Ecuații bipătrate

Calculator de ecuații bipătrate

Scrie coeficienții $a,$ $b$ și $c.$ Pot fi numere întregi, zecimale (de exemplu 0,5) sau fracții (de exemplu 1/3). Un câmp gol la $b$ sau $c$ înseamnă 0. Calculatorul face schimbarea $u=x^2,$ rezolvă ecuația de gradul al doilea în $u,$ verifică semnul fiecărei rădăcini și află rădăcinile reale exacte $x.$

Ce este o ecuație bipătrată?

Este o ecuație de gradul al patrulea, dar conține doar puteri pare ale lui $x\text{:}$ termenii în $x^4$ și în $x^2,$ pe lângă termenul liber. Nu are termen în $x^3$ și nici termen în $x.$ Deoarece $x^4=(x^2)^2,$ ecuația este o ecuație de gradul al doilea în $x^2.$ Prefixul „bi-” înseamnă „de două ori”: $x^4$ este pătratul pătratului $x^2.$ (Unele cărți vechi numesc bipătrată orice ecuație de gradul al patrulea. Pe această pagină cuvântul se referă doar la $ax^4+bx^2+c=0.$)

Exemple. Înainte de a identifica coeficienții, mută toți termenii în membrul stâng. Semnul fiecărui termen face parte din coeficientul lui.

• $2x^4-7x^2+3=0\text{:}$   $a=2,$ $b=-7,$ $c=3$
• $x^4-16=0\text{:}$   $a=1,$ $b=0,$ $c=-16$
• $x^4=5x^2$ se scrie ca $x^4-5x^2=0\text{:}$   $a=1,$ $b=-5,$ $c=0$
• $x^4+x^3-2=0$ nu este bipătrată, pentru că are un termen în $x^3.$

Pe această pagină: Calculator · Schimbarea de variabilă · Pași · Exemple · Numărul de rădăcini · Grafic · Descompunerea în factori · Alte ecuații · Probleme de aplicare · Cu parametru · Exerciții

Ideea principală: schimbarea de variabilă

Facem schimbarea $u=x^2.$ Atunci $x^4=(x^2)^2=u^2,$ iar ecuația devine

$$au^2+bu+c=0.$$

Este o ecuație de gradul al doilea obișnuită cu noua necunoscută $u$ (în multe manuale se folosește litera $t$). Rezolv-o și apoi revino la $x\text{:}$ pentru fiecare rădăcină $u$ rezolvă ecuația $x^2=u.$

La revenirea la $x$ trebuie să fii atent. Pătratul unui număr real nu este niciodată negativ: $x^2\ge 0$ pentru orice număr real $x.$ De aceea o rădăcină $u$ a ecuației de gradul al doilea dă

Acest lucru se vede clar într-un desen. Rădăcinile lui $x^2=u$ sunt abscisele punctelor comune ale parabolei $y=x^2$ și ale dreptei orizontale $y=u.$ O dreaptă deasupra axei $x$ taie parabola în două puncte, axa $x$ o atinge doar în origine, iar o dreaptă sub axa $x$ nu o taie.

Cum se rezolvă o ecuație bipătrată

1. Fă schimbarea $u=x^2$ și scrie ecuația de gradul al doilea $au^2+bu+c=0.$
2. Află $u\text{:}$ prin descompunere în factori, cu relațiile lui Viète sau cu formula generală $u_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$ unde $D=b^2-4ac.$
3. Dacă $D\lt 0,$ nu există rădăcini $u,$ și ecuația dată nu are rădăcini reale. În caz contrar, elimină orice rădăcină $u$ negativă: ea nu dă nicio valoare reală a lui $x.$
4. Pentru fiecare rădăcină $u\ge 0$ rezolvă $x^2=u\text{:}$ $x=\pm\sqrt{u}$ (pentru $u=0$ rămâne doar $x=0$).
5. Scrie toate valorile lui $x.$ Pentru verificare, înlocuiește în ecuația inițială o valoare din fiecare pereche $\pm x$ (opusa ei $-x$ dă aceleași numere).

Exemple rezolvate

Exemplul 1: patru rădăcini

Rezolvă ecuația $x^4-5x^2+4=0.$

Facem schimbarea $u=x^2\text{:}$

$u^2-5u+4=0$

Căutăm două numere cu produsul 4 și suma 5: $u_1=1$ și $u_2=4.$ (Formula dă același lucru: $D=25-16=9$ și $u_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$) Ambele rădăcini sunt pozitive, deci fiecare dă două valori ale lui $x\text{:}$

$x^2=1,$   $x=\pm 1;$    $x^2=4,$   $x=\pm 2$

Răspuns: $x=\pm 1,$ $x=\pm 2.$ Ecuația are patru rădăcini: $-2,$ $-1,$ $1$ și $2.$

Verificare pentru $x=2\text{:}$ ${2^4-5\cdot 2^2+4}={16-20+4}={0.}$ Deoarece apar doar puteri pare ale lui $x,$ valoarea $x=-2$ dă exact aceleași numere.

Exemplul 2: două rădăcini

Rezolvă ecuația $x^4-x^2-6=0.$

Cu $u=x^2$ obținem $u^2-u-6=0,$ adică $(u-3)(u+2)=0,$ de unde $u_1=3$ și $u_2=-2.$

• $x^2=3$ dă $x=\pm\sqrt{3}.$
• $x^2=-2$ nu are rădăcini reale, pentru că $x^2\ge 0.$ Eliminăm $u_2=-2.$

Răspuns: $x=\pm\sqrt{3}.$

Exemplul 3: fără rădăcini reale

Rezolvă ecuația $x^4-2x^2+2=0.$

Cu $u=x^2$ obținem $u^2-2u+2=0$ și $D=4-8=-4\lt 0.$ Ecuația în $u$ nu are rădăcini reale, deci nici ecuația dată nu are.

Ecuația $x^4+5x^2+6=0$ nu are rădăcini reale dintr-un alt motiv. Aici $u^2+5u+6=0$ are rădăcini, $u_1=-2$ și $u_2=-3,$ dar ambele sunt negative.

O scurtătură: dacă $a\gt 0,$ $b\ge 0$ și $c\gt 0,$ atunci $ax^4+bx^2+c\ge c\gt 0$ pentru orice $x,$ pentru că $x^4\ge 0$ și $x^2\ge 0.$ O astfel de ecuație (de exemplu $x^4+16=0$) nu are rădăcini reale și nu e nimic de rezolvat. Dacă $a\lt 0,$ $b\le 0$ și $c\lt 0,$ înmulțește mai întâi ecuația cu $-1.$

Exemplul 4: trei rădăcini (c = 0)

Rezolvă ecuația $x^4-4x^2=0.$

Dacă $c=0,$ nu este nevoie de schimbarea de variabilă. Dăm factor comun $x^2$

$x^2(x^2-4)=0$

Un produs este zero exact atunci când cel puțin unul dintre factorii lui este zero: $x^2=0$ dă $x=0,$ iar $x^2=4$ dă $x=\pm 2.$

Răspuns: $x=0,$ $x=\pm 2.$ Sunt trei rădăcini. Rădăcina $x=0$ este o rădăcină dublă: în ${x^4-4x^2}={x\cdot x\cdot(x-2)(x+2)}$ factorul $x$ apare de două ori. Cu schimbarea de variabilă am obține același lucru: $u^2-4u=0,$ deci $u=0$ sau $u=4.$

Dacă al doilea factor nu are rădăcini, rămâne doar $x=0\text{:}$ ecuația $x^4+3x^2=x^2(x^2+3)=0$ are ca unică rădăcină $x=0,$ pentru că $x^2+3\gt 0.$

Exemplul 5: fără termen în x² (b = 0)

Rezolvă ecuația $x^4-81=0.$

Aici $x^4=81,$ deci $u^2=81$ și $u=\pm 9.$ Rădăcina $u=-9$ se elimină, iar $x^2=9$ dă $x=\pm 3.$

Altă variantă: descompunem de două ori diferența de pătrate:

${x^4-81}={(x^2-9)(x^2+9)}={(x-3)(x+3)(x^2+9)}$

Factorul $x^2+9$ este întotdeauna pozitiv. Răspuns: $x=\pm 3.$

Exemplul 6: ecuația în u are o singură rădăcină (D = 0)

Rezolvă ecuația $x^4-8x^2+16=0.$

Cu $u=x^2$ obținem $u^2-8u+16=0,$ unde $D=64-64=0.$ Unica rădăcină este $u=\frac{8}{2}=4,$ iar $x^2=4$ dă $x=\pm 2.$

Răspuns: $x=\pm 2.$ Ambele rădăcini sunt duble, pentru că membrul stâng este un pătrat perfect:

${x^4-8x^2+16}={(x^2-4)^2}={(x-2)^2(x+2)^2}$

Exemplul 7: coeficientul dominant diferit de 1

Rezolvă ecuația $4x^4-37x^2+9=0.$

Cu $u=x^2$ obținem $4u^2-37u+9=0.$ Folosim formula generală:

${D}={37^2-4\cdot 4\cdot 9}={1369-144}={1225}={35^2,}$   $u_{1,2}=\frac{37\pm 35}{8}$

Astfel, $u_1=\frac{2}{8}=\frac14$ și $u_2=\frac{72}{8}=9.$ Ambele sunt pozitive:

$x^2=\frac14,$   $x=\pm\frac12;$    $x^2=9,$   $x=\pm 3$

Răspuns: $x=\pm\frac12,$ $x=\pm 3.$

Exemplul 8: rădăcini iraționale

Rezolvă ecuația $x^4-6x^2+4=0.$

Cu $u=x^2$ obținem $u^2-6u+4=0.$ Nu se poate descompune cu numere întregi, deci folosim formula:

$D=36-16=20,$   $\sqrt{D}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},$   $u_{1,2}=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}$

Ambele valori sunt pozitive: $3+\sqrt{5}\gt 0$ este evident, iar $3-\sqrt{5}\gt 0$ pentru că $\sqrt{5}\lt\sqrt{9}=3.$ Prin urmare, sunt patru rădăcini:

${x}={\pm\sqrt{3+\sqrt{5}}}\approx{\pm 2{,}288,}$   $x=\pm\sqrt{3-\sqrt{5}}\approx\pm 0{,}874$

Răspuns: $x=\pm\sqrt{3+\sqrt{5}},$ $x=\pm\sqrt{3-\sqrt{5}}.$

Uneori un radical dublu se poate simplifica. Să ridicăm la pătrat numărul $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\text{:}$

${\left(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\right)^2}={\frac{10+2\sqrt{20}+2}{4}}={\frac{12+4\sqrt{5}}{4}}={3+\sqrt{5}}$

Astfel, $\sqrt{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2},$ și, în același mod, $\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}.$ Ambele forme ale răspunsului sunt corecte.

Câte rădăcini reale poate avea?

Dacă $x_0$ este rădăcină, atunci și $-x_0$ este, pentru că $(-x_0)^4=x_0^4$ și $(-x_0)^2=x_0^2.$ De aceea rădăcinile nenule apar în perechi $\pm x_0,$ iar suma tuturor rădăcinilor reale este 0. O ecuație bipătrată are 0, 1, 2, 3 sau 4 rădăcini reale distincte. Numărul de rădăcini este impar exact atunci când $x=0$ este rădăcină, adică atunci când $c=0.$

Totul depinde de rădăcinile $u_1$ și $u_2$ ale ecuației $au^2+bu+c=0\text{:}$

Rădăcinile ecuației în $u$	Rădăcini reale $x$	Exemplu
două rădăcini pozitive	4:   $\pm\sqrt{u_1},$ $\pm\sqrt{u_2}$	$x^4-5x^2+4=0$
o rădăcină pozitivă (dublă), $D=0$	2:   $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-8x^2+16=0$
o rădăcină pozitivă și una negativă	2:   $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-x^2-6=0$
o rădăcină pozitivă și rădăcina 0	3:   $0,$ $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-4x^2=0$
rădăcina 0 și una negativă (sau doar rădăcina 0)	1:   $0$	$x^4+3x^2=0$
doar rădăcini negative	0	$x^4+5x^2+6=0$
nu există rădăcini reale, $D\lt 0$	0	$x^4-2x^2+2=0$

Numărarea rădăcinilor fără a rezolva ecuația

Semnele lui $u_1$ și $u_2$ se deduc din relațiile lui Viète fără a rezolva ecuația în $u\text{:}$

$P=u_1u_2=\frac{c}{a},$   $S=u_1+u_2=-\frac{b}{a},$   $D=b^2-4ac$

Condiția	Rădăcinile $u$	Rădăcini reale $x$
$P\lt 0$	de semne opuse	2
$P\gt 0,$ $D\gt 0,$ $S\gt 0$	ambele pozitive	4
$P\gt 0,$ $D=0,$ $S\gt 0$	o rădăcină pozitivă (dublă)	2
$P\gt 0,$ $D\ge 0,$ $S\lt 0$	ambele negative	0
$D\lt 0$	nu există rădăcini reale	0
$P=0,$ $S\gt 0$	0 și o rădăcină pozitivă	3
$P=0,$ $S\le 0$	0 și o rădăcină negativă (sau doar 0)	1

Dacă $P\lt 0,$ atunci $a$ și $c$ au semne opuse, deci $-4ac\gt 0$ și $D=b^2-4ac\gt 0.$ De aceea prima linie nu are nevoie de nicio condiție privind $D.$

Exemplu. Câte rădăcini reale are ecuația $3x^4-10x^2+2=0?$ Aici $P=\frac23\gt 0,$ $S=\frac{10}{3}\gt 0$ și $D=100-24=76\gt 0.$ Ambele rădăcini $u$ sunt pozitive, deci sunt patru rădăcini reale. Pentru ecuația $2x^4+3x^2-7=0$ avem $P=-\frac72\lt 0,$ deci are exact două rădăcini reale.

Graficul funcției y = ax⁴ + bx² + c

Funcția $f(x)=ax^4+bx^2+c$ este pară: $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x.$ Graficul ei este simetric față de axa $y$ și taie axa $y$ în punctul $(0,\ c).$ Rădăcinile reale ale ecuației $ax^4+bx^2+c=0$ sunt abscisele punctelor comune ale graficului cu axa $x.$

Pentru ecuația $x^4-5x^2+4=0$ din exemplul 1, graficul taie axa $x$ în $-2,$ $-1,$ $1$ și $2.$ Dacă $a\gt 0$ și $b\lt 0,$ graficul are forma literei W: un maxim local în $(0,\ c)$ și două puncte de minim în $x=\pm\sqrt{-\frac{b}{2a}},$ unde $y=c-\frac{b^2}{4a}.$ Ele provin din vârful $u=-\frac{b}{2a}$ al parabolei $y=au^2+bu+c,$ pentru că $u=x^2.$ În acest exemplu se află în $x=\pm\sqrt{2{,}5}\approx\pm 1{,}58,$ unde $y=-2{,}25.$ Dacă $a\gt 0$ și $b\ge 0,$ graficul are forma literei U, cu punctul cel mai de jos în $(0,\ c).$ Dacă $a\lt 0,$ totul este invers: un M dacă $b\gt 0$ și un U răsturnat dacă $b\le 0.$

Așa arată diferitele cazuri:

Descompunerea în factori a lui ax⁴ + bx² + c

Dacă $u_1$ și $u_2$ sunt rădăcinile lui $au^2+bu+c=0,$ atunci ${au^2+bu+c}={a(u-u_1)(u-u_2).}$ Înlocuim $u=x^2\text{:}$

Fiecare factor $x^2-u$ cu $u\gt 0$ este o diferență de pătrate: ${x^2-u}={(x-\sqrt{u})(x+\sqrt{u}).}$

Exemplul 1. ${x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).}$

Exemplul 2. ${4x^4-37x^2+9}={4\left(x^2-\frac14\right)(x^2-9)}={(4x^2-1)(x^2-9)}={(2x-1)(2x+1)(x-3)(x+3).}$

Exemplul 3. ${x^4-x^2-6}={(x^2-3)(x^2+2)}={(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+2).}$ Factorul $x^2+2$ nu se mai poate descompune, pentru că este întotdeauna pozitiv.

Funcționează și invers. O ecuație bipătrată cu rădăcinile $\pm 2$ și $\pm 3$ este $(x^2-4)(x^2-9)=0,$ adică $x^4-13x^2+36=0.$

Dacă ecuația în $u$ nu are rădăcini reale, polinomul se poate totuși descompune în doi factori de gradul al doilea cu coeficienți reali (uneori iraționali), prin completarea pătratului:

${x^4+x^2+1}={(x^4+2x^2+1)-x^2}={(x^2+1)^2-x^2}={(x^2-x+1)(x^2+x+1)}$

${x^4+4}={(x^4+4x^2+4)-4x^2}={(x^2+2)^2-(2x)^2}={(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

${x^4+1}={(x^4+2x^2+1)-2x^2}={(x^2+1)^2-2x^2}={(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)}$

Alte ecuații care se rezolvă prin schimbare de variabilă

Exemplul 1. Rezolvă ecuația $(x^2-1)(x^2+2)=4.$

Desfacem parantezele și mutăm totul în membrul stâng: $x^4+2x^2-x^2-2=4,$ adică $x^4+x^2-6=0.$ Cu $u=x^2\text{:}$ $u^2+u-6=0,$ deci $u_1=2$ și $u_2=-3.$ Rădăcina $-3$ se elimină.

Răspuns: $x=\pm\sqrt{2}.$

Exemplul 2. Rezolvă ecuația $x^2+\frac{36}{x^2}=13.$

Aici $x\ne 0.$ Înmulțim ambii membri cu $x^2\text{:}$ $x^4+36=13x^2,$ adică $x^4-13x^2+36=0.$ Cu $u=x^2\text{:}$ $u^2-13u+36=0,$ deci $u_1=4$ și $u_2=9.$ Niciuna dintre cele patru valori ale lui $x$ nu este 0, deci toate sunt rădăcini.

Răspuns: $x=\pm 2,$ $x=\pm 3.$

Exemplul 3. Rezolvă ecuația $x^6-9x^3+8=0.$

Aceeași idee funcționează pentru orice ecuație $ax^{2n}+bx^n+c=0$ (o ecuație de formă pătratică) cu schimbarea $u=x^n.$ Aici $u=x^3\text{:}$

$u^2-9u+8=0,$   $u_1=1,$   $u_2=8$

Astfel, $x^3=1$ sau $x^3=8,$ adică $x=1$ sau $x=2.$ Răspuns: $x=1,$ $x=2.$

Un cub poate fi negativ, deci pentru $u=x^3$ o valoare negativă a lui $u$ nu se elimină. De exemplu, $x^6+7x^3-8=0$ dă $u=1$ sau $u=-8,$ iar $x^3=-8$ are rădăcina $x=-2.$ Rădăcinile negative se elimină doar când $u=x^2$ (și pentru alte puteri pare).

Exemplul 4. Rezolvă ecuația ${(x^2+x)^2}-{8(x^2+x)+12}={0.}$

Facem schimbarea $u=x^2+x\text{:}$ $u^2-8u+12=0,$ deci $u_1=2$ și $u_2=6.$ Acum rezolvăm două ecuații de gradul al doilea:

• $x^2+x=2,$ adică $x^2+x-2=0\text{:}$ $x=1$ sau $x=-2;$
• $x^2+x=6,$ adică $x^2+x-6=0\text{:}$ $x=2$ sau $x=-3.$

Răspuns: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=1,$ $x=2.$ Această ecuație nu este bipătrată (la desfacere apare un termen în $x^3$), dar schimbarea de variabilă funcționează la fel.

Probleme de aplicare

Problema 1. Diagonala unui dreptunghi are 13 cm, iar aria lui este 60 cm². Află laturile.

Rezolvare. Fie $x$ cm și $y$ cm laturile. Din teorema lui Pitagora $x^2+y^2=169,$ iar din arie $xy=60,$ deci $y=\frac{60}{x}.$ Atunci

$x^2+\frac{3600}{x^2}=169,$   $x^4-169x^2+3600=0$

Cu $u=x^2\text{:}$ $u^2-169u+3600=0,$ ${D}={28561-14400}={14161}={119^2}$ și $u_{1,2}=\frac{169\pm 119}{2},$ adică $u_1=25$ și $u_2=144.$ Cum laturile sunt pozitive, $x=5$ sau $x=12,$ și atunci $y=12$ sau $y=5.$ Laturile au 5 cm și 12 cm. Verificare: $5^2+12^2=169$ și $5\cdot 12=60.$

Problema 2. Puterea a patra a unui număr este cu 12 unități mai mare decât pătratul lui. Află toate numerele cu această proprietate.

Rezolvare. $x^4=x^2+12,$ adică $x^4-x^2-12=0.$ Cu $u=x^2\text{:}$ $u^2-u-12=0,$ deci $u_1=4$ și $u_2=-3.$ Rădăcina $-3$ se elimină, iar $x^2=4$ dă două numere. Verificare: $2^4=16=4+12,$ și $-2$ dă aceleași numere. Răspuns: $x=2$ și $x=-2.$

Ecuații bipătrate cu parametru

Problema 1. Câte rădăcini reale are ecuația $x^4-4x^2+m=0$ în funcție de valoarea lui $m?$

Rezolvare. Cu $u=x^2\text{:}$ $u^2-4u+m=0,$ unde $D=16-4m,$ $S=4\gt 0$ și $P=m.$

• $m\lt 0\text{:}$ $P\lt 0,$ rădăcinile $u$ au semne opuse, deci sunt 2 rădăcini.
• $m=0\text{:}$ $u=0$ sau $u=4,$ deci sunt 3 rădăcini: $0$ și $\pm 2.$
• $0\lt m\lt 4\text{:}$ $D\gt 0,$ $P\gt 0$ și $S\gt 0,$ ambele rădăcini $u$ sunt pozitive, deci sunt 4 rădăcini.
• $m=4\text{:}$ $D=0$ și $u=2,$ deci sunt 2 rădăcini: $\pm\sqrt{2}.$
• $m\gt 4\text{:}$ $D\lt 0,$ deci nu există rădăcini reale.

Graficul arată același lucru. Scriem ecuația ca $x^4-4x^2=-m.$ Rădăcinile ei sunt abscisele punctelor comune ale dreptei orizontale $y=-m$ și ale graficului lui $y=x^4-4x^2.$ Acest grafic are un maxim local egal cu 0 în $x=0$ și atinge valoarea minimă $-4$ în $x=\pm\sqrt{2}.$ De aceea dreapta îl taie în exact patru puncte atunci când $-4\lt -m\lt 0,$ adică atunci când $0\lt m\lt 4.$

Problema 2. Rezolvă ecuația $x^4-(k+1)x^2+k=0$ pentru fiecare valoare a lui $k.$

Rezolvare. Cu $u=x^2\text{:}$ $u^2-(k+1)u+k=0.$ Suma coeficienților este $1-(k+1)+k=0,$ deci o rădăcină este $u_1=1,$ iar din relațiile lui Viète cealaltă este $u_2=k.$ Cu alte cuvinte, ${u^2-(k+1)u+k}={(u-1)(u-k).}$ Rădăcina $u_1=1$ dă întotdeauna $x=\pm 1.$ Rădăcina $u_2=k$ adaugă:

• pentru $k\gt 0,$ $k\ne 1\text{:}$ încă două rădăcini, $x=\pm\sqrt{k},$ în total 4 rădăcini;
• pentru $k=1\text{:}$ nimic nou ($u_2=u_1$), 2 rădăcini;
• pentru $k=0\text{:}$ rădăcina $x=0,$ în total 3 rădăcini;
• pentru $k\lt 0\text{:}$ nimic, 2 rădăcini.

Răspuns: pentru $k\gt 0,$ $k\ne 1\text{:}$ $x=\pm 1,$ $x=\pm\sqrt{k};$ pentru $k=0\text{:}$ $x=0,$ $x=\pm 1;$ pentru $k=1$ și pentru $k\lt 0\text{:}$ $x=\pm 1.$

Probleme pentru exersat

Încearcă să le rezolvi singur și apoi deschide răspunsul.

1. Rezolvă ecuația $x^4-10x^2+9=0.$

$u^2-10u+9=0,$ $u_1=1,$ $u_2=9.$ Răspuns: $x=\pm 1,$ $x=\pm 3.$

2. Rezolvă ecuația $x^4-17x^2+16=0.$

$u^2-17u+16=0,$ $u_1=1,$ $u_2=16.$ Răspuns: $x=\pm 1,$ $x=\pm 4.$

3. Rezolvă ecuația $x^4-2x^2-8=0.$

$u^2-2u-8=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-2.$ Rădăcina negativă se elimină. Răspuns: $x=\pm 2.$

4. Rezolvă ecuația $x^4-9x^2=0.$

$x^2(x^2-9)=0.$ Răspuns: $x=0,$ $x=\pm 3.$

5. Rezolvă ecuația $x^4+3x^2+2=0.$

Toți coeficienții sunt pozitivi, deci membrul stâng este întotdeauna cel puțin 2. (În plus, $u^2+3u+2=0$ are rădăcinile $-1$ și $-2,$ ambele negative.) Răspuns: ecuația nu are rădăcini reale.

6. Rezolvă ecuația $x^4-16=0.$

$x^4=16,$ deci $x^2=4$ (valoarea $x^2=-4$ este imposibilă). Răspuns: $x=\pm 2.$

7. Rezolvă ecuația $9x^4-10x^2+1=0.$

$9u^2-10u+1=0,$ $D=100-36=64,$ $u_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18},$ $u_1=\frac19,$ $u_2=1.$ Răspuns: $x=\pm\frac13,$ $x=\pm 1.$

8. Rezolvă ecuația $x^4-18x^2+81=0.$

${x^4-18x^2+81}={(x^2-9)^2,}$ deci $x^2=9.$ Răspuns: $x=\pm 3$ (ambele rădăcini sunt duble).

9. Rezolvă ecuația $x^4-4x^2+1=0.$

$u^2-4u+1=0,$ $u_{1,2}=2\pm\sqrt{3},$ ambele pozitive pentru că $\sqrt{3}\lt 2.$ Răspuns: $x=\pm\sqrt{2+\sqrt{3}},$ $x=\pm\sqrt{2-\sqrt{3}}.$ Într-o formă mai simplă: $\sqrt{2\pm\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}.$

10. Rezolvă ecuația $(x^2-2)(x^2+3)=14.$

$x^4+x^2-6=14,$ adică $x^4+x^2-20=0.$ Atunci $u^2+u-20=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-5.$ Răspuns: $x=\pm 2.$

11. Rezolvă ecuația $x^2-\frac{4}{x^2}=3.$

$x\ne 0.$ Înmulțim cu $x^2\text{:}$ $x^4-3x^2-4=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-1.$ Răspuns: $x=\pm 2.$

12. Fără să le rezolvi, află câte rădăcini reale are fiecare ecuație: a) $5x^4-3x^2-2=0;$ b) $2x^4-9x^2+4=0;$ c) $x^4+6x^2+8=0.$

a) $P=-\frac25\lt 0\text{:}$ 2 rădăcini. b) $D=81-32=49\gt 0,$ $P=2\gt 0,$ $S=\frac92\gt 0\text{:}$ 4 rădăcini. c) toți coeficienții sunt pozitivi: nu există rădăcini reale.

13. Scrie o ecuație bipătrată cu rădăcinile $\pm 1$ și $\pm\sqrt{5}.$

$(x^2-1)(x^2-5)=0,$ adică $x^4-6x^2+5=0.$

14. Pentru ce valori ale lui $m$ ecuația $x^4-6x^2+m=0$ are exact trei rădăcini reale? Dar exact patru?

Trei rădăcini: $m=0$ (rădăcinile sunt $0$ și $\pm\sqrt{6}$). Patru rădăcini: $D=36-4m\gt 0$ și $P=m\gt 0$ (aici $S=6\gt 0$), adică $0\lt m\lt 9.$

15. Diagonala unui dreptunghi are 10 cm, iar aria lui este 48 cm². Află laturile.

Fie $x$ cm și $\frac{48}{x}$ cm laturile. Atunci $x^2+\frac{2304}{x^2}=100,$ adică $x^4-100x^2+2304=0,$ $u_{1,2}=\frac{100\pm 28}{2},$ $u_1=36,$ $u_2=64.$ Laturile au 6 cm și 8 cm.

16. Rezolvă ecuația $x^6-7x^3-8=0.$

$u=x^3\text{:}$ $u^2-7u-8=0,$ $u_1=8,$ $u_2=-1.$ Aici este admisă o valoare negativă a lui $u.$ Răspuns: $x=2,$ $x=-1.$

Vezi și: Ecuații de gradul al doilea · Graficul funcției de gradul al doilea