Valoarea absolută

Valoarea absolută a unui număr este distanța de la el la $0$ pe axa numerelor. Valoarea absolută a lui $a$ se scrie $\lvert a\rvert $ și se citește „valoarea absolută a lui $a$”; se mai numește și modulul lui $a.$ Numerele $-4$ și $4$ se află amândouă la $4$ unități de $0,$ deci ${\lvert -4\rvert =4}$ și ${\lvert 4\rvert =4}.$

O distanță nu este niciodată negativă, deci nici o valoare absolută nu poate fi negativă. Valoarea absolută a unui număr pozitiv este chiar numărul, iar valoarea absolută a unui număr negativ, cum ar fi $-7,$ este același număr fără semnul minus: ${\lvert 7\rvert =7},$ ${\lvert -7\rvert =7},$ ${\lvert -2{,}5\rvert =2{,}5}.$

Pe această pagină: Definiție · Graficul funcției y = |x| · Proprietăți · Rădăcini pătrate · Distanța · Ecuații · Inecuații · Inegalitatea triunghiului · Exersare

Definiția valorii absolute

Dacă numărul este pozitiv sau zero, valoarea lui absolută este chiar numărul. Dacă este negativ, valoarea lui absolută este numărul opus, $-a.$ Nu te lăsa păcălit de semnul minus din $-a$ când $a$ este negativ, $-a$ este pozitiv. De exemplu, pentru ${a=-7}$ obținem ${\lvert -7\rvert =-(-7)=7}.$

Exemplul 1. Află valorile absolute.

• ${\lvert 5\rvert =5},$ pentru că ${5\gt0};$
• ${\left|-\frac{4}{7}\right|=-\left(-\frac{4}{7}\right)=\frac{4}{7}},$ pentru că ${-\frac{4}{7}\lt0};$
• ${\lvert 0\rvert =0},$ pentru că ${0\ge0};$
• ${\lvert 3-8\rvert =\lvert -5\rvert =5}\text{:}$ mai întâi calculăm expresia dintre bare;
• ${-\lvert -6\rvert =-6}\text{:}$ semnul minus din fața barelor rămâne.

Din definiție rezultă direct două proprietăți. Pentru orice număr real $a\text{:}$

A doua spune că orice număr se află între valoarea lui absolută și opusul valorii lui absolute. Dacă ${a\ge0},$ atunci $a$ este egal cu $\lvert a\rvert ;$ dacă ${a\lt0},$ atunci $a$ este egal cu $-\lvert a\rvert .$ De exemplu, pentru ${a=-3}$ obținem ${-3\le-3\le3}.$ Vom folosi această proprietate pentru a demonstra inegalitatea triunghiului.

Valoarea absolută a unei expresii

Ca să eliminăm barele de modul ale unei expresii, trebuie să știm ce semn are ea. Dacă expresia este pozitivă sau zero, pur și simplu eliminăm barele. Dacă este negativă, o scriem între paranteze cu un semn minus în față, și astfel fiecare termen își schimbă semnul: de exemplu, ${-(x-3)=3-x}.$

Exemplul 2. Scrie fără barele de modul: a) $\lvert \pi-4\rvert ;$ b) $\lvert \sqrt{2}-1\rvert ;$ c) $\lvert x^2+1\rvert ;$ d) $\lvert x-3\rvert .$

a) ${\pi\approx3{,}14},$ deci ${\pi-4\lt0}$ și ${\lvert \pi-4\rvert }={-(\pi-4)}={4-\pi.}$

b) ${\sqrt{2}\approx1{,}41},$ deci ${\sqrt{2}-1\gt0}$ și ${\lvert \sqrt{2}-1\rvert =\sqrt{2}-1}.$

c) ${x^2\ge0},$ deci ${x^2+1\gt0}$ pentru orice $x,$ și ${\lvert x^2+1\rvert =x^2+1}.$

d) Semnul lui ${x-3}$ depinde de $x,$ deci răspunsul are două cazuri:

$$\lvert x-3\rvert =\begin{cases}x-3, & \text{dacă } x\ge3,\\ 3-x, & \text{dacă } x\lt3.\end{cases}$$

De exemplu, pentru ${x=10}$ obținem ${\lvert 10-3\rvert =7=10-3},$ iar pentru ${x=1}$ obținem ${\lvert 1-3\rvert =2=3-1}.$

Graficul funcției y = |x|

Din definiție, ${y=\lvert x\rvert }$ este același lucru cu ${y=x}$ pentru ${x\ge0}$ și cu ${y=-x}$ pentru ${x\lt0}.$ De aceea graficul este format din două semidrepte care pornesc din origine și are forma literei V. Graficul nu coboară niciodată sub axa $x,$ pentru că ${\lvert x\rvert \ge0}.$ Este simetric față de axa $y,$ pentru că $x$ și $-x$ au aceeași valoare absolută.

Proprietățile valorii absolute

Pentru orice numere reale $a$ și $b$ și orice număr întreg pozitiv $n\text{:}$

Proprietate	Exemplu
${\lvert -a\rvert =\lvert a\rvert }$	${\lvert -9\rvert =\lvert 9\rvert =9}$
${\lvert ab\rvert =\lvert a\rvert \cdot\lvert b\rvert }$	${\lvert (-2)\cdot3\rvert =\lvert -6\rvert =6}$ și ${\lvert -2\rvert \cdot\lvert 3\rvert =2\cdot3=6}$
${\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\lvert a\rvert }{\lvert b\rvert }},$ ${b\ne0}$	${\left|\frac{-12}{4}\right|=\lvert -3\rvert =3}$ și ${\frac{\lvert -12\rvert }{\lvert 4\rvert }=\frac{12}{4}=3}$
${\lvert a^n\rvert =\lvert a\rvert ^n}$	${\lvert (-2)^3\rvert =\lvert -8\rvert =8}$ și ${\lvert -2\rvert ^3=2^3=8}$
${\lvert a\rvert ^2=a^2}$	${\lvert -5\rvert ^2}={5^2}={25}={(-5)^2}$

Spus în cuvinte: un număr și opusul lui au aceeași valoare absolută; valoarea absolută a unui produs este produsul valorilor absolute; valoarea absolută a unui cât este câtul valorilor absolute. Regula produsului este valabilă și pentru trei sau mai mulți factori: ${\lvert a_1a_2\cdots a_n\rvert }={\lvert a_1\rvert \cdot\lvert a_2\rvert \cdots\lvert a_n\rvert .}$ Când toți cei $n$ factori sunt egali cu $a,$ se obține regula ${\lvert a^n\rvert =\lvert a\rvert ^n}.$ Ultima regulă, ${\lvert a\rvert ^2=a^2},$ este adevărată pentru că $\lvert a\rvert $ este egal cu $a$ sau cu $-a,$ iar amândouă au același pătrat, $a^2.$

Pentru sume nu există o astfel de regulă: $\lvert a+b\rvert $ nu este întotdeauna egal cu ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$ De exemplu, ${\lvert 2+(-3)\rvert =\lvert -1\rvert =1},$ dar ${\lvert 2\rvert +\lvert -3\rvert =2+3=5}.$ Pentru sume avem doar o inegalitate, inegalitatea triunghiului.

Rădăcini pătrate și valoarea absolută

Ecuația ${b^2=9}$ are două soluții, ${b=3}$ și ${b=-3},$ pentru că ${3^2=9}$ și ${(-3)^2=9}.$ Dar simbolul $\sqrt{9}$ o reprezintă numai pe cea nenegativă dintre ele: ${\sqrt{9}=3}.$ Astfel, $\sqrt{a^2}$ este numărul nenegativ al cărui pătrat este $a^2,$ iar acest număr este $\lvert a\rvert \text{:}$ nu este niciodată negativ, și ${\lvert a\rvert ^2=a^2}.$

De exemplu, ${\sqrt{(-4)^2}}={\sqrt{16}}={4}={\lvert -4\rvert .}$ A scrie ${\sqrt{a^2}=a}$ este o greșeală când $a$ este negativ: ar da ${\sqrt{(-4)^2}=-4},$ dar o rădăcină pătrată nu este niciodată negativă. La fel, ${\sqrt{(x-5)^2}=\lvert x-5\rvert }$ și ${\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}}={\lvert 1-\sqrt{2}\rvert }={\sqrt{2}-1.}$

Cu ajutorul teoremei, primele trei proprietăți se demonstrează în câteva rânduri. Folosim ${\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert }$ și regulile ${\sqrt{uv}=\sqrt{u}\cdot\sqrt{v}}$ (pentru ${u\ge0},$ ${v\ge0}$) și ${\sqrt{\frac{u}{v}}=\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}}}$ (pentru ${u\ge0},$ ${v\gt0}$):

${\lvert -a\rvert }={\sqrt{(-a)^2}}={\sqrt{a^2}}={\lvert a\rvert }$

${\lvert ab\rvert }={\sqrt{(ab)^2}}={\sqrt{a^2b^2}}={\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b^2}}={\lvert a\rvert \cdot\lvert b\rvert }$

${\left|\frac{a}{b}\right|}={\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2}}={\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}}={\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}}={\frac{\lvert a\rvert }{\lvert b\rvert }}$ ${b\ne0}$

Valoarea absolută și distanța

Fie $A$ și $B$ două puncte de pe axa numerelor cu coordonatele $a$ și $b.$ Dacă ${a\lt b},$ distanța dintre ele este ${b-a};$ dacă ${a\gt b},$ este ${a-b};$ iar dacă ${a=b},$ este $0.$ În toate cele trei cazuri, distanța este valoarea absolută a diferenței coordonatelor:

Exemplul 3. Distanța dintre $-3$ și $5$ este ${\lvert 5-(-3)\rvert =\lvert 8\rvert =8}.$ Ordinea nu contează: și ${\lvert -3-5\rvert =\lvert -8\rvert =8}.$ Distanța dintre $-6$ și $-2$ este ${\lvert -2-(-6)\rvert =\lvert 4\rvert =4}.$

În particular, ${\lvert x\rvert =\lvert x-0\rvert }$ este distanța de la $x$ la $0,$ ca la începutul acestei lecții, iar $\lvert x-c\rvert $ este distanța de la $x$ la numărul $c.$ O expresie cu semnul plus este și ea o distanță: ${\lvert x+2\rvert =\lvert x-(-2)\rvert }$ este distanța de la $x$ la $-2.$ Dacă citești astfel valorile absolute, îți va fi mai ușor să-ți imaginezi ecuațiile și inecuațiile care urmează.

Ecuații cu valoare absolută

Dacă ${\lvert X\rvert =5},$ atunci $X$ se află la $5$ unități de $0,$ deci ${X=5}$ sau ${X=-5}.$ În general:

Aici $X$ poate fi orice expresie, de exemplu ${x-3}$ sau ${2x+1}.$ Înainte de a aplica regula, izolează valoarea absolută într-un membru al ecuației.

Exemplul 4. Rezolvă ${\lvert x-3\rvert =4}.$

${x-3=4}$ sau ${x-3=-4}$

${x=7}$ sau ${x=-1}$ adunăm $3$

Ecuația are două soluții, $7$ și $-1.$ Pe axa numerelor, $\lvert x-3\rvert $ este distanța de la $x$ la $3,$ iar cele două numere aflate la $4$ unități de $3$ sunt ${3+4=7}$ și ${3-4=-1}.$

Verificare: ${\lvert 7-3\rvert =\lvert 4\rvert =4}$ și ${\lvert -1-3\rvert =\lvert -4\rvert =4}.$

Exemplul 5. Rezolvă ${3\lvert 2x+1\rvert -5=10}.$

Mai întâi izolăm valoarea absolută în primul membru:

$3\lvert 2x+1\rvert =15$ adunăm $5$

$\lvert 2x+1\rvert =5$ împărțim la $3$

${2x+1=5}$ sau ${2x+1=-5}$

${2x=4}$ sau ${2x=-6}$ scădem $1$

${x=2}$ sau ${x=-3}$ împărțim la $2$

Verificare: pentru ${x=2},$ ${3\cdot\lvert 2\cdot2+1\rvert -5}={3\cdot5-5}={10;}$ pentru ${x=-3},$ ${3\cdot\lvert 2\cdot(-3)+1\rvert -5}={3\cdot\lvert -5\rvert -5}={10.}$

Exemplul 6. Rezolvă: a) ${\lvert 4x-1\rvert +6=2};$ b) ${\lvert x+2\rvert =0}.$

a) Scădem $6\text{:}$ ${\lvert 4x-1\rvert =-4}.$ O valoare absolută nu poate fi negativă, deci ecuația nu are soluții.

b) ${x+2=0},$ deci ${x=-2}$ este singura soluție.

Ecuații de forma |X| = |Y|

Două numere au aceeași valoare absolută dacă și numai dacă sunt egale sau opuse, ca $5$ și $-5.$ Prin urmare:

Exemplul 7. Rezolvă ${\lvert 3x-2\rvert =\lvert 5x+4\rvert }.$

Primul caz, ${3x-2=5x+4}\text{:}$

$3x-5x=4+2$ trecem $5x$ în primul membru și $-2$ în al doilea

$-2x=6$

$x=-3$ împărțim la $-2$

Al doilea caz, ${3x-2=-(5x+4)}\text{:}$

$3x-2=-5x-4$ desfacem parantezele

$3x+5x=-4+2$

$8x=-2$

$x=-\frac{1}{4}$ împărțim la $8$

Ecuația are două soluții, $-3$ și ${-\frac{1}{4}}.$ Verificare: pentru ${x=-3},$ ambii membri sunt egali cu ${\lvert -11\rvert =11};$ pentru ${x=-\frac{1}{4}},$ obținem ${\left|-\frac{11}{4}\right|=\left|\frac{11}{4}\right|}.$

Când celălalt membru conține necunoscuta

Într-o ecuație ca ${\lvert x-3\rvert =2x},$ al doilea membru este negativ pentru unele valori ale lui $x,$ dar primul membru nu este niciodată negativ. Rezolvăm cele două cazuri ca înainte, apoi verificăm fiecare rezultat în ecuația inițială. Un număr pentru care al doilea membru este negativ nu este soluție.

Exemplul 8. Rezolvă ${\lvert x-3\rvert =2x}.$

${x-3=2x}$ sau ${x-3=-2x}$

${-x=3}$ sau ${3x=3}$ trecem termenii cu $x$ în primul membru

${x=-3}$ sau ${x=1}$

Verificăm ${x=-3}\text{:}$ primul membru este egal cu ${\lvert -3-3\rvert =6},$ iar al doilea cu ${2\cdot(-3)=-6}.$ Nu sunt egali, deci $-3$ nu este soluție. Verificăm ${x=1}\text{:}$ ${\lvert 1-3\rvert =2}$ și ${2\cdot1=2}.$ Singura soluție este ${x=1}.$

Două valori absolute: metoda intervalelor

Exemplul 9. Rezolvă ${\lvert x-1\rvert +\lvert x+2\rvert =5}.$

Expresia ${x-1}$ își schimbă semnul în ${x=1},$ iar ${x+2}$ își schimbă semnul în ${x=-2}.$ Aceste două numere împart axa numerelor în trei intervale. Pe fiecare interval cunoaștem semnele, deci putem scrie valorile absolute fără bare și putem rezolva o ecuație de gradul întâi obișnuită. O soluție este valabilă numai dacă aparține intervalului pe care lucrăm.

	${x\lt-2}$	${-2\le x\lt1}$	${x\ge1}$
${x-1}$	$-$	$-$	$+$
${x+2}$	$-$	$+$	$+$

1) ${x\lt-2}\text{:}$ ambele expresii sunt negative.

$-(x-1)-(x+2)=5$

$-2x-1=5$

$-2x=6$

$x=-3$ ${-3\lt-2},$ deci este soluție

2) ${-2\le x\lt1}\text{:}$ ${x-1}$ este negativă, ${x+2}$ nu.

$-(x-1)+(x+2)=5$

$3=5$ fals: pe acest interval nu există soluții

3) ${x\ge1}\text{:}$ niciuna dintre cele două expresii nu este negativă.

$(x-1)+(x+2)=5$

$2x+1=5$

$2x=4$

$x=2$ ${2\ge1},$ deci este soluție

Ecuația are două soluții, $-3$ și $2.$

Același răspuns cu ajutorul distanțelor: ${\lvert x-1\rvert +\lvert x+2\rvert }$ este suma distanțelor de la $x$ la $1$ și de la $x$ la $-2.$ Pentru orice $x$ între $-2$ și $1,$ această sumă este lungimea segmentului de la $-2$ la $1,$ adică $3,$ niciodată $5.$ Când $x$ iese din segment și se depărtează cu $1$ unitate de unul dintre capetele lui, ambele distanțe cresc cu $1,$ deci suma crește cu $2$ și ajunge la $5.$ Prin urmare, ${x=-3}$ sau ${x=2}.$

Inecuații cu valoare absolută

Să citim $\lvert x-a\rvert $ ca distanța de la $x$ la $a,$ și fie ${k\gt0}.$ Atunci ${\lvert x-a\rvert \lt k}$ înseamnă că $x$ se află la mai puțin de $k$ unități de $a,$ deci ${-k\lt x-a\lt k}$ și $x$ se află între ${a-k}$ și ${a+k},$ în intervalul ${(a-k,\ a+k)}.$ Iar ${\lvert x-a\rvert \gt k}$ înseamnă că $x$ se află la mai mult de $k$ unități de $a\text{:}$ la stânga lui ${a-k}$ sau la dreapta lui ${a+k}.$

Exemplul 10. Rezolvă ${\lvert x-3\rvert \lt4}.$

$-4\lt x-3\lt4$

$-1\lt x\lt7$ adunăm $3$ la toate cele trei părți

Mulțimea soluțiilor este intervalul ${(-1,\ 7)}\text{:}$ numerele aflate la mai puțin de $4$ unități de $3.$

Exemplul 11. Rezolvă ${\lvert x+4\rvert \ge2}.$

${x+4\le-2}$ sau ${x+4\ge2}$

${x\le-6}$ sau ${x\ge-2}$ scădem $4$

Mulțimea soluțiilor este ${{(-\infty,\ -6]\cup[-2,\ +\infty)}\text{:}}$ numerele aflate la $2$ unități sau mai mult de $-4.$

Exemplul 12. Rezolvă ${\lvert 5-2x\rvert \le3}.$

$-3\le5-2x\le3$

$-8\le-2x\le-2$ scădem $5$ din toate cele trei părți

$4\ge x\ge1$ împărțim la $-2$ și schimbăm sensul ambelor semne

Adică ${1\le x\le4},$ iar mulțimea soluțiilor este ${[1,\ 4]}.$

Când numărul din al doilea membru este negativ sau zero, amintește-ți că o valoare absolută nu este niciodată negativă: ${\lvert 2x-1\rvert \lt-3}$ nu are soluții, ${\lvert 2x-1\rvert \ge-3}$ este adevărată pentru orice $x,$ iar ${\lvert x-2\rvert \le0}$ este adevărată numai pentru ${x=2}.$ Vei găsi mai multe exemple în lecția Inecuații de gradul întâi.

Inegalitatea triunghiului

Am văzut că $\lvert a+b\rvert $ nu este întotdeauna egal cu ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$ Pentru ${a=2}$ și ${b=-3},$ obținem ${a+b=-1}$ și ${\lvert a+b\rvert =1},$ în timp ce ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =2+3=5}.$ Pe axa numerelor: pornește din $0,$ deplasează-te $2$ unități spre dreapta, apoi $3$ unități spre stânga. Ai parcurs ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =5}$ unități, dar te afli doar la ${\lvert a+b\rvert =1}$ unitate de $0.$

Demonstrație. Pentru orice numere reale $a$ și $b,$ știm că ${-\lvert a\rvert \le a\le\lvert a\rvert }$ și ${-\lvert b\rvert \le b\le\lvert b\rvert }.$ Adunăm membru cu membru aceste două inegalități duble:

$$-(\lvert a\rvert +\lvert b\rvert )\le a+b\le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert .$$

Acum avem două cazuri.

Cazul 1: ${a+b\ge0}.$ Atunci ${\lvert a+b\rvert =a+b},$ iar inegalitatea din dreapta dă ${\lvert a+b\rvert \le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$

Cazul 2: ${a+b\lt0}.$ Atunci ${\lvert a+b\rvert =-(a+b)}.$ Înmulțim inegalitatea din stânga, ${-(\lvert a\rvert +\lvert b\rvert )\le a+b},$ cu $-1$ și schimbăm sensul: ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert \ge-(a+b)},$ adică ${\lvert a+b\rvert \le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$

Numele vine din geometrie: într-un triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. Inegalitatea este adevărată și pentru mai mult de doi termeni: ${\lvert a_1+a_2+\cdots+a_n\rvert }\le{\lvert a_1\rvert +\lvert a_2\rvert +\cdots+\lvert a_n\rvert .}$ Pentru o diferență dă ${\lvert a-b\rvert \ge\lvert a\rvert -\lvert b\rvert }\text{:}$ scriem $a$ ca ${(a-b)+b},$ deci ${\lvert a\rvert \le\lvert a-b\rvert +\lvert b\rvert },$ și scădem $\lvert b\rvert $ din ambii membri.

Probleme de exersat

1. Calculează: a) $\lvert -12\rvert ;$ b) $\lvert 7-15\rvert ;$ c) $-\lvert -9\rvert ;$ d) ${\lvert -3\rvert \cdot\lvert 4\rvert -\lvert -20\rvert };$ e) ${\left|-\frac{2}{3}\right|+\left|\frac{1}{3}-1\right|}.$

Răspuns

a) ${\lvert -12\rvert =12}.$ b) ${\lvert 7-15\rvert =\lvert -8\rvert =8}.$ c) ${-\lvert -9\rvert =-9}.$ d) ${3\cdot4-20=-8}.$ e) ${\frac{2}{3}+\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}}.$

2. Simplifică: a)$\lvert \pi-3\rvert ;$ b) $\lvert 2-\sqrt{5}\rvert ;$ c) $\lvert x^2+4\rvert ;$ d) $\lvert x-7\rvert ,$ dacă ${x\lt7};$ e) $\sqrt{(3-\pi)^2}.$

Răspuns

a) ${\pi-3\gt0},$ deci ${\lvert \pi-3\rvert =\pi-3}.$

b) ${\sqrt{5}\approx2{,}24},$ deci ${2-\sqrt{5}\lt0}$ și ${\lvert 2-\sqrt{5}\rvert =\sqrt{5}-2}.$

c) ${x^2+4\gt0},$ deci ${\lvert x^2+4\rvert =x^2+4}.$

d) ${x-7\lt0},$ deci ${\lvert x-7\rvert =7-x}.$

e) ${\sqrt{(3-\pi)^2}}={\lvert 3-\pi\rvert }={\pi-3.}$

3. Află distanța dintre numerele: a) $-7$ și $2;$ b) $-8$ și $-3;$ c) $1{,}5$ și $-2{,}5.$

Răspuns

a) ${\lvert 2-(-7)\rvert =9}.$ b) ${\lvert -3-(-8)\rvert =5}.$ c) ${\lvert -2{,}5-1{,}5\rvert }={\lvert -4\rvert }={4.}$

4. Rezolvă: a) ${\lvert x+2\rvert =6};$ b) ${\lvert 3x-1\rvert =8};$ c) ${\lvert 2-x\rvert =0};$ d) ${\lvert 4x+3\rvert =-1}.$

Răspuns

a) ${x+2=6}$ sau ${x+2=-6},$ deci ${x=4}$ sau ${x=-8}.$

b) ${3x-1=8}$ sau ${3x-1=-8},$ deci ${x=3}$ sau ${x=-\frac{7}{3}}.$

c) ${2-x=0},$ deci ${x=2}.$

d) O valoare absolută nu este niciodată negativă: ecuația nu are soluții.

5. Rezolvă: a) ${4\lvert x-1\rvert +3=11};$ b) ${5-\lvert 2x+1\rvert =2}.$

Răspuns

a) ${4\lvert x-1\rvert =8},$ deci ${\lvert x-1\rvert =2}\text{:}$ ${x=3}$ sau ${x=-1}.$

b) ${\lvert 2x+1\rvert =5-2=3},$ deci ${2x+1=3}$ sau ${2x+1=-3}\text{:}$ ${x=1}$ sau ${x=-2}.$

6. Rezolvă ${\lvert 2x-3\rvert =\lvert x+6\rvert }.$

Răspuns

${2x-3=x+6}$ dă ${x=9};$ ${2x-3=-(x+6)}$ dă ${3x=-3},$ deci ${x=-1}.$ Verificare: ${\lvert 15\rvert =\lvert 15\rvert }$ și ${\lvert -5\rvert =\lvert 5\rvert }.$ Soluțiile sunt $9$ și $-1.$

7. Rezolvă ${\lvert x+4\rvert =3x}.$

Răspuns

${x+4=3x}$ dă ${x=2};$ ${x+4=-3x}$ dă ${x=-1}.$ Verificare: pentru ${x=2},$ ${\lvert 6\rvert =6=3\cdot2}.$ Pentru ${x=-1},$ al doilea membru ${3x=-3}$ este negativ, deci $-1$ nu este soluție. Singura soluție este ${x=2}.$

8. Rezolvă ${\lvert x\rvert +\lvert x-4\rvert =6}.$

Răspuns

Semnele se schimbă în $0$ și în $4.$

Pentru ${x\lt0}\text{:}$ ${-x-(x-4)=6},$ deci ${-2x+4=6}$ iar ${x=-1},$ care este mai mic decât $0\text{:}$ este soluție.

Pentru ${0\le x\lt4}\text{:}$ ${x-(x-4)=6}$ dă ${4=6},$ ceea ce este fals: aici nu există soluții.

Pentru ${x\ge4}\text{:}$ ${x+x-4=6},$ deci ${2x=10}$ iar ${x=5}\text{:}$ este soluție.

Soluțiile sunt $-1$ și $5.$

9. Rezolvă și scrie răspunsul sub formă de interval: a) ${\lvert x-5\rvert \le3};$ b) ${\lvert 2x+3\rvert \gt7};$ c) ${\lvert x+1\rvert \lt-2};$ d) ${\lvert 3-x\rvert \ge0}.$

Răspuns

a) ${-3\le x-5\le3},$ deci ${2\le x\le8}\text{:}$ ${[2,\ 8]}.$

b) ${2x+3\lt-7}$ sau ${2x+3\gt7},$ deci ${x\lt-5}$ sau ${x\gt2}\text{:}$ ${(-\infty,\ -5)\cup(2,\ +\infty)}.$

c) Nu are soluții: o valoare absolută nu este niciodată negativă.

d) O valoare absolută nu este niciodată negativă, deci orice număr real este soluție: ${(-\infty,\ +\infty)}.$

10. Scrie intervalul ${[-1,\ 5]}$ ca o inecuație cu modul.

Răspuns

Mijlocul intervalului este ${\frac{-1+5}{2}=2},$ iar capetele se află la $3$ unități de el. Prin urmare, intervalul este mulțimea soluțiilor inecuației ${\lvert x-2\rvert \le3}.$

11. Verifică inegalitatea triunghiului pentru a) ${a=-4},$ ${b=7};$ b) ${a=-4},$ ${b=-7}.$

Răspuns

a) ${\lvert a+b\rvert =\lvert 3\rvert =3}$ și ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =4+7=11}\text{:}$ ${3\lt11}.$

b) ${\lvert a+b\rvert =\lvert -11\rvert =11}$ și ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =4+7=11}\text{:}$ cei doi membri sunt egali, pentru că $a$ și $b$ sunt amândouă negative.

Tema următoare: Inecuații de gradul întâi. Îți poți verifica răspunsurile cu calculatoarele online.