Sistemul de coordonate și grafice

Planul cartezian transformă geometria în numere: fiecărui punct îi corespunde o pereche de numere, iar fiecărei ecuații cu două variabile, un desen: graficul ei. Pe această pagină construim planul cartezian, reprezentăm puncte și apoi trasăm graficele unor ecuații și funcții. La final translatăm, reflectăm și dilatăm grafice fără să calculăm noi tabele de valori.

Pe această pagină: Planul cartezian · Perechi ordonate · Reprezentarea punctelor · Cadrane · Graficul unei ecuații · Intersecțiile cu axele · Simetrie · Graficul unei funcții · Translații · Reflexii · Dilatare · Exerciții

Sistemul de coordonate rectangulare

Un sistem de coordonate rectangulare (numit și sistem de coordonate carteziene) este format din două axe ale numerelor perpendiculare, numite axe de coordonate, așezate astfel încât să se intersecteze în punctul zero al fiecăreia. Punctul comun este originea sistemului de coordonate $O.$ De obicei una dintre axe este orizontală, cu numerele pozitive la dreapta, iar cealaltă este verticală, cu numerele pozitive în sus. De regulă, cele două axe folosesc aceeași unitate de lungime.

Axa orizontală se notează de obicei cu litera $x,$ iar cea verticală, cu litera $y.$ Atunci axele se numesc axa $x$ (sau axa absciselor) și axa $y$ (sau axa ordonatelor), iar planul se numește planul $xy.$ Aceasta este doar o convenție: se poate folosi orice literă. În aplicații, literele arată de obicei ce se măsoară, de exemplu $t$ pentru timp și $s$ pentru distanță. Planul primește numele după literele axelor sale orizontală și verticală: cu axele $u$ și $v$ este planul $uv,$ cu $t$ și $s,$ planul $ts,$ și așa mai departe.

Perechi ordonate și coordonatele unui punct

O pereche ordonată de numere reale este formată din două numere reale scrise într-o ordine fixă: $(a, b).$ Ordinea contează: $(4, 3)$ și $(3, 4)$ sunt perechi diferite. Două perechi ordonate sunt egale dacă și numai dacă au același prim număr și același al doilea număr.

Fiecărui punct $P$ din planul cartezian îi corespunde exact o pereche ordonată. Trasează prin $P$ două drepte: una perpendiculară pe axa $x$ și alta perpendiculară pe axa $y.$ Dacă prima dreaptă intersectează axa $x$ în numărul $a$ iar a doua intersectează axa $y$ în numărul $b,$ atunci $a$ este coordonata $x$ a lui $P$ iar $b$ este coordonata sa $y,$ și scriem $P(a, b).$ Coordonata $x$ se mai numește abscisă, iar coordonata $y,$ ordonată. Reciproc, fiecare pereche ordonată $(a, b)$ determină exact un punct.

Coordonata $x$ se scrie întotdeauna prima: $P(a, b)$ înseamnă $a$ unități de-a lungul axei $x$ și $b$ unități de-a lungul axei $y.$

Reprezentarea punctelor

A reprezenta punctul $P(a, b)$ înseamnă a-l plasa în planul cartezian. Pornește din origine, deplasează-te $|a|$ unități la dreapta dacă ${a\gt0}$ sau la stânga dacă ${a\lt0},$ și apoi $|b|$ unități în sus dacă ${b\gt0}$ sau în jos dacă ${b\lt0}.$ Pentru punctul $P(4, 3)$ mergem $4$ unități la dreapta și $3$ unități în sus. Punctul $Q(3, 4)$ este un punct diferit.

Figura următoare arată punctele $P(2, 5),$ $Q(-4, 3),$ $R(-5, -2)$ și $S(4, -3).$ Liniile punctate indică coordonatele fiecărui punct.

Un punct cu ordonata $0$ se află pe axa $x,$ de exemplu, $(3, 0),$ iar un punct cu abscisa $0$ se află pe axa $y,$ de exemplu, $(0, -2).$ Originea este punctul $O(0, 0).$

Cadrane

Axele de coordonate împart planul în patru regiuni numite cadrane. Ele se numerotează cu cifre romane în sens invers acelor de ceasornic, începând cu cel din dreapta sus: cadranul întâi (I), al doilea (II), al treilea (III) și al patrulea (IV). În fiecare cadran, semnele coordonatelor sunt mereu aceleași:

Cadran	I	II	III	IV
$x$	$+$	$-$	$-$	$+$
$y$	$+$	$+$	$-$	$-$

De exemplu, $P(2, 5)$ se află în cadranul întâi, $Q(-4, 3)$ în al doilea, $R(-5, -2)$ în al treilea și $S(4, -3)$ în al patrulea. Un punct situat pe o axă, cum ar fi $(3, 0)$ sau $(0, -2),$ nu aparține niciunui cadran.

Graficul unei ecuații

Pentru a verifica dacă un punct se află pe un grafic, înlocuiește coordonatele lui în ecuație. Punctul $(2, 4)$ se află pe graficul lui ${y=x^2},$ deoarece ${4=2^2}.$ Punctul $(3, 6)$ nu se află pe grafic, deoarece ${3^2=9\ne6}.$

Trasarea unui grafic punct cu punct

Cel mai simplu mod de a trasa un grafic este să calculezi un tabel de valori, să reprezinți punctele și să le unești printr-o curbă netedă.

Exemplul 1. Trasează graficul lui ${y=x^2}.$

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Reprezentăm cele șapte puncte $(-3, 9),$ $(-2, 4),$ $(-1, 1),$ $(0, 0),$ $(1, 1),$ $(2, 4),$ $(3, 9)$ și le unim printr-o curbă netedă. Această curbă se numește parabolă. (Pentru ca punctul $(3, 9)$ să încapă în figură, unitatea de pe axa $y$ este mai scurtă decât cea de pe axa $x.$)

Câteva puncte doar sugerează forma unui grafic: nu știm sigur ce se întâmplă între ele. Cu mai multe puncte obținem o imagine mai fidelă, iar calculul diferențial oferă metode pentru a afla forma exactă, de exemplu unde urcă sau coboară un grafic și cum se curbează.

Exemplul 2. Trasează graficul lui ${y=\frac{1}{x}}.$

Împărțirea la zero nu este definită, așa că ${x\ne0}\text{:}$ graficul nu are niciun punct pe axa $y.$ Luăm valori ale lui $x$ pozitive și negative, inclusiv câteva apropiate de $0.$

$x$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$
$y=\frac{1}{x}$	$3$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$
$x$	$-\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$-1$	$-2$	$-3$
$y=\frac{1}{x}$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{3}$

Punctele cu ${x\gt0}$ se află în cadranul întâi, iar punctele cu ${x\lt0},$ în al treilea. Graficul are două părți separate (ramuri) și nu trebuie să le unim traversând axa $y.$ Când $x$ se apropie de $0,$ valoarea $\frac{1}{x}$ devine foarte mare în valoare absolută, iar când $|x|$ crește, $\frac{1}{x}$ se apropie de $0.$ De aceea graficul se apropie tot mai mult de axe, dar nu le atinge niciodată. Această curbă se numește hiperbolă.

Intersecțiile cu axele

Punctele în care un grafic intersectează axele de coordonate sunt deosebit de utile pentru trasarea lui. O intersecție cu axa $x$ a unui grafic este abscisa unui punct în care graficul intersectează axa $x,$ iar o intersecție cu axa $y$ este ordonata unui punct în care graficul intersectează axa $y.$

Exemplul 3. Află toate intersecțiile cu axele ale graficelor a) ${3x+2y=6};$ b) ${x=y^2-2y};$ c) ${y=\frac{1}{x}}.$

a) Intersecția cu axa $x\text{:}$ punem ${y=0}$ și obținem ${3x=6},$ de unde ${x=2}.$ Intersecția cu axa $y\text{:}$ punem ${x=0}$ și obținem ${2y=6},$ de unde ${y=3}.$ Graficul este dreapta care trece prin punctele $(2, 0)$ și $(0, 3).$

b) Intersecția cu axa $x\text{:}$ pentru ${y=0}$ obținem ${x=0^2-2\cdot0=0},$ deci intersecția cu axa $x$ este $0.$ Intersecțiile cu axa $y\text{:}$ pentru ${x=0}$ obținem ${y^2-2y=0},$ adică ${y(y-2)=0},$ de unde ${y=0}$ sau ${y=2}.$ Graficul intersectează axele în $(0, 0)$ și $(0, 2).$ Este o parabolă cu deschiderea spre dreapta, cu vârful în $(-1, 1)\text{:}$ putem scrie ${x=(y-1)^2-1},$ deci $x$ își atinge valoarea minimă, ${x=-1},$ când ${y=1}.$

c) Intersecțiile cu axa $x\text{:}$ pentru ${y=0}$ obținem ${\frac{1}{x}=0}.$ O fracție cu numărătorul $1$ nu este niciodată egală cu $0,$ deci ecuația nu are soluție și nu există intersecție cu axa $x.$ Intersecțiile cu axa $y\text{:}$ ${x=0}$ nu este permis, deoarece $\frac{1}{0}$ nu este definit, așa că nu există nici intersecție cu axa $y.$ Graficul lui ${y=\frac{1}{x}}$ nu intersectează axele, așa cum am văzut în exemplul 2.

Simetrie

În figura de mai jos, punctele $(x, y),$ $(-x, y),$ $(-x, -y)$ și $(x, -y)$ sunt vârfurile unui dreptunghi al cărui centru este originea. Punctul $(x, -y)$ este simetricul lui $(x, y)$ față de axa $x,$ punctul $(-x, y)$ este simetricul său față de axa $y,$ iar $(-x, -y)$ este simetricul lui $(x, y)$ față de origine.

Un grafic simetric este mai ușor de desenat: trasăm o jumătate și obținem cealaltă prin reflexie. Definițiile dau criterii simple. Un grafic este simetric față de axa $x$ dacă, înlocuind $y$ cu $-y$ se obține o ecuație echivalentă; este simetric față de axa $y$ dacă, înlocuind $x$ cu $-x$ se obține o ecuație echivalentă, și este simetric față de origine dacă, înlocuind simultan $x$ cu $-x$ și $y$ cu $-y$ se obține o ecuație echivalentă.

Exemplul 4. Studiază simetria graficelor lui ${y=x^2},$ ${y=\frac{1}{x}}$ și ${x=y^2-2y}.$

Pentru ${y=x^2}\text{:}$ înlocuind $x$ cu $-x$ obținem ${y=(-x)^2=x^2},$ aceeași ecuație. Înlocuind $y$ cu $-y$ obținem ${-y=x^2},$ adică ${y=-x^2},$ care este o ecuație diferită: punctul $(1, 1)$ o verifică pe prima, dar nu și pe a doua. Înlocuind simultan $x$ și $y$ obținem ${-y=(-x)^2},$ adică din nou ${y=-x^2},$ deci nu există nici simetrie față de origine.

Pentru ${y=\frac{1}{x}}\text{:}$ înlocuind simultan $x$ și $y$ obținem ${-y=\frac{1}{-x}},$ adică din nou ${y=\frac{1}{x}}.$ Înlocuind doar $x$ (sau doar $y$) obținem ${y=-\frac{1}{x}},$ o ecuație diferită: punctul $(1, 1)$ verifică ${y=\frac{1}{x}},$ dar nu și ${y=-\frac{1}{x}}.$

Pentru ${x=y^2-2y}\text{:}$ punctul $(0, 2)$ se află pe grafic, dar $(0, -2)$ nu, deoarece ${(-2)^2-2\cdot(-2)}={8}\ne{0}.$ Punctul $(-1, 1)$ se află pe grafic, dar $(1, 1)$ nu, deoarece ${1^2-2\cdot1=-1\ne1}.$ Prin urmare, graficul nu este simetric nici față de axa $x$ nici față de axa $y.$ Nu este simetric nici față de origine: simetricul lui $(0, 2)$ față de origine este tot $(0, -2),$ care nu se află pe grafic. (Este însă simetric față de dreapta orizontală ${y=1},$ care trece prin vârful său.)

Grafic	Simetric față de
	axa $x$	axa $y$	origine
${y=x^2}$	nu	da	nu
${y=\frac{1}{x}}$	nu	nu	da
${x=y^2-2y}$	nu	nu	nu

Graficul unei funcții

Astfel, punctul $(a, b)$ se află pe graficul lui $f$ dacă și numai dacă $a$ aparține domeniului de definiție al lui $f$ și ${b=f(a)}.$ Valoarea $f(a)$ este înălțimea graficului deasupra punctului $a$ de pe axa $x;$ dacă ${f(a)\lt0},$ graficul se află acolo cu $|f(a)|$ unități sub axa $x.$

Exemplul 5. Trasează graficul lui ${f(x)=x+2}.$

Trasăm graficul lui ${y=x+2}.$ Pentru ${x=-2},$ $0$ și $2$ obținem ${y=0},$ $2$ și $4.$ Punctele $(-2, 0),$ $(0, 2)$ și $(2, 4)$ se află pe aceeași dreaptă. Nu este o coincidență: graficul lui ${f(x)=mx+b}$ este întotdeauna o dreaptă cu panta $m$ a cărei intersecție cu axa $y$ este $b$ (vezi lecția „Panta unei drepte”), deci sunt suficiente două puncte pentru a o trasa.

Exemplul 6. Trasează graficul lui ${f(x)=|x|}.$

Din definiția valorii absolute,

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{dacă } x\ge0,\\ -x, & \text{dacă } x\lt0.\end{cases}$$

Valoarea absolută a unui număr nenegativ este numărul însuși, iar valoarea absolută a unui număr negativ este opusul său. Astfel, pentru ${x\ge0}$ graficul este partea dreptei ${y=x}$ situată în cadranul întâi, împreună cu originea, iar pentru ${x\lt0}$ este partea dreptei ${y=-x}$ situată în cadranul al doilea. Unind cele două jumătăți obținem un V cu vârful în origine. Graficul este simetric față de axa $y,$ deoarece ${|{-x}|=|x|}.$

Exemplul 7. Trasează graficul lui ${t(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}.$

Funcția nu este definită în ${x=2},$ unde numitorul este egal cu $0.$ Pentru orice alt $x$ putem descompune numărătorul în factori și simplifica:

${t(x)}={\frac{x^2-4}{x-2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2}$   pentru ${x\ne2}.$

Prin urmare, graficul lui $t$ este dreapta ${y=x+2}$ fără punctul $(2, 4).$ În desen, punctul care lipsește se marchează cu un cerc gol (o gaură).

Exemplul 8. Trasează graficul lui

$$g(x)=\begin{cases}1, & \text{dacă } x\le2,\\ x+2, & \text{dacă } x\gt2.\end{cases}$$

Pentru ${x\le2}$ graficul este o parte a dreptei orizontale ${y=1}.$ Include punctul $(2, 1),$ deoarece ${g(2)=1}\text{:}$ îl desenăm ca un punct plin. Pentru ${x\gt2}$ graficul este o parte a dreptei ${y=x+2}.$ Începe în $(2, 4),$ dar acest punct nu aparține graficului, deoarece pentru ${x=2}$ se folosește prima formulă. Îl desenăm ca un cerc gol.

Testul dreptei verticale

O funcție dă o singură valoare $f(a)$ pentru fiecare $a,$ așa că dreapta verticală ${x=a}$ (dreapta formată din toate punctele cu abscisa $a$) poate intersecta graficul unei funcții cel mult o dată. Dacă această dreaptă ar intersecta graficul lui $f$ în două puncte $(a, b)$ și $(a, c)$ cu ${b\ne c},$ atunci $f(a)$ ar trebui să fie în același timp $b$ și $c,$ ceea ce este imposibil.

Testul dreptei verticale. O curbă din planul $xy$ este graficul unei funcții ${y=f(x)}$ dacă și numai dacă nicio dreaptă verticală nu o intersectează în mai mult de un punct.

De exemplu, curba ${x=y^2-2y}$ din exemplul 3 nu este graficul niciunei funcții ${y=f(x)}\text{:}$ dreapta verticală ${x=3}$ o intersectează în $(3, 3)$ și în $(3, -1),$ deoarece ${3^2-2\cdot3=3}$ și ${(-1)^2-2\cdot(-1)=3}.$

Graficele funcțiilor prin translații

Să presupunem că știm deja graficul lui ${y=f(x)}$ și că $c$ este un număr pozitiv. Atunci putem obține graficele lui ${y=f(x)+c},$ ${y=f(x)-c},$ ${y=f(x+c)}$ și ${y=f(x-c)}$ fără noi tabele de valori: fiecare dintre ele este graficul lui $f$ deplasat (translatat) cu $c$ unități.

Ecuația	Graficul lui ${y=f(x)}$ se translatează
${y=f(x)+c}$	în sus cu $c$ unități
${y=f(x)-c}$	în jos cu $c$ unități
${y=f(x+c)}$	la stânga cu $c$ unități
${y=f(x-c)}$	la dreapta cu $c$ unități

Translații verticale: ${y=x^2},$ ${\textcolor{#2b7a2b}{y=x^2+2}}$ și ${\textcolor{#c0392b}{y=x^2-2}}.$ Translații orizontale: ${y=x^2},$ ${\textcolor{#2b7a2b}{y=(x+2)^2}}$ și ${\textcolor{#c0392b}{y=(x-2)^2}}.$

Translațiile verticale se văd ușor: în ${y=f(x)+c}$ fiecare coordonată $y$ este mai mare cu $c$ unități. Cele orizontale, în schimb, par adesea să meargă invers. Funcția ${g(x)=f(x-c)}$ ia în punctul ${x+c}$ valoarea ${g(x+c)}={f\big((x+c)-c\big)}={f(x)},$ aceeași valoare pe care o ia $f$ în $x.$ Astfel, fiecare punct $(x, f(x))$ al graficului inițial trece în $(x+c, f(x)),$ care se află cu $c$ unități mai la dreapta. La fel, ${y=f(x+c)}$ translatează graficul la stânga.

În interiorul parantezei semnele funcționează invers: ${y=(x-2)^2}$ este parabola ${y=x^2}$ translatată cu $2$ unități la dreapta, iar ${y=(x+2)^2}$ este aceeași parabolă translatată cu $2$ unități la stânga.

Exemplul 9. Trasează graficul lui ${y=|x-3|+2}.$

Pornim de la graficul lui ${y=|x|}$ din exemplul 6. Translatându-l cu $3$ unități la dreapta obținem graficul lui ${y=|x-3|}.$ Translatând acest grafic cu $2$ unități în sus obținem graficul lui ${y=|x-3|+2}.$ Vârful trece din $(0, 0)$ în $(3, 0)$ și apoi în $(3, 2).$

Exemplul 10. Trasează graficul lui ${y=x^2-4x+5}.$

Formăm un pătrat perfect. Coeficientul lui $x$ este $-4,$ jumătatea lui este $-2$ și ${(-2)^2=4},$ deci scriem $5$ ca ${4+1}\text{:}$

${y}={x^2-4x+5}={(x^2-4x+4)+1}={{(x-2)^2+1}.}$

În această formă se vede că graficul este cel al lui ${y=x^2}$ translatat cu $2$ unități la dreapta, datorită lui ${x-2},$ și cu $1$ unitate în sus, datorită lui ${+1}.$ Vârful parabolei este $(2, 1).$ Pentru ${x=0}$ obținem ${y=5},$ deci parabola intersectează axa $y$ în $(0, 5).$

Reflexii

Într-adevăr, dacă punctul $(a, b)$ se află pe graficul lui ${y=f(x)},$ adică dacă ${b=f(a)},$ atunci punctul $(-a, b)$ verifică ${y=f(-x)},$ iar punctul $(a, -b)$ verifică ${y=-f(x)}.$ De exemplu, punctul $(4, 2)$ se află pe graficul lui ${y=\sqrt{x}},$ punctul $(-4, 2)$ se află pe graficul lui ${y=\sqrt{-x}},$ iar punctul $(4, -2),$ pe graficul lui ${y=-\sqrt{x}}.$

Exemplul 11. Trasează graficul lui ${y=\sqrt[3]{2-x}}.$

Graficul se poate obține printr-o reflexie și o translație:

1. Trasează graficul lui ${y=\sqrt[3]{x}}.$
2. Reflectă-l față de axa $y$ pentru a obține graficul lui ${y=\sqrt[3]{-x}}.$
3. Translatează acest grafic cu $2$ unități la dreapta, adică înlocuiește $x$ cu ${x-2}.$ Obținem graficul lui ${y=\sqrt[3]{-(x-2)}},$ care este același lucru cu ${y=\sqrt[3]{2-x}}.$

Gri: ${y=\sqrt[3]{x}};$ portocaliu: ${\textcolor{#d35400}{y=\sqrt[3]{-x}}};$ albastru: ${\textcolor{#1b64a8}{y=\sqrt[3]{2-x}}}.$

Câteva puncte confirmă desenul: pentru ${x=-6},$ $1,$ $2,$ $3$ și $10,$ valorile lui $\sqrt[3]{2-x}$ sunt $2,$ $1,$ $0,$ $-1$ și $-2.$

Nu interpreta ${+2}$ din ${\sqrt[3]{-x+2}}$ ca pe o translație a lui ${y=\sqrt[3]{-x}}$ spre stânga. Mai întâi scoate semnul minus factor comun: ${-x+2=-(x-2)}.$ Astfel, graficul lui ${y=\sqrt[3]{-x}}$ se translatează cu $2$ unități la dreapta.

Dilatare și comprimare

Punctele de pe axa $x$ nu se mișcă, deoarece ${c\cdot0=0}.$ De exemplu, în ${x=1}$ parabola ${y=x^2}$ are înălțimea $1$ iar parabola ${y=2x^2}$ are înălțimea $2.$ În ${x=2}$ parabola ${y=x^2}$ are înălțimea $4$ iar parabola ${y=\frac{1}{2}x^2}$ are înălțimea $2.$

${y=x^2},$ ${\textcolor{#c0392b}{y=2x^2}}$ (dilatată) și ${\textcolor{#2b7a2b}{y=\frac{1}{2}x^2}}$ (comprimată).

Dacă factorul care îl înmulțește pe $f(x)$ este negativ, de exemplu în ${y=-2x^2},$ graficul se dilată sau se comprimă în funcție de valoarea absolută a factorului (aici, $2$) și, în plus, se reflectă față de axa $x.$

Exerciții

1. În ce cadran sau pe ce axă se află fiecare punct? $A(3, -7),$ $B(-2, -5),$ $C(-4, 6),$ $D(0, 8),$ $E(5, 0).$

Răspuns

$A$ în cadranul al patrulea, $B$ în al treilea, $C$ în al doilea, $D$ pe axa $y,$ $E$ pe axa $x.$

2. Punctul $P(a, b)$ se află în cadranul al doilea. În ce cadrane se află punctele a) $(-a, b);$ b) $(a, -b);$ c) $(b, a)?$

Răspuns

În cadranul al doilea, ${a\lt0}$ și ${b\gt0}.$ a) ${-a\gt0}$ și ${b\gt0}\text{:}$ cadranul întâi. b) ${a\lt0}$ și ${-b\lt0}\text{:}$ cadranul al treilea. c) ${b\gt0}$ și ${a\lt0}\text{:}$ cadranul al patrulea.

3. Care dintre punctele $(1, 2),$ $(-2, 11)$ și $(3, 3)$ se află pe graficul lui ${y=x^2-2x+3}?$

Răspuns

${1-2+3=2}\text{:}$ da. ${4+4+3=11}\text{:}$ da. ${9-6+3=6\ne3}\text{:}$ nu.

4. Află toate intersecțiile cu axele ale graficelor a) ${2x-5y=10};$ b) ${y=x^2-9};$ c) ${y=x^2+1}.$

Răspuns

a) ${y=0}\text{:}$ ${2x=10},$ intersecția cu axa $x$ este $5.$ ${x=0}\text{:}$ ${-5y=10},$ intersecția cu axa $y$ este $-2.$

b) ${x^2=9}\text{:}$ intersecțiile cu axa $x$ sunt $-3$ și $3;$ intersecția cu axa $y$ este $-9.$

c) ${x^2+1=0}$ nu are soluție reală, deci nu există intersecție cu axa $x;$ intersecția cu axa $y$ este $1.$

5. Studiază simetria graficelor față de axa $x,$ față de axa $y$ și față de origine: a) ${y=x^4-3x^2};$ b) ${y=x^3-x};$ c) ${x^2+y^2=25}.$

Răspuns

a) Doar față de axa $y\text{:}$ ${(-x)^4-3(-x)^2}={x^4-3x^2}.$

b) Doar față de origine: ${-y=(-x)^3-(-x)}$ este echivalentă cu ${y=x^3-x}.$

c) Față de ambele axe și față de origine (graficul este un cerc cu centrul $O$): $x$ și $y$ apar doar la pătrat.

6. Este fiecare dintre curbe graficul unei funcții ${y=f(x)}?$ a) ${y=x^2-1};$ b) ${x=y^2};$ c) ${x^2+y^2=4}.$

Răspuns

a) Da: fiecărui $x$ îi corespunde exact o valoare a lui $y.$

b) Nu: dreapta verticală ${x=4}$ intersectează curba în $(4, 2)$ și în $(4, -2).$

c) Nu: dreapta verticală ${x=0}$ intersectează cercul în $(0, 2)$ și în $(0, -2).$

7. Cum se obține fiecare grafic din cel al lui ${y=x^2}$ sau din cel al lui ${y=|x|}?$ a) ${y=(x+4)^2-1};$ b) ${y=|x-1|-3};$ c) ${y=-x^2+3}.$

Răspuns

a) Graficul lui ${y=x^2}$ translatat cu $4$ unități la stânga și cu $1$ unitate în jos; vârful este $(-4, -1).$

b) Graficul lui ${y=|x|}$ translatat cu $1$ unitate la dreapta și cu $3$ unități în jos; vârful este $(1, -3).$

c) Graficul lui ${y=x^2}$ reflectat față de axa $x$ și translatat cu $3$ unități în sus; vârful este $(0, 3).$

8. Formează pătratul perfect în ${y=x^2+6x+7},$ află vârful parabolei și descrie translația lui ${y=x^2}.$

Răspuns

${y}={(x^2+6x+9)-2}={(x+3)^2-2}.$ Vârful este $(-3, -2)\text{:}$ parabola ${y=x^2}$ se translatează cu $3$ unități la stânga și cu $2$ unități în jos.

9. Graficul lui ${y=f(x)}$ trece prin punctul $(2, 5).$ Ce punct trebuie să se afle pe graficul lui a) ${y=f(x)-4};$ b) ${y=f(x+1)};$ c) ${y=f(-x)};$ d) ${y=3f(x)}?$

Răspuns

a) $(2, 1);$ b) $(1, 5),$ deoarece ${f(1+1)=f(2)=5};$ c) $(-2, 5);$ d) $(2, 15).$

10. Fie ${h(x)=x^2}$ pentru ${x\lt1}$ și ${h(x)=3-x}$ pentru ${x\ge1}.$ Află $h(-2),$ $h(1)$ și $h(5).$ Care dintre punctele $(1, 1)$ și $(1, 2)$ se află pe grafic și cum se desenează fiecare dintre ele?

Răspuns

${h(-2)=4},$ ${h(1)=3-1=2},$ ${h(5)=-2}.$ Punctul $(1, 2)$ se află pe grafic (un punct plin). Partea stângă a graficului se termină în $(1, 1),$ care nu se află pe grafic (un cerc gol).