Trigonometrie - sin, cos, tg, ctg

Calculator: sin, cos, tg și ctg ale unui unghi

Scrie un unghi în grade sau în radiani. La radiani poți scrie $\pi$ ca pi, de exemplu 5pi/6 sau -3pi/4; un număr simplu, ca 2, înseamnă $2$ radiani. Calculatorul află $\sin,$ $\cos,$ $\operatorname{tg}$ și $\operatorname{ctg}$ ale unghiului pas cu pas: valorile exacte când unghiul este multiplu de $15^\circ$ (adică de $\frac{\pi}{12}$), și valori zecimale pentru orice alt unghi.

Ce sunt funcțiile trigonometrice?

Poate că știi deja sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta într-un triunghi dreptunghic, unde sunt rapoarte între două laturi. Acolo unghiul este mereu între $0^\circ$ și $90^\circ.$ La algebră avem nevoie de ele pentru orice unghi, cum ar fi $150^\circ,$ $270^\circ,$ $-45^\circ$ sau $1000^\circ,$ și chiar pentru orice număr real. Cercul trigonometric permite să dăm o singură definiție, valabilă pentru toate unghiurile și care, pentru unghiurile ascuțite, coincide cu cea din triunghiul dreptunghic. Cele patru funcții $\sin,$ $\cos,$ $\operatorname{tg}$ și $\operatorname{ctg}$ se numesc funcții trigonometrice. Ele descriu rotațiile și tot ce se repetă periodic, cum sunt undele, sunetul și curentul alternativ.

În această pagină: Calculator · Cercul trigonometric · Radiani · Semne · Unghiuri uzuale · Identități · Unghiuri înrudite · Grafice · Formule · Probleme

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă pe cercul trigonometric

Cercul cu centrul în originea $O$ a sistemului de coordonate și de rază $1$ se numește cerc trigonometric (sau cercul unitate). Ecuația lui este ${x^2+y^2=1}.$

Așezăm un unghi $\alpha$ cu vârful în $O$ și latura inițială pe partea pozitivă a axei $x.$ Latura lui finală se obține rotind latura inițială: în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic) dacă unghiul este pozitiv și în sensul acelor de ceasornic dacă este negativ. Latura finală taie cercul trigonometric într-un singur punct $P.$

Pe scurt, punctul de pe cercul trigonometric aflat pe latura finală a lui $\alpha$ este $P(\cos\alpha,\sin\alpha)\text{:}$ cosinusul este abscisa lui, iar sinusul este ordonata lui. Un punct de pe cercul trigonometric nu se află niciodată la o distanță mai mare de $1$ de niciuna dintre axe, deci pentru orice unghi

$-1\le\sin\alpha\le1$ și $-1\le\cos\alpha\le1.$

Tangenta și cotangenta au și ele o interpretare geometrică. Dreapta $OP$ trece prin origine și are panta $\frac{y}{x}=\operatorname{tg}\alpha\text{:}$ tangenta unui unghi este panta laturii lui finale. Ecuația acestei drepte este ${y=x\operatorname{tg}\alpha},$ deci ea taie dreapta ${x=1}$ (dreapta tangentă la cercul trigonometric în ${A(1,0)}$) în punctul ${T(1,\operatorname{tg}\alpha)},$ și dreapta ${y=1}$ (dreapta tangentă în ${B(0,1)}$) în punctul ${C(\operatorname{ctg}\alpha,1)}.$ De aceea $\operatorname{tg}\alpha$ și $\operatorname{ctg}\alpha$ se pot citi pe aceste două drepte.

Când ${x=0},$ latura finală este pe axa $y$ și este paralelă cu dreapta ${x=1}\text{:}$ tangenta nu este definită (asta se întâmplă la ${90^\circ}$ și ${270^\circ}$). Când ${y=0},$ latura finală este pe axa $x\text{:}$ cotangenta nu este definită (la ${0^\circ}$ și ${180^\circ}$).

Exemplul 1. Află $\sin,$ $\cos,$ $\operatorname{tg}$ și $\operatorname{ctg}$ pentru $0^\circ,$ $90^\circ,$ $180^\circ$ și $270^\circ.$

Laturile finale ale acestor unghiuri sunt pe axe, deci punctele sunt cele în care axele taie cercul trigonometric.

• $0^\circ\text{:}$ punctul este $P(1,0),$ deci ${\cos0^\circ=1},$ ${\sin0^\circ=0},$ ${\operatorname{tg}0^\circ=\frac{0}{1}=0},$ iar $\operatorname{ctg}0^\circ$ nu este definită (nu se poate împărți la $0$).
• $90^\circ\text{:}$ punctul este $P(0,1),$ deci ${\cos90^\circ=0},$ ${\sin90^\circ=1},$ ${\operatorname{ctg}90^\circ=\frac{0}{1}=0},$ iar $\operatorname{tg}90^\circ$ nu este definită.
• $180^\circ\text{:}$ punctul este $P(-1,0),$ deci ${\cos180^\circ=-1},$ ${\sin180^\circ=0},$ ${\operatorname{tg}180^\circ=0},$ iar $\operatorname{ctg}180^\circ$ nu este definită.
• $270^\circ\text{:}$ punctul este $P(0,-\nobreak 1),$ deci ${\cos270^\circ=0},$ ${\sin270^\circ=-1},$ ${\operatorname{ctg}270^\circ=0},$ iar $\operatorname{tg}270^\circ$ nu este definită.

Orice punct de pe latura finală

Punctul nu trebuie să fie neapărat pe cercul trigonometric. Ia un punct oarecare $Q(x,y),$ diferit de $O,$ de pe latura finală a lui $\alpha,$ și fie ${r=\sqrt{x^2+y^2}}$ distanța lui până la $O.$ Punctul $P$ se află pe aceeași semidreaptă, la distanța $1$ de $O,$ deci, prin asemănarea triunghiurilor, coordonatele lui sunt cele ale lui $Q$ împărțite la $r\text{:}$ $P\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r}\right).$ Prin urmare

Dacă unghiul este ascuțit, $x$ și $y$ sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $r.$ Atunci formulele spun că sinusul este cateta opusă împărțită la ipotenuză, cosinusul este cateta alăturată împărțită la ipotenuză, tangenta este cateta opusă împărțită la cateta alăturată, iar cotangenta este cateta alăturată împărțită la cateta opusă. Sunt exact definițiile rapoartelor trigonometrice într-un triunghi dreptunghic.

Exemplul 2. Latura finală a unghiului $\alpha$ trece prin punctul $Q(-3,4).$ Află $\sin\alpha,$ $\cos\alpha,$ $\operatorname{tg}\alpha$ și $\operatorname{ctg}\alpha.$

Distanța până la origine este ${r}={\sqrt{(-3)^2+4^2}}={\sqrt{25}}={5.}$ Deci

$\sin\alpha=\frac{4}{5},$ $\cos\alpha=-\frac{3}{5},$ $\operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3},$ $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}.$

Uneori se folosesc și alte două funcții, mai ales în formule: secanta ${\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}}$ și cosecanta ${\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}}.$

Grade, radiani și unghiuri de orice măsură

Unghiurile se măsoară în grade sau în radiani. Un radian este unghiul al cărui arc pe cercul trigonometric are lungimea $1.$ Lungimea întregului cerc trigonometric este $2\pi,$ deci un tur complet este egal cu $360^\circ,$ sau cu $2\pi$ radiani, iar

$180^\circ=\pi$ rad și $1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ.$

Ca să treci din grade în radiani, înmulțește cu $\frac{\pi}{180^\circ};$ ca să treci din radiani în grade, înmulțește cu $\frac{180^\circ}{\pi}.$ Cele mai folosite unghiuri sunt

$30^\circ=\frac{\pi}{6},$ $45^\circ=\frac{\pi}{4},$ $60^\circ=\frac{\pi}{3},$ $90^\circ=\frac{\pi}{2},$ $180^\circ=\pi,$ $270^\circ=\frac{3\pi}{2},$ $360^\circ=2\pi.$

Un unghi scris fără simbolul gradului este în radiani: $\sin\frac{\pi}{6}$ este sinusul lui ${\frac{\pi}{6}=30^\circ},$ iar $\sin2$ este sinusul a $2$ radiani, adică aproximativ $114{,}6^\circ.$ Mai multe despre cele două unități găsești în lecția Măsurile unghiurilor.

Unghiuri mai mari de 360° și unghiuri negative

Când latura finală face încă un tur complet, ajunge în același loc. De aceea unghiurile $\alpha$ și ${\alpha+360^\circ\cdot k},$ unde $k$ este orice număr întreg, au aceeași latură finală, același punct $P$ și aceleași valori ale celor patru funcții:

Ca să afli valorile pentru un unghi mare sau negativ, adună sau scade ture complete până când unghiul ajunge între $0^\circ$ și $360^\circ.$

Exemplul 3.

• ${450^\circ=90^\circ+360^\circ},$ deci ${\sin450^\circ=\sin90^\circ=1};$
• ${720^\circ=0^\circ+2\cdot360^\circ},$ deci ${\cos720^\circ=\cos0^\circ=1};$
• ${-90^\circ=270^\circ-360^\circ},$ deci ${\cos(-90^\circ)=\cos270^\circ=0}$ și ${\sin(-90^\circ)}={\sin270^\circ}={-1.}$

Semnele lui sin, cos, tg și ctg în cadrane

Axele împart planul în patru cadrane, numerotate I, II, III și IV în sens trigonometric. Se spune că un unghi se află în cadranul în care este latura lui finală: de exemplu, unghiurile dintre $90^\circ$ și $180^\circ$ sunt în cadranul II. Un unghi a cărui latură finală este pe o axă, cum ar fi $0^\circ,$ $90^\circ,$ $180^\circ$ sau $270^\circ,$ nu se află în niciun cadran. Deoarece ${\cos\alpha=x}$ și ${\sin\alpha=y},$ semnele cosinusului și sinusului sunt semnele coordonatelor lui $P.$ Tangenta și cotangenta sunt pozitive când $x$ și $y$ au același semn și negative când au semne diferite.

În cadranul I toate cele patru funcții sunt pozitive; în cadranul II, doar sinusul; în cadranul III, doar tangenta și cotangenta; în cadranul IV, doar cosinusul. Cotangenta are mereu același semn ca tangenta.

Exemplul 4. Determină semnul lui $\sin200^\circ,$ $\cos300^\circ,$ $\operatorname{tg}100^\circ$ și $\operatorname{ctg}(-30^\circ)$ fără să le calculezi.

• $200^\circ$ se află în cadranul III, unde sinusul este negativ: ${\sin200^\circ\lt0}.$
• $300^\circ$ se află în cadranul IV, unde cosinusul este pozitiv: ${\cos300^\circ\gt0}.$
• $100^\circ$ se află în cadranul II, unde tangenta este negativă: ${\operatorname{tg}100^\circ\lt0}.$
• $-30^\circ$ are aceeași latură finală ca ${-30^\circ+360^\circ=330^\circ},$ care se află în cadranul IV: ${\operatorname{ctg}(-30^\circ)\lt0}.$

Valorile lui sin, cos, tg și ctg pentru unghiurile uzuale

Unghiurile de 30°, 45° și 60°

Unghiul de $45^\circ.$ Latura lui finală este pe dreapta ${y=x},$ deci cele două coordonate ale punctului $P$ sunt egale. Din ${x^2+y^2=1}$ obținem ${2x^2=1},$ de unde ${x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ (în cadranul I coordonatele sunt pozitive). Prin urmare, ${\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ și ${\operatorname{tg}45^\circ=\operatorname{ctg}45^\circ=1}.$ Aceleași numere sunt catetele jumătății unui pătrat cu diagonala $1.$

Unghiurile de $30^\circ$ și $60^\circ.$ Taie în două un triunghi echilateral cu latura $1$ de-a lungul uneia dintre înălțimile lui. Obținem un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $1$ și cu unghiuri de $30^\circ$ și $60^\circ.$ Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate dintr-o latură a triunghiului echilateral, adică $\frac{1}{2},$ iar, după teorema lui Pitagora, cealaltă catetă măsoară ${\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}.$

Astfel, punctul de pe cercul trigonometric corespunzător lui $30^\circ$ este $P\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right),$ iar pentru $60^\circ$ cele două coordonate se inversează: $P\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ De exemplu, ${\operatorname{tg}30^\circ=\frac{1}{2}\div\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$ și ${\operatorname{ctg}30^\circ=\sqrt{3}}.$

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
rad	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\operatorname{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	—
$\operatorname{ctg}\alpha$	—	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

O liniuță înseamnă că funcția nu este definită pentru acel unghi.

Cea mai ușoară cale de a ține minte sinusurile lui $0^\circ,$ $30^\circ,$ $45^\circ,$ $60^\circ$ și $90^\circ\text{:}$ sunt $\frac{\sqrt{0}}{2},$ $\frac{\sqrt{1}}{2},$ $\frac{\sqrt{2}}{2},$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\frac{\sqrt{4}}{2}.$ Cosinusurile sunt aceleași numere în ordine inversă.

Unghiurile din celelalte cadrane: unghiul de referință

Compară $150^\circ$ cu $30^\circ.$ Cele două laturi finale formează un unghi de $30^\circ$ cu axa $x,$ iar punctele lor de pe cercul trigonometric sunt simetrice față de axa $y\text{:}$ au aceeași ordonată și abscise opuse.

Prin urmare, ${\sin150^\circ}={\sin30^\circ}={\frac{1}{2}}$ și ${\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}}.$ Aceeași idee funcționează în toate cadranele.

Exemplul 5. Află $\sin210^\circ,$ $\cos135^\circ,$ $\operatorname{tg}300^\circ$ și $\operatorname{ctg}240^\circ.$

• $210^\circ$ se află în cadranul III; unghiul lui de referință este ${210^\circ-180^\circ=30^\circ},$ iar acolo sinusul este negativ: ${\sin210^\circ}={-\sin30^\circ}={-\frac{1}{2}.}$
• $135^\circ$ se află în cadranul II; unghiul de referință este ${180^\circ-135^\circ=45^\circ},$ iar cosinusul este negativ: ${\cos135^\circ=-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}}.$
• $300^\circ$ se află în cadranul IV; unghiul de referință este ${360^\circ-300^\circ=60^\circ},$ iar tangenta este negativă: ${\operatorname{tg}300^\circ=-\operatorname{tg}60^\circ=-\sqrt{3}}.$
• $240^\circ$ se află în cadranul III; unghiul de referință este $60^\circ,$ iar cotangenta este pozitivă: ${\operatorname{ctg}240^\circ=\operatorname{ctg}60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}}.$

Tabelul dă valorile pentru toți multiplii de $30^\circ$ și de $45^\circ$ de la $0^\circ$ până la $360^\circ.$

$\alpha$	rad	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$	$\operatorname{ctg}\alpha$
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	—
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	—	$0$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$135^\circ$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$
$150^\circ$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	—
$210^\circ$	$\frac{7\pi}{6}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$225^\circ$	$\frac{5\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$240^\circ$	$\frac{4\pi}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	—	$0$
$300^\circ$	$\frac{5\pi}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$315^\circ$	$\frac{7\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$
$330^\circ$	$\frac{11\pi}{6}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	—

Identități trigonometrice de bază

O identitate este o egalitate care are loc pentru toate valorile unghiului pentru care ambii membri sunt definiți. Cea mai importantă identitate trigonometrică rezultă direct din cercul trigonometric. Fiecărui unghi $\alpha$ îi corespunde exact un punct $P(\cos\alpha,\sin\alpha)$ pe cercul trigonometric, iar coordonatele lui verifică ecuația cercului ${x^2+y^2=1}\text{:}$

Aici $\sin^2\alpha$ înseamnă ${(\sin\alpha)^2}.$ Din definițiile tangentei și cotangentei obținem și

Ultimele două identități se obțin din ${\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\text{:}$ împarte ambii membri la $\cos^2\alpha$ (când ${\cos\alpha\ne0}$) sau la $\sin^2\alpha$ (când ${\sin\alpha\ne0}$). Dacă știm o valoare și cadranul lui $\alpha,$ aceste identități dau celelalte trei valori: rădăcina pătrată dă valoarea absolută, iar cadranul dă semnul.

Exemplul 6. Află $\cos\alpha,$ $\operatorname{tg}\alpha$ și $\operatorname{ctg}\alpha$ dacă ${\sin\alpha=\frac{3}{5}}$ și ${90^\circ\lt\alpha\lt180^\circ}.$

$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

În cadranul II cosinusul este negativ, deci ${\cos\alpha=-\frac{4}{5}}.$ Atunci ${\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{5}\div\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{4}}$ și ${\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{4}{3}}.$

Exemplul 7. Află $\cos\alpha,$ $\sin\alpha$ și $\operatorname{ctg}\alpha$ dacă ${\operatorname{tg}\alpha=2}$ și ${180^\circ\lt\alpha\lt270^\circ}.$

$\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$

În cadranul III cosinusul este negativ, deci ${\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}}.$ Atunci ${\sin\alpha}={\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha}={2\cdot\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}={-\frac{2\sqrt{5}}{5}}$ și ${\operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{1}{2}}.$

Exemplul 8. Simplifică $\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}.$

$\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$

Unghiuri înrudite și formule de reducere

Valorile funcțiilor trigonometrice ale lui $-\alpha,$ ${90^\circ\pm\alpha},$ ${180^\circ\pm\alpha},$ ${270^\circ\pm\alpha}$ și ${360^\circ-\alpha}$ se pot exprima prin funcțiile lui $\alpha.$ Toate aceste formule rezultă din simetriile cercului trigonometric.

Unghiul −α: funcții pare și impare

Punctul de pe cercul trigonometric care corespunde unghiului $-\alpha$ este simetricul punctului lui $\alpha$ față de axa $x\text{:}$ are aceeași abscisă și ordonata opusă. Prin urmare

O funcție $f$ se numește pară dacă ${f(-x)=f(x)},$ și impară dacă ${f(-x)=-f(x)},$ pentru orice $x$ din domeniul ei. Astfel, cosinusul este o funcție pară, iar sinusul, tangenta și cotangenta sunt funcții impare. De exemplu, ${\cos(-60^\circ)=\cos60^\circ=\frac{1}{2}}$ și ${\sin(-45^\circ)}={-\sin45^\circ}={-\frac{\sqrt{2}}{2}.}$

Unghiuri cu suma de 180°

Două unghiuri cu suma de $180^\circ$ se numesc suplementare. Dacă ${\alpha+\beta=180^\circ},$ punctele lui $\alpha$ și $\beta$ sunt simetrice față de axa $y,$ ca punctele lui $30^\circ$ și $150^\circ$ pe care le-am văzut mai înainte. Atunci

De exemplu, ${\sin120^\circ}={\sin60^\circ}={\frac{\sqrt{3}}{2}}$ și ${\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac{1}{2}}.$

Unghiuri cu suma de 90°

Două unghiuri cu suma de $90^\circ$ se numesc complementare. Dacă ${\alpha+\beta=90^\circ},$ punctele lui $\alpha$ și $\beta$ sunt simetrice față de dreapta ${y=x},$ deci coordonatele lor se inversează. Atunci

Asta explică denumirile: cosinusul este sinusul unghiului complementar, iar cotangenta este tangenta unghiului complementar. De exemplu, ${\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac{1}{2}}$ și ${\operatorname{tg}70^\circ=\operatorname{ctg}20^\circ}.$

Formule de reducere

Aceleași simetrii dau valorile pentru unghiurile din tabel. În fiecare rând, $\alpha$ este orice unghi pentru care funcțiile sunt definite.

	$\sin$	$\cos$
$-\alpha$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$90^\circ-\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$
$90^\circ+\alpha$	$\cos\alpha$	$-\sin\alpha$
$180^\circ-\alpha$	$\sin\alpha$	$-\cos\alpha$
$180^\circ+\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$
$270^\circ-\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\sin\alpha$
$270^\circ+\alpha$	$-\cos\alpha$	$\sin\alpha$
$360^\circ-\alpha$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$

	$\operatorname{tg}$	$\operatorname{ctg}$
$-\alpha$	$-\operatorname{tg}\alpha$	$-\operatorname{ctg}\alpha$
$90^\circ-\alpha$	$\operatorname{ctg}\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$
$90^\circ+\alpha$	$-\operatorname{ctg}\alpha$	$-\operatorname{tg}\alpha$
$180^\circ-\alpha$	$-\operatorname{tg}\alpha$	$-\operatorname{ctg}\alpha$
$180^\circ+\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$	$\operatorname{ctg}\alpha$
$270^\circ-\alpha$	$\operatorname{ctg}\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$
$270^\circ+\alpha$	$-\operatorname{ctg}\alpha$	$-\operatorname{tg}\alpha$
$360^\circ-\alpha$	$-\operatorname{tg}\alpha$	$-\operatorname{ctg}\alpha$

Nu trebuie să înveți tabelul pe de rost. Două reguli dau toate casetele:

1. Cu $180^\circ$ și $360^\circ$ funcția își păstrează numele ($-\alpha$ se comportă ca ${360^\circ-\alpha}$). Cu $90^\circ$ și $270^\circ$ ea se schimbă în cofuncția ei: sinusul devine cosinus, cosinusul devine sinus, tangenta devine cotangentă, iar cotangenta devine tangentă.
2. Semnul din față este semnul funcției inițiale în cadranul în care s-ar afla unghiul (de exemplu, ${90^\circ+\alpha}$) dacă $\alpha$ ar fi ascuțit. Formula este atunci valabilă pentru orice $\alpha.$

Exemplul 9. Exprimă $\cos(90^\circ+\nobreak \alpha)$ și $\operatorname{tg}(270^\circ-\nobreak \alpha)$ printr-o funcție a lui $\alpha.$

• Dacă $\alpha$ este ascuțit, unghiul ${90^\circ+\alpha}$ se află în cadranul II, unde cosinusul este negativ; cu $90^\circ$ cosinusul devine sinus. Deci ${\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha}.$
• Unghiul ${270^\circ-\alpha}$ se află în cadranul III, unde tangenta este pozitivă; cu $270^\circ$ tangenta devine cotangentă. Deci ${\operatorname{tg}(270^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha}.$

Exemplul 10. Calculează $\cos330^\circ$ și $\operatorname{tg}225^\circ.$

$\cos330^\circ=\cos(360^\circ-\nobreak 30^\circ)=\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}225^\circ=\operatorname{tg}(180^\circ+\nobreak 45^\circ)=\operatorname{tg}45^\circ=1$

Graficele funcțiilor trigonometrice

Când studiem $\sin,$ $\cos,$ $\operatorname{tg}$ și $\operatorname{ctg}$ ca funcții, unghiul se măsoară în radiani și se scrie $x\text{:}$ ${y=\sin x},$ ${y=\cos x},$ ${y=\operatorname{tg} x},$ ${y=\operatorname{ctg} x}.$ Aici $x$ poate fi orice număr real (pentru $\operatorname{tg}$ și $\operatorname{ctg},$ orice număr pentru care sunt definite).

Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice. O funcție $f$ este periodică dacă există un număr ${T\gt0}$ astfel încât ${f(x+T)=f(x)}$ pentru orice $x$ din domeniul ei; cel mai mic dintre aceste numere $T$ este perioada. Un tur complet readuce punctul $P$ la locul lui, deci sinusul și cosinusul au perioada $2\pi\text{:}$

$\sin(x+\nobreak 2\pi)=\sin x,$ $\cos(x+\nobreak 2\pi)=\cos x.$

Pentru tangentă și cotangentă ajunge o jumătate de tur. Punctul lui ${x+\pi}$ este diametral opus punctului lui $x,$ deci ambele lui coordonate își schimbă semnul, iar raportul lor nu se schimbă:

$\operatorname{tg}(x+\nobreak \pi)=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg} x,$ și, în același mod, $\operatorname{ctg}(x+\nobreak \pi)=\operatorname{ctg} x.$

Prin urmare, tangenta și cotangenta au perioada $\pi.$

Funcția sinus y = sin x

• Domeniu de definiție: toate numerele reale. Mulțimea valorilor: intervalul ${[-1,1]}.$
• Perioada: $2\pi.$
• Sinusul este impar: ${\sin(-x)=-\sin x},$ deci graficul este simetric față de origine.
• Zerouri (punctele roșii): ${x=k\pi},$ unde $k$ este un număr întreg (${k\in\mathbb{Z}}$).
• Maximul $1$ în ${x=\frac{\pi}{2}+2k\pi};$ minimul $-1$ în ${x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi}.$
• Crescătoare pe intervalele ${\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{\pi}{2}+2k\pi\right]};$ descrescătoare pe ${\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]}.$

Graficul sinusului se numește sinusoidă sau undă sinusoidală.

Funcția cosinus y = cos x

• Domeniu de definiție: toate numerele reale. Mulțimea valorilor: intervalul ${[-1,1]}.$
• Perioada: $2\pi.$
• Cosinusul este par: ${\cos(-x)=\cos x},$ deci graficul este simetric față de axa $y.$
• Zerouri: ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi},$ ${k\in\mathbb{Z}}.$
• Maximul $1$ în ${x=2k\pi};$ minimul $-1$ în ${x=\pi+2k\pi}.$
• Crescătoare pe intervalele ${[-\pi+2k\pi,\ 2k\pi]};$ descrescătoare pe ${[2k\pi,\ \pi+2k\pi]}.$

Deoarece ${\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)},$ graficul cosinusului este graficul sinusului deplasat cu $\frac{\pi}{2}$ spre stânga.

Funcția tangentă y = tg x

• Domeniu de definiție: toate numerele reale, cu excepția lui ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi},$ ${k\in\mathbb{Z}}$ (acolo ${\cos x=0}$). Mulțimea valorilor: toate numerele reale.
• Perioada: $\pi.$
• Tangenta este impară: ${\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg} x}.$
• Zerouri: ${x=k\pi},$ ${k\in\mathbb{Z}}.$
• Crescătoare pe fiecare interval ${\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right)}.$
• Dreptele ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$ sunt asimptote verticale: aproape de ele graficul urcă sau coboară fără limită.

Animație: cum se desenează graficul tangentei pornind de la cercul trigonometric, de la $0$ la $2\pi$ (se deschide într-o fereastră nouă)

Funcția cotangentă y = ctg x

• Domeniu de definiție: toate numerele reale, cu excepția lui ${x=k\pi},$ ${k\in\mathbb{Z}}$ (acolo ${\sin x=0}$). Mulțimea valorilor: toate numerele reale.
• Perioada: $\pi.$
• Cotangenta este impară: ${\operatorname{ctg}(-x)=-\operatorname{ctg} x}.$
• Zerouri: ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi},$ ${k\in\mathbb{Z}}.$
• Descrescătoare pe fiecare interval ${(k\pi,\ \pi+k\pi)}.$
• Dreptele ${x=k\pi}$ sunt asimptote verticale; una dintre ele este axa $y.$

Un număr în fața lui $x$ schimbă perioada. Funcțiile ${y=\sin ax}$ și ${y=\cos ax}$ au perioada $\frac{2\pi}{|a|},$ iar ${y=\operatorname{tg} ax}$ și ${y=\operatorname{ctg} ax}$ au perioada $\frac{\pi}{|a|},$ unde ${a\ne0}$ este un număr oarecare. De exemplu, perioada lui ${y=\sin2x}$ este $\pi,$ iar perioada lui ${y=\operatorname{tg}3x}$ este $\frac{\pi}{3}.$ Poți desena aceste grafice cu trasatorul de grafice.

Formule trigonometrice

Formulele următoare sunt valabile pentru toate unghiurile pentru care ambii membri sunt definiți. Aproape toate rezultă din formulele de adunare, iar pentru majoritatea grupurilor se dă o scurtă demonstrație.

Suma și diferența unghiurilor

Formula tangentei se obține din formulele sinusului și cosinusului. Împarte numărătorul și numitorul la ${\cos\alpha\cos\beta}\text{:}$

$\operatorname{tg}(\alpha+\nobreak \beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

Exemplul 11. Calculează $\sin75^\circ$ și $\operatorname{tg}15^\circ.$

$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+\nobreak 30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\operatorname{tg}15^\circ=\operatorname{tg}(45^\circ-\nobreak 30^\circ)=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

Înmulțește numărătorul și numitorul cu ${3-\sqrt{3}}\text{:}$

$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{(3-\sqrt{3})^2}{9-3}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=2-\sqrt{3}$

Pentru trei unghiuri:

$\sin(\alpha+\nobreak \beta+\nobreak \gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

$\cos(\alpha+\nobreak \beta+\nobreak \gamma)=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$

$\operatorname{tg}(\alpha+\nobreak \beta+\nobreak \gamma)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\gamma-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\gamma}$

Formulele unghiului dublu și triplu

Ia ${\beta=\alpha}$ în formulele de adunare:

Ultimele două forme ale lui $\cos2\alpha$ se obțin din ${\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha}$ și ${\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha}.$ Sinusul și cosinusul lui $2\alpha$ se pot scrie și cu ${\operatorname{tg}\alpha}\text{:}$

$\sin2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha},$ $\cos2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$

Exemplul 12. Află $\sin2\alpha$ și $\cos2\alpha$ dacă ${\sin\alpha=\frac{3}{5}}$ și ${0^\circ\lt\alpha\lt90^\circ}.$

În cadranul I cosinusul este pozitiv: ${\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}}.$ Deci

$\sin2\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25},$ $\cos2\alpha=1-2\cdot\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.$

Pentru unghiul triplu, scrie ${3\alpha=2\alpha+\alpha}.$ De exemplu,

$\sin3\alpha=\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos^2\alpha+(1-\nobreak 2\sin^2\alpha)\sin\alpha=2\sin\alpha(1-\nobreak \sin^2\alpha)+\sin\alpha-2\sin^3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$

Dacă aplicăm de două ori formulele unghiului dublu, obținem formulele pentru $4\alpha\text{:}$

$\sin4\alpha=4\sin\alpha\cos^3\alpha-4\sin^3\alpha\cos\alpha$

$\cos4\alpha=\cos^4\alpha-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\sin^4\alpha$

$\operatorname{tg}4\alpha=\frac{4\operatorname{tg}\alpha-4\operatorname{tg}^3\alpha}{1-6\operatorname{tg}^2\alpha+\operatorname{tg}^4\alpha}$

$\operatorname{ctg}4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-6\operatorname{ctg}^2\alpha+1}{4\operatorname{ctg}^3\alpha-4\operatorname{ctg}\alpha}$

Formulele de reducere a puterii

Din ${\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha}$ scoate $\sin^2\alpha,$ și din ${\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1}$ scoate $\cos^2\alpha\text{:}$

Aceste formule coboară exponentul și dublează unghiul. Dacă scoatem $\sin^3\alpha$ și $\cos^3\alpha$ din formulele unghiului triplu, obținem

$\sin^3\alpha=\frac{3\sin\alpha-\sin3\alpha}{4},$ $\cos^3\alpha=\frac{3\cos\alpha+\cos3\alpha}{4}$

iar dacă aplicăm de două ori formulele de reducere a puterii (${\sin^4\alpha=(\sin^2\alpha)^2}$), obținem

$\sin^4\alpha=\frac{3-4\cos2\alpha+\cos4\alpha}{8},$ $\cos^4\alpha=\frac{3+4\cos2\alpha+\cos4\alpha}{8}$

Exemplul 13. Calculează $\cos^2 15^\circ.$

$\cos^2 15^\circ=\frac{1+\cos30^\circ}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

Formulele unghiului pe jumătate

Scrie $\frac{\alpha}{2}$ în loc de $\alpha$ în formulele de reducere a puterii și extrage rădăcina pătrată:

Semnul este cel pe care îl are funcția în cadranul în care se află $\frac{\alpha}{2}\text{:}$

• $\sin\frac{\alpha}{2}\text{:}$ semnul plus dacă $\frac{\alpha}{2}$ se află în cadranul I sau II și semnul minus dacă se află în III sau IV;
• $\cos\frac{\alpha}{2}\text{:}$ semnul plus în cadranul I sau IV și semnul minus în II sau III;
• $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$ și $\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\text{:}$ semnul plus în cadranul I sau III și semnul minus în II sau IV.

Tangenta și cotangenta unghiului pe jumătate au și ele formule fără rădăcină pătrată și fără semn de ales:

$\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\operatorname{ctg}\alpha$

$\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\operatorname{ctg}\alpha$

Exemplul 14. Calculează $\sin15^\circ$ și $\operatorname{tg}22{,}5^\circ.$

Unghiul $15^\circ$ se află în cadranul I, deci luăm semnul plus:

$\sin15^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos30^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

Este același număr ca ${\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}},$ care se obține din ${\sin(45^\circ-30^\circ)}\text{:}$ cele două numere sunt pozitive, iar pătratele lor sunt egale (verifică).

$\operatorname{tg}22{,}5^\circ=\frac{1-\cos45^\circ}{\sin45^\circ}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

Suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Aceste formule transformă o sumă într-un produs, ceea ce ajută la rezolvarea ecuațiilor: un produs este zero când unul dintre factori este zero. Ca să demonstrezi prima formulă, scrie ${\alpha=x+y}$ și ${\beta=x-y},$ unde ${x=\frac{\alpha+\beta}{2}}$ și ${y=\frac{\alpha-\beta}{2}},$ și adună formulele pentru ${\sin(x+y)}$ și ${\sin(x-y)}.$

$\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta},$ $\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

$\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},$ $\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{ctg}\beta=-\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}$

Exemplul 15. Calculează ${\sin75^\circ+\sin15^\circ}.$

$\sin75^\circ+\sin15^\circ=2\sin45^\circ\cos30^\circ=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Produse de funcții trigonometrice

Aceste formule funcționează invers: transformă un produs într-o sumă. Se obțin adunând sau scăzând formulele de adunare; de exemplu, ${\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}={2\cos\alpha\cos\beta.}$

Exemplul 16. Calculează ${\sin75^\circ\cos15^\circ}.$

$\sin75^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}(\sin90^\circ+\nobreak \sin60^\circ)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

Produse de tangente și cotangente:

$\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta}=-\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{ctg}\beta}$

$\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta=\frac{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta},$ $\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\beta=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}$

Produse de trei funcții (aici înmulțite cu $4$):

$4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=\sin(\alpha+\nobreak \beta-\nobreak \gamma)+\sin(\beta+\nobreak \gamma-\nobreak \alpha)+\sin(\gamma+\nobreak \alpha-\nobreak \beta)-\sin(\alpha+\nobreak \beta+\nobreak \gamma)$

$4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\cos(\alpha+\nobreak \beta-\nobreak \gamma)+\cos(\beta+\nobreak \gamma-\nobreak \alpha)+\cos(\gamma+\nobreak \alpha-\nobreak \beta)+\cos(\alpha+\nobreak \beta+\nobreak \gamma)$

$4\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma=-\cos(\alpha+\nobreak \beta-\nobreak \gamma)+\cos(\beta+\nobreak \gamma-\nobreak \alpha)+\cos(\gamma+\nobreak \alpha-\nobreak \beta)-\cos(\alpha+\nobreak \beta+\nobreak \gamma)$

$4\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma=\sin(\alpha+\nobreak \beta-\nobreak \gamma)-\sin(\beta+\nobreak \gamma-\nobreak \alpha)+\sin(\gamma+\nobreak \alpha-\nobreak \beta)+\sin(\alpha+\nobreak \beta+\nobreak \gamma)$

Substituția cu tangenta unghiului pe jumătate

Cele patru funcții ale lui $\alpha$ se pot exprima printr-un singur număr, ${t=\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}\text{:}$

Se obțin din formulele unghiului dublu aplicate unghiului $\frac{\alpha}{2}.$ De exemplu, ${\sin\alpha}={2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}={\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}};}$ împarte numărătorul și numitorul la $\cos^2\frac{\alpha}{2}$ și vei obține $\frac{2t}{1+t^2}.$ Substituția transformă orice expresie cu ${\sin\alpha}$ și ${\cos\alpha}$ într-o fracție cu puteri ale lui $t,$ și se folosește la rezolvarea ecuațiilor și la calculul integralelor. Funcționează când $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$ este definită, adică atunci când ${\alpha\ne\pi+2k\pi}.$

Alte formule trigonometrice

$1\pm\sin\alpha=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\pm\frac{\alpha}{2}\right)=2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{\alpha}{2}\right)$

$\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}=\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right),$ $\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}$

$\frac{1-\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}\alpha}=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right),$ $\frac{1+\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha}=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$

$\frac{\operatorname{ctg}\alpha+1}{\operatorname{ctg}\alpha-1}=\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$

$\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{ctg}\alpha=\frac{2}{\sin2\alpha},$ $\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{ctg}\alpha=-2\operatorname{ctg}2\alpha$

$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right),$ $\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$

Probleme pentru exersat

1. Află $\sin135^\circ,$ $\cos135^\circ,$ $\operatorname{tg}135^\circ$ și $\operatorname{ctg}135^\circ.$

Răspuns

Unghiul de referință este $45^\circ$ iar unghiul se află în cadranul II: ${\sin135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}},$ ${\cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}},$ ${\operatorname{tg}135^\circ=-1},$ ${\operatorname{ctg}135^\circ=-1}.$

2. Calculează: a) $\sin300^\circ;$ b) $\cos210^\circ;$ c) $\operatorname{tg}(-45^\circ);$ d) $\operatorname{ctg}150^\circ;$ e) $\sin\frac{7\pi}{6};$ f) $\cos\frac{5\pi}{3}.$

Răspuns

a) ${\sin300^\circ}={-\sin60^\circ}={-\frac{\sqrt{3}}{2}.}$ b) ${\cos210^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}}.$ c) ${\operatorname{tg}(-45^\circ)=-\operatorname{tg}45^\circ=-1}.$ d) ${\operatorname{ctg}150^\circ=-\operatorname{ctg}30^\circ=-\sqrt{3}}.$ e) ${\sin\frac{7\pi}{6}}={\sin210^\circ}={-\frac{1}{2}.}$ f) ${\cos\frac{5\pi}{3}=\cos300^\circ=\frac{1}{2}}.$

3. Determină semnul: a) $\sin170^\circ;$ b) $\cos250^\circ;$ c) $\operatorname{tg}320^\circ;$ d) $\operatorname{ctg}100^\circ;$ e) $\sin(-100^\circ).$

Răspuns

a) Cadranul II: ${\sin170^\circ\gt0}.$ b) Cadranul III: ${\cos250^\circ\lt0}.$ c) Cadranul IV: ${\operatorname{tg}320^\circ\lt0}.$ d) Cadranul II: ${\operatorname{ctg}100^\circ\lt0}.$ e) ${-100^\circ+360^\circ=260^\circ}$ se află în cadranul III: ${\sin(-100^\circ)\lt0}.$

4. Latura finală a unghiului $\alpha$ trece prin punctul ${(5,-12)}.$ Află $\sin\alpha,$ $\cos\alpha,$ $\operatorname{tg}\alpha$ și $\operatorname{ctg}\alpha.$

Răspuns

${r=\sqrt{5^2+(-12)^2}=13},$ deci ${\sin\alpha=-\frac{12}{13}},$ ${\cos\alpha=\frac{5}{13}},$ ${\operatorname{tg}\alpha=-\frac{12}{5}},$ ${\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{5}{12}}.$

5. Află $\sin\alpha,$ $\operatorname{tg}\alpha$ și $\operatorname{ctg}\alpha$ dacă ${\cos\alpha=-\frac{5}{13}}$ și ${180^\circ\lt\alpha\lt270^\circ}.$

Răspuns

${\sin^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}}.$ În cadranul III sinusul este negativ: ${\sin\alpha=-\frac{12}{13}}.$ Atunci ${\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}}$ și ${\operatorname{ctg}\alpha=\frac{5}{12}}.$

6. Află $\cos\alpha,$ $\sin\alpha$ și $\operatorname{ctg}\alpha$ dacă ${\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{4}}$ și ${270^\circ\lt\alpha\lt360^\circ}.$

Răspuns

${\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}=\frac{16}{25}}.$ În cadranul IV cosinusul este pozitiv: ${\cos\alpha=\frac{4}{5}}.$ Atunci ${\sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha=-\frac{3}{5}}$ și ${\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{4}{3}}.$

7. Simplifică: a) ${\sin(180^\circ-\alpha)}+{\cos(90^\circ+\alpha);}$ b) $\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha};$ c) ${\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}.$

Răspuns

a) $\sin(180^\circ-\nobreak \alpha)+\cos(90^\circ+\nobreak \alpha)=\sin\alpha-\sin\alpha=0.$

b) $\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha.$

c) $\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha-\nobreak \cos^2\alpha)\cdot(\sin^2\alpha+\nobreak \cos^2\alpha)=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha.$

8. Calculează cu formulele de adunare: a) $\cos75^\circ;$ b) $\cos105^\circ;$ c) $\operatorname{tg}75^\circ.$

Răspuns

a) $\cos75^\circ=\cos(45^\circ+\nobreak 30^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$

b) $\cos105^\circ=\cos(60^\circ+\nobreak 45^\circ)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.$

c) $\operatorname{tg}75^\circ=\operatorname{tg}(45^\circ+\nobreak 30^\circ)=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}.$

9. Află $\sin2\alpha$ și $\cos2\alpha$ dacă ${\cos\alpha=-0{,}6}$ și ${180^\circ\lt\alpha\lt270^\circ}.$

Răspuns

În cadranul III sinusul este negativ: ${\sin\alpha}={-\sqrt{1-0{,}36}}={-0{,}8.}$ Deci ${\sin2\alpha}={2\cdot(-0{,}8)\cdot(-0{,}6)}={0{,}96}$ și ${\cos2\alpha}={2\cdot0{,}36-1}={-0{,}28.}$

10. Calculează fără tabele: a) ${2\sin15^\circ\cos15^\circ};$ b) ${\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ};$ c) ${\sin75^\circ-\sin15^\circ};$ d) ${\cos^2 22{,}5^\circ-\frac{1}{2}}.$

Răspuns

a) ${2\sin15^\circ\cos15^\circ}={\sin30^\circ}={\frac{1}{2}.}$ b) ${\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ}={\cos30^\circ}={\frac{\sqrt{3}}{2}.}$ c) ${\sin75^\circ-\sin15^\circ}={2\sin30^\circ\cos45^\circ}={\frac{\sqrt{2}}{2}.}$ d) ${\cos^2 22{,}5^\circ-\frac{1}{2}}={\frac{1+\cos45^\circ}{2}-\frac{1}{2}}={\frac{\sqrt{2}}{4}.}$

11. Demonstrează identitățile: a) ${(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}={1+\sin2\alpha;}$ b) ${\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\operatorname{tg}\alpha}.$

Răspuns

a) $(\sin\alpha+\nobreak \cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+\sin2\alpha.$

b) $\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha.$

12. Află perioada funcției: a) ${y=\sin3x};$ b) ${y=\cos\frac{x}{2}};$ c) ${y=\operatorname{tg}2x}.$

Răspuns

a) $\frac{2\pi}{3}.$ b) ${\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi}.$ c) $\frac{\pi}{2}.$