Operații cu funcții

Numerele se pot aduna, scădea, înmulți și împărți. Cu funcțiile putem face același lucru, iar rezultatul este o funcție nouă. În plus, există o operație pe care numerele nu o au: putem pune o funcție în interiorul alteia. Această operație se numește compunere. Astfel, funcțiile se pot

• aduna: ${f+g};$
• scădea: ${f-g};$
• înmulți: ${f\cdot g};$
• împărți: $\frac fg;$
• compune: ${f\circ g}.$

Pentru fiecare operație arătăm cum aflăm formula noii funcții și, la fel de important, domeniul ei de definiție. Dacă ai nevoie să repeți ce este o funcție și ce este domeniul ei de definiție, vezi lecția „Funcții și limite”.

Pe această pagină: Suma, diferența, produsul, câtul · Domeniul noii funcții · Graficul unei sume · Puterile unei funcții · Compunerea · Domeniul unei compuneri · Descompunerea unei funcții · Probleme rezolvate · Exerciții

Suma, diferența, produsul și câtul funcțiilor

Să luăm două funcții, ${f(x)=x^2}$ și ${g(x)=x}.$ Pentru fiecare $x$ putem aduna valorile lor:

$$f(x)+g(x)=x^2+x$$

Obținem astfel o funcție nouă. Ea se numește suma funcțiilor $f$ și $g$ și se scrie ${f+g}.$ Parantezele din ${(f+g)(x)}$ arată că ${f+g}$ este numele unei singure funcții, iar ${(f+g)(x)}$ este valoarea ei în $x.$ În același fel se definesc diferența, produsul și câtul:

Exemplul 1. Pentru ${f(x)=x^2}$ și ${g(x)=x}\text{:}$

${(f+g)(x)=x^2+x}$

${(f-g)(x)=x^2-x}$

${(f\cdot g)(x)=x^2\cdot x=x^3}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2}{x}}={x,\quad x}\ne{0}$

Condiția ${x\ne 0}$ de pe ultima linie nu este un simplu detaliu: ${g(0)=0},$ iar împărțirea la 0 nu se poate face. Vom reveni la aceasta în paragraful următor.

Exemplul 2. Fie ${f(x)=2x+1}$ și ${g(x)=x^2-3}.$ Ca să obținem o valoare a noii funcții, calculăm mai întâi valorile lui $f$ și ale lui $g,$ și apoi le combinăm:

${(f+g)(2)}={f(2)+g(2)}={5+1}={6}$

${(f-g)(-1)}={f(-1)-g(-1)}={-1-(-2)}={1}$

${(f\cdot g)(0)}={f(0)\cdot g(0)}={1\cdot(-3)}={-3}$

${\left(\frac fg\right)(3)=\frac{f(3)}{g(3)}=\frac76}$

Produsul cu un număr. Dacă $c$ este un număr, ${(cf)(x)=c\cdot f(x)}.$ De exemplu, dacă ${f(x)=x^2},$ atunci ${(3f)(x)=3x^2}.$ Este produsul dintre $f$ și funcția constantă ${g(x)=c}.$

Domeniul de definiție al noii funcții

Ca să calculăm ${f(x)+g(x)}$ avem nevoie de ambele valori, $f(x)$ și $g(x).$ Prin urmare, $x$ trebuie să se afle în același timp în domeniul lui $f$ și în domeniul lui $g.$ La cât mai apare o condiție: numitorul $g(x)$ nu poate fi egal cu 0. Notăm cu $D(f)$ domeniul lui $f$ și cu $D(g)$ domeniul lui $g.$

Exemplul 3. Fie ${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$ și ${g(x)=x-1}.$ Suma lor este

${(f+g)(x)}={f(x)+g(x)}={\left(1+\sqrt{x-2}\right)+(x-1)}={x+\sqrt{x-2}}$

Acum comparăm domeniile lui $f,$ ale lui $g$ și ale sumei lor:

Funcția	Domeniul
${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$	${[2,\,+\infty)}$
${g(x)=x-1}$	${(-\infty,\,+\infty)}$
${(f+g)(x)=x+\sqrt{x-2}}$	${[2,\,+\infty)\cap(-\infty,\,+\infty)}$ ${{}=[2,\,+\infty)}$

Exemplul 4. Fie ${f(x)=\sqrt{x+1}}$ și ${g(x)=x-3}.$ Atunci ${D(f)=[-1,\,+\infty)}$ și $D(g)$ sunt toate numerele reale, deci intersecția este ${[-1,\,+\infty)}.$

• ${\left(\frac fg\right)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}}\text{:}$ scoatem în plus ${x=3},$ pentru care ${g(x)=0}.$ Domeniul este ${[-1,\,3)\cup(3,\,+\infty)}.$
• ${\left(\frac gf\right)(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x+1}}}\text{:}$ acum numitorul este $f(x),$ iar ${f(x)=0}$ pentru ${x=-1}.$ Domeniul este ${(-1,\,+\infty)}.$

Exemplul 5. Fie ${f(x)=3\sqrt x}$ și ${g(x)=\sqrt x}.$ Produsul lor este

${(f\cdot g)(x)}={f(x)\cdot g(x)}={3\sqrt x\cdot\sqrt x}={3x}$

Formula $3x$ are sens pentru orice $x$ real: domeniul natural al lui $3x$ este ${(-\infty,\,+\infty)}.$ Dar produsul ${f\cdot g}$ există numai acolo unde există atât $f$ cât și $g\text{:}$

Funcția	Domeniul
${f(x)=3\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${(f\cdot g)(x)=3x},$ ${x\ge 0}$	${[0,\,+\infty)\cap[0,\,+\infty)}$ ${{}=[0,\,+\infty)}$

Graficul lui ${f\cdot g}$ este doar semidreapta ${y=3x},$ ${x\ge 0},$ și nu toată dreapta.

Mai întâi află domeniul pornind de la $f$ și $g,$ și abia apoi simplifică formula. Formula simplificată poate ascunde condițiile pe care $f$ și $g$ le impun lui $x.$

Graficul unei sume

Pentru fiecare $x,$ valoarea lui ${f+g}$ este ${f(x)+g(x)}.$ Pe grafice, aceasta înseamnă că înălțimea graficului lui ${f+g}$ este suma înălțimilor graficelor lui $f$ și $g.$ Iată graficele funcțiilor ${f(x)=x^2},$ ${g(x)=x}$ și al sumei lor ${(f+g)(x)=x^2+x}\text{:}$

Pentru ${x=2}\text{:}$ ${f(2)+g(2)=4+2=6}.$ Pentru ${x=-2}\text{:}$ ${f(-2)+g(-2)}={4+(-2)}={2.}$ Segmentele verzi reprezintă $g(x)\text{:}$ în ${x=2}$ adăugăm 2 (în sus), iar în ${x=-2}$ adăugăm ${-2}$ (în jos).

Unde $g(x)$ este pozitiv, graficul lui ${f+g}$ se află deasupra graficului lui $f;$ unde $g(x)$ este negativ, se află dedesubt. Graficul lui ${f-g}$ se desenează la fel, scăzând înălțimile.

Puterile unei funcții

Produsul unei funcții cu ea însăși se scrie ca o putere:

$$f^2(x)=f(x)\cdot f(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2$$

În general, dacă $n$ este un număr întreg pozitiv, atunci

$$f^n(x)=\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdot\ldots\cdot f(x)}_{n\text{ factori}}$$

De exemplu, ${\sin x\cdot\sin x}={(\sin x)^2,}$ care se scrie $\sin^2x.$ Dacă ${f(x)=x+1},$ atunci ${f^3(x)=(x+1)^3}.$

${\sin^2x=(\sin x)^2}$ nu este același lucru cu $\sin(x^2).$ Pentru ${f(x)=x+1}\text{:}$ ${f^2(x)=(x+1)^2},$ dar ${f(x^2)=x^2+1}.$
Exponentul ${-1}$ este o excepție: ${f^{-1}}$ indică de obicei funcția inversă (vezi calculatorul funcției inverse), și nu $\frac1f.$

Compunerea funcțiilor

Să luăm două funcții

$$f(x)=x^3\quad\text{y}\quad g(x)=x+4$$

Dacă scriem $g(x)$ în locul lui $x$ în formula lui $f,$ obținem o funcție nouă:

$$f(g(x))=\bigl(g(x)\bigr)^3=(x+4)^3$$

Imaginează-ți două mașini, una după alta: numărul $x$ intră în $g,$ iar ce iese, $g(x),$ intră în $f.$

Pentru ${f(x)=x^3}$ și ${g(x)=x+4}\text{:}$

${(f\circ g)(1)}={f(g(1))}={f(5)}={5^3}={125}$

Formula dă același rezultat: ${(1+4)^3=125}.$ Calculează dinăuntru spre în afară: mai întâi $g(1),$ și apoi $f$ din acel număr.

Ordinea contează

Cu aceleași două funcții, compunerea în cealaltă ordine este

${(g\circ f)(x)}={g(f(x))}={f(x)+4}={x^3+4}$

Este o funcție diferită: ${(f\circ g)(1)=125},$ dar ${(g\circ f)(1)=1^3+4=5}.$

Pentru unele perechi de funcții, ambele ordini dau aceeași funcție. De exemplu, dacă ${f(x)=2x}$ și ${g(x)=3x},$ atunci ${f(g(x))=2\cdot 3x=6x}$ și ${g(f(x))=3\cdot 2x=6x}.$ Dar aceasta este o excepție, așa că verifică întotdeauna care este funcția interioară.

Compunerea unei funcții cu ea însăși. Dacă ${f(x)=2x+1},$ atunci

${(f\circ f)(x)}={f(f(x))}={2(2x+1)+1}={4x+3}$

Nu confunda $f(f(x))$ cu ${f^2(x)}={\bigl(f(x)\bigr)^2}={(2x+1)^2.}$

Domeniul de definiție al unei compuneri

Ca să calculăm $f(g(x)),$ calculăm mai întâi $g(x),$ deci $x$ trebuie să se afle în domeniul lui $g.$ Apoi calculăm valoarea lui $f$ în numărul $g(x),$ deci $g(x)$ trebuie să se afle în domeniul lui $f.$

Exemplul 6. Fie ${f(x)=x^2+3}$ și ${g(x)=\sqrt x}.$ Atunci

${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={\bigl(g(x)\bigr)^2+3}={\left(\sqrt x\right)^2+3}={x+3}$

Comparăm domeniile lui $f,$ ale lui $g$ și ale compunerii lor:

Funcția	Domeniul
${f(x)=x^2+3}$	${(-\infty,\,+\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${(f\circ g)(x)=x+3},$ ${x\ge 0}$	toți $x$ din ${[0,\,+\infty)}$ pentru care $g(x)$ se află în ${(-\infty,\,+\infty)},$ adică ${[0,\,+\infty)}$

Formula ${x+3}$ singură ar permite orice $x,$ dar ${f\circ g}$ începe cu $\sqrt x,$ care cere ${x\ge 0}.$ Prin urmare, ${(f\circ g)(x)=x+3}$ numai pentru ${x\ge 0}.$

Exemplul 7. Fie ${f(x)=\frac1{x-2}}$ și ${g(x)=\sqrt x}.$

• ${(f\circ g)(x)=\frac1{\sqrt x-2}}.$ Avem nevoie de ${x\ge 0}$ (din $g$) și de ${g(x)\ne 2}$ (din $f$), adică ${\sqrt x\ne 2},$ deci ${x\ne 4}.$ Domeniul este ${[0,\,4)\cup(4,\,+\infty)}.$
• ${(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac1{x-2}}}.$ Avem nevoie de ${x\ne 2}$ (din $f$) și de ${f(x)\ge 0}$ (din $g$), adică ${\frac1{x-2}\ge 0},$ deci ${x-2\gt 0}.$ Domeniul este ${(2,\,+\infty)}.$

Observă că domeniul lui ${f\circ g}$ nu este pur și simplu ${D(f)\cap D(g)}\text{:}$ aici ${D(f)\cap D(g)}={[0,\,2)\cup(2,\,+\infty),}$ dar ${x=2}$ este permis în ${f\circ g}$ (numitorul ${\sqrt2-2}$ nu este 0), iar ${x=4}$ nu este.

Descompunerea unei funcții

Deseori avem nevoie de contrariul: să scriem o funcție dată ca o compunere de funcții mai simple. Întreabă-te ce i se face mai întâi lui $x$ (aceea este funcția interioară) și ce se face la sfârșit (aceea este funcția exterioară).

Exemplul 8. Să considerăm funcția

$$h(x)=(x+1)^2$$

Mai întâi adunăm 1 la $x,$ și apoi ridicăm rezultatul la pătrat. Prin urmare, putem descompune $h$ astfel:

${g(x)}={x+1,\quad f(x)}={x^2,\quad h(x)}={f(g(x))}$

Exemplul 9. ${\sqrt{3x-5}=f(g(x))},$ unde ${g(x)=3x-5}$ și ${f(x)=\sqrt x}.$ La fel, ${\frac1{x^2+1}=f(g(x))},$ unde ${g(x)=x^2+1}$ și ${f(x)=\frac1x}.$

Descompunerea nu este unică. Cel mai natural este să scriem ${(x^2+1)^{10}}$ ca $f(g(x))$ cu ${g(x)=x^2+1}$ și ${f(x)=x^{10}}.$ Dar putem scrie și

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^2\Bigr]^5}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^2,\quad f(x)}={x^5}$

sau chiar

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^3\Bigr]^{10/3}}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^3,\quad f(x)}={x^{10/3}}$

(O putere cu exponent fracționar, ca $x^{10/3},$ se folosește numai pentru ${x\ge 0}.$ Aici nu este nicio problemă, deoarece ${g(x)=(x^2+1)^3\ge 1}.$)

Aflarea funcției interioare și a celei exterioare este primul pas al regulii lanțului pentru calculul derivatelor.

Probleme rezolvate

Problema 1. Fie ${f(x)=x^2-4}$ și ${g(x)=x+2}.$ Află ${f+g},$ ${f-g},$ ${f\cdot g}$ și $\frac fg,$ precum și domeniile lor.

Rezolvare: Atât $f$ cât și $g$ sunt definite pentru toate numerele reale.

${(f+g)(x)}={x^2-4+x+2}={x^2+x-2}$

${(f-g)(x)}={x^2-4-(x+2)}={x^2-x-6}$

${(f\cdot g)(x)}={(x^2-4)(x+2)}={x^3+2x^2-4x-8}$

Domeniul acestor trei funcții este mulțimea tuturor numerelor reale. La cât scoatem ${x=-2},$ pentru care ${g(x)=0}\text{:}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2-4}{x+2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}}={x-2,\quad x}\ne{-2}$

Domeniul lui este ${(-\infty,\,-2)\cup(-2,\,+\infty)}.$

Problema 2. Fie ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ și ${g(x)=\sqrt{5-x}}.$ Află domeniile lui ${f+g}$ și $\frac fg.$

Rezolvare: ${D(f)=[1,\,+\infty)}$ și ${D(g)=(-\infty,\,5]}.$ Intersecția lor este $[1,\,5],$ și acesta este domeniul lui ${f+g}.$ La $\frac fg$ scoatem în plus zeroul lui $g\text{:}$ ${\sqrt{5-x}=0}$ pentru ${x=5}.$ Domeniul lui $\frac fg$ este $[1,\,5).$

Problema 3. Fie ${f(x)=x^2+1}$ și ${g(x)=2x-3}.$ Află ${(f\circ g)(x)},$ ${(g\circ f)(x)},$ ${(f\circ g)(2)}$ și ${(g\circ f)(2)}.$

Rezolvare:

${(f\circ g)(x)}={f(2x-3)}={(2x-3)^2+1}={4x^2-12x+10}$

${(g\circ f)(x)}={g(x^2+1)}={2(x^2+1)-3}={2x^2-1}$

${(f\circ g)(2)}={f(g(2))}={f(1)}={2}$ și ${(g\circ f)(2)}={g(f(2))}={g(5)}={7.}$ Formulele dau același rezultat: ${4\cdot 2^2-12\cdot 2+10=2}$ și ${2\cdot 2^2-1=7}.$

Problema 4. Fie ${f(x)=2x-3}.$ Află $f(f(x))$ și $f(f(f(x))).$

Rezolvare:

${f(f(x))}={2(2x-3)-3}={4x-9}$

${f(f(f(x)))}={2(4x-9)-3}={8x-21}$

Problema 5. Fie ${f(x)=\sqrt x}$ și ${g(x)=4-x^2}.$ Află ${f\circ g}$ și ${g\circ f}$ împreună cu domeniile lor.

Rezolvare: ${(f\circ g)(x)=\sqrt{4-x^2}}.$ Avem nevoie de ${4-x^2\ge 0},$ adică ${x^2\le 4},$ deci domeniul este ${[-2,\,2]}.$
${(g\circ f)(x)}={4-\left(\sqrt x\right)^2}={4-x.}$ Formula ${4-x}$ este definită pentru orice număr real, dar mai întâi calculăm $\sqrt x,$ deci domeniul este ${[0,\,+\infty)}.$

Problema 6. Funcțiile $f$ și $g$ sunt date printr-un tabel. Află $f(g(1)),$ $g(f(1)),$ $f(f(2))$ și ${(f+g)(3)}.$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$1$	$4$	$2$
$g(x)$	$2$	$4$	$1$	$3$

Rezolvare: Calculăm dinăuntru spre în afară. ${f(g(1))=f(2)=1};$   ${g(f(1))=g(3)=1};$   ${f(f(2))=f(1)=3};$   ${(f+g)(3)}={f(3)+g(3)}={4+1}={5.}$

Problema 7. Scrie sub forma $f(g(x))\text{:}$ a) ${h(x)=\sqrt{x^2+9}};$   b) ${k(x)=\frac1{(x+5)^2}}.$

Rezolvare: a) Mai întâi ${x^2+9},$ și apoi rădăcina pătrată: ${g(x)=x^2+9},$ ${f(x)=\sqrt x}.$
b) Mai întâi ${x+5},$ și apoi $\frac1{(\ldots)^2}\text{:}$ ${g(x)=x+5},$ ${f(x)=\frac1{x^2}}.$

Problema 8. Fie ${f(x)=x+3}.$ Află o funcție $g$ astfel încât ${(f\circ g)(x)=x^2+1}.$

Rezolvare: ${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={g(x)+3.}$ Prin urmare, ${g(x)+3=x^2+1},$ de unde ${g(x)=x^2-2}.$

Problema 9. Fie ${f(x)=x^2}$ și ${g(x)=\sin x}.$ Află ${(f\circ g)(x)}$ și ${(g\circ f)(x)}.$

Rezolvare: ${(f\circ g)(x)}={f(\sin x)}={(\sin x)^2}={\sin^2x,}$ și ${(g\circ f)(x)}={g(x^2)}={\sin(x^2).}$ Sunt două funcții diferite.

Problema 10. Fie ${f(x)=x^2-2x}$ și ${g(x)=x+1}.$ Rezolvă ecuația ${f(g(x))=0}.$

Rezolvare:

${f(g(x))}={(x+1)^2-2(x+1)}={x^2+2x+1-2x-2}={x^2-1}$

Din ${x^2-1=0}$ obținem ${x=1}$ sau ${x=-1}.$

Exerciții

Încearcă mai întâi singur, apoi deschide răspunsul.

1. Fie ${f(x)=3x+2}$ și ${g(x)=x^2}.$ Află ${(f+g)(x)},$ ${(f-g)(x)}$ și ${(f\cdot g)(x)}.$

${(f+g)(x)=x^2+3x+2},$ ${(f-g)(x)}={-x^2+3x+2,}$ ${(f\cdot g)(x)=3x^3+2x^2}.$

2. Fie ${f(x)=x+5}$ și ${g(x)=x-1}.$ Află ${(f+g)(2)},$ ${(f\cdot g)(-1)}$ și $\left(\frac fg\right)(3).$

${(f+g)(2)=7+1=8},$ ${(f\cdot g)(-1)}={4\cdot(-2)}={-8,}$ ${\left(\frac fg\right)(3)=\frac82=4}.$

3. Află domeniul lui $\frac fg$ pentru ${f(x)=x+1}$ și ${g(x)=x^2-4}.$

${g(x)=0}$ pentru ${x=2}$ și pentru ${x=-2}.$ Domeniul este ${(-\infty,\,-2)\cup(-2,\,2)\cup}$ ${(2,\,+\infty)}.$

4. Află domeniul lui ${f+g}$ pentru ${f(x)=\sqrt x}$ și ${g(x)=\frac1{x-3}}.$

${D(f)=[0,\,+\infty)},$ și $D(g)$ sunt toate numerele reale cu excepția lui 3. Domeniul este ${[0,\,3)\cup(3,\,+\infty)}.$

5. Fie ${f(x)=x^2}$ și ${g(x)=x-5}.$ Află ${(f\circ g)(x)}$ și ${(g\circ f)(x)}.$

${(f\circ g)(x)}={(x-5)^2}={x^2-10x+25,}$ ${(g\circ f)(x)=x^2-5}.$

6. Fie ${f(x)=2x-1}$ și ${g(x)=x^2+3}.$ Află ${(f\circ g)(1)}$ și ${(g\circ f)(1)}.$

${(f\circ g)(1)=f(4)=7},$ ${(g\circ f)(1)=g(1)=4}.$

7. Fie ${f(x)=x+2}$ și ${g(x)=x-5}.$ Este adevărat că ${f\circ g=g\circ f}?$

Da: ${f(g(x))}={(x-5)+2}={x-3}$ și ${g(f(x))}={(x+2)-5}={x-3.}$

8. Fie ${f(x)=3x-2}.$ Află ${(f\circ f)(x)}.$

${(f\circ f)(x)}={3(3x-2)-2}={9x-8.}$

9. Află domeniul lui ${f\circ g}$ pentru ${f(x)=\sqrt x}$ și ${g(x)=x-7}.$

${(f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}},$ deci avem nevoie de ${x-7\ge 0}.$ Domeniul este ${[7,\,+\infty)}.$

10. Află domeniul lui ${f\circ g}$ pentru ${f(x)=\frac1x}$ și ${g(x)=x^2-9}.$

${(f\circ g)(x)=\frac1{x^2-9}},$ deci avem nevoie de ${g(x)\ne 0},$ adică ${x\ne 3}$ și ${x\ne -3}.$ Domeniul este ${(-\infty,\,-3)\cup(-3,\,3)\cup}$ ${(3,\,+\infty)}.$

11. Scrie ${h(x)=(5x+2)^4}$ și ${k(x)=\frac1{x^2+4}}$ sub forma $f(g(x)).$

$h\text{:}$ ${g(x)=5x+2},$ ${f(x)=x^4}.$   $k\text{:}$ ${g(x)=x^2+4},$ ${f(x)=\frac1x}.$

12. Fie ${f(x)=2x+3}.$ Află $g$ dacă ${(f\circ g)(x)=6x-1}.$

${2g(x)+3=6x-1},$ de unde ${g(x)=3x-2}.$

Lecția anterioară: Funcții și limite.