Inecuații liniare

O inecuație (sau inegalitate) compară două expresii prin unul dintre semnele $\lt$ (mai mic decât), $\gt$ (mai mare decât), $\le$ (mai mic sau egal cu) sau $\ge$ (mai mare sau egal cu). De exemplu, ${3x-5\lt6-2x}$ este o inecuație cu necunoscuta $x.$ Un număr este o soluție a inecuației dacă inegalitatea este adevărată când înlocuim $x$ cu acel număr. A rezolva o inecuație înseamnă a afla toate soluțiile ei; împreună ele formează mulțimea soluțiilor inecuației. Inecuațiile care au aceeași mulțime de soluții se numesc inecuații echivalente.

De exemplu, $1$ este o soluție a inecuației ${3x-5\lt6-2x}\text{:}$ primul membru este ${3\cdot1-5=-2},$ al doilea este ${6-2\cdot1=4},$ și ${-2\lt4}$ este adevărat. Numărul $3$ nu este soluție: ${3\cdot3-5=4},$ ${6-2\cdot3=0},$ și ${4\lt0}$ este fals. O ecuație ca ${3x-5=6-2x}$ are o singură soluție, dar o inecuație are de obicei infinit de multe. De aceea scriem răspunsul ca interval și îl reprezentăm pe axa numerelor.

Pe această pagină: Inecuația liniară · Notația cu intervale · Regulile · Pas cu pas · Exemple rezolvate · Cazuri speciale · Inecuații compuse · Valoarea absolută · Probleme cu text · Exersare

Ce este o inecuație liniară?

O inecuație liniară (sau inecuație de gradul întâi) cu o necunoscută este o inecuație care poate fi scrisă într-una dintre formele

${ax+b\lt0},$   ${ax+b\gt0},$   ${ax+b\le0},$   ${ax+b\ge0},$

unde $a$ și $b$ sunt numere și ${a\ne0}.$ De exemplu, ${2x-6\gt0},$ ${3x-5\lt6-2x}$ și ${\frac{x}{2}+1\ge x}$ sunt inecuații liniare (în a doua putem muta toți termenii în primul membru și obținem ${5x-11\lt0}$). Inegalitățile cu $\lt$ și $\gt$ se numesc stricte; cele cu $\le$ și $\ge$ sunt nestricte. O inegalitate nestrictă admite și egalitatea, deci și capătul, numărul în care cei doi membri sunt egali, este soluție.

Cum scriem mulțimea soluțiilor: intervale și axa numerelor

Soluțiile unei inecuații liniare ocupă o întreagă semidreaptă a axei numerelor. Mulțimea soluțiilor se poate scrie în trei moduri: ca inegalitate, ${x\lt2};$ în notația cu mulțimi, ${\{x\mid x\lt2\}}$ (se citește „mulțimea tuturor lui $x$ cu proprietatea că $x$ este mai mic decât $2$”); sau în notația cu intervale, ${(-\infty,\ 2)}.$ Pe axa numerelor, un punct plin arată că numărul aparține mulțimii, iar un punct gol arată că nu aparține.

Inegalitate	Interval	Axa numerelor
${x\gt a}$	${(a,\ +\infty)}$
${x\ge a}$	${[a,\ +\infty)}$
${x\lt a}$	${(-\infty,\ a)}$
${x\le a}$	${(-\infty,\ a]}$
${a\lt x\lt b}$	${(a,\ b)}$
${a\le x\le b}$	${[a,\ b]}$
${a\le x\lt b}$	${[a,\ b)}$
${a\lt x\le b}$	${(a,\ b]}$

Aici $a$ și $b$ reprezintă două numere oarecare cu ${a\lt b}.$

Unele cărți marchează capetele pe axa numerelor cu paranteze în loc de puncte: o paranteză rotundă în loc de un punct gol și o paranteză dreaptă în loc de un punct plin, deschise spre partea soluțiilor. Cele două desene înseamnă același lucru.

Regulile pentru rezolvarea inecuațiilor

O inecuație se rezolvă aproape ca o ecuație: pas cu pas o înlocuim cu inecuații echivalente mai simple, până rămâne $x$ singur. Două reguli ne spun ce pași sunt permiși. Pentru orice numere reale $a,$ $b$ și $c\text{:}$

De ce trebuie inversat sensul? Să luăm inegalitatea adevărată ${2\lt5}$ și să înmulțim ambii membri cu $-1.$ Obținem $-2$ și $-5,$ iar pe axa numerelor $-2$ se află la dreapta lui $-5,$ deci ${-2\gt-5}.$ Înmulțirea cu $-1$ reflectă fiecare număr față de $0,$ și ordinea numerelor se inversează:

Nu înmulți și nu împărți niciodată ambii membri cu o expresie al cărei semn nu îl cunoști, ca $x$ sau ${x-1}\text{:}$ nu ai ști dacă trebuie să păstrezi sau să inversezi sensul inegalității.

Cum rezolvăm o inecuație liniară pas cu pas

1. Fracții. Dacă sunt fracții, înmulțește ambii membri cu cel mai mic numitor comun. Este un număr pozitiv, deci sensul nu se schimbă.
2. Paranteze. Desfă parantezele și reduce termenii asemenea în fiecare membru.
3. Mutarea termenilor. Mută termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt. Orice termen care trece în celălalt membru își schimbă semnul.
4. Împărțirea. Împarte ambii membri la coeficientul lui $x.$ Dacă acest coeficient este negativ, inversează sensul inegalității.
5. Răspunsul. Scrie mulțimea soluțiilor în notația cu intervale și reprezint-o pe axa numerelor.
6. Verificarea. Un număr din răspunsul tău trebuie să verifice inecuația inițială, iar un număr care nu se află în el nu trebuie să o verifice. În capăt, cei doi membri sunt egali.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă ${3x-5\lt6-2x}$ și reprezintă mulțimea soluțiilor.

$3x-5\lt6-2x$

$3x+2x\lt6+5$ mutăm $-2x$ în primul membru și $-5$ în al doilea

$5x\lt11$

$x\lt\frac{11}{5}$ împărțim la ${5\gt0},$ sensul nu se schimbă

Orice număr mai mic decât ${\frac{11}{5}=2{,}2}$ este soluție. Mulțimea soluțiilor este ${\left\{x\mid x\lt\frac{11}{5}\right\}},$ adică ${\left(-\infty,\ \frac{11}{5}\right)}.$ Punctul din $\frac{11}{5}$ este gol, pentru că $\frac{11}{5}$ nu este soluție: pentru ${x=\frac{11}{5}},$ ambii membri sunt $\frac{8}{5}.$

Verificare: ${x=0}$ se află în răspuns, iar ${-5\lt6}$ este adevărat; ${x=3}$ nu se află, iar ${4\lt0}$ este fals.

Putem verifica și cu un grafic. Desenăm dreptele ${y_1=3x-5}$ și ${y_2=6-2x}.$ Ele se intersectează în punctul ${(2{,}2;\ 1{,}6)}.$ Inecuația ${y_1\lt y_2}$ întreabă unde se află dreapta $y_1$ sub dreapta $y_2,$ iar asta se întâmplă exact la stânga lui ${x=2{,}2}.$

Exemplul 2. Rezolvă ${13-7x\ge10x-4}.$

$13-7x\ge10x-4$

$-7x-10x\ge-4-13$ mutăm $10x$ în primul membru și $13$ în al doilea

$-17x\ge-17$

$x\le1$ împărțim la ${-17\lt0},$ sensul se inversează

Mulțimea soluțiilor este ${\{x\mid x\le1\}},$ adică ${(-\infty,\ 1]}.$ Punctul din $1$ este plin: pentru ${x=1},$ ambii membri sunt $6,$ și ${6\ge6}$ este adevărat.

Poți evita împărțirea la un număr negativ dacă aduni termenii cu $x$ în membrul în care coeficientul lor rămâne pozitiv: ${13+4\ge10x+7x},$ deci ${17\ge17x}$ și ${1\ge x},$ ceea ce este același lucru cu ${x\le1}.$

Exemplul 3. Rezolvă ${\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}\lt1}.$

Cel mai mic numitor comun este $6.$ Înmulțim ambii membri cu $6$ (un număr pozitiv, deci sensul nu se schimbă). Fiecare numărător se pune între paranteze:

$3(x+1)-2(2x-1)\lt6$

$3x+3-4x+2\lt6$

$-x+5\lt6$

$-x\lt1$

$x\gt-1$ înmulțim cu $-1$ și inversăm sensul

Mulțimea soluțiilor este ${(-1,\ +\infty)}.$

Parantezele sunt importante: semnul minus din fața fracției $\frac{2x-1}{3}$ afectează întregul numărător, deci ${-2(2x-1)=-4x+2},$ și nu ${-4x-1}.$ Verificare cu ${x=5}\text{:}$ ${\frac{6}{2}-\frac{9}{3}=3-3=0},$ și ${0\lt1}$ este adevărat.

Cazuri speciale: nicio soluție sau toate numerele reale

Uneori termenii cu $x$ se reduc: coeficientul lui $x$ devine $0.$ Atunci rămâne o inegalitate între două numere, care este fie întotdeauna adevărată, fie întotdeauna falsă.

Exemplul 4. Rezolvă ${2(x+3)\gt2x+1}.$

$2x+6\gt2x+1$

$6\gt1$ scădem $2x$

Aceasta este adevărată oricare ar fi $x,$ deci orice număr real este soluție: mulțimea soluțiilor este ${(-\infty,\ +\infty)=\mathbb{R}}.$

Exemplul 5. Rezolvă ${2(x+3)\lt2x+1}.$

$2x+6\lt2x+1$

$6\lt1$ scădem $2x$

Aceasta este falsă pentru orice $x,$ deci inecuația nu are soluții. Mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă $\varnothing.$

Inecuații compuse

Când două inecuații sunt unite prin cuvântul și sau prin cuvântul sau, ele formează o inecuație compusă.

Duble inegalități

Conjuncția ${-3\lt2x+5}$ și ${2x+5\le7}$ se scrie de obicei prescurtat, ca dublă inegalitate ${-3\lt2x+5\le7}.$ Pentru a rezolva o dublă inegalitate, facem aceeași operație în toate cele trei părți.

Exemplul 6. Rezolvă ${-3\lt2x+5\le7}$ și reprezintă mulțimea soluțiilor.

$-3\lt2x+5\le7$

$-8\lt2x\le2$ scădem $5$ din toate cele trei părți

$-4\lt x\le1$ împărțim toate cele trei părți la $2$

Mulțimea soluțiilor este ${\{x\mid-4\lt x\le1\}},$ adică ${(-4,\ 1]}.$

Exemplul 7. Rezolvă ${1\lt5-2x\le9}.$

$-4\lt-2x\le4$ scădem $5$ din toate cele trei părți

$2\gt x\ge-2$ împărțim la $-2$ și inversăm ambele semne

Scriem rezultatul de la numărul mai mic la cel mai mare: ${-2\le x\lt2}.$ Mulțimea soluțiilor este ${[-2,\ 2)}.$

Două inecuații unite prin „și” sau „sau”

Exemplul 8. Rezolvă ${3x-1\gt5}$ și ${2x+3\le15}.$

O astfel de pereche se mai numește și sistem de inecuații și se scrie cu acoladă:

$$\begin{cases}3x-1\gt5\\2x+3\le15\end{cases}$$

Rezolvăm fiecare inecuație: ${3x\gt6},$ deci ${x\gt2};$ ${2x\le12},$ deci ${x\le6}.$ Ambele condiții trebuie îndeplinite, deci luăm partea comună a celor două semidrepte: ${2\lt x\le6}.$ Mulțimea soluțiilor este ${(2,\ 6]}.$

Dacă cele două semidrepte merg în același sens, partea comună este semidreapta cuprinsă în cealaltă: ${x\gt2}$ și ${x\gt5}$ împreună dau ${x\gt5}.$ Dacă cele două semidrepte nu au parte comună, sistemul nu are soluții. De exemplu, niciun număr nu verifică simultan ${x\lt1}$ și ${x\gt4}.$

Exemplul 9. Rezolvă ${2x-5\le-7}$ sau ${2x-5\gt1}$ și reprezintă mulțimea soluțiilor.

${2x\le-2}$ sau ${2x\gt6}$ adunăm $5$

${x\le-1}$ sau ${x\gt3}$ împărțim la $2$

Mulțimea soluțiilor este ${\{x\mid x\le-1\ \text{o}\ x\gt3\}}.$ În notația cu intervale unim cele două intervale cu semnul reuniunii: ${(-\infty,\ -1]\cup(3,\ +\infty)}.$

O disjuncție ca aceasta nu se poate prescurta ca o dublă inegalitate. „${3\lt x\le-1}$” ar însemna că $x$ este mai mare decât $3$ și, în același timp, nu este mai mare decât $-1,$ și nu există niciun astfel de număr.

Pentru a verifica cu un grafic, desenează ${y_1=2x-5}$ și dreptele orizontale ${y_2=-7}$ și ${y_3=1}.$ Dreapta $y_1$ se află sub ${y_2=-7},$ sau o atinge, pentru ${x\le-1},$ și deasupra lui ${y_3=1}$ pentru ${x\gt3}.$

Inecuații cu valoare absolută

Valoarea absolută $|x|$ a unui număr $x$ este distanța lui până la $0$ pe axa numerelor (vezi Valori absolute). Astfel, ${|x|\lt3}$ înseamnă că $x$ se află la mai puțin de $3$ unități de $0,$ adică ${-3\lt x\lt3}.$ Iar ${|x|\gt3}$ înseamnă că $x$ se află la mai mult de $3$ unități de $0,$ adică ${x\lt-3}$ sau ${x\gt3}.$

De exemplu, ${|x|\lt3}$ este echivalentă cu ${-3\lt x\lt3};$ ${|y|\ge1}$ este echivalentă cu ${y\le-1}$ sau ${y\ge1};$ iar ${|2x+3|\le4}$ este echivalentă cu ${-4\le2x+3\le4}.$

Exemplul 10. Rezolvă ${|3x+2|\lt5}$ și reprezintă mulțimea soluțiilor.

$-5\lt3x+2\lt5$ scriem dubla inegalitate echivalentă

$-7\lt3x\lt3$ scădem $2$ din toate cele trei părți

$-\frac{7}{3}\lt x\lt1$ împărțim toate cele trei părți la $3$

Mulțimea soluțiilor este ${\left\{x\mid-\frac{7}{3}\lt x\lt1\right\}},$ adică ${\left(-\frac{7}{3},\ 1\right)}.$

Verificare cu un grafic: graficul lui ${y=|3x+2|}$ are forma literei „V”, cu vârful în ${\left(-\frac{2}{3},\ 0\right)}.$ Se află sub dreapta ${y=5}$ exact între ${x=-\frac{7}{3}}$ și ${x=1}.$

Exemplul 11. Rezolvă ${|5-2x|\ge1}.$

${5-2x\le-1}$ sau ${5-2x\ge1}$ scriem disjuncția echivalentă

${-2x\le-6}$ sau ${-2x\ge-4}$ scădem $5$

${x\ge3}$ sau ${x\le2}$ împărțim la $-2$ și inversăm ambele semne

Mulțimea soluțiilor este ${\{x\mid x\le2\ \text{o}\ x\ge3\}},$ adică ${(-\infty,\ 2]\cup[3,\ +\infty)}.$

Exemplul 12. Expresia ${|x-c|}$ este distanța dintre numerele $x$ și $c.$ Rezolvă ${|x-4|\le2}.$

Căutăm numerele a căror distanță până la $4$ este cel mult $2\text{:}$ ele merg de la ${4-2=2}$ până la ${4+2=6},$ iar $2$ și $6$ sunt incluse. Aplicând regula:${-2\le x-4\le2},$ și adunând $4$ obținem ${2\le x\le6}.$ Mulțimea soluțiilor este ${[2,\ 6]}.$

Regulile de mai sus sunt enunțate pentru ${a\gt0}.$ Când numărul din al doilea membru este negativ sau zero, este mai rapid să ne amintim că o valoare absolută nu este niciodată negativă:

• ${|2x-1|\lt-3}$ nu are soluții;
• ${|2x-1|\ge-3}$ este adevărată pentru orice număr real $x;$
• ${|x-2|\le0}$ este adevărată doar când ${x-2=0},$ adică pentru ${x=2};$
• ${|x-2|\gt0}$ este adevărată pentru orice $x$ cu excepția lui ${x=2}.$

O aplicație: probleme cu text

Multe probleme cu text duc la inecuații. Aceste expresii îți arată ce semn trebuie să folosești:

În cuvinte	Inegalitate
$x$ este mai mare decât $5;$ $x$ depășește $5$	${x\gt5}$
$x$ este mai mic decât $5$	${x\lt5}$
$x$ este cel puțin $5;$ $x$ nu este mai mic decât $5$	${x\ge5}$
$x$ este cel mult $5;$ $x$ nu este mai mare decât $5$	${x\le5}$
$x$ se află între $2$ și $5$	${2\lt x\lt5}$

Exemplul 13. Planuri de plată. Pentru zugrăvirea unei case, lui Andrei i se poate plăti în una dintre aceste două moduri:

• Planul A: ${250}$ lei plus ${10}$ lei pe oră;
• Planul B: ${20}$ lei pe oră.

Să presupunem că lucrarea durează $n$ ore. Pentru ce valori ale lui $n$ îi convine mai mult lui Andrei planul B?

1. Înțelegerea problemei. Să încercăm cu câteva numere. Dacă lucrarea durează $20$ ore, planul A plătește ${250+10\cdot20=450}$ lei, iar planul B plătește ${20\cdot20=400}$ lei: convine mai mult planul A. Dacă lucrarea durează $30$ ore, planul A plătește ${250+10\cdot30=550}$ lei, iar planul B plătește ${20\cdot30=600}$ lei: acum convine mai mult planul B. Pentru a afla toate valorile lui $n$ pentru care convine mai mult planul B, rezolvăm o inecuație.

2. Scrierea inecuației. În $n$ ore, planul A plătește ${250+10n}$ lei, iar planul B plătește ${20n}$ lei. „Planul B plătește mai mult decât planul A” se traduce prin

$$\underbrace{20n}_{\text{planul B}}\gt\underbrace{250+10n}_{\text{planul A}}.$$

3. Rezolvarea.

$20n\gt250+10n$

$10n\gt250$ scădem $10n$

$n\gt25$ împărțim la $10$

4. Verificarea. Pentru ${n=25},$ planul A plătește ${250+10\cdot25=500}$ lei, iar planul B plătește ${20\cdot25=500}$ lei: cele două planuri plătesc la fel. La lucrarea de $30$ ore de la pasul 1, planul B plătea mai mult, și ${30\gt25}.$ Graficul arată același lucru: dreapta planului B se află deasupra dreptei planului A la dreapta lui ${n=25}.$

5. Răspunsul. Lui Andrei îi convine mai mult planul B când lucrarea durează mai mult de $25$ ore.

Exemplul 14. Ana a luat $78,$ $85$ și $90$ puncte la trei teste. Fiecare test este notat din $100$ puncte. Ce punctaj îi trebuie la al patrulea test ca să aibă o medie de cel puțin $85?$

Fie $x$ punctajul de la al patrulea test. Media celor patru punctaje trebuie să fie cel puțin $85\text{:}$

$\frac{78+85+90+x}{4}\ge85$

$253+x\ge340$ înmulțim cu $4$

$x\ge87$ scădem $253$

Un punctaj nu poate fi mai mare decât $100,$ deci răspunsul este ${87\le x\le100}\text{:}$ Ana are nevoie de cel puțin $87$ puncte.

Probleme pentru exersat

1. Rezolvă și scrie răspunsul în notația cu intervale: a) ${4x-7\ge9};$ b) ${5-3x\gt11};$ c) ${7x+2\lt4x-10}.$

Răspuns

a) ${4x\ge16},$ deci ${x\ge4}\text{:}$ ${[4,\ +\infty)}.$

b) ${-3x\gt6},$ deci ${x\lt-2}$ (împărțim la $-3$ și inversăm sensul): ${(-\infty,\ -2)}.$

c) ${3x\lt-12},$ deci ${x\lt-4}\text{:}$ ${(-\infty,\ -4)}.$

2. Rezolvă: a) ${3(x-2)-2(x+1)\le4};$ b) ${2(x-3)-5x\ge x+2}.$

Răspuns

a) ${3x-6-2x-2\le4},$ deci ${x-8\le4}$ și ${x\le12}\text{:}$ ${(-\infty,\ 12]}.$

b) ${2x-6-5x\ge x+2},$ deci ${-3x-6\ge x+2},$ ${-4x\ge8}$ și ${x\le-2}\text{:}$ ${(-\infty,\ -2]}.$

3. Rezolvă: a) ${\frac{x}{3}-\frac{x-2}{4}\gt1};$ b) ${\frac{2x-1}{5}\le\frac{x+4}{2}}.$

Răspuns

a) Înmulțim cu $12\text{:}$ ${4x-3(x-2)\gt12},$ deci ${4x-3x+6\gt12}$ și ${x\gt6}\text{:}$ ${(6,\ +\infty)}.$

b) Înmulțim cu $10\text{:}$ ${2(2x-1)\le5(x+4)},$ deci ${4x-2\le5x+20},$ ${-x\le22}$ și ${x\ge-22}\text{:}$ ${[-22,\ +\infty)}.$

4. Rezolvă ${0{,}4x-1{,}2\lt0{,}1x+0{,}3}.$

Răspuns

${0{,}3x\lt1{,}5},$ deci ${x\lt5}\text{:}$ ${(-\infty,\ 5)}.$ (Poți și să înmulțești mai întâi ambii membri cu $10\text{:}$ ${4x-12\lt x+3}.$)

5. Rezolvă: a) ${3(x-1)\ge3x-5};$ b) ${4x+1\lt2(2x-3)}.$

Răspuns

a) ${3x-3\ge3x-5},$ deci ${-3\ge-5},$ ceea ce este adevărat: orice număr real este soluție, ${(-\infty,\ +\infty)}.$

b) ${4x+1\lt4x-6},$ deci ${1\lt-6},$ ceea ce este fals: nu are soluții.

6. Rezolvă dublele inegalități: a) ${-5\le3x+1\lt7};$ b) ${-1\lt\frac{4-x}{3}\le2}.$

Răspuns

a) ${-6\le3x\lt6},$ deci ${-2\le x\lt2}\text{:}$ ${[-2,\ 2)}.$

b) Înmulțim cu $3\text{:}$ ${-3\lt4-x\le6},$ apoi ${-7\lt-x\le2},$ și înmulțind cu $-1\text{:}$ ${7\gt x\ge-2}.$ Răspunsul este ${[-2,\ 7)}.$

7. Rezolvă: a) ${2x+1\gt3}$ și ${3x-4\lt11};$ b) ${x-3\lt-5}$ sau ${2x\ge4};$ c) ${5x\gt10}$ și ${x+4\lt3}.$

Răspuns

a) ${x\gt1}$ și ${x\lt5}\text{:}$ ${(1,\ 5)}.$

b) ${x\lt-2}$ sau ${x\ge2}\text{:}$ ${(-\infty,\ -2)\cup[2,\ +\infty)}.$

c) ${x\gt2}$ și ${x\lt-1}\text{:}$ semidreptele nu au parte comună, deci nu există soluții.

8. Rezolvă: a) ${|x-3|\lt4};$ b) ${|2x+1|\ge5};$ c) ${|4-3x|\le2};$ d) ${|x+5|\lt-1}.$

Răspuns

a) ${-4\lt x-3\lt4},$ deci ${-1\lt x\lt7}\text{:}$ ${(-1,\ 7)}.$

b) ${2x+1\le-5}$ sau ${2x+1\ge5},$ deci ${x\le-3}$ sau ${x\ge2}\text{:}$ ${(-\infty,\ -3]\cup[2,\ +\infty)}.$

c) ${-2\le4-3x\le2},$ deci ${-6\le-3x\le-2}$ și ${2\ge x\ge\frac{2}{3}}$ (împărțim la $-3$ și inversăm ambele semne): ${\left[\frac{2}{3},\ 2\right]}.$

d) O valoare absolută nu este niciodată negativă: nu are soluții.

9. Află toate numerele întregi care verifică ${-2\lt\frac{3x+1}{2}\le5}.$

Răspuns

Înmulțim cu $2\text{:}$ ${-4\lt3x+1\le10},$ deci ${-5\lt3x\le9}$ și ${-\frac{5}{3}\lt x\le3}.$ Numerele întregi din acest interval sunt $-1,$ $0,$ $1,$ $2$ și $3.$

10. O cursă cu taxiul costă ${3}$ lei plus ${1{,}50}$ lei pe kilometru. Câți kilometri poți parcurge cheltuind cel mult ${30}$ lei?

Răspuns

Pentru $d$ kilometri: ${3+1{,}5d\le30},$ deci ${1{,}5d\le27}$ și ${d\le18}.$ Poți parcurge cel mult $18$ km.

11. Lungimea unui dreptunghi este cu $3$ cm mai mare decât lățimea. Perimetrul este de cel mult $46$ cm. Cât poate fi lățimea?

Răspuns

Pentru lățimea $w\text{:}$ ${2(w+w+3)\le46},$ deci ${4w+6\le46}$ și ${w\le10}.$ Lățimea trebuie să fie pozitivă, deci ${0\lt w\le10}\text{:}$ lățimea este de cel mult $10$ cm.

12. Pentru ce valori ale lui $x$ valoarea expresiei ${\frac{5-2x}{3}}$ nu este negativă?

Răspuns

„Nenegativ” înseamnă ${\ge0}\text{:}$ ${\frac{5-2x}{3}\ge0},$ deci ${5-2x\ge0},$ ${-2x\ge-5}$ și ${x\le\frac{5}{2}}\text{:}$ ${\left(-\infty,\ \frac{5}{2}\right]}.$

Temele următoare: Inecuații de gradul al doilea și Inecuații polinomiale și raționale. Îți poți verifica răspunsurile cu calculatorul de probleme.