Rapoarte și proporții

Un raport compară două cantități printr-o împărțire: arată de câte ori o cantitate o conține pe cealaltă. O proporție este o egalitate între două rapoarte. Rapoartele și proporțiile sunt peste tot: în rețete, pe hărți și planuri, la prețuri, la viteze și la amestecuri, și sunt cheia multor probleme.

Pe această pagină: Raportul · Simplificarea rapoartelor · Împărțirea proporțională · Raportul compus și raportul pătratelor · Proporția · Proprietatea fundamentală · Media proporțională, a treia și a patra proporțională · Proporția continuă · Proprietățile proporțiilor · Proporționalitatea directă și inversă · Probleme rezolvate · Exerciții

Ce este un raport?

Raportul dintre $a$ și $b$ se scrie ${a:b}$ și se citește „$a$ față de $b$”. Valoarea lui este câtul ${a\div b}$, de aceea un raport se poate scrie și ca fracție, $\frac{a}{b}$. Cele două numere sunt termenii raportului: primul, $a$, se numește antecedent, iar al doilea, $b$, se numește consecvent.

Exemplu. O pungă are 6 bile albastre și 4 bile portocalii.

Cele 10 bile formează două grupe egale, fiecare cu 3 bile albastre și 2 portocalii.

• Raportul dintre bilele albastre și cele portocalii este ${6:4}$, care se simplifică la ${3:2}$: la fiecare 3 bile albastre sunt 2 portocalii.
• Raportul dintre bilele portocalii și cele albastre este ${4:6=2:3}$. Ordinea contează: ${2:3}$ nu este același lucru cu ${3:2}$.
• Raportul dintre bilele albastre și numărul total de bile este ${6:10=3:5}$.

Primele două compară o parte cu altă parte. Ultimul compară o parte cu întregul și este același lucru cu o fracție din total: $\frac{3}{5}$, adică 60%, dintre bile sunt albastre.

Exemplu. Care este raportul dintre 50 cm și 2 m? Mai întâi transformă ambele lungimi în centimetri: 2 m înseamnă 200 cm. Atunci

${{50:200}={1:4}}$

A doua lungime este de 4 ori prima. Răspunsul ${50:2}$ ar fi greșit.

Rapoarte echivalente și simplificare

Un raport este în forma cea mai simplă când termenii lui sunt numere întregi fără niciun divizor comun în afară de 1. Ca să simplifici un raport de numere întregi, împarte ambii termeni la cel mai mare divizor comun al lor, ca la simplificarea unei fracții.

Exemplul 1. Simplifică ${12:18}$. Cel mai mare divizor comun al lui 12 și 18 este 6:

${12:18}={(12\div 6):(18\div 6)}={2:3}$

Exemplul 2. Dacă termenii sunt fracții, înmulțește ambii termeni cu cel mai mic numitor comun. Ca să simplifici ${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}$, înmulțește cu 6:

${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right):\left(\frac{2}{3}\cdot 6\right)}={3:4}$

Exemplul 3. Dacă termenii sunt numere zecimale, înmulțește cu 10, 100, … până când ambii termeni devin numere întregi:

${0{,}4:1{,}2}={4:12}={1:3}$

Exemplul 4. Simplifică raportul dintre 45 de minute și 2 ore. 2 ore înseamnă 120 de minute:

${{45:120}={3:8}}$

Compararea rapoartelor

Ca să compari două rapoarte, compară valorile lor. Înmulțirea pe diagonală este de obicei cea mai rapidă: pentru numere pozitive, ${a:b}$ este mai mare decât ${c:d}$ exact atunci când ${ad\gt bc}$.

Exemplu. Care raport este mai mare, ${11:9}$ sau ${44:35}$?

${{11\cdot 35}={385}}$ și ${{9\cdot 44}={396}}$

Cum ${385\lt 396}$, raportul ${44:35}$ este mai mare. Verifică cu zecimale: ${{11\div 9}\approx{1{,}222}}$ și ${{44\div 35}\approx{1{,}257}}$.

Adunarea aceluiași număr la ambii termeni schimbă raportul. ${2:3}$ și ${(2+1):(3+1)}$, care este ${3:4}$, nu sunt egale, deoarece $\frac{2}{3}$ este aproximativ ${0{,}67}$, iar $\frac{3}{4}$ este ${0{,}75}$. Doar înmulțirea sau împărțirea ambilor termeni dă un raport echivalent. De fapt, dacă adaugi același număr pozitiv la ambii termeni, valoarea raportului se apropie întotdeauna de 1: ${5:3}$ este aproximativ ${1{,}67}$, dar ${(5+1):(3+1)}$, care este ${6:4}$, valorează ${1{,}5}$.

Rapoarte între trei sau mai multe cantități

Un raport poate compara mai mult de două cantități. Betonul, de exemplu, se poate prepara din ciment, nisip și pietriș în raportul ${1:2:4}$: 1 găleată de ciment la 2 găleți de nisip și 4 de pietriș. Regulile sunt aceleași: toți termenii se pot înmulți sau împărți cu același număr, deci ${2:4:8}$ este același raport cu ${1:2:4}$.

Exemplu. ${a:b=2:3}$ și ${b:c=4:5}$. Calculează ${a:b:c}$.

Rezolvare: Cele două rapoarte folosesc numere diferite pentru $b$: 3 și 4. Trebuie să le egalăm: cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 4 este 12, deci înmulțește primul raport cu 4 și al doilea cu 3:

${a:b=8:12}$ și ${b:c=12:15}$, deci ${{a:b:c}={8:12:15}}$

Împărțirea unei cantități într-un raport dat

Exemplul 1. Ana și Beto își împart $\$60$ în raportul ${2:3}$. Cât primește fiecare?

Rezolvare: Sunt ${{2+3}=5}$ părți egale, iar o parte valorează ${{60\div 5}={\$12}}$. Ana primește ${{2\cdot 12}={\$24}}$, iar Beto ${{3\cdot 12}={\$36}}$.

$\$60$ înseamnă 5 părți egale de câte $\$12$. Ana primește 2 părți, iar Beto 3.

Verificare: ${{24+36}=60}$ ✓ și ${24:36=2:3}$ ✓

Exemplul 2. Câtă cantitate de ciment, nisip și pietriș este necesară pentru 350 kg de amestec uscat de beton în raportul ${1:2:4}$?

Rezolvare: Sunt ${{1+2+4}=7}$ părți, iar o parte are ${{350\div 7}=50}$ kg. Sunt necesare 50 kg de ciment, ${{2\cdot 50}=100}$ kg de nisip și ${{4\cdot 50}=200}$ kg de pietriș.

Exemplul 3. Într-o clasă, raportul dintre băieți și fete este ${4:5}$, iar băieții sunt 12. Câte fete sunt?

Rezolvare: Băieții sunt 4 părți, deci o parte înseamnă ${{12\div 4}=3}$ elevi. Fetele sunt 5 părți: ${{5\cdot 3}=15}$ fete. Toată clasa înseamnă ${{4+5}=9}$ părți, adică ${{9\cdot 3}=27}$ elevi.

Raportul compus, raportul pătratelor și raportul invers

Două sau mai multe rapoarte se pot înmulți. Rezultatul se numește raport compus: produsul antecedenților este față de produsul consecvenților. Ridicarea unui raport la pătrat sau la cub, extragerea unei rădăcini din el sau inversarea lui dau, de asemenea, rapoarte cu nume proprii:

Denumirea	Raportul	Exemplu
Raportul compus al lui ${a:b}$ și ${c:d}$	${ac:bd}$	al lui ${2:3}$ și ${4:5}$ este ${8:15}$
Raportul pătratelor lui ${a:b}$ (raport dublat)	${a^2:b^2}$	al lui ${2:3}$ este ${4:9}$
Raportul cuburilor lui ${a:b}$ (raport triplat)	${a^3:b^3}$	al lui ${2:3}$ este ${8:27}$
Raportul rădăcinilor pătrate ale lui ${a:b}$	${\sqrt{a}:\sqrt{b}}$	al lui ${4:9}$ este ${2:3}$
Raportul rădăcinilor cubice ale lui ${a:b}$	${\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}}$	al lui ${8:27}$ este ${2:3}$
Raportul invers (reciproc) al lui ${a:b}$	${b:a}$, care este egal cu ${\frac{1}{a}:\frac{1}{b}}$	al lui ${2:3}$ este ${3:2}$

Exemplu. Află raportul compus al lui ${2:3}$, al raportului pătratelor lui ${3:4}$ și al raportului rădăcinilor pătrate ale lui ${64:9}$.

Rezolvare: Raportul pătratelor lui ${3:4}$ este ${9:16}$, iar raportul rădăcinilor pătrate ale lui ${64:9}$ este ${8:3}$. Înmulțește antecedenții și consecvenții:

${(2\cdot 9\cdot 8):(3\cdot 16\cdot 3)}={144:144}={1:1}$

Raportul pătratelor nu este dublul raportului. Raportul pătratelor lui ${3:1}$ este ${9:1}$, pătratul raportului, în timp ce dublul raportului este ${6:1}$. La fel, raportul cuburilor lui ${3:1}$ este ${27:1}$, nu ${9:1}$.

Când consecventul fiecărui raport este antecedentul următorului, termenii intermediari se simplifică. Raportul compus al lui ${a:b}$, ${b:c}$ și ${c:d}$ este ${a:d}$, deoarece

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}$$

Acest lucru se folosește mai jos, la proporțiile continue.

Ce este o proporție?

O proporție este o egalitate între două rapoarte:

$$a:b=c:d\qquad\text{o}\qquad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Se citește „$a$ este la $b$ ca $c$ la $d$”. Numerele $a$, $b$, $c$ și $d$ sunt termenii proporției: $a$ și $d$ sunt extremii, iar $b$ și $c$ sunt mezii. Se spune că patru numere care formează o proporție sunt proporționale.

Extremii sunt termenii de la margine, iar mezii, cei dinăuntru.

Exemplu. Formează numerele 12, 8, 15 și 10 o proporție? Valorile celor două rapoarte sunt ${{12\div 8}={1{,}5}}$ și ${{15\div 10}={1{,}5}}$. Sunt egale, deci ${12:8=15:10}$ este o proporție.

În limbajul de zi cu zi, „proporție” înseamnă adesea o parte, ca în „o mare proporție dintre elevi”. În matematică, o proporție este întotdeauna o egalitate între două rapoarte.

Proprietatea fundamentală a proporțiilor

Ca să vezi de ce, înmulțește ambele părți ale lui ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ cu $bd$:

${{\frac{a}{b}\cdot bd}={\frac{c}{d}\cdot bd}}$, care se simplifică la ${ad=bc}$.

De aceea această regulă se mai numește înmulțire pe diagonală: cele două produse sunt pe diagonală, de la un colț la altul. Ajută la verificarea rapidă a unei proporții:

${12:8=15:10}$ este o proporție, deoarece ${{12\cdot 10}={120}}$ și ${{8\cdot 15}={120}}$.

${3:4}$ și ${5:7}$ nu formează o proporție: ${{3\cdot 7}={21}}$, dar ${{4\cdot 5}={20}}$.

Merge și invers: dacă ${ad=bc}$, cele patru numere formează o proporție. Factorii dintr-o parte a egalității devin extremii, iar cei din cealaltă parte, mezii. De exemplu, ${3\cdot 8=4\cdot 6}$ dă proporțiile ${3:4=6:8}$ și ${3:6=4:8}$.

Cum rezolvi o proporție

Dacă un termen al unei proporții este necunoscut, înmulțește pe diagonală și rezolvă ecuația.

Exemplul 1. Rezolvă ${x:12=5:4}$.

${4x}={12\cdot 5}={60}$, deci ${x=15}$

Verificare: ${{15\div 12}={1{,}25}}$ și ${{5\div 4}={1{,}25}}$ ✓

Exemplul 2. Rezolvă ${\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={3(x-1)}}$

${{2x+4}={3x-3}}$, deci ${x=7}$

Verificare: ${{\frac{7+2}{3}}={3}}$ și ${{\frac{7-1}{2}}={3}}$ ✓

Dacă scoți fiecare literă din ${ad=bc}$, vezi cum se află orice termen din ceilalți trei. Un extrem este egal cu produsul mezilor împărțit la celălalt extrem, iar un mez este egal cu produsul extremilor împărțit la celălalt mez:

$$a=\frac{bc}{d}\qquad d=\frac{bc}{a}$$ $$b=\frac{ad}{c}\qquad c=\frac{ad}{b}$$

A patra proporțională, a treia proporțională și media proporțională

A patra proporțională a numerelor $a$, $b$ și $c$ este numărul $x$ astfel încât ${a:b=c:x}$. Înmulțind pe diagonală rămâne ${ax=bc}$, deci

$$x=\frac{bc}{a}$$

Exemplu. A patra proporțională a numerelor 4, 6 și 10 este ${{\frac{6\cdot 10}{4}}={15}}$, deoarece ${4:6=10:15}$.

Pe aceasta se bazează regula de trei simplă: din trei numere cunoscute se află al patrulea înmulțind al doilea cu al treilea și împărțind la primul.

A treia proporțională a numerelor $a$ și $b$ este numărul $x$ astfel încât ${a:b=b:x}$. Atunci ${ax=b^2}$, deci

$$x=\frac{b^2}{a}$$

Exemplu. A treia proporțională a numerelor 4 și 6 este ${{\frac{6^2}{4}}={9}}$, deoarece ${4:6=6:9}$.

Media proporțională a două numere pozitive $a$ și $b$ este numărul pozitiv $x$ astfel încât ${a:x=x:b}$. Atunci ${x^2=ab}$, deci

$$x=\sqrt{ab}$$

Media proporțională se mai numește și medie geometrică a numerelor $a$ și $b$.

Exemplu. Media proporțională a numerelor 2 și 18 este ${\sqrt{2\cdot 18}}={\sqrt{36}}={6}$, deoarece ${2:6=6:18}$.

În proporția ${4:6=6:9}$, numărul 6 este media proporțională a lui 4 și 9, iar 9 este a treia proporțională a lui 4 și 6.

Proporția continuă

Trei sau mai multe numere formează o proporție continuă când raportul dintre fiecare număr și următorul este mereu același:

$$a:b=b:c=c:d=\ldots$$

De exemplu, 64, 32, 16, 8 și 4 formează o proporție continuă, deoarece ${64:32}$, ${32:16}$, ${16:8}$ și ${8:4}$ valorează 2. Fiecare număr este cel dinainte înmulțit cu același număr, aici cu $\frac{1}{2}$, deci numerele unei proporții continue formează o progresie geometrică.

Exemplul 1. Formează 4, 10 și 25 o proporție continuă? ${{10^2}={100}}$ și ${{4\cdot 25}={100}}$, deci da: ${4:10=10:25}$.

Primul număr și ultimul

Dacă $a$, $b$, $c$ formează o proporție continuă, atunci ${{\frac{a}{c}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}}}$, iar cei doi factori sunt egali cu $\frac{a}{b}$. Prin urmare

$$a:c=a^2:b^2$$

Adică primul număr este față de al treilea în raportul pătratelor primului față de al doilea. Cu patru numere în proporție continuă, ${a:d=a^3:b^3}$, și tot așa mai departe: raportul dintre primul număr și ultimul este raportul comun ridicat la o putere cu o unitate mai mică decât numărul de numere. În 64, 32, 16, 8, 4 raportul comun este 2 și sunt 5 numere, deci ${64:4}$ valorează ${2^4=16}$.

Exemplul 2. Numerele 2, $x$, $y$, 54 formează o proporție continuă. Află $x$ și $y$.

Rezolvare: Fiecare număr este cel dinainte înmulțit cu același număr $q$, deci ${2q^3=54}$. Atunci ${q^3=27}$ și ${q=3}$: numerele sunt 2, 6, 18 și 54, deci ${x=6}$ și ${y=18}$.

Proprietățile proporțiilor

O proporție se poate rearanja sau combina în multe feluri și rămâne tot o proporție. În tabel, ${a:b=c:d}$ și niciun termen nu este zero. Fiecare exemplu pornește de la ${12:4=6:2}$, în care cele două rapoarte valorează 3.

Proprietatea	Regula	Exemplu
Schimbarea mezilor între ei	${{a:c}={b:d}}$	${{12:6}={4:2}}$
Schimbarea extremilor între ei	${{d:b}={c:a}}$	${{2:4}={6:12}}$
Inversarea rapoartelor	${{b:a}={d:c}}$	${{4:12}={2:6}}$
Compunere	${{(a+b):b}={(c+d):d}}$	${{16:4}={8:2}}$
Descompunere	${{(a-b):b}={(c-d):d}}$	${{8:4}={4:2}}$
Compunere și descompunere	${(a+b):(a-b)}={(c+d):(c-d)}$	${{16:8}={8:4}}$
Conversiune	${{a:(a-b)}={c:(c-d)}}$	${{12:8}={6:4}}$
Suma antecedenților și a consecvenților	${{(a+c):(b+d)}={a:b}}$	${{18:6}={12:4}}$
Înmulțirea antecedenților (sau a consecvenților) cu același număr	${{ka:b}={kc:d}}$	${{24:4}={12:2}}$
Puteri și rădăcini	${{a^n:b^n}={c^n:d^n}}$	${{144:16}={36:4}}$
Înmulțirea proporțiilor	dacă în plus ${{e:f}={g:h}}$, atunci ${{ae:bf}={cg:dh}}$	cu ${{10:5}={8:4}}$: ${{120:20}={48:8}}$

Compunerea și descompunerea, precum și conversiunea, cer în plus ca ${a\ne b}$, pentru ca niciun termen să nu fie zero.

De ce sunt adevărate aceste reguli? Notează cu $k$ valoarea comună a celor două rapoarte: ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k}$. Atunci ${a=bk}$ și ${c=dk}$. Înlocuiește aceste expresii în ambele părți ale unei reguli. Pentru compunere și descompunere:

${\frac{a+b}{a-b}}={\frac{bk+b}{bk-b}}={\frac{k+1}{k-1}}$

${\frac{c+d}{c-d}}={\frac{dk+d}{dk-d}}={\frac{k+1}{k-1}}$

Cele două părți au aceeași valoare, deci sunt egale. Această înlocuire, numită adesea metoda constantei $k$, demonstrează și celelalte reguli și rezolvă multe probleme de tipul „demonstrează că”.

Exemplu. Dacă ${\frac{a+b}{a-b}=\frac{7}{3}}$, află ${a:b}$.

Rezolvare: Prin compunere și descompunere,

${\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}}={\frac{7+3}{7-3}}$

${{\frac{2a}{2b}}={\frac{10}{4}}}$, deci ${a:b=5:2}$

Verificare: cu ${a=5}$ și ${b=2}$, ${{\frac{5+2}{5-2}}={\frac{7}{3}}}$ ✓

Proporționalitatea directă și inversă

Două mărimi care se schimbă împreună sunt direct proporționale dacă raportul lor rămâne mereu același: când una se dublează, se dublează și cealaltă, iar când una se împarte la 3, se împarte la 3 și cealaltă. Dacă $y$ este direct proporțional cu $x$, atunci

$$\frac{y}{x}=k\qquad\text{o}\qquad y=kx$$

Numărul fix $k$ se numește coeficient de proporționalitate.

Două mărimi sunt invers proporționale dacă produsul lor rămâne mereu același: când una se dublează, cealaltă se reduce la jumătate. Atunci

$$xy=k\qquad\text{o}\qquad y=\frac{k}{x}$$

Proporționalitatea directă este o dreaptă care trece prin origine. Proporționalitatea inversă este o curbă numită hiperbolă.

	Proporționalitate directă	Proporționalitate inversă
Dacă $x$ se dublează	$y$ se dublează	$y$ se reduce la jumătate
Ce rămâne neschimbat	raportul $\frac{y}{x}$	produsul $xy$
Formula	${y=kx}$	${y=\frac{k}{x}}$
Două perechi de valori	${{x_1:x_2}={y_1:y_2}}$	${{x_1:x_2}={y_2:y_1}}$
Exemple	numărul de obiecte și prețul lor total; timpul și distanța la viteză constantă	numărul de muncitori și timpul în care se face o lucrare; viteza și timpul pentru o distanță fixă

Exemplul 1. 3 kg de mere costă $\$7{,}50$. Cât costă 5 kg?

Rezolvare: Prețul este direct proporțional cu greutatea. Cu metoda reducerii la unitate, află mai întâi prețul a 1 kg: ${{7{,}50\div 3}={\$2{,}50}}$. Atunci 5 kg costă ${{5\cdot 2{,}50}={\$12{,}50}}$. Cu o proporție, adică cu o regulă de trei simplă directă, raportul greutăților este egal cu raportul prețurilor:

${3:5=7{,}50:x}$, deci ${{3x}={37{,}50}}$ și ${{x}={\$12{,}50}}$

Exemplul 2. 6 muncitori vopsesc un gard în 10 ore. În cât timp l-ar vopsi 4 muncitori, dacă toți lucrează în același ritm?

Rezolvare: Mai puțini muncitori au nevoie de mai mult timp. Numărul de muncitori și timpul sunt invers proporționale, deci produsul lor rămâne același. Lucrarea cere ${{6\cdot 10}=60}$ ore de muncă ale unei singure persoane, iar 4 muncitori au nevoie de ${{60\div 4}=15}$ ore. Cu o proporție, adică cu o regulă de trei simplă inversă, raportul numerelor de muncitori este egal cu raportul invers al timpilor:

${6:4=x:10}$, deci ${{4x}={60}}$ și ${x=15}$ ore

Exemplul 3. Cu 60 km/h o călătorie durează 3 ore. Cât durează cu 90 km/h? Distanța este ${{60\cdot 3}=180}$ km, deci cu 90 km/h călătoria durează ${{180\div 90}=2}$ ore.

Nu tot ce crește odată este proporțional. O cursă cu taxiul costă o taxă fixă de $\$3$ plus $\$2$ pe kilometru. Atunci 1 km costă $\$5$, iar 2 km costă $\$7$, nu $\$10$. Prețul crește cu distanța, dar nu este direct proporțional cu ea, deoarece taxa fixă nu se schimbă: ${5:1}$ nu este egal cu ${7:2}$.

Probleme rezolvate

Problema 1. Împarte 49 în două părți astfel încât cea mare, mărită cu 6, să fie față de cea mică, micșorată cu 11, ca 9 față de 2.

Rezolvare: Fie $x$ partea mare. Atunci cea mică este ${49-x}$, iar micșorată cu 11 este ${38-x}$:

${{(x+6):(38-x)}={9:2}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, deci ${11x=330}$ și ${x=30}$

Părțile sunt 30 și 19. Verificare: ${36:8=9:2}$ ✓

Problema 2. Ce număr trebuie adăugat la 1, la 5 și la 13 ca cele trei sume să formeze o proporție continuă?

Rezolvare: Fie $x$ numărul. Sumele ${x+1}$, ${x+5}$ și ${x+13}$ formează o proporție continuă când pătratul celei din mijloc este egal cu produsul celorlalte două:

${(x+5)^2}={(x+1)(x+13)}$

${x^2+10x+25}={x^2+14x+13}$, deci ${4x=12}$ și ${x=3}$

Sumele sunt 4, 8 și 16, iar ${4:8=8:16}$ ✓

Problema 3. Împarte 18 în două părți ale căror pătrate sunt în raportul ${25:16}$.

Rezolvare: Dacă pătratele părților sunt în raportul ${25:16}$, părțile sunt în raportul rădăcinilor pătrate, ${{\sqrt{25}:\sqrt{16}}={5:4}}$. Împărțind 18 în raportul ${5:4}$ ies 9 părți de câte 2, deci părțile sunt 10 și 8.

Verificare: ${100:64=25:16}$ ✓

Problema 4. Numărul 20 se împarte în două părți care sunt în raportul pătratelor lui ${3:1}$. Află media proporțională a celor două părți.

Rezolvare: Raportul pătratelor lui ${3:1}$ este ${9:1}$. Împărțind 20 în raportul ${9:1}$ ies 10 părți de câte 2, deci părțile sunt 18 și 2. Media lor proporțională este

${\sqrt{18\cdot 2}}={\sqrt{36}}={6}$

Problema 5. Două numere sunt în raportul ${3:2}$. Dacă la cel mare se adaugă 6 și din cel mic se scade 6, rezultatele sunt în raportul ${3:1}$. Află numerele.

Rezolvare: Scrie numerele ca $3k$ și $2k$:

${(3k+6):(2k-6)}={3:1}$

${3k+6}={3(2k-6)}={6k-18}$, deci ${3k=24}$ și ${k=8}$

Numerele sunt 24 și 16. Verificare: ${30:10=3:1}$ ✓

Problema 6. Două numere pozitive sunt în raportul pătratelor lui ${4:3}$, iar 24 este media lor proporțională. Află numerele.

Rezolvare: Raportul pătratelor lui ${4:3}$ este ${16:9}$, deci scrie numerele ca $16k$ și $9k$, cu ${k\gt 0}$. Produsul lor este pătratul mediei proporționale:

${{16k\cdot 9k}={24^2}}$, deci ${144k^2=576}$, ${k^2=4}$ și ${k=2}$

Numerele sunt 32 și 18. Verificare: ${32:24}$ și ${24:18}$ valorează amândouă $\frac{4}{3}$ ✓

Problema 7. Produsul a două numere este 135, iar diferența pătratelor lor este față de pătratul diferenței lor ca 4 față de 1. Află numerele.

Rezolvare: Notează numerele cu $a$ și $b$. Deoarece ${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$, condiția spune că

${\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}}={\frac{a+b}{a-b}}={\frac{4}{1}}$

Prin compunere și descompunere, ${{\frac{2a}{2b}}={\frac{4+1}{4-1}}}$, deci ${a:b=5:3}$. Scrie ${a=5k}$ și ${b=3k}$:

${{5k\cdot 3k}={135}}$, deci ${k^2=9}$ și ${k=\pm 3}$

Numerele sunt 15 și 9, sau −15 și −9. Verificare: ${{15\cdot 9}={135}}$ și ${(225-81):36}={144:36}={4:1}$ ✓

Problema 8. Rezolvă ${\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}}=3}$.

Rezolvare: Scrie 3 ca $\frac{3}{1}$ și aplică compunerea și descompunerea. Suma și diferența celor două radicali devin radicali de sine stătători:

${\frac{2\sqrt{x+5}}{2\sqrt{x-5}}}={\frac{3+1}{3-1}}={2}$

${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, deci ${{x+5}={4(x-5)}}$, ${3x=25}$ și ${x=\frac{25}{3}}$

Verificare: ${{x+5}={\frac{40}{3}}}$ este de 4 ori ${{x-5}={\frac{10}{3}}}$, deci ${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, iar partea stângă valorează ${{\frac{2+1}{2-1}}={3}}$ ✓

Exerciții

Rezolvă fiecare problemă, apoi deschide-o ca să-ți verifici răspunsul.

1. Simplifică ${24:36}$.

Cel mai mare divizor comun este 12: ${{24:36}={2:3}}$

2. Simplifică ${\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}$.

Înmulțește ambii termeni cu 12: ${{\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}={9:10}}$

3. Care raport este mai mare, ${7:9}$ sau ${10:13}$?

${{7\cdot 13}={91}}$ și ${{9\cdot 10}={90}}$. Cum ${91\gt 90}$, raportul ${7:9}$ este mai mare.

4. Împarte $\$96$ în raportul ${3:5}$.

Sunt 8 părți de câte $\$12$: $\$36$ și $\$60$.

5. Două numere sunt în raportul ${5:3}$, iar diferența lor este 14. Află numerele.

Diferența înseamnă ${{5-3}=2}$ părți, deci o parte este 7. Numerele sunt 35 și 21.

6. ${a:b=3:4}$ și ${b:c=6:7}$. Află ${a:b:c}$.

Fă ca $b$ să valoreze 12 în ambele rapoarte: ${a:b=9:12}$ și ${b:c=12:14}$, deci ${{a:b:c}={9:12:14}}$.

7. Rezolvă ${(x-1):6=5:3}$.

${{3(x-1)}={30}}$, deci ${x-1=10}$ și ${x=11}$.

8. Află a treia proporțională a numerelor 9 și 12 și media proporțională a numerelor 8 și 18.

A treia proporțională este ${{\frac{12^2}{9}}={16}}$, deoarece ${9:12=12:16}$. Media proporțională este ${{\sqrt{8\cdot 18}}={12}}$, deoarece ${8:12=12:18}$.

9. Află raportul compus al lui ${7:5}$, al raportului pătratelor lui ${4:9}$ și al raportului cuburilor lui ${3:2}$.

${(7\cdot 16\cdot 27):(5\cdot 81\cdot 8)}={3024:3240}={14:15}$

10. Dacă ${(a+2b):(a-2b)=9:5}$, află ${a:b}$.

Prin compunere și descompunere, ${{\frac{2a}{4b}}={\frac{14}{4}}}$, deci ${\frac{a}{b}=7}$ și ${a:b=7:1}$.

11. Dacă ${a:b=c:d}$, demonstrează că ${(a^2+b^2):(c^2+d^2)=ab:cd}$.

Pune ${a=bk}$ și ${c=dk}$. Partea stângă este ${\frac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}}={\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}}={\frac{b^2}{d^2}}$, iar partea dreaptă este ${\frac{bk\cdot b}{dk\cdot d}}={\frac{b^2}{d^2}}$. Cele două părți sunt egale.

12. O hartă are scara ${1:50\,000}$. Două sate sunt la ${7{,}4}$ cm pe hartă. La ce distanță se află în realitate?

${7{,}4\cdot 50\,000}={370\,000}$ cm, adică 3700 m, sau ${3{,}7}$ km.

13. 4 robinete umplu un rezervor în 9 ore. În cât timp îl umplu 6 robinete la fel?

Numărul de robinete și timpul sunt invers proporționale: ${{4\cdot 9}={36}}$ și ${{36\div 6}={6}}$ ore.

Mai multe exerciții, cu numere noi de fiecare dată (în engleză): ce proporție dă prețul?