Limitele și continuitatea funcțiilor trigonometrice

În această lecție vom demonstra că sinusul și cosinusul sunt funcții continue, vom vedea unde sunt continue celelalte funcții trigonometrice și vom calcula două limite remarcabile care se folosesc mereu în calculul diferențial:

${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$   și   ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0}.$

Definiția continuității și proprietățile ei sunt explicate în lecția anterioară, „Proprietățile funcțiilor continue”.

Pe această pagină: Sinus și cosinus · Alte funcții trigonometrice · Teorema cleștelui · Limita lui sin x / x · Limita lui (1 − cos x) / x · Folosirea celor două limite · Probleme

Continuitatea sinusului și a cosinusului

Pentru un unghi ascuțit $\theta$ al unui triunghi dreptunghic, sinusul și cosinusul sunt rapoarte între laturi:

${\sin\theta}={\frac{\text{catetă opusă}}{\text{ipotenuză}}},$   ${\cos\theta}={\frac{\text{catetă alăturată}}{\text{ipotenuză}}}.$

Pentru unghiuri de orice mărime folosim cercul unitate ${x^2+y^2=1}.$ De acum încolo unghiurile se măsoară în radiani și scriem $x$ în loc de $\theta.$ Dacă semidreapta care pornește din origine și formează unghiul $x$ cu partea pozitivă a axei $x$ (în sens trigonometric; în sens orar dacă $x$ este negativ) taie cercul în punctul $P,$ atunci $P$ are coordonatele ${(\cos x,\,\sin x)}.$

Acestea sunt graficele lui ${f(x)=\sin x}$ și ${g(x)=\cos x}.$ Niciunul dintre ele nu are întreruperi.

Limitele în 0. Când $x$ tinde la $0,$ punctul ${P(\cos x,\,\sin x)}$ se mișcă pe cerc spre punctul $B(1,\,0),$ deci coordonatele lui tind la coordonatele lui $B\text{:}$

${\lim_{x\to0}\sin x=0},$   ${\lim_{x\to0}\cos x=1}.$

Acestea sunt exact valorile în $0\text{:}$ ${\sin0=0}$ și ${\cos0=1}.$ Să ne amintim definiția continuității:

Conform acestei definiții, sinusul și cosinusul sunt continue în $0.$

Teoremă. Funcțiile ${\sin x}$ și ${\cos x}$ sunt continue în orice număr real.

Demonstrație. Fie $c$ un număr real oarecare și să notăm ${h=x-c},$ adică ${x=c+h}.$ Atunci ${x\to c}$ înseamnă același lucru cu ${h\to0},$ iar continuitatea lui $f$ în $c$ înseamnă că

${\lim_{h\to0}f(c+h)=f(c)}.$

Funcția ${\sin x}$ este definită în toate punctele. Prin formula sinusului unei sume, proprietățile limitelor și limitele în $0,$

${\lim_{h\to0}\sin(c+h)}={\lim_{h\to0}(\sin c\cos h+\cos c\sin h)}$

$={\sin c\cdot\lim_{h\to0}\cos h}+{\cos c\cdot\lim_{h\to0}\sin h}={\sin c\cdot1+\cos c\cdot0}={{\sin c}.}$

La fel, cu ${\cos(c+h)}={{\cos c\cos h-\sin c\sin h},}$

${\lim_{h\to0}\cos(c+h)}={\cos c\cdot1-\sin c\cdot0}={{\cos c}.}$

Continuitatea celorlalte funcții trigonometrice

Celelalte funcții trigonometrice sunt rapoarte formate cu sinusul și cosinusul:

${\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}},$   ${\operatorname{ctg} x=\frac{\cos x}{\sin x}},$   ${\sec x=\frac{1}{\cos x}},$   ${\csc x=\frac{1}{\sin x}}.$

Un raport de funcții continue este continuu în toate punctele în care numitorul nu este egal cu $0.$ Cosinusul este egal cu $0$ în ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi},$ adică în ${x=\pm\frac{\pi}{2}},$ ${\pm\frac{3\pi}{2}},$ ${\pm\frac{5\pi}{2}},$ …, iar sinusul este egal cu $0$ în ${x=k\pi}$ ($k$ întreg). Prin urmare:

Funcția	Continuă pentru orice $x$ cu excepția
${\operatorname{tg} x},$ ${\sec x}$	${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$
${\operatorname{ctg} x},$ ${\csc x}$	${x=k\pi}$

În aceste puncte funcțiile nu sunt definite, iar graficele lor au asimptote verticale. De exemplu, ${\lim_{x\to(\pi/2)^-}\operatorname{tg} x=+\infty}$ și ${\lim_{x\to(\pi/2)^+}\operatorname{tg} x=-\infty}.$

În orice punct în care o funcție trigonometrică este continuă, limita ei se calculează prin înlocuire.

Exemplul 1. Calculează limitele:

${\lim_{x\to\pi/4}\operatorname{tg} x}={\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}={1},$   ${\lim_{x\to\pi}x\cos x}={\pi\cos\pi}={-\pi},$   ${\lim_{x\to0}\cos(x^2+x)}={\cos0}={1}.$

În ultima limită am folosit teorema funcțiilor compuse: ${\cos(x^2+x)}$ este o funcție continuă de funcția continuă ${x^2+x}.$

Calculul limitelor prin încadrare

Să considerăm acum limitele ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}}$ și ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}}.$ Aici înlocuirea nu ajută: în ${x=0}$ cele două fracții devin ${\frac{0}{0}}.$ Când $x$ tinde la $0,$ numărătorul tinde la $0,$ ceea ce împinge fracția spre $0,$ în timp ce numitorul tinde și el la $0,$ ceea ce face fracția să crească. Care dintre cele două efecte câștigă? Nu există niciun factor comun care să se poată simplifica algebric, așa cum făceam la funcțiile raționale. Graficele sugerează răspunsurile $1$ și $0\text{:}$

Pentru a demonstra limite ca acestea folosim următoarea teoremă.

Teorema cleștelui (a încadrării). Fie $f,$ $g$ și $h$ funcții astfel încât ${g(x)\le f(x)\le h(x)}$ pentru orice $x$ dintr-un interval deschis care conține punctul $c,$ cu excepția, poate, a lui $c.$ însuși. Dacă ${\lim_{x\to c}g(x)}={\lim_{x\to c}h(x)}={L},$ atunci și ${\lim_{x\to c}f(x)=L}.$

Funcția $f$ este prinsă între $g$ și $h,$ iar cele două tind la același număr $L,$ așa că $f$ nu are încotro: tinde și ea la $L.$

Exemplul 2. Folosește teorema cleștelui ca să calculezi ${\lim_{x\to0}x^2\sin^2\frac{1}{x}}.$

Nu putem folosi proprietatea produsului, pentru că ${\lim_{x\to0}\sin^2\frac{1}{x}}$ nu există (funcția oscilează între $0$ și $1$). Dar pentru orice ${x\ne0}$ are loc ${-1\le\sin\frac{1}{x}\le1},$ deci ${0\le\sin^2\frac{1}{x}\le1}.$ Înmulțind cu ${x^2\ge0}$ obținem

${0}\le{x^2\sin^2\frac{1}{x}}\le{x^2}.$

Cum ${\lim_{x\to0}0=\lim_{x\to0}x^2=0},$ teorema cleștelui dă ${\lim_{x\to0}x^2\sin^2\frac{1}{x}=0}.$

Aceeași idee permite justificarea riguroasă a limitelor sinusului și cosinusului în $0\text{:}$ segmentul de la $P$ la axa $x,$ de lungime ${|\sin x|},$ este mai scurt decât arcul $BP,$ de lungime $|x|,$ deci ${-|x|\le\sin x\le|x|},$ iar teorema cleștelui dă ${\lim_{x\to0}\sin x=0}.$

Limita lui sin x / x

Demonstrația folosește aria unui sector de cerc. Un sector de unghi $\theta$ (în radiani) este fracțiunea ${\frac{\theta}{2\pi}}$ din discul întreg, a cărui arie este ${\pi r^2},$ deci aria lui este

${A}={\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2}={\frac{1}{2}r^2\theta}.$

Teoremă. ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}.$

Demonstrație. Presupunem mai întâi că ${0\lt x\lt\frac{\pi}{2}}.$ Pe cercul unitate luăm punctele $O(0,\,0),$ $B(1,\,0),$ ${P(\cos x,\,\sin x)}$ și ${Q(1,\,\operatorname{tg} x)},$ punctul în care semidreapta $OP$ taie dreapta verticală care trece prin $B$ (această dreaptă este tangentă la cerc în $B;$ în triunghiul dreptunghic $OBQ$ avem ${BQ=OB\cdot\operatorname{tg} x=\operatorname{tg} x}$). Triunghiul $OBP$ este cuprins în sectorul $OBP,$ care la rândul lui este cuprins în triunghiul $OBQ\text{:}$

Ariile lor sunt (baza este ${OB=1};$ înălțimile triunghiurilor sunt $\sin x$ și ${BQ=\operatorname{tg} x}$):

${A_{\triangle OBP}}={\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sin x}={\frac{1}{2}\sin x},$   ${A_{\text{sector}}}={\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot x}={\frac{1}{2}x},$   ${A_{\triangle OBQ}}={\frac{1}{2}\cdot1\cdot\operatorname{tg} x}={\frac{1}{2}\operatorname{tg} x},$

deci

${0}\lt{\frac{1}{2}\sin x}\lt{\frac{1}{2}x}\lt{{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x}.}$

Împărțind la numărul pozitiv ${\frac{1}{2}\sin x}$ obținem ${1\lt\frac{x}{\sin x}\lt\frac{1}{\cos x}},$ iar trecând la inverse (ceea ce schimbă sensul inegalităților) obținem

${\cos x}\lt{\frac{\sin x}{x}}\lt{1}.$

Dacă ${-\frac{\pi}{2}\lt x\lt0},$ atunci ${0\lt-x\lt\frac{\pi}{2}},$ deci inegalitatea tocmai demonstrată are loc pentru $-x\text{:}$ ${\cos(-x)}\lt{\frac{\sin(-x)}{-x}}\lt{1}.$ Cum ${\cos(-x)=\cos x}$ și ${\frac{\sin(-x)}{-x}}={\frac{-\sin x}{-x}}={{\frac{\sin x}{x}},}$ se obține din nou ${\cos x\lt\frac{\sin x}{x}\lt1}.$ Prin urmare, inegalitatea are loc pentru orice $x$ cu ${0\lt|x|\lt\frac{\pi}{2}}.$ În sfârșit, ${\lim_{x\to0}\cos x=1}$ și ${\lim_{x\to0}1=1},$ deci, prin teorema cleștelui,

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Reține că aceasta este valabilă pentru $x$ în radiani: formula ariei ${\frac{1}{2}r^2\theta}$ este adevărată numai pentru un unghi măsurat în radiani.

Limita lui (1 − cos x) / x

Teoremă. ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0}.$

Demonstrație. Înmulțim numărătorul și numitorul cu ${1+\cos x}$ și folosim faptul că ${1-\cos^2x=\sin^2x}\text{:}$

${\frac{1-\cos x}{x}}={\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)}}={\frac{\sin^2x}{x(1+\cos x)}}={{\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x}}.}$

Când ${x\to0},$ primul factor tinde la $1$ iar al doilea tinde la ${\frac{0}{1+1}=0},$ deci limita este ${1\cdot0=0}.$

Folosirea celor două limite

Exemplul 3. Calculează ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}}={\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\right)}={1\cdot1}={{1}.}$

Exemplul 4. Calculează ${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}}.$

Scriem fracția astfel încât argumentul sinusului să apară și la numitor și notăm ${t=3x}$ (${t\to0}$ când ${x\to0}$):

${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}}={\lim_{x\to0}3\cdot\frac{\sin3x}{3x}}={3\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}}={{3}.}$

Exemplul 5. Calculează ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}.$

Ca în demonstrația anterioară, înmulțim cu ${1+\cos x}\text{:}$

${\frac{1-\cos x}{x^2}}={\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}}={{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}},}$

care tinde la ${1^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}.$

Probleme pentru exersat

1. Calculează ${\lim_{x\to\pi/6}(\sin x+\cos2x)}.$

Răspuns

Ambele funcții sunt continue: ${\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}}={\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}={{1}.}$

2. Unde este continuă ${f(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{x}}?$

Răspuns

În orice $x$ cu excepția lui ${x=0}$ (numitorul este egal cu $0$) și a lui ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$ (tangenta nu este definită). Discontinuitatea în $0$ este înlăturabilă: acolo limita este $1$ (exemplul 3).

3. Calculează ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}}.$

Răspuns

${5\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}=5}.$

4. Calculează ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}2x}{x}}.$

Răspuns

${\frac{\operatorname{tg}2x}{x}}={{2\cdot\frac{\sin2x}{2x}\cdot\frac{1}{\cos2x}},}$ care tinde la ${2\cdot1\cdot1=2}.$

5. Calculează ${\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin3x}}.$

Răspuns

${\frac{\sin2x}{\sin3x}}={{\frac{\sin2x}{2x}\cdot\frac{3x}{\sin3x}\cdot\frac{2}{3}},}$ care tinde la ${1\cdot1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}}.$

6. Calculează ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}}.$

Răspuns

Cum ${1-\cos2x=2\sin^2x},$ fracția este ${2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2},$ care tinde la $2.$

7. Folosește teorema cleștelui ca să calculezi ${\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}}.$

Răspuns

Cum ${\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\le|x|},$ are loc ${-|x|\le x\sin\frac{1}{x}\le|x|}.$ Atât ${-|x|}$ cât și $|x|$ tind la $0,$ deci limita este $0.$

8. Calculează ${\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}}.$

Răspuns

Pentru ${x\gt0}\text{:}$ ${-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}},$ iar cele două margini tind la $0.$ Prin teorema cleștelui (care este valabilă și când ${x\to+\infty}$), limita este $0.$

Lecția anterioară: Proprietățile funcțiilor continue. Vezi și Limite (introducere intuitivă), unde limita ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$ a fost estimată prima dată cu ajutorul unui tabel.