${2\le x\le 4,}$ es decir, $x\in[2,\ 4].$

La inecuación estricta ${x^2-6x+8\lt 0}$ tiene como respuesta $(2,\ 4)\text{:}$ el mismo intervalo sin sus extremos.

Ejemplo 4: coeficiente principal negativo

Resuelve la inecuación ${-x^2-7x+8\lt 0.}$

Aquí ${a=-1\lt 0.}$ Multiplica los dos miembros por ${-1}$ e invierte el sentido de la desigualdad:

${x^2+7x-8\gt 0}$

Las raíces de ${x^2+7x-8=0}$ son ${x_1=-8}$ y ${x_2=1}$ (${D=49+32=81}$ y ${x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2}}$). La parábola ${y=x^2+7x-8}$ se abre hacia arriba, y necesitamos las partes que están por encima del eje, fuera del intervalo entre las raíces.

Respuesta: $x\in{(-\infty,\ -8)}\cup{(1,\ +\infty)}.$

La gráfica del primer miembro, ${y=-x^2-7x+8,}$ da la misma respuesta. Se abre hacia abajo, corta el eje $x$ en ${-8}$ y en $1,$ y está por debajo del eje fuera del intervalo entre las raíces.

Ejemplo 5: una sola raíz (D = 0)

Resuelve las inecuaciones a) ${x^2-2x+1\ge 0;}$ b) ${x^2-2x+1\gt 0;}$ c) ${x^2-2x+1\le 0;}$ d) ${x^2-2x+1\lt 0.}$

Aquí ${D}={{(-2)}^2-4\cdot 1\cdot 1}={0,}$ y la única raíz es ${x_0=\frac{2}{2}=1.}$ De hecho, $x^2-2x+1={(x-1)}^2.$ La parábola toca el eje $x$ en ${x=1}$ y está por encima de él en todos los demás puntos.

• a) Un cuadrado nunca es negativo: ${(x-1)^2\ge 0}$ para todo $x.$ Respuesta: $x\in\mathbb{R}.$
• b) ${(x-1)^2\gt 0}$ para todo $x$ salvo ${x=1,}$ donde vale 0. Respuesta: $x\in{(-\infty,\ 1)}\cup{(1,\ +\infty)},$ es decir, ${x\ne 1.}$
• c) ${(x-1)^2}$ no puede ser negativo, así que tiene que valer 0. Respuesta: ${x=1.}$
• d) ${(x-1)^2\lt 0}$ nunca se cumple. Respuesta: no tiene solución.

Ejemplo 6: sin raíces (D < 0)

Resuelve las inecuaciones a) ${x^2+1\gt 0;}$ b) ${x^2-2x+3\gt 0;}$ c) ${x^2-2x+3\le 0.}$

a) Como ${x^2\ge 0,}$ obtenemos ${x^2+1\ge 1\gt 0}$ para todo $x.$ (Además, ${D=-4\lt 0}$ y ${a\gt 0.}$) Respuesta: $x\in\mathbb{R}.$

b) $D=4-12=-8\lt 0,$ así que la parábola no corta el eje $x.$ Como se abre hacia arriba, queda toda por encima del eje. Completando el cuadrado se ve lo mismo: ${x^2-2x+3}={{(x-1)}^2+2}\ge{2.}$ Respuesta: $x\in\mathbb{R}.$

c) El primer miembro siempre es positivo, así que nunca es menor o igual que 0. Respuesta: no tiene solución.

Ejemplo 7: raíces irracionales

Resuelve la inecuación ${x^2-4x+1\lt 0.}$

${D=16-4=12,}$   ${\sqrt{D}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},}$   $x_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$

La parábola se abre hacia arriba y está por debajo del eje entre las raíces ${2-\sqrt{3}\approx 0{,}27}$ y ${2+\sqrt{3}\approx 3{,}73.}$

Respuesta: $x\in(2-\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3}).$ Deja los números exactos en la respuesta; los decimales solo sirven para dibujar el esbozo.

Ejemplo 8: inecuaciones incompletas

En una inecuación cuadrática incompleta, ${b=0}$ o ${c=0.}$ Resuelve las inecuaciones a) ${x^2\le 9;}$ b) ${x^2\gt 5x.}$

a) Escribe la inecuación como ${x^2-9\le 0,}$ es decir, ${(x-3)}{(x+3)}\le 0.$ Las raíces son ${-3}$ y $3,$ la parábola ${y=x^2-9}$ se abre hacia arriba, y necesitamos la parte que está por debajo del eje junto con las raíces. Respuesta: ${x\in[-3,\ 3].}$

Extraer la raíz cuadrada de los dos miembros no da ${x\le 3.}$ Por ejemplo, ${x=-5}$ cumple ${x\le 3,}$ pero ${(-5)^2=25\gt 9.}$ El paso correcto es ${x^2}\le{9 \iff \lvert x\rvert}\le{3 \iff -3}\le{x}\le{3.}$

b) Pasa $5x$ al primer miembro y factoriza: ${x^2-5x\gt 0,}$ es decir, ${x(x-5)\gt 0.}$ Las raíces son $0$ y $5,$ y la parábola se abre hacia arriba. Respuesta: $x\in{(-\infty,\ 0)}\cup{(5,\ +\infty)}.$

No dividas los dos miembros entre $x\text{:}$ no conocemos su signo. Al dividir obtendríamos ${x\gt 5}$ y perderíamos todas las soluciones negativas, como ${x=-1}\text{:}$ ${(-1)^2=1}$ y ${5\cdot(-1)=-5,}$ de modo que ${1\gt -5.}$

Ejemplo 9: pasa todo a un miembro

Resuelve la inecuación ${2x^2+3\le 7x.}$

${2x^2-7x+3\le 0}$ restamos $7x$ a los dos miembros

${D=49-24=25,}$   ${x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4},}$   ${x_1=\frac12,}$   ${x_2=3}$

La parábola ${y=2x^2-7x+3}$ se abre hacia arriba; necesitamos la parte que está por debajo del eje y las raíces. Respuesta: $x\in\left[\frac12,\ 3\right].$

Ejemplo 10: el segundo miembro no es cero

Resuelve la inecuación ${(x+2)}{(x-4)}\gt 7.$

El segundo miembro no es 0, así que los números ${-2}$ y $4$ no son los extremos de la respuesta. Desarrolla el producto y pasa 7 al primer miembro:

${x^2-2x-8\gt 7,}$   ${x^2-2x-15\gt 0,}$   ${(x+3)(x-5)\gt 0}$

Las raíces son ${-3}$ y $5,$ y la parábola se abre hacia arriba. Respuesta: $x\in{(-\infty,\ -3)}\cup{(5,\ +\infty)}.$

Comprobación: ${x=6}$ está en la respuesta, y ${(6+2)}{(6-4)}=16\gt 7.$ El número ${x=0}$ no está en la respuesta y, en efecto, ${(0+2)}{(0-4)}=-8,$ y ${-8\gt 7}$ es falso.

El método de los intervalos

Otra manera de resolver una inecuación cuadrática usa la forma factorizada. Si ${D\gt 0}$ y ${x_1\lt x_2}$ son las raíces, entonces

${ax^2+bx+c}={a(x-x_1){(x-x_2)}}$

Las raíces dividen la recta numérica en tres intervalos. Dentro de cada intervalo ningún factor cambia de signo (${x-x_1}$ cambia de signo solo en $x_1,$ y ${x-x_2}$ solo en $x_2$), así que el producto conserva su signo, y basta con probar un número en cada intervalo. El esquema de los signos sobre la recta numérica se llama tabla de signos.

Ejemplo 1. Resuelve la inecuación ${(x+5)}{(x-2)}\gt 0.$

Las raíces son ${-5}$ y $2.$ Prueba un número en cada intervalo:

• ${x=-6}\text{:}$ ${(-1)}\cdot(-8)=8\gt 0,$ el signo es ${+;}$
• ${x=0}\text{:}$ $5\cdot(-2)=-10\lt 0,$ el signo es ${-;}$
• ${x=3}\text{:}$ ${8\cdot 1=8\gt 0,}$ el signo es ${+.}$

Necesitamos los intervalos con el signo ${+.}$ Respuesta: $x\in{(-\infty,\ -5)}\cup{(2,\ +\infty)},$ la misma que en el ejemplo 1 de más arriba, porque ${{(x+5)}{(x-2)}}={x^2+3x-10.}$

Para ${a\gt 0}$ los signos, de izquierda a derecha, son siempre ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$ Para ${a\lt 0}$ son ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$

Ejemplo 2. Resuelve la inecuación ${(3-x)}{(x+1)}\ge 0.$

Los factores valen 0 en ${x=3}$ y en ${x=-1.}$ Prueba un número en cada intervalo:

• ${x=-2}\text{:}$ $5\cdot(-1)=-5\lt 0,$ el signo es ${-;}$
• ${x=0}\text{:}$ ${3\cdot 1=3\gt 0,}$ el signo es ${+;}$
• ${x=4}\text{:}$ ${(-1)}\cdot 5=-5\lt 0,$ el signo es ${-.}$

Los signos son ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ como corresponde a un coeficiente principal negativo: al desarrollar el producto se obtiene ${-x^2+2x+3.}$ Necesitamos el intervalo con el signo ${+}$ y, como el signo es ${\ge,}$ también sus extremos. Respuesta: ${x\in[-1,\ 3].}$

El método de los intervalos también sirve para productos de más factores y para fracciones: consulta Inecuaciones polinómicas y racionales.

Sistemas, dobles desigualdades y dominios

Ejemplo 1. Resuelve el sistema de inecuaciones

$$\begin{cases} x^2-4x-5\le 0 \\ x^2\gt 4 \end{cases}$$

Resuelve cada inecuación por separado:

• ${x^2-4x-5\le 0}\text{:}$ las raíces son ${-1}$ y $5$ (${D=16+20=36}$), así que ${x\in[-1,\ 5];}$
• ${x^2\gt 4,}$ es decir, ${x^2-4\gt 0}\text{:}$ las raíces son ${-2}$ y $2,$ así que $x\in{(-\infty,\ -2)}\cup{(2,\ +\infty)}.$

Una solución del sistema tiene que cumplir las dos inecuaciones, así que tomamos la parte común de los dos conjuntos (su intersección, que se escribe $\cap;$ consulta inecuaciones compuestas).

Respuesta: $x\in(2,\ 5].$

Ejemplo 2. Resuelve la doble desigualdad ${-3\lt x^2-4x\le 5.}$

Una doble desigualdad es un sistema de dos inecuaciones:

• ${x^2-4x\gt -3,}$ es decir, ${x^2-4x+3\gt 0}\text{:}$ las raíces son $1$ y $3,$ así que ${x\lt 1}$ o ${x\gt 3;}$
• ${x^2-4x\le 5,}$ es decir, ${x^2-4x-5\le 0}\text{:}$ las raíces son ${-1}$ y $5,$ así que ${-1\le x\le 5.}$

La parte común es ${-1\le x\lt 1}$ junto con ${3\lt x\le 5.}$ Respuesta: $x\in{[-1,\ 1)}\cup{(3,\ 5]}.$

Ejemplo 3. Halla el dominio de la función $f(x)=\sqrt{6+x-x^2}.$

La raíz cuadrada de un número negativo no está definida, así que necesitamos ${6+x-x^2\ge 0.}$ Multiplica por ${-1}$ e invierte el sentido: ${x^2-x-6\le 0.}$ Es la parábola del principio de la lección, con las raíces ${-2}$ y $3.$ Respuesta: el dominio es ${[-2,\ 3].}$

Problemas verbales

Problema 1. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Al cabo de $t$ segundos, su altura es ${h=20t-5t^2}$ metros. ¿Durante cuánto tiempo está la pelota a más de 15 m de altura?

Solución. Necesitamos ${20t-5t^2\gt 15.}$ Pasa 15 al primer miembro, divide entre ${-5}$ e invierte el sentido:

$-5t^2+20t-15\gt 0,$   ${t^2-4t+3\lt 0,}$   ${(t-1)(t-3)\lt 0}$

Por tanto, ${1\lt t\lt 3}\text{:}$ la pelota está a más de 15 m de altura desde el final del primer segundo hasta el final del tercero. (La pelota está en el aire mientras ${h\ge 0,}$ es decir, para ${0\le t\le 4,}$ y ${1\lt t\lt 3}$ está dentro de ese intervalo.) Respuesta: durante 2 segundos.

Problema 2. El perímetro de un rectángulo mide 20 m. ¿Cuánto pueden medir sus lados si su área tiene que ser de al menos 21 m²?

Solución. Sea $x$ m la longitud de un lado. El semiperímetro mide 10 m, así que el otro lado mide ${10-x}$ m, con ${0\lt x\lt 10.}$ El área es ${x(10-x),}$ de modo que

${x(10-x)\ge 21,}$   $-x^2+10x-21\ge 0,$   ${x^2-10x+21\le 0,}$   ${(x-3)(x-7)\le 0}$

Por tanto, ${3\le x\le 7}$ (esto está dentro de ${0\lt x\lt 10}$), y entonces el otro lado ${10-x}$ también mide entre 3 m y 7 m. Respuesta: cada lado tiene que medir al menos 3 m y como máximo 7 m.

Inecuaciones cuadráticas con parámetro

Problema 1. ¿Para qué valores de $m$ se cumple la inecuación ${x^2+mx+4\gt 0}$ para todo número real $x?$

Solución. La parábola ${y=x^2+mx+4}$ se abre hacia arriba (${a=1\gt 0}$). Queda toda por encima del eje $x$ si y solo si no tiene ningún punto en común con el eje, es decir, si ${D\lt 0}\text{:}$

${D=m^2-16\lt 0,}$   ${(m-4)}{(m+4)}\lt 0,$   ${-4\lt m\lt 4}$

Respuesta: ${m\in(-4,\ 4).}$ Para ${m=4}$ la inecuación es ${(x+2)^2\gt 0,}$ que es falsa para ${x=-2,}$ y para ${m=-4}$ es ${(x-2)^2\gt 0,}$ que es falsa para ${x=2}\text{:}$ por eso los extremos no están incluidos.

Problema 2. ¿Para qué valores de $k$ tiene la ecuación $x^2-2kx+k+6=0$ dos raíces reales distintas?

Solución. Necesitamos ${D\gt 0}\text{:}$

${D}={{(-2k)}^2-4{(k+6)}}={4k^2-4k-24}\gt{0,}$   ${k^2-k-6\gt 0,}$   ${(k-3)(k+2)\gt 0}$

Respuesta: ${k\lt -2}$ o ${k\gt 3,}$ es decir, $k\in{(-\infty,\ -2)}\cup{(3,\ +\infty)}.$

Problema 3. ¿Para qué valores de $p$ se cumple la inecuación ${px^2-4x+p\lt 0}$ para todo número real $x?$

Solución. Si ${p=0,}$ la inecuación es ${-4x\lt 0.}$ Es falsa para ${x=-1,}$ así que ${p=0}$ no sirve. Si ${p\ne 0,}$ el primer miembro es un polinomio de segundo grado, y según el recuadro de arriba necesitamos ${p\lt 0}$ y ${D\lt 0}\text{:}$

${D=16-4p^2\lt 0,}$   ${p^2\gt 4,}$   ${p\lt -2}$ o ${p\gt 2}$

Junto con ${p\lt 0}$ esto da ${p\lt -2.}$ Respuesta: ${p\in(-\infty,\ -2).}$

Problemas para practicar

Intenta resolverlos por tu cuenta y después abre la respuesta.

1. Resuelve la inecuación ${x^2-9\lt 0.}$

${(x-3)}{(x+3)}\lt 0,$ las raíces son ${\pm 3.}$ Respuesta: ${x\in(-3,\ 3).}$

2. Resuelve la inecuación ${x^2-7x+10\ge 0.}$

Las raíces son $2$ y $5.$ Respuesta: $x\in{(-\infty,\ 2]}\cup{[5,\ +\infty)}.$

3. Resuelve la inecuación ${x^2+x-12\lt 0.}$

${(x+4)}{(x-3)}\lt 0.$ Respuesta: ${x\in(-4,\ 3).}$

4. Resuelve la inecuación ${-x^2+2x+8\gt 0.}$

Multiplica por ${-1}$ e invierte el sentido: ${x^2-2x-8\lt 0,}$ es decir, ${(x-4)}{(x+2)}\lt 0.$ Respuesta: ${x\in(-2,\ 4).}$

5. Resuelve la inecuación ${x^2+6x+9\gt 0.}$

${(x+3)^2\gt 0}$ para todo $x$ salvo ${-3.}$ Respuesta: $x\in{(-\infty,\ -3)}\cup{(-3,\ +\infty)}.$

6. Resuelve la inecuación ${x^2+6x+9\le 0.}$

${(x+3)^2\le 0}$ solo cuando ${(x+3)^2=0.}$ Respuesta: ${x=-3.}$

7. Resuelve la inecuación ${x^2-x+1\lt 0.}$

${D=1-4=-3\lt 0}$ y ${a\gt 0,}$ así que el primer miembro es positivo para todo $x.$ Respuesta: no tiene solución.

8. Resuelve la inecuación ${3x^2-5x-2\le 0.}$

${D=25+24=49,}$ ${x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6},}$ ${x_1=-\frac13,}$ ${x_2=2.}$ Respuesta: ${x\in\left[-\frac13,\ 2\right].}$

9. Resuelve la inecuación ${x^2\ge 2x.}$

${x^2-2x\ge 0,}$ es decir, ${x(x-2)\ge 0.}$ Respuesta: $x\in{(-\infty,\ 0]}\cup{[2,\ +\infty)}.$

10. Resuelve la inecuación ${x^2-2x-1\gt 0.}$

${D=4+4=8,}$ ${\sqrt{D}=2\sqrt{2},}$ $x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}.$ Respuesta: $x\in{(-\infty,\ 1-\sqrt{2})}\cup{(1+\sqrt{2},\ +\infty)}.$

11. Resuelve la inecuación ${(x-1)}{(x+3)}\le 5.$

${x^2+2x-3\le 5,}$ es decir, ${x^2+2x-8\le 0}$ y ${(x+4)}{(x-2)}\le 0.$ Respuesta: ${x\in[-4,\ 2].}$

12. Halla el dominio de la función $f(x)=\sqrt{x^2-5x+4}.$

Necesitamos ${x^2-5x+4\ge 0,}$ es decir, ${(x-1)}{(x-4)}\ge 0.$ Respuesta: el dominio es ${(-\infty,\ 1]}\cup{[4,\ +\infty)}.$

13. Resuelve el sistema de inecuaciones ${x^2-1\gt 0}$ y ${x^2-9\le 0.}$

La primera da ${x\lt -1}$ o ${x\gt 1,}$ y la segunda, ${-3\le x\le 3.}$ Respuesta: $x\in{[-3,\ -1)}\cup{(1,\ 3]}.$

14. ¿Para qué valores de $m$ se cumple la inecuación ${x^2-4x+m\gt 0}$ para todo número real $x?$

Necesitamos ${D=16-4m\lt 0,}$ es decir, ${m\gt 4.}$ Respuesta: ${m\in(4,\ +\infty).}$

15. La altura de una pelota es ${h=30t-5t^2}$ metros al cabo de $t$ segundos. ¿Durante cuánto tiempo está a una altura de al menos 40 m?

${30t-5t^2\ge 40.}$ Pasa 40 al primer miembro, divide entre ${-5}$ e invierte el sentido: ${t^2-6t+8\le 0,}$ es decir, ${(t-2)}{(t-4)}\le 0,$ así que ${2\le t\le 4.}$ Respuesta: durante 2 segundos.

16. Resuelve la inecuación ${-x^2+2x-3\lt 0.}$

Multiplica por ${-1}$ e invierte el sentido: ${x^2-2x+3\gt 0.}$ Aquí $D=4-12=-8\lt 0$ y ${a\gt 0,}$ así que el primer miembro es positivo para todo $x.$ Respuesta: $x\in\mathbb{R}.$

17. ¿Cuántos números enteros cumplen la inecuación ${x^2-x-6\le 0}?$

Las raíces son ${-2}$ y $3,$ así que ${x\in[-2,\ 3].}$ Los enteros ${-2,}$ ${-1,}$ $0,$ $1,$ $2,$ $3$ pertenecen a este intervalo. Respuesta: 6 números enteros.

18. ¿Para qué valores de $m$ se cumple la inecuación ${x^2-4x+m\ge 0}$ para todo número real $x?$

Necesitamos ${D=16-4m\le 0,}$ es decir, ${m\ge 4.}$ Compara con el problema 14: para ${m=4}$ obtenemos ${(x-2)^2\ge 0,}$ que se cumple para todo $x.$ Respuesta: ${m\in[4,\ +\infty).}$

Véase también: Ecuaciones cuadráticas · Gráfica de la función cuadrática · Inecuaciones lineales · Inecuaciones polinómicas y racionales