Logaritmul (log, lg, ln)

Calculator de logaritmi

Scrie baza și numărul. Pentru logaritmul natural, scrie litera e ca bază. Poți scrie și fracții, de exemplu 1/2. Când logaritmul este un număr rațional, calculatorul îl află exact și arată de ce. Dacă nu, calculează o valoare aproximativă cu schimbarea bazei.

Ce este un logaritm?

La ce putere trebuie ridicat 2 ca să obținem 8? Răspunsul este 3, deoarece ${2^3=8}.$ Numărul 3 se numește logaritmul lui 8 în baza 2 și se scrie ${\log_2 8=3}.$ Se citește „logaritm în baza 2 din 8 este egal cu 3”.

Numărul $a$ se numește baza logaritmului, iar $b$ este argumentul (numărul din care se calculează logaritmul). Logaritmul $c$ poate fi orice număr real: pozitiv, negativ, zero sau o fracție.

Exemple

• ${\log_3 81=4},$ deoarece ${3^4=81}.$
• ${\log_{10} 1000=3},$ deoarece ${10^3=1000}.$
• ${\log_5\frac{1}{25}=-2},$ deoarece ${5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}}.$
• ${\log_9 3=\frac12},$ deoarece ${9^{\frac12}=\sqrt9=3}.$
• ${\log_{1/2} 8=-3},$ deoarece ${\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8}.$
• ${\log_7 1=0},$ deoarece ${7^0=1}.$

Exemplu animat: cât este $\log_2 64?$

Când există un logaritm?

• Argumentul este pozitiv: ${b\gt 0}.$ Orice putere a unui număr pozitiv este pozitivă, deci ecuațiile ${2^c=0}$ și ${2^c=-4}$ nu au soluție. Nu există logaritmul lui zero și nici al unui număr negativ: $\log_2 0$ și $\log_2(-4)$ nu sunt definite.
• Baza este pozitivă: ${a\gt 0}.$ Puterile unui număr negativ nu sunt definite pentru orice exponent. De exemplu, ${(-4)^{\frac12}}$ ar trebui să fie $\sqrt{-4},$ iar acest număr real nu există.
• Baza nu este 1: ${a\ne 1}.$ Orice putere a lui 1 este egală cu 1. De aceea ${1^c=5}$ nu are soluție, iar ${1^c=1}$ are o infinitate de soluții.

Pe această pagină: Calculator · log și ln · Proprietăți de bază · Produs, cât, putere · Schimbarea bazei · Grafic · Ecuații și inecuații · Probleme rezolvate · Exerciții

Logaritmul zecimal și logaritmul natural

Două baze se folosesc atât de des, încât logaritmii lor au nume și simbol propriu.

• ${\log 100=2},$ ${\log 1000=3}$ și ${\log 0{,}01=-2},$ deoarece ${10^{-2}=0{,}01}.$
• ${\ln e=1},$ ${\ln 1=0},$ ${\ln e^5=5}$ și ${\ln\frac1e=-1}.$

Pe calculator, tasta log dă logaritmul zecimal, iar tasta ln pe cel natural. De exemplu, ${\log 2\approx 0{,}30103}$ și ${\ln 2\approx 0{,}69315}.$ Un logaritm în orice altă bază se calculează cu formula schimbării bazei.

Logaritmul zecimal arată cât de mare este un număr. Dacă ${10^n\le b\lt 10^{n+1}},$ atunci ${n\le\log b\lt n+1},$ adică numărul $b$ are ${n+1}$ cifre în partea sa întreagă. Scările logaritmice se folosesc și în științe: aciditatea unei soluții este ${\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H}^+]},$ sunetul se măsoară în decibeli, iar cutremurele în scara Richter.

Proprietăți de bază

Următoarele egalități rezultă direct din definiție. În toate ${a\gt 0},$ ${a\ne 1}$ și ${b\gt 0}.$

Proprietatea	De ce este adevărată
${\log_a 1=0}$	${a^0=1}$
${\log_a a=1}$	${a^1=a}$
${\log_a a^c=c}$	ca să obținem $a^c,$ ridicăm $a$ la puterea $c$
${a^{\log_a b}=b}$	$\log_a b$ este chiar exponentul care transformă $a$ în $b$

Ultima egalitate se numește identitatea fundamentală a logaritmilor. De exemplu, ${3^{\log_3 7}=7},$ ${10^{\log 5}=5}$ și ${e^{\ln 2}=2}.$

Ultimele două egalități arată că ridicarea la o putere cu baza $a$ și calculul logaritmului în baza $a$ sunt operații inverse: fiecare o anulează pe cealaltă.

Logaritmul unui produs, al unui cât și al unei puteri

Logaritmii au fost inventați tocmai datorită acestor reguli: ele transformă înmulțirea în adunare și împărțirea în scădere. John Napier a publicat primele tabele de logaritmi în 1614. Cu ajutorul lor, astronomii înlocuiau înmulțirile lungi de numere cu multe cifre prin adunări ale logaritmilor lor.

De ce sunt adevărate. Fie ${\log_a b=x}$ și ${\log_a c=y},$ adică ${b=a^x}$ și ${c=a^y}.$ Atunci

${bc=a^x\cdot a^y=a^{x+y}},$   ${\frac{b}{c}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}},$   ${b^n=(a^x)^n=a^{nx}}$

Din definiția logaritmului, ${\log_a(bc)=x+y},$ ${\log_a\frac{b}{c}=x-y}$ și ${\log_a b^n=nx}.$ Regulile logaritmilor sunt regulile puterilor citite invers.

Exemple

• ${\log_2(5\cdot 4)}={\log_2 5+\log_2 4}={\log_2 5+2}$
• ${\log_2\frac54}={\log_2 5-\log_2 4}={\log_2 5-2}$
• ${\log_2 8}={\log_2 2^3}={3\log_2 2}={3}$
• ${\log 2+\log 5}={\log 10}={1}$
• ${\log_3 54-\log_3 2}={\log_3 27}={3}$

Două cazuri particulare ale regulii puterii apar foarte des:

De exemplu, ${\log_2\frac18=-\log_2 8=-3}$ și ${\log_2\sqrt{32}=\frac12\log_2 32=\frac52}.$

Atenție la puterile pare. Egalitatea ${\log_a b^2=2\log_a b}$ este valabilă numai pentru ${b\gt 0}.$ Numărul $b^2$ este pozitiv chiar dacă $b$ este negativ, deci pentru orice ${b\ne 0}$ avem ${\log_a b^2=2\log_a|b|}.$ De exemplu, ${\log\bigl((-10)^2\bigr)}={\log 100}={2},$ în timp ce $\log(-10)$ nu există.

Logaritmul unei sume. Nu există o formulă pentru ${\log_a(b+c)}$ și nici pentru ${\log_a(b-c)}.$ În general ${\log_a(b+c)\ne\log_a b+\log_a c}.$ De exemplu, ${\log_2(4+4)=\log_2 8=3},$ dar ${\log_2 4+\log_2 4=4}.$

Schimbarea bazei

De ce este adevărată. Calculăm logaritmul în baza $c$ din ambele părți ale identității fundamentale ${a^{\log_a b}=b}$: ${\log_c a^{\log_a b}=\log_c b},$ adică ${\log_a b\cdot\log_c a=\log_c b}.$ Rămâne doar să împărțim la ${\log_c a\ne 0}.$

Cu această formulă, orice logaritm se calculează pe calculator:

${\log_2 3}={\frac{\log 3}{\log 2}}={\frac{\ln 3}{\ln 2}}\approx{1{,}585}$

Noua bază poate fi orice număr pozitiv diferit de 1, de exemplu 7: ${\log_2 3=\frac{\log_7 3}{\log_7 2}}.$

Consecințe. Argumentele sunt pozitive, bazele sunt pozitive și diferite de 1, iar ${n\ne 0}$:

De exemplu, ${\log_8 2=\frac{1}{\log_2 8}=\frac13},$ ${\log_2 3\cdot\log_3 8=\log_2 8=3}$ și ${\log_9 27}={\log_{3^2} 3^3}={\frac32\log_3 3}={\frac32}.$

Funcția logaritmică și graficul ei

Funcția ${y=\log_a x},$ unde ${a\gt 0}$ și ${a\ne 1},$ se numește funcție logaritmică. Este definită numai pentru ${x\gt 0},$ iar valorile ei sunt toate numerele reale.

Graficele funcțiilor ${y=\log_2 x},$ ${y=\ln x}$ și ${y=\log x}.$ Toate trec prin punctul ${(1,\ 0)}$ și iau valoarea 1 în ${x=a}.$

Pentru orice bază, graficul trece prin punctele ${(1,\ 0)}$ și ${(a,\ 1)},$ deoarece ${\log_a 1=0}$ și ${\log_a a=1}.$ Axa $Y$ este o asimptotă a graficului: când $x$ se apropie de 0, graficul se îndepărtează fără limită de axa $X.$ Faptul că funcția crește sau scade depinde de bază:

	${a\gt 1}$	${0\lt a\lt 1}$
Funcția	crește	scade
Pentru ${0\lt x\lt 1}$	${\log_a x\lt 0}$	${\log_a x\gt 0}$
Pentru ${x\gt 1}$	${\log_a x\gt 0}$	${\log_a x\lt 0}$
Când ${x\to 0}$	${\log_a x\to-\infty}$	${\log_a x\to+\infty}$
Când ${x\to+\infty}$	${\log_a x\to+\infty}$	${\log_a x\to-\infty}$

Graficele funcțiilor ${y=\log_2 x}$ și ${y=\log_{1/2} x}$ sunt simetrice față de axa $X,$ deoarece ${\log_{1/2} x=-\log_2 x}.$

${y=\log_2 x}$ crește și ${y=\log_{1/2} x}$ scade.

Funcția logaritmică ${y=\log_a x}$ este inversa funcției exponențiale ${y=a^x}$: dacă ${y=a^x},$ atunci ${x=\log_a y}.$ De aceea graficele lor sunt simetrice față de dreapta ${y=x}.$ De exemplu, punctul ${(1,\ 2)}$ se află pe graficul funcției ${y=2^x},$ iar punctul ${(2,\ 1)}$ se află pe graficul funcției ${y=\log_2 x}.$

Graficele funcțiilor ${y=2^x}$ și ${y=\log_2 x}$ sunt simetrice față de dreapta ${y=x}.$

Ecuații și inecuații logaritmice

Funcția logaritmică este strict monotonă, deci numere diferite au logaritmi diferiți în aceeași bază. Prin urmare, dacă doi logaritmi sunt egali, și numerele sunt egale. Această trecere de la logaritmi la numerele înseși se numește antilogaritmare (sau eliminarea logaritmilor).

Cum rezolvăm o ecuație logaritmică

1. Află domeniul de definiție: orice expresie aflată sub un logaritm trebuie să fie pozitivă. Dacă necunoscuta se află în bază, baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1.
2. Cu proprietățile logaritmilor, adu ecuația la forma ${\log_a f(x)=\log_a g(x)}$ sau ${\log_a f(x)=c}.$
3. Elimină logaritmii: ${f(x)=g(x)},$ sau, din definiție, ${f(x)=a^c}.$ Rezolvă noua ecuație.
4. Păstrează doar soluțiile care se află în domeniul de definiție.

Exemplul 1. ${\log_3(2x-1)=2}.$ Domeniul de definiție este ${x\gt\frac12}.$ Din definiție, ${2x-1=3^2=9},$ de unde ${x=5}.$ Se află în domeniul de definiție.

Exemplul 2. ${\log_2(x+1)}={\log_2(3x-5)}.$ Trebuie să avem ${x+1\gt 0}$ și ${3x-5\gt 0},$ adică ${x\gt\frac53}.$ Eliminăm logaritmii: ${x+1=3x-5},$ de unde ${x=3}.$ Verificare: ambele părți sunt egale cu $\log_2 4.$

Exemplul 3. Compară $\log_{0{,}5} 3$ și $\log_{0{,}5} 7.$ Baza este subunitară, deci numărul mai mare are logaritmul mai mic: ${\log_{0{,}5} 3\gt\log_{0{,}5} 7}.$

Probleme rezolvate

Problema 1. Calculează: a) $\log_2 32;$ b) $\log_3\frac19;$ c) $\log_{1/2} 16;$ d) $\log 0{,}01;$ e) $\log_{27} 3.$

Rezolvare: Căutăm exponentul la care trebuie ridicată baza ca să obținem numărul.

• a) ${2^5=32},$ deci ${\log_2 32=5}.$
• b) ${3^{-2}=\frac19},$ deci ${\log_3\frac19=-2}.$
• c) ${\left(\frac12\right)^{-4}=2^4=16},$ deci ${\log_{1/2} 16=-4}.$
• d) ${10^{-2}=0{,}01},$ deci ${\log 0{,}01=-2}.$
• e) ${27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3},$ deci ${\log_{27} 3=\frac13}.$

Problema 2. Află $x$: a) ${\log_3 x=-2};$ b) ${\log_x 16=4};$ c) ${\log_{\sqrt3} 9=x}.$

Rezolvare:

• a) Din definiție, ${x=3^{-2}=\frac19}.$
• b) ${x^4=16},$ iar baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. De aceea ${x=2}.$ Numărul $-2$ verifică și el ${x^4=16},$ dar nu poate fi bază.
• c) ${\left(\sqrt3\right)^x=9},$ și ${9=\left(\sqrt3\right)^4}.$ De aceea ${x=4}.$

Problema 3. Calculează: a) $2^{3+\log_2 5};$ b) $25^{\log_5 3}.$

Rezolvare: Folosim identitatea fundamentală a logaritmilor.

a) ${2^{3+\log_2 5}}={2^3\cdot 2^{\log_2 5}}={8\cdot 5}={40}$

b) ${25^{\log_5 3}}={\left(5^2\right)^{\log_5 3}}={\left(5^{\log_5 3}\right)^2}={3^2}={9}$

Problema 4. Calculează: a) ${\log 8+3\log 5};$ b) ${\log_6 4+\log_6 9};$ c) ${\log_3 18}-{\log_3 2+\log_3\frac{1}{27}}.$

Rezolvare:

a) ${\log 8+3\log 5}={\log 8+\log 5^3}={\log(8\cdot 125)}={\log 1000}={3}$

b) ${\log_6 4+\log_6 9}={\log_6(4\cdot 9)}={\log_6 36}={2}$

c) ${\log_3 18}-{\log_3 2+\log_3\frac{1}{27}}={\log_3 9+\log_3 3^{-3}}={2-3}={-1}$

Problema 5. Calculează ${\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 8}.$

Rezolvare: Aplicăm de două ori formula ${\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c}$:

${\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 8}={\log_2 4\cdot\log_4 8}={\log_2 8}={3}$

Obținem același rezultat dacă scriem fiecare factor ca un raport de logaritmi zecimali: ${\frac{\log 3}{\log 2}\cdot\frac{\log 4}{\log 3}\cdot\frac{\log 8}{\log 4}}={\frac{\log 8}{\log 2}}={3}.$

Problema 6. Știind că ${\log 2=a}$ și ${\log 3=b},$ exprimă în funcție de $a$ și $b$: a) $\log 12;$ b) $\log 5;$ c) $\log_6 24.$

Rezolvare:

a) ${\log 12}={\log\left(2^2\cdot 3\right)}={2\log 2+\log 3}={2a+b}$

b) ${\log 5}={\log\frac{10}{2}}={\log 10-\log 2}={1-a}$

c) ${\log_6 24}={\frac{\log 24}{\log 6}}={\frac{\log\left(2^3\cdot 3\right)}{\log(2\cdot 3)}}={\frac{3a+b}{a+b}}$

Problema 7. Câte cifre are numărul $2^{100}?$ Folosește faptul că ${\log 2\approx 0{,}30103}.$

Rezolvare: ${\log 2^{100}}={100\log 2}\approx{30{,}103}.$ Atunci ${30\lt\log 2^{100}\lt 31},$ adică ${10^{30}\lt 2^{100}\lt 10^{31}}.$ Cel mai mic număr de 31 de cifre este $10^{30},$ iar $10^{31}$ are deja 32 de cifre. Prin urmare, $2^{100}$ are 31 de cifre.

Problema 8. Rezolvă ecuația ${\log_2(x-1)}+{\log_2(x+1)}={3}.$

Rezolvare: Trebuie să avem ${x-1\gt 0}$ și ${x+1\gt 0},$ adică ${x\gt 1}.$ O sumă de logaritmi este logaritmul produsului:

${\log_2\bigl((x-1)(x+1)\bigr)}={3},$   ${x^2-1=2^3},$   ${x^2=9},$   ${x=\pm 3}$

Soluția ${x=-3}$ nu se află în domeniul de definiție, deoarece $\log_2(-4)$ nu există. Răspuns: ${x=3}.$ Verificare: ${\log_2 2+\log_2 4}={1+2}={3}.$

Problema 9. Rezolvă ecuația ${\log^2 x-3\log x+2=0}.$

Rezolvare: Domeniul de definiție este ${x\gt 0}.$ Aici $\log^2 x$ înseamnă ${(\log x)^2}.$ Notăm ${\log x=t}$ și obținem ${t^2-3t+2=0},$ cu soluțiile ${t_1=1}$ și ${t_2=2}$:

${\log x=1\Rightarrow x=10},$   ${\log x=2\Rightarrow x=100}$

Răspuns: ${x_1=10},$ ${x_2=100}.$

Problema 10. Rezolvă inecuația ${\log_{1/3}(2x-1)\ge -1}.$

Rezolvare: Domeniul de definiție este ${x\gt\frac12}.$ Scriem partea dreaptă ca logaritm în aceeași bază: ${-1=\log_{1/3} 3},$ deoarece ${\left(\frac13\right)^{-1}=3}.$

${\log_{1/3}(2x-1)\ge\log_{1/3} 3}$

Baza este cuprinsă între 0 și 1, deci semnul inegalității se schimbă: ${2x-1\le 3},$ adică ${x\le 2}.$ Împreună cu domeniul de definiție: ${\frac12\lt x\le 2},$ adică ${x\in\left(\frac12,\ 2\right]}.$

Exerciții

Încearcă singur, apoi deschide răspunsul.

1. Calculează $\log_5 125.$

${5^3=125},$ deci ${\log_5 125=3}.$

2. Calculează $\log_8 2.$

${8^{\frac13}=\sqrt[3]8=2},$ deci ${\log_8 2=\frac13}.$

3. Calculează $\log_{1/3} 27.$

${\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27},$ deci ${\log_{1/3} 27=-3}.$

4. Calculează $3^{2\log_3 4}.$

${3^{2\log_3 4}}={\left(3^{\log_3 4}\right)^2}={4^2}={16}$

5. Calculează ${\log_{12} 3+\log_{12} 48}.$

${\log_{12} 3+\log_{12} 48}={\log_{12}(3\cdot 48)}={\log_{12} 144}={2}$

6. Calculează $\frac{\log 8+\log 18}{2\log 2+\log 3}.$

Numărătorul este ${\log(8\cdot 18)=\log 144}$ iar numitorul este ${\log\left(2^2\cdot 3\right)=\log 12}.$ Deoarece ${144=12^2},$ obținem ${\frac{\log 144}{\log 12}=\frac{2\log 12}{\log 12}=2}.$

7. Între ce două numere întregi consecutive se află $\log_2 10?$

${2^3=8\lt 10\lt 16=2^4},$ deci ${3\lt\log_2 10\lt 4}.$ Mai precis, ${\log_2 10\approx 3{,}32}.$

8. Rezolvă ecuația ${\log_5(3x+1)=2}.$

Domeniul de definiție este ${x\gt-\frac13}.$ ${3x+1=5^2=25},$ de unde ${x=8}.$

9. Rezolvă ecuația ${\log_3 x+\log_3(x-8)=2}.$

Domeniul de definiție este ${x\gt 8}.$ ${\log_3\bigl(x(x-8)\bigr)=2},$ adică ${x^2-8x=9}$ și ${x^2-8x-9=0}.$ Soluțiile sunt $9$ și $-1,$ dar numai ${x=9}$ se află în domeniul de definiție.

10. Un depozit la bancă crește cu 5% în fiecare an. În câți ani se va dubla suma?

După $n$ ani suma se înmulțește cu ${1{,}05^n}.$ Căutăm cel mai mic $n$ pentru care ${1{,}05^n\ge 2}.$ Logaritmând: ${n\log 1{,}05\ge\log 2},$ adică ${n\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx 14{,}2}.$ Suma se dublează după 15 ani.