Limite de șiruri

Un șir este o listă infinită de numere $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots$ Termenul $a_n$ are numărul (indicele) $n.$ Progresiile aritmetice și geometrice sunt exemple de șiruri.

Să luăm șirul ${a_n=\frac1n}$:

$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots,$ $\frac{1}{100},\ \ldots,\ \frac{1}{1000},\ \ldots$

Termenii lui sunt mereu pozitivi și nu ajung niciodată la 0, dar pe măsură ce $n$ crește se apropie de 0 oricât de mult vrem: $a_{100}$ diferă de 0 cu ${0{,}01},$ $a_{1000}$ cu ${0{,}001},$ și așa mai departe. Spunem că șirul tinde către 0, sau că limita lui este 0, și scriem

Se citește „limita lui $\frac1n$ când $n$ tinde la infinit este 0”. Mai scurt se scrie ${\frac1n\to 0}.$

Pe această pagină: Definiția · Limite infinite · Limite importante · Reguli de calcul cu limite · Teorema cleștelui · Cum calculăm limite · Probleme rezolvate · Exerciții

Definiția limitei

Inegalitatea ${|a_n-a|\lt\varepsilon}$ înseamnă ${a-\varepsilon\lt a_n\lt a+\varepsilon}$: termenul $a_n$ se află în banda de lățime $2\varepsilon$ în jurul lui $a.$ Oricât de îngustă ar fi banda, de la un anumit indice încolo toți termenii se află în ea. În afara ei pot rămâne doar un număr finit de termeni, cei până la $n_\varepsilon.$

${a_n=1+\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$ și ${\varepsilon=0{,}25}$: toți termenii după al patrulea se află între ${1-\varepsilon}$ și ${1+\varepsilon},$ deci aici ${n_\varepsilon=4}.$

Un șir care are limită (un număr) se numește convergent; altfel este divergent. Un șir convergent are o singură limită și este mărginit: toți termenii lui se află între două numere fixe.

Exemplu. Demonstrează că ${\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1}.$

Fie ${a_n=\frac{n+1}{n}}.$ Atunci

${|a_n-1|}={\left|\frac{n+1}{n}-1\right|}={\frac1n}$

și ${\frac1n\lt\varepsilon}$ pentru orice ${n\gt\frac1\varepsilon},$ deci putem lua ${n_\varepsilon=\frac1\varepsilon}.$ De exemplu, pentru ${\varepsilon=0{,}01}$ toți termenii cu ${n\gt 100}$ diferă de 1 cu mai puțin de ${0{,}01}.$

Din definiție rezultă și că ${a_n\to a}$ înseamnă același lucru cu ${a_n-a\to 0},$ și același lucru cu ${|a_n-a|\to 0}.$

Limite infinite

Termenii lui ${a_n=n^2}$ cresc fără margini: $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$ Pentru orice număr $M,$ oricât de mare, toți termenii de la un anumit indice încolo sunt mai mari decât $M.$ Atunci scriem ${\lim_{n\to\infty}n^2=+\infty}$ și spunem că șirul tinde către plus infinit. La fel ${\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty}.$

Un șir cu limita $+\infty$ sau $-\infty$ rămâne divergent, pentru că $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere. Unele șiruri nu au nicio limită, nici număr, nici $\pm\infty.$ De exemplu, ${b_n=(-1)^n}$ ia valorile $-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ \ldots$ și nu se apropie de nicio valoare anume.

Limite importante

Termenii lui ${\left(1+\frac1n\right)^n}$ cresc: ${2;\ 2{,}25;\ 2{,}370\ldots;\ 2{,}441\ldots}$ Nu ajung niciodată la $e,$ și pentru orice $n$

${\left(1+\frac1n\right)^n}\lt{e}\lt{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}$

deci și ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=e}.$ În general, ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac kn\right)^n=e^k}$ pentru orice număr $k.$ În particular, ${\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e}.$

Reguli de calcul cu limite

Fie ${\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ și ${\lim_{n\to\infty}b_n=b},$ unde $a$ și $b$ sunt numere. Atunci

Cu cuvinte: limita unei sume, diferențe, produs sau cât este suma, diferența, produsul sau câtul limitelor, cu condiția ca ambele limite să fie numere și să nu împărțim la 0.

Exemplu.

${\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac2n+\frac{5}{n^2}\right)}={3-2\cdot 0+5\cdot 0}={3}$

Reguli pentru limite infinite

Dacă ${a_n\to+\infty}$ și ${b_n\to+\infty},$ atunci

${a_n+b_n\to+\infty},$   ${a_n\cdot b_n\to+\infty},$   ${-a_n\to-\infty},$   ${\frac{1}{a_n}\to 0}$

${a_n^k\to+\infty}$ dacă ${k\gt 0},$   ${a_n^k\to 0}$ dacă ${k\lt 0}$

În plus, dacă ${a_n\to+\infty}$ și $b_n$ are ca limită un număr, atunci ${a_n+b_n\to+\infty}.$ Dacă ${a_n\to 0}$ și ${a_n\gt 0},$ atunci ${\frac{1}{a_n}\to+\infty}.$

Expresiile ${\infty-\infty},$ ${\frac{\infty}{\infty}},$ ${0\cdot\infty},$ ${\frac00}$ și $1^\infty$ sunt cazuri de nedeterminare. Regulile nu spun nimic despre ele: o astfel de limită poate fi orice număr, $\pm\infty,$ sau poate să nu existe. Mai întâi trebuie transformat șirul, așa cum se arată mai jos.

Comparația și teorema cleștelui

Fie ${\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ și ${\lim_{n\to\infty}b_n=b}.$ Dacă ${a_n\le b_n}$ pentru orice $n,$ atunci ${a\le b}.$

Chiar dacă ${a_n\lt b_n}$ pentru orice $n,$ putem concluziona doar ${a\le b},$ nu ${a\lt b}.$ De exemplu, ${0\lt\frac1n}$ pentru orice $n,$ dar cele două șiruri au limita 0.

Exemplu. Deoarece ${-1\le\sin n\le 1},$ avem ${-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n}.$ Cele două șiruri extreme tind către 0, deci ${\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0}.$

Cum calculăm limite

Câtul a două polinoame în $n.$ Împărțim numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a lui $n$ din numitor și folosim ${\frac{1}{n^k}\to 0}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-n+3}{5n^2+4}}={\lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac1n+\frac{3}{n^2}}{5+\frac{4}{n^2}}}={\frac{2-0+0}{5+0}}={\frac25}$

În general, pentru polinoamele $P(n)$ și $Q(n)$: dacă gradul lui $P$ este mai mic decât cel al lui $Q,$ atunci ${\frac{P(n)}{Q(n)}\to 0};$ dacă gradele sunt egale, limita este câtul coeficienților dominanți; dacă gradul lui $P$ este mai mare, limita este $+\infty$ sau $-\infty.$

Diferența de radicali (${\infty-\infty}$). Înmulțim și împărțim cu suma radicalilor, astfel încât ${(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)}={{A-B}.}$ Vezi problemele 7 și 8.

Puteri de forma $2^n$ și $3^n.$ Împărțim la puterea cu baza cea mai mare și folosim ${q^n\to 0}$ pentru ${-1\lt q\lt 1}.$ Vezi problema 10.

Nedeterminarea $1^\infty.$ Aducem șirul la forma ${\left(1+\frac1n\right)^n}$ sau ${\left(1+\frac kn\right)^n}.$ Vezi problema 9.

Probleme rezolvate

Problema 1. Află ${\lim_{n\to\infty}5\cdot\left(\frac14\right)^n}.$

Rezolvare: Deoarece ${-1\lt\frac14\lt 1},$ avem ${\left(\frac14\right)^n\to 0},$ și

${\lim_{n\to\infty}5\cdot\left(\frac14\right)^n}={5\cdot 0}={0}$

Compară: în ${5\cdot 4^n}$ baza este mai mare decât 1, deci ${5\cdot 4^n\to+\infty}.$

Problema 2. Află ${\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n-n^2}}.$

Rezolvare: Împărțim numărătorul și numitorul la $n^2$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n-n^2}}={\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{1}{n^2}}{\frac2n-1}}={\frac{3+0}{0-1}}={-3}$

Problema 3. Șirul $(a_n)$ tinde către 1, și ${a_n\ne 1}$ pentru orice $n.$ Află ${\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^2-a_n-1}{a_n-1}}.$

Rezolvare: Numărătorul și numitorul tind către 0, deci regula câtului nu se poate aplica direct. Descompunem în factori numărătorul: ${2a_n^2-a_n-1}={{(a_n-1)(2a_n+1)}.}$ Deoarece ${a_n\ne 1},$ putem simplifica ${a_n-1}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^2-a_n-1}{a_n-1}}={\lim_{n\to\infty}\frac{(a_n-1)(2a_n+1)}{a_n-1}}={\lim_{n\to\infty}(2a_n+1)}={2\cdot 1+1}={3}$

Problema 4. Demonstrează cu definiția că ${\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}=2}.$

Rezolvare: Fie ${a_n=\frac{2n+1}{n+3}}.$ Atunci

${|a_n-2|}={\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|}={\left|\frac{2n+1-2n-6}{n+3}\right|}={\frac{5}{n+3}}$

și ${\frac{5}{n+3}\lt\varepsilon}$ pentru orice ${n\gt\frac5\varepsilon-3}.$ Deci putem lua ${n_\varepsilon=\frac5\varepsilon-3}.$ De exemplu, pentru ${\varepsilon=0{,}1}$ obținem ${n_\varepsilon=47}$: începând cu termenul 48, toți termenii diferă de 2 cu mai puțin de ${0{,}1}.$

Problema 5. Află ${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{4n^3+n^2+5}}.$

Rezolvare: Împărțim la $n^3$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{4n^3+n^2+5}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{2}{n^2}}{4+\frac1n+\frac{5}{n^3}}}={\frac{1-0}{4+0+0}}={\frac14}$

Problema 6. Află a) ${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^3+1}};$   b) ${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^2+3}}.$

Rezolvare: a) Împărțim la $n^3$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^3+1}}={\lim_{n\to\infty}\frac{\frac2n+\frac{3}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}}}={\frac{0+0}{1+0}}={0}$

b) Împărțim la $n^2.$ Numărătorul tinde către $+\infty$ iar numitorul către 2, deci

${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^2+3}}={\lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n^2}}}={+\infty}$

Problema 7. Află ${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}.$

Rezolvare: Este nedeterminarea ${\infty-\infty}.$ Înmulțim și împărțim cu ${\sqrt{n+1}+\sqrt n}$:

${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}={\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={0}$

deoarece numitorul tinde către $+\infty.$

Problema 8. Află ${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)}.$

Rezolvare: Din nou ${\infty-\infty}.$ Înmulțim și împărțim cu ${\sqrt{n^2+n}+n},$ iar apoi împărțim la $n$:

${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)}={\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}}={\frac{1}{1+1}}={\frac12}$

Problema 9. Află ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{3n}}.$

Rezolvare: Este nedeterminarea $1^\infty.$ Scriem puterea ca un cub:

${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{3n}}={\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^3}={e^3}$

Problema 10. Află ${\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^{n+1}-2^n}}.$

Rezolvare: Împărțim numărătorul și numitorul la $3^n$ și folosim ${\left(\frac23\right)^n\to 0}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^{n+1}-2^n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac23\right)^n+1}{3-\left(\frac23\right)^n}}={\frac{0+1}{3-0}}={\frac13}$

Exerciții

Află limitele. Încearcă mai întâi singur, apoi deschide răspunsul.

Vezi și: Formule de derivare (derivata se definește ca o limită).