Ecuații de gradul trei și de gradul patru

Calculator pentru ecuații de gradul trei și de gradul patru

Alege gradul și scrie coeficienții. Pot fi numere întregi, zecimale (de exemplu 0,5) sau fracții (de exemplu 1/3). O casetă goală înseamnă 0. Calculatorul caută rădăcini raționale și împarte la factorii corespunzători cu schema lui Horner. Dacă rămâne o ecuație de gradul al doilea, o rezolvă cu formula generală; o ecuație de gradul trei, cu formula lui Cardano sau cu metoda trigonometrică, iar una de gradul patru, cu metoda lui Ferrari. Recunoaște și ecuațiile bipătrate și pe cele reciproce. Rădăcinile care nu pot fi scrise simplu sunt date aproximativ.

Ce sunt ecuațiile de gradul trei și de gradul patru?

O ecuație de gradul trei are cel mult trei rădăcini reale, iar una de gradul patru, cel mult patru. Orice ecuație de gradul trei are cel puțin o rădăcină reală. Când $|x|$ este mare, termenul $ax^3$ domină toți ceilalți termeni. De aceea $ax^3+bx^2+cx+d$ are un semn pentru valorile foarte mari ale lui $x$ și semnul opus pentru valorile foarte mici (negative) ale lui $x.$ Graficul lui $y=ax^3+bx^2+cx+d$ este o curbă continuă (fără salturi), deci trebuie să intersecteze axa $x.$ O ecuație de gradul patru poate să nu aibă nicio rădăcină reală; de exemplu, $x^4+1=0$ nu are niciuna, deoarece $x^4+1\ge 1.$

Pentru ambele ecuații există formule generale pentru rădăcini: formula lui Cardano pentru gradul trei și metoda lui Ferrari pentru gradul patru, ambele din secolul al XVI-lea. Calculele cu ele sunt lungi, așa că începe cu metodele simple. Ecuațiile din problemele școlare au de obicei o rădăcină rațională sau o formă specială, iar atunci descompunerea în factori le rezolvă repede.

Pe această pagină: Calculator · Numărul de rădăcini · Strategie · Descompunere în factori · Rădăcini raționale · Formulele lui Viète · Formula lui Cardano · Trei rădăcini reale · Ecuații de gradul patru · Metoda lui Ferrari · Formule · Probleme de aplicare · Exerciții

Câte rădăcini reale pot exista?

Rădăcinile reale ale ecuației $P(x)=0$ sunt valorile lui $x$ în care graficul lui $y=P(x)$ intersectează sau atinge axa $x.$ Figurile arată cazurile posibile.

• O ecuație de gradul trei are una, două sau trei rădăcini reale distincte. Când are două, una dintre ele este o rădăcină dublă: în acel punct graficul doar atinge axa $x.$
• O ecuație de gradul patru are patru, trei, două, una sau nicio rădăcină reală.
• Dacă $a\gt 0,$ graficul unui polinom de gradul trei urcă spre dreapta și coboară spre stânga; dacă $a\lt 0,$ se întâmplă invers. Graficul unui polinom de gradul patru urcă la ambele capete când $a\gt 0$ (și coboară la ambele capete când $a\lt 0$), deci poate să nu intersecteze axa $x,$ în timp ce cel al unui polinom de gradul trei o intersectează întotdeauna.

O rădăcină este dublă când factorul $x-x_0$ apare de două ori în descompunere. De exemplu, ${x^3-3x+2}={(x-1)^2(x+2),}$ deci $x=1$ este rădăcină dublă, iar $x=-2$ este rădăcină simplă. În figura din mijloc de pe rândul de sus, graficul atinge axa $x$ în $x=1$ și o intersectează în $x=-2.$

Dacă numărăm și rădăcinile complexe, iar fiecare rădăcină dublă se numără de două ori, o ecuație de gradul trei are întotdeauna exact trei rădăcini, iar una de gradul patru, exact patru (este teorema fundamentală a algebrei). Rădăcinile complexe ale unei ecuații cu coeficienți reali apar în perechi de numere complexe conjugate $u\pm vi.$

Cum rezolvăm o ecuație de gradul trei sau de gradul patru

1. Mută toți termenii în partea stângă și reduce termenii asemenea. Dacă există fracții, înmulțește cu un numitor comun. Dacă toți coeficienții au un factor comun, împarte la el.
2. Dacă nu există termen liber, dă $x$ (sau o putere a lui $x$) factor comun: atunci $x=0$ este rădăcină.
3. Caută o formă specială: o sumă sau o diferență de cuburi, o ecuație bipătrată $ax^4+bx^2+c=0,$ o ecuație reciprocă sau o expresie care se repetă și poate fi înlocuită cu o nouă necunoscută.
4. Încearcă descompunerea în factori prin grupare.
5. Caută rădăcini raționale (cu teorema rădăcinilor raționale, mai jos) și, pentru fiecare rădăcină găsită, împarte polinomul la factorul corespunzător cu schema lui Horner (multe cărți o numesc „regula lui Ruffini” sau „împărțire sintetică”). Fiecare rădăcină găsită scade gradul cu unu.
6. Când rămâne un factor de gradul al doilea, egalează-l cu zero și rezolvă ecuația cu formula generală.
7. Dacă nu există rădăcini raționale, folosește formula lui Cardano sau metoda trigonometrică pentru gradul trei și metoda lui Ferrari pentru gradul patru, sau află rădăcinile aproximativ.

Descompunerea în factori: factor comun și grupare

Exemplul 1: un factor comun

Rezolvă ecuația $x^3-9x=0.$

Dăm $x$ factor comun și apoi folosim diferența de pătrate:

$x(x^2-9)=0,$  $x(x-3)(x+3)=0$

Un produs este zero exact când unul dintre factori este zero. Răspuns: $x=0,$ $x=3,$ $x=-3.$

Nu împărți ambii membri la $x\text{:}$ așa se pierde rădăcina $x=0.$

Exemplul 2: gruparea

Rezolvă ecuația $x^3+2x^2-9x-18=0.$

Grupăm primii doi termeni și ultimii doi:

${x^2(x+2)-9(x+2)}={0,}$  $(x+2)(x^2-9)=0,$  ${(x+2)(x-3)(x+3)}={0}$

Răspuns: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=3.$

Exemplul 3: o diferență de cuburi

Rezolvă ecuația $x^3-8=0.$

Din formula ${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ (vezi formulele de calcul prescurtat):

${x^3-8}={(x-2)(x^2+2x+4)}={0}$

Factorul de gradul al doilea nu are rădăcini reale: discriminantul lui este $D=4-16=-12\lt 0.$ Răspuns: $x=2.$

Același răspuns se obține direct din $x^3=8\text{:}$ un număr real are exact o rădăcină cubică reală, deci $x=\sqrt[3]{8}=2.$ Factorul de gradul al doilea dă cele două rădăcini complexe $x=-1\pm i\sqrt{3}.$

Rădăcini raționale și schema lui Horner

De ce este adevărat. Înlocuim $x=\frac{p}{q}$ și înmulțim cu $q^n\text{:}$

${a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q}+{\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n}={0}$

Toți termenii, cu excepția ultimului, conțin factorul $p,$ deci $p$ divide $a_0q^n.$ Cum $p$ și $q$ nu au niciun factor comun, $p$ divide $a_0.$ La fel, toți termenii, cu excepția primului, conțin $q,$ deci $q$ divide $a_np^n$ și, prin urmare, $a_n.$

Teorema dă o listă scurtă de candidați. Doi dintre ei se verifică repede:

• $x=1$ este rădăcină exact când suma tuturor coeficienților este $0;$
• $x=-1$ este rădăcină exact când coeficienții puterilor pare și cei ai puterilor impare au aceeași sumă (termenul liber se numără ca putere pară, $x^0$).

Dacă $x_0$ este rădăcină, polinomul este divizibil cu $x-x_0\text{:}$ $P(x)=(x-x_0)\,Q(x)$ (este teorema factorului). Câtul $Q(x)$ are gradul mai mic cu unu, iar schema lui Horner îi dă coeficienții pe o singură linie.

Exemplul 4: trei rădăcini întregi

Rezolvă ecuația $x^3-6x^2+11x-6=0.$

Coeficientul dominant este $1,$ deci orice rădăcină rațională este un număr întreg, divizor al lui $6.$ Candidații sunt $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6.$ Suma coeficienților este $1-6+11-6=0,$ deci $x=1$ este rădăcină. Împărțim la $x-1\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 1 & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

Ultimul număr este restul $0,$ iar celelalte sunt coeficienții câtului:

${x^3-6x^2+11x-6}={(x-1)(x^2-5x+6)}$

Ecuația de gradul al doilea $x^2-5x+6=0$ are rădăcinile $2$ și $3$ (suma lor este $5$ iar produsul este $6$). Răspuns: $x=1,$ $x=2,$ $x=3.$

Exemplul 5: o rădăcină fracționară

Rezolvă ecuația $2x^3+3x^2-8x+3=0.$

Aici $p$ divide $3$ iar $q$ divide $2,$ deci candidații sunt $\pm 1,$ $\pm 3,$ $\pm\frac12,$ $\pm\frac32.$ Suma coeficienților este $2+3-8+3=0,$ deci $x=1$ este rădăcină:

$\begin{array}{r|rrr|r} & 2 & 3 & -8 & 3 \\ 1 & & 2 & 5 & -3 \\ \hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$

Astfel, ${(x-1)(2x^2+5x-3)}={0.}$ Pentru ecuația de gradul al doilea, $D=25+24=49$ și

$x=\frac{-5\pm 7}{4},$  $x=\frac12,$  $x=-3$

Răspuns: $x=-3,$ $x=\frac12,$ $x=1.$

Exemplul 6: rădăcini iraționale

Rezolvă ecuația $x^3-3x^2-2x+4=0.$

Suma coeficienților este $1-3-2+4=0,$ deci $x=1$ este rădăcină:

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -3 & -2 & 4 \\ 1 & & 1 & -2 & -4 \\ \hline & 1 & -2 & -4 & 0\end{array}$

Câtul dă $x^2-2x-4=0,$ cu $D=4+16=20$ și

${x}={\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}}={\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}}={1\pm\sqrt{5}}$

Răspuns: $x=1,$ $x=1+\sqrt{5}\approx 3{,}236,$ $x=1-\sqrt{5}\approx -1{,}236.$ Teorema rădăcinilor raționale a găsit doar $x=1;$ celelalte două rădăcini sunt iraționale și au fost obținute cu formula generală.

Exemplul 7: o rădăcină dublă

Rezolvă ecuația $x^3-3x+2=0.$

Suma coeficienților este $1-3+2=0,$ deci $x=1$ este rădăcină. Nu uita să scrii în tabel coeficientul zero al lui $x^2\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0\end{array}$

Câtul ${x^2+x-2}={(x-1)(x+2)}$ are din nou rădăcina $1,$ deci

${x^3-3x+2}={(x-1)^2(x+2)}$

Răspuns: $x=1$ (rădăcină dublă) și $x=-2.$

Dacă niciunul dintre candidați nu este rădăcină, ecuația de gradul trei nu are rădăcini raționale, iar rădăcinile ei reale sunt iraționale. Folosește formula lui Cardano, pe care o vedem mai jos, sau află rădăcinile aproximativ. (O ecuație de gradul patru fără rădăcini raționale se poate totuși descompune în doi factori de gradul al doilea, ca în exemplul 14.)

Formulele lui Viète

Rădăcinile sunt legate de coeficienți, la fel ca în ecuația de gradul al doilea. Dacă $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ sunt rădăcinile ecuației $ax^3+bx^2+cx+d=0$ (inclusiv rădăcinile complexe și cele repetate), atunci

Aceste formule se obțin comparând coeficienții din ${ax^3+bx^2+cx+d}={a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).}$ Pentru o ecuație de gradul patru ${ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}={0}$ cu rădăcinile $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4\text{:}$

Verificare pentru exemplul 4. Pentru $x^3-6x^2+11x-6=0$ și rădăcinile $1,$ $2,$ $3\text{:}$ $1+2+3=6,$ $1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=11,$ $1\cdot 2\cdot 3=6.$ Sunt chiar $-\frac{b}{a}=6,$ $\frac{c}{a}=11$ și $-\frac{d}{a}=6.$

O ecuație cu rădăcini date. Pentru rădăcinile $-1,$ $2$ și $4$ suma este $5,$ suma produselor luate câte două este $-2-4+8=2$ iar produsul este $-8.$ Prin urmare, cu $a=1\text{:}$

$x^3-5x^2+2x+8=0$

Același lucru se obține desfăcând $(x+1)(x-2)(x-4).$

Formula lui Cardano pentru ecuația de gradul trei

O ecuație de gradul trei fără rădăcini raționale se rezolvă cu formula pe care Gerolamo Cardano a publicat-o în 1545 în cartea sa Ars Magna. Scipione del Ferro și Niccolò Tartaglia o găsiseră înaintea lui. Metoda are doi pași.

Pasul 1: eliminarea termenului în x²

Împarte ecuația la $a$ și fă schimbarea $x=t-\frac{b}{3a}.$ Termenii în $t^2$ se anulează și se obține ecuația de gradul trei redusă (o ecuație de gradul trei fără termen de gradul al doilea)

De ce $\frac{b}{3a}?$ Desfăcând $(t-h)^3$ și $\frac{b}{a}(t-h)^2,$ termenii în $t^2$ sunt $-3ht^2$ și $\frac{b}{a}t^2.$ Ei se anulează când $h=\frac{b}{3a}.$ De exemplu, $x^3+3x^2+6x+2=0$ cu $x=t-1$ devine

${(t-1)^3}+{3(t-1)^2+6(t-1)+2}={t^3+3t-2}={0}$

Pasul 2: rezolvarea ecuației t³ + pt + q = 0

Căutăm $t$ sub forma sumei $t=u+v.$ Deoarece ${(u+v)^3}={u^3+v^3+3uv(u+v),}$ numărul $t=u+v$ verifică

${t^3-3uv\cdot t-(u^3+v^3)}={0}$

Coincide cu ecuația noastră dacă $3uv=-p$ și $u^3+v^3=-q.$ Atunci $u^3v^3=-\frac{p^3}{27},$ deci, din formulele lui Viète, $u^3$ și $v^3$ sunt rădăcinile ecuației de gradul al doilea $z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0\text{:}$

$u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta},$  $v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta},$  $\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$

Când $\Delta\ge 0,$ se iau rădăcinile cubice reale; rădăcina cubică a unui număr negativ este negativă, de exemplu $\sqrt[3]{-8}=-2.$ Apoi rădăcina $x$ a ecuației date este $x=t-\frac{b}{3a}.$

Semnul lui Δ și numărul de rădăcini reale

Semnul lui $\Delta$	Rădăcinile ecuației
$\Delta\gt 0$	o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate
$\Delta=0$	două rădăcini reale distincte: $t_1=\frac{3q}{p}$ și rădăcina dublă $t_2=t_3=-\frac{3q}{2p}$ (dacă $p=q=0,$ atunci $t=0$ este rădăcină triplă)
$\Delta\lt 0$	trei rădăcini reale distincte

Observă că regula este opusă celei de la ecuațiile de gradul al doilea: aici $\Delta\gt 0$ dă o singură rădăcină reală. (Multe cărți folosesc discriminantul ecuației de gradul trei $-4p^3-27q^2=-108\Delta,$ care are semnul opus: este pozitiv când există trei rădăcini reale distincte.)

Figura explică tabelul pentru ecuațiile $x^3-3x+q=0.$ Rădăcinile lor sunt valorile lui $x$ ale punctelor comune ale graficului $y=x^3-3x$ și dreptei orizontale $y=-q.$ Aici $p=-3$ și $\Delta=\frac{q^2}{4}-1.$ Graficul are un maxim local în punctul $(-1,\ 2)$ și un minim local în punctul $(1,\ -2).$ O dreaptă care trece printre cele două puncte ($|q|\lt 2,$ $\Delta\lt 0$) intersectează graficul în trei puncte; o dreaptă care trece printr-unul dintre ele ($|q|=2,$ $\Delta=0$) atinge graficul în acel punct, iar o dreaptă care trece deasupra sau dedesubtul amândurora ($|q|\gt 2,$ $\Delta\gt 0$) îl intersectează într-un singur punct.

Exemplul 8: o rădăcină reală

Rezolvă ecuația $x^3-6x-6=0.$

Candidații $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6$ nu sunt rădăcini, deci nu există rădăcini raționale. Ecuația nu are termen în $x^2,$ deci $p=-6$ și $q=-6$ direct:

${\Delta}={\left(\frac{-6}{2}\right)^2+\left(\frac{-6}{3}\right)^3}={9-8}={1}\gt{0}$

Există o singură rădăcină reală. Deoarece $-\frac{q}{2}=3$ și $\sqrt{\Delta}=1,$

${x}={\sqrt[3]{3+1}+\sqrt[3]{3-1}}={\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}\approx{1{,}5874+1{,}2599}={2{,}8473}$

Răspuns: $x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\approx 2{,}847.$ (Verificare: ${uv}={\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}}={\sqrt[3]{8}}={2}={-\frac{p}{3}.}$)

Exemplul 9: cu termen în x²

Rezolvă ecuația $x^3+3x^2+6x+2=0.$

Candidații sunt $\pm 1$ și $\pm 2.$ Înlocuindu-i se obține $12,$ $-2,$ $34$ și $-6,$ niciodată $0.$ Așa cum am văzut mai sus, $x=t-1$ dă $t^3+3t-2=0,$ deci $p=3,$ $q=-2$ și

$\Delta=(-1)^2+1^3=2,$  $t=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}$

Numărul $1-\sqrt{2}$ este negativ, la fel și rădăcina lui cubică: $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}\approx 1{,}3415$ și $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}\approx -0{,}7454.$ Astfel, $t\approx 0{,}5961$ și

${x}={t-1}={-1+\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}}\approx{-0{,}4039}$

Răspuns: $x\approx -0{,}404.$ Celelalte două rădăcini sunt complexe, deoarece $\Delta\gt 0.$

Formula lui Cardano poate ascunde o rădăcină întreagă. Pentru $x^3+6x-20=0$ dă $\Delta=100+8=108,$ $\sqrt{\Delta}=6\sqrt{3}$ și ${x}={\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}+\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}}.}$ Dar $(1+\sqrt{3})^3=10+6\sqrt{3}$ și $(1-\sqrt{3})^3=10-6\sqrt{3},$ deci ${x}={(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})}={2.}$ Teorema rădăcinilor raționale găsește $x=2$ imediat. Caută întotdeauna mai întâi rădăcinile raționale.

Trei rădăcini reale: metoda trigonometrică

Când $\Delta\lt 0,$ ecuația de gradul trei are trei rădăcini reale, dar $\sqrt{\Delta}$ din formula lui Cardano este rădăcina pătrată a unui număr negativ. Formula funcționează în continuare cu numere complexe; Rafael Bombelli a arătat acest lucru în 1572, ceea ce a fost un pas important spre numerele complexe. Pentru a afla rădăcinile reale există o cale mai simplă, bazată pe formula unghiului triplu

$\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$

Dacă $\Delta\lt 0,$ atunci $p\lt 0$ (deoarece $\frac{q^2}{4}\ge 0$). Fie $r=\sqrt{-\frac{p}{3}}$ (astfel încât $p=-3r^2$); căutăm rădăcinile ecuației $t^3+pt+q=0$ sub forma $t=2r\cos\varphi\text{:}$

$8r^3\cos^3\varphi-6r^3\cos\varphi+q=0,$  $2r^3(4\cos^3\varphi-3\cos\varphi)=-q$

Unghiurile $\varphi+120^\circ$ și $\varphi+240^\circ$ dau tot rădăcini, deoarece $3(\varphi+120^\circ)=3\varphi+360^\circ$ și $3(\varphi+240^\circ)=3\varphi+720^\circ$ au același cosinus ca $3\varphi.$ Cum $0^\circ\lt 3\varphi\lt 180^\circ,$ avem $0^\circ\lt\varphi\lt 60^\circ,$ deci $t_1$ este cea mai mare rădăcină, iar $t_2$ cea mai mică.

Exemplul 10: trei rădăcini iraționale

Rezolvă ecuația $x^3-3x+1=0.$

Candidații $\pm 1$ dau $-1$ și $3,$ deci nu există rădăcini raționale. Aici $p=-3,$ $q=1$ și $\Delta=\frac14-1=-\frac34\lt 0\text{:}$ există trei rădăcini reale. Nu există termen în $x^2,$ deci $t=x.$ Atunci $r=\sqrt{1}=1,$ și cu $x=2\cos\varphi\text{:}$

$\cos 3\varphi=-\frac{1}{2},$  $3\varphi=120^\circ,$  $\varphi=40^\circ$

$x_1=2\cos 40^\circ\approx 1{,}5321,$  ${x_2}={2\cos 160^\circ}\approx{-1{,}8794,}$  $x_3=2\cos 280^\circ\approx 0{,}3473$

Răspuns: $x=2\cos 40^\circ,$ $x=2\cos 160^\circ,$ $x=2\cos 280^\circ.$ Verificare cu formulele lui Viète: suma rădăcinilor trebuie să fie $-\frac{b}{a}=0,$ și într-adevăr ${1{,}5321}-{1{,}8794+0{,}3473}={0.}$ În figură, rădăcinile sunt proiecțiile pe axa $x$ ale trei puncte de pe cercul de rază $2$ aflate la $120^\circ$ unul de altul.

Cum rezolvăm ecuațiile de gradul patru

La o ecuație de gradul patru primii pași sunt aceiași: se caută rădăcini raționale și forme speciale. Fiecare rădăcină rațională scade gradul, deci o ecuație de gradul patru cu o rădăcină rațională se reduce la una de gradul trei.

Exemplul 11: rădăcini raționale

Rezolvă ecuația ${x^4-2x^3-7x^2+8x+12}={0.}$

Candidații sunt divizorii lui $12.$ Suma coeficienților este $1-2-7+8+12=12,$ deci $1$ nu este rădăcină. Pentru $x=-1$ coeficienții puterilor pare însumează $1-7+12=6$ iar cei ai puterilor impare însumează $-2+8=6,$ deci $x=-1$ este rădăcină:

$\begin{array}{r|rrrr|r} & 1 & -2 & -7 & 8 & 12 \\ -1 & & -1 & 3 & 4 & -12 \\ \hline & 1 & -3 & -4 & 12 & 0\end{array}$

Câtul, de gradul trei, se descompune prin grupare:

${x^3-3x^2-4x+12}={x^2(x-3)-4(x-3)}={(x-3)(x-2)(x+2)}$

Răspuns: $x=-2,$ $x=-1,$ $x=2,$ $x=3.$

Exemplul 12: o schimbare de variabilă

Rezolvă ecuația ${(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}={24.}$

Dacă am înmulți cele patru paranteze, am obține o ecuație de gradul patru. Este mai rapid să înmulțim prima paranteză cu ultima și a doua cu a treia:

${(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)}={24}$

Ambele paranteze conțin $x^2+5x.$ Facem schimbarea $y=x^2+5x+5,$ care este media celor două paranteze:

$(y-1)(y+1)=24,$  $y^2=25,$  $y=\pm 5$

Din $x^2+5x+5=5$ obținem $x(x+5)=0,$ deci $x=0$ sau $x=-5.$ Din $x^2+5x+5=-5$ obținem $x^2+5x+10=0,$ de unde $D=25-40\lt 0\text{:}$ nu există rădăcini reale.

Răspuns: $x=0,$ $x=-5.$

O ecuație de gradul patru care conține numai puteri pare, $ax^4+bx^2+c=0,$ se rezolvă cu schimbarea $u=x^2;$ vezi ecuații bipătrate.

Exemplul 13: o ecuație reciprocă

În ecuația ${ax^4+bx^3+cx^2+bx+a}={0}$ coeficienții sunt aceiași citiți de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga. O astfel de ecuație se numește reciprocă (sau simetrică). Cum $a\ne 0,$ numărul $0$ nu este rădăcină, deci putem împărți la $x^2$ și grupa:

${a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}+{b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c}={0}$

Cu $t=x+\frac{1}{x}$ avem $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2,$ deoarece $t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}.$ Ecuația devine o ecuație de gradul al doilea în $t.$

Rezolvă ecuația ${x^4-5x^3+6x^2-5x+1}={0.}$

${\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-{5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6}={0,}$  $t^2-2-5t+6=0,$  $t^2-5t+4=0$

Astfel, $t=1$ sau $t=4.$

• $x+\frac{1}{x}=1$ dă $x^2-x+1=0,$ de unde $D=1-4\lt 0\text{:}$ nu există rădăcini reale.
• $x+\frac{1}{x}=4$ dă $x^2-4x+1=0$ și $x=2\pm\sqrt{3}.$

Răspuns: $x=2+\sqrt{3},$ $x=2-\sqrt{3}.$

Cele două rădăcini sunt inverse una alteia: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1.$ Acest lucru se întâmplă întotdeauna: dacă $x$ este rădăcină a unei ecuații reciproce, atunci și $\frac{1}{x}.$ este rădăcină. O ecuație reciprocă de gradul trei $ax^3+bx^2+bx+a=0$ are întotdeauna rădăcina $-1,$ iar câtul este o ecuație reciprocă de gradul al doilea.

Metoda lui Ferrari pentru ecuația de gradul patru

Lodovico Ferrari, elevul lui Cardano, a descoperit cum se reduce o ecuație de gradul patru la una de gradul trei. Metoda funcționează pentru orice ecuație de gradul patru.

1. Împarte la $a$ și fă schimbarea $x=t-\frac{b}{4a}.$ Astfel dispare termenul în $t^3\text{:}$ $t^4+pt^2+qt+r=0.$ (Dacă $q=0,$ ecuația este bipătrată.)
2. Scrie ecuația sub forma $t^4=-pt^2-qt-r$ și adună $2mt^2+m^2$ la ambii membri, unde $m$ este un număr pe care îl vom alege mai târziu:

   ${(t^2+m)^2}={(2m-p)t^2}-{qt+(m^2-r)}$

3. Alege $m$ astfel încât membrul drept să fie pătrat perfect, adică discriminantul acestui trinom de gradul al doilea în $t$ să fie $0\text{:}$

   $q^2=4(2m-p)(m^2-r)$

   Aceasta este o ecuație de gradul trei în $m,$ rezolventa de gradul trei. Fie $k=2m-p.$ Este suficientă o rădăcină $m$ pentru care $k\gt 0$ (avem nevoie de $k\gt 0$ ca să putem calcula $\sqrt{k}$). Această rădăcină există întotdeauna când $q\ne 0\text{:}$ pentru $m=\frac{p}{2}$ membrul drept $4(2m-p)(m^2-r)$ este $0,$ care este mai mic decât $q^2,$ iar pentru valori mari ale lui $m$ este mai mare decât $q^2.$
4. Acum membrul drept este egal cu $k\left(t-\frac{q}{2k}\right)^2,$ iar ecuația este o diferență de pătrate. Se descompune în două ecuații de gradul al doilea:

   $t^2+m=\pm\sqrt{k}\left(t-\frac{q}{2k}\right)$

Exemplul 14: metoda lui Ferrari

Rezolvă ecuația $x^4-2x^2-8x-3=0.$

Candidații $\pm 1,$ $\pm 3$ dau $-12,$ $4,$ $36$ și $84,$ deci nu există rădăcini raționale. Nu există termen în $x^3,$ deci începem cu pasul 2:

$x^4=2x^2+8x+3,$  ${(x^2+m)^2}={(2m+2)x^2}+{8x+(m^2+3)}$

Membrul drept este pătrat perfect când discriminantul lui este $0\text{:}$

$64=4(2m+2)(m^2+3),$  $(m+1)(m^2+3)=8$

Desfăcând parantezele rămâne $m^3+m^2+3m-5=0,$ iar teorema rădăcinilor raționale dă $m=1\text{:}$ $1+1+3-5=0.$ Aici $k=2m+2=4\gt 0.$ Atunci membrul drept este $4x^2+8x+4=(2x+2)^2,$ și

${(x^2+1)^2-(2x+2)^2}={0,}$  ${(x^2-2x-1)(x^2+2x+3)}={0}$

Ecuația $x^2-2x-1=0$ dă $x=1\pm\sqrt{2},$ iar $x^2+2x+3=0$ are $D=4-12\lt 0.$

Răspuns: $x=1+\sqrt{2},$ $x=1-\sqrt{2}.$ (Cele două rădăcini complexe sunt $-1\pm i\sqrt{2}.$)

Pentru ecuațiile de gradul cinci sau mai mare nu există o formulă generală prin radicali. Acest lucru l-au demonstrat Paolo Ruffini (1799, cu o lacună în demonstrație) și Niels Henrik Abel (1824), iar Évariste Galois a explicat care ecuații pot fi rezolvate prin radicali. În practică, aceste ecuații se rezolvă prin descompunere în factori sau aproximativ.

Formule: ecuația de gradul trei x³ + a₁x² + a₂x + a₃ = 0

Acestea sunt formulele generale în forma în care apar în manuale. Mai întâi împarte ecuația la coeficientul ei dominant, astfel încât coeficientul lui $x^3$ să fie $1.$ (Aici $a_1$ este coeficientul lui $x^2,$ nu al lui $x.$) Fie

$Q=\frac{3a_2-a_1^2}{9},$  ${R}={\frac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54},}$  $D=Q^3+R^2$

$S=\sqrt[3]{R+\sqrt{D}},$  $T=\sqrt[3]{R-\sqrt{D}}$

Acestea sunt numerele din metoda lui Cardano: $Q=\frac{p}{3},$ $R=-\frac{q}{2}$ și $D=\Delta.$ Dacă $D\ge 0,$ se iau rădăcinile cubice reale. Rădăcinile sunt

$x_1=S+T-\frac{a_1}{3}$

${x_2}={-\frac{S+T}{2}-\frac{a_1}{3}}+{\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\,(S-T)}$

${x_3}={-\frac{S+T}{2}-\frac{a_1}{3}}-{\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\,(S-T)}$

Dacă $a_1,$ $a_2,$ $a_3$ sunt reale, atunci

• $D\gt 0\text{:}$ o rădăcină este reală, iar două sunt complexe conjugate;
• $D=0\text{:}$ toate rădăcinile sunt reale și cel puțin două dintre ele sunt egale;
• $D\lt 0\text{:}$ toate rădăcinile sunt reale și distincte.

Dacă $D\lt 0,$ rădăcina pătrată $\sqrt{D}$ este imaginară și este mai ușor să folosim forma trigonometrică:

$x_1=2\sqrt{-Q}\cos\frac{\theta}{3}-\frac{a_1}{3}$

${x_2}={2\sqrt{-Q}\cos\left(\frac{\theta}{3}+120^\circ\right)}-{\frac{a_1}{3}}$

${x_3}={2\sqrt{-Q}\cos\left(\frac{\theta}{3}+240^\circ\right)}-{\frac{a_1}{3}}$

unde $\cos\theta=\frac{R}{\sqrt{-Q^3}},$ $0^\circ\le\theta\le 180^\circ.$ Rădăcinile verifică

$x_1+x_2+x_3=-a_1,$  $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a_2,$  $x_1x_2x_3=-a_3$

Formule: ecuația de gradul patru x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ = 0

Mai întâi împarte ecuația la coeficientul ei dominant, astfel încât coeficientul lui $x^4$ să fie $1.$ Fie $y_1$ o rădăcină reală a rezolventei de gradul trei

${y^3-a_2y^2}+{(a_1a_3-4a_4)y}+{(4a_2a_4-a_3^2-a_1^2a_4)}={0}$

și fie

$A=\sqrt{a_1^2-4a_2+4y_1},$  $B=\pm\sqrt{y_1^2-4a_4}$

unde semnul lui $B$ se alege astfel încât $AB=a_1y_1-2a_3.$ Atunci cele patru rădăcini ale ecuației de gradul patru sunt rădăcinile celor două ecuații de gradul al doilea

${z^2+\frac{a_1+A}{2}\,z+\frac{y_1+B}{2}}={0,}$  $z^2+\frac{a_1-A}{2}\,z+\frac{y_1-B}{2}=0$

Rezolventa are întotdeauna o rădăcină reală $y_1$ pentru care cele două numere de sub radicali sunt nenegative. Cu această rădăcină cele două ecuații de gradul al doilea au coeficienți reali, iar calculul este mai simplu. De fapt, $y_1$ este suma termenilor liberi ai celor doi factori de gradul al doilea ai lui ${x^4+a_1x^3}+{a_2x^2+a_3x+a_4.}$ Rădăcinile verifică

$x_1+x_2+x_3+x_4=-a_1$

${x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4}+{x_4x_1+x_1x_3+x_2x_4}={a_2}$

${x_1x_2x_3+x_2x_3x_4}+{x_1x_2x_4+x_1x_3x_4}={-a_3}$

$x_1x_2x_3x_4=a_4$

Probleme de aplicare

1. Produsul a trei numere întregi consecutive este $210.$ Află numerele.

Rezolvare. Fie numerele $n,$ $n+1,$ $n+2.$ Atunci

$n(n+1)(n+2)=210,$  $n^3+3n^2+2n-210=0$

Produsul a trei numere apropiate între ele este aproximativ cubul numărului din mijloc, iar $\sqrt[3]{210}\approx 5{,}9.$ Încercăm cu $n=5\text{:}$ $5\cdot 6\cdot 7=210.$ Împărțim la $n-5\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & 3 & 2 & -210 \\ 5 & & 5 & 40 & 210 \\ \hline & 1 & 8 & 42 & 0\end{array}$

Ecuația de gradul al doilea $n^2+8n+42=0$ are $D=64-168\lt 0,$ deci nu mai există alte rădăcini. Răspuns: $5,$ $6$ și $7.$

2. Din colțurile unei foi pătrate de carton cu latura de $20$ cm pe $20$ cm se taie pătrate egale, iar laturile se îndoaie în sus pentru a forma o cutie fără capac. Volumul cutiei este $576$ cm³. Află latura pătratelor tăiate.

Rezolvare. Fie $x$ cm latura fiecărui pătrat tăiat, unde $0\lt x\lt 10.$ Cutia are înălțimea $x$ și baza pătrată cu latura $20-2x\text{:}$

$x(20-2x)^2=576,$  ${4x^3-80x^2}+{400x-576}={0,}$  ${x^3-20x^2+100x-144}={0}$

Printre divizorii lui $144$ găsim rădăcina $x=4\text{:}$ ${64-320+400-144}={0.}$ Atunci

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -20 & 100 & -144 \\ 4 & & 4 & -64 & 144 \\ \hline & 1 & -16 & 36 & 0\end{array}$

$x^2-16x+36=0,$  $x=8\pm\sqrt{28}=8\pm 2\sqrt{7}$

Rădăcina $8+2\sqrt{7}\approx 13{,}29$ este prea mare: latura $20-2x$ ar fi negativă. Rădăcina $8-2\sqrt{7}\approx 2{,}71$ convine.

Răspuns: $4$ cm sau $8-2\sqrt{7}\approx 2{,}71$ cm. Verificare: $4\cdot 12^2=576$ și ${(8-2\sqrt{7})(4+4\sqrt{7})^2}={576.}$

Probleme de exersat

Rezolvă problemele și apoi deschide-le pentru a vedea răspunsurile. Îți poți verifica munca cu calculatorul de mai sus.

1. Rezolvă ecuația $x^3-7x+6=0.$

Suma coeficienților este $0,$ deci $x=1$ este rădăcină, iar ${x^3-7x+6}={(x-1)(x^2+x-6)}={(x-1)(x-2)(x+3).}$ Răspuns: $x=-3,$ $x=1,$ $x=2.$

2. Rezolvă ecuația $x^3-2x^2-x+2=0.$

Prin grupare: ${x^2(x-2)-(x-2)}={(x-2)(x^2-1)}={(x-2)(x-1)(x+1).}$ Răspuns: $x=-1,$ $x=1,$ $x=2.$

3. Rezolvă ecuația $x^3+27=0.$

${x^3+27}={(x+3)(x^2-3x+9),}$ iar $x^2-3x+9=0$ are $D=9-36\lt 0.$ Răspuns: $x=-3.$

4. Rezolvă ecuația $2x^3-x^2-13x-6=0.$

Candidații sunt $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6,$ $\pm\frac12,$ $\pm\frac32.$ Pentru $x=-2\text{:}$ $-16-4+26-6=0.$ Schema lui Horner dă $2x^2-5x-3=0,$ cu rădăcinile $3$ și $-\frac12.$ Răspuns: $x=-2,$ $x=-\frac12,$ $x=3.$

5. Rezolvă ecuația $x^3-3x^2+4=0.$

Pentru $x=-1\text{:}$ $-1-3+4=0.$ Câtul este $x^2-4x+4=(x-2)^2,$ deci ${x^3-3x^2+4}={(x+1)(x-2)^2.}$ Răspuns: $x=-1,$ $x=2$ (rădăcină dublă).

6. Rezolvă ecuația $x^3+x^2-3x-3=0.$

Prin grupare: ${x^2(x+1)-3(x+1)}={(x+1)(x^2-3).}$ Răspuns: $x=-1,$ $x=\sqrt{3},$ $x=-\sqrt{3}.$

7. Scrie o ecuație de gradul trei cu coeficienți întregi ale cărei rădăcini sunt $-2,$ $1$ și $\frac12.$

${(x+2)(x-1)(2x-1)}={(x^2+x-2)(2x-1)}={2x^3+x^2-5x+2.}$ Răspuns: $2x^3+x^2-5x+2=0$ (sau orice ecuație care se obține din ea înmulțind-o cu un număr nenul).

8. Rezolvă ecuația $x^3+9x-6=0$ cu formula lui Cardano.

Aici $p=9,$ $q=-6$ și $\Delta=9+27=36,$ deci $\sqrt{\Delta}=6$ și există o singură rădăcină reală: $x=\sqrt[3]{3+6}+\sqrt[3]{3-6}.$ Răspuns: $x=\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}\approx 0{,}6378.$

9. Rezolvă ecuația $x^3-3x-1=0.$

Aici $p=-3,$ $q=-1,$ $\Delta=\frac14-1\lt 0,$ $r=1.$ Cu $x=2\cos\varphi\text{:}$ $\cos 3\varphi=\frac12,$ $3\varphi=60^\circ,$ $\varphi=20^\circ.$ Răspuns: $x=2\cos 20^\circ\approx 1{,}8794,$ $x=2\cos 140^\circ\approx -1{,}5321,$ $x=2\cos 260^\circ\approx -0{,}3473.$

10. Fără a le rezolva, află câte rădăcini reale are fiecare ecuație: a) $x^3+3x-5=0;$ b) $x^3-12x+16=0;$ c) $x^3-12x+5=0.$

a) $\Delta=\frac{25}{4}+1\gt 0\text{:}$ o rădăcină reală. b) $\Delta=64-64=0\text{:}$ două rădăcini reale distincte, rădăcina dublă $x=2$ și rădăcina $x=-4.$ c) $\Delta=\frac{25}{4}-64\lt 0\text{:}$ trei rădăcini reale.

11. Rezolvă ecuația $x^4+x^3-7x^2-x+6=0.$

Suma coeficienților este $0,$ deci $x=1$ este rădăcină, și la fel este $x=-1$ ($1-7+6=0$ și $1-1=0$). Împărțind la $x-1$ și apoi la $x+1$ cu schema lui Horner rămâne ${x^2+x-6}={(x-2)(x+3).}$ Răspuns: $x=-3,$ $x=-1,$ $x=1,$ $x=2.$

12. Rezolvă ecuația ${(x^2+x)^2}-{8(x^2+x)+12}={0.}$

Cu $y=x^2+x\text{:}$ $y^2-8y+12=0,$ $y=2$ sau $y=6.$ Atunci $x^2+x-2=0$ dă $x=1,$ $x=-2,$ iar $x^2+x-6=0$ dă $x=2,$ $x=-3.$ Răspuns: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=1,$ $x=2.$

13. Rezolvă ecuația ${x(x+1)(x+2)(x+3)}={120.}$

$x(x+3)=x^2+3x$ și ${(x+1)(x+2)}={x^2+3x+2.}$ Cu $y=x^2+3x\text{:}$ $y(y+2)=120,$ $y=10$ sau $y=-12.$ Atunci $x^2+3x-10=0$ dă $x=2,$ $x=-5,$ iar $x^2+3x+12=0$ nu are rădăcini reale. Răspuns: $x=-5,$ $x=2.$

14. Rezolvă ecuația ${2x^4+3x^3-x^2+3x+2}={0.}$

Este o ecuație reciprocă. Împărțim la $x^2$ și facem schimbarea $t=x+\frac{1}{x}\text{:}$ $2(t^2-2)+3t-1=0,$ $2t^2+3t-5=0,$ $t=1$ sau $t=-\frac52.$ Ecuația $x+\frac{1}{x}=1$ nu are rădăcini reale, iar $x+\frac{1}{x}=-\frac52$ dă $2x^2+5x+2=0.$ Răspuns: $x=-2,$ $x=-\frac12.$

15. Rezolvă ecuația $x^4+4x-1=0$ cu metoda lui Ferrari.

${(x^2+m)^2}={2mx^2-4x+(m^2+1).}$ Membrul drept este pătrat perfect când $16=8m(m^2+1),$ adică $m(m^2+1)=2\text{:}$ $m=1.$ Atunci $(x^2+1)^2=2(x-1)^2,$ deci $x^2+1=\pm\sqrt{2}(x-1).$ Ecuația $x^2-\sqrt{2}x+1+\sqrt{2}=0$ nu are rădăcini reale, iar $x^2+\sqrt{2}x+1-\sqrt{2}=0$ dă cele două rădăcini reale. Răspuns: $x=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2},$ adică $x\approx 0{,}2490$ și $x\approx -1{,}6633.$