MeniuLimite (introducere intuitivă)
Limita este ideea centrală a calculului diferențial și integral. Spus simplu, limita unei funcții într-un punct este valoarea către care se apropie funcția când $x$ se apropie de acel punct. Pe această pagină vom vedea de unde apar limitele (din două probleme geometrice străvechi), cum estimăm o limită dintr-un tabel sau dintr-un grafic, când poate da greș această estimare și ce înseamnă limitele infinite și limitele la infinit. Cum se calculează exact limitele se explică în lecția următoare, „Limite și metode de calcul”.
Pe această pagină: Două probleme · Drepte tangente · Arii · O limită cu un tabel · Limite laterale · Capcane numerice · Limite infinite · Limite la infinit · Rezumat · Probleme
Două probleme care duc la limite
Problema tangentei. Fiind date o funcție $f$ și un punct $P(x_0,\,y_0)$ de pe graficul ei, să se afle ecuația dreptei tangente la grafic în $P.$
Problema ariei. Fiind dată o funcție $f$ cu ${f(x)\ge0},$ să se afle aria cuprinsă între graficul lui $f$ și un interval $[a,\,b]$ de pe axa $x.$
Cele două probleme par simple, dar niciuna nu poate fi rezolvată doar cu algebra și cu geometria dreptelor și a poligoanelor. Ambele se rezolvă cu aceeași idee nouă: limita.
Problema tangentei
Pentru un cerc, tangenta este ușor de definit: o dreaptă este tangentă la un cerc dacă are exact un punct comun cu el. Această dreaptă este perpendiculară pe raza dusă până la punctul de tangență.
Pentru alte curbe această definiție nu ajunge. În prima figură de mai jos, dreapta orizontală și parabola ${x=y^2}$ au un singur punct comun, $P,$ dar dreapta nu este tangentă: nu atinge curba în $P,$ ci o traversează. Dreapta care atinge curba în $P$ este cea verticală. În a doua figură, dreapta atinge curba în $P$ și este tangentă în acest punct, dar totuși mai are alte două puncte comune cu curba.
O definiție care funcționează și pentru alte curbe folosește dreptele secante. Luăm un al doilea punct $Q$ pe curbă și ducem dreapta $PQ.$ Acum facem ca $Q$ să se miște pe curbă spre $P.$ Dreapta secantă se rotește și, pe măsură ce $Q$ se apropie tot mai mult de $P,$ ea se apropie de o poziție limită, dacă aceasta există. Dreapta aflată în această poziție limită este dreapta tangentă în $P.$
Exemplul 1. Află tangenta la parabola ${y=x^2}$ în punctul $P(1,\,1).$
Luăm un punct $Q(x,\,x^2)$ pe parabolă, cu ${x\ne1}.$ Panta dreptei secante $PQ$ este
${m_{PQ}}={\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={{x+1}.}$
Iată pantele pentru puncte $Q$ tot mai apropiate de $P,$ de ambele părți:
| $Q$ la dreapta lui $P$ | $Q$ la stânga lui $P$ | ||
|---|---|---|---|
| $x$ | ${m_{PQ}}$ | $x$ | ${m_{PQ}}$ |
| 3 | 4 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | 0,5 | 1,5 |
| 1,5 | 2,5 | 0,9 | 1,9 |
| 1,1 | 2,1 | 0,99 | 1,99 |
| 1,01 | 2,01 | 0,999 | 1,999 |
| 1,001 | 2,001 | 0,9999 | 1,9999 |
Cu cât $Q$ este mai aproape de $P,$ cu atât panta se apropie mai mult de $2.$ Spunem că panta tangentei este limita pantelor secantelor când $x$ tinde către $1,$ și scriem
$$m=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$Tangenta trece prin $P(1,\,1)$ și are panta $2,$ deci ecuația ei este ${y-1=2(x-1)},$ adică ${y=2x-1}.$ Observă că fracția ${\frac{x^2-1}{x-1}}$ nu este definită în ${x=1}$ (devine ${\frac{0}{0}}$). Limita folosește doar valorile din apropierea lui $1,$ niciodată valoarea în $1.$ Panta tangentei într-un punct se numește derivata funcției în acel punct.
Problema ariei
Aria unor regiuni plane se poate afla împărțindu-le într-un număr finit de dreptunghiuri sau triunghiuri și adunând ariile pieselor: ${A=A_1+A_2}$ în figura din stânga și ${A=A_1+A_2+A_3}$ în cea din dreapta.
Pentru o regiune cu o latură curbă, cum este regiunea de sub graficul lui $f$ între ${x=a}$ și ${x=b},$ acest lucru este imposibil: niciun număr finit de dreptunghiuri sau triunghiuri nu o umple exact.
În schimb, aproximăm aria. Împărțim $[a,\,b]$ în $n$ părți de aceeași lățime și pe fiecare parte punem un dreptunghi, cât mai înalt posibil fără să depășească curba (un dreptunghi înscris). Suma ariilor acestor dreptunghiuri este puțin mai mică decât aria regiunii. Pe măsură ce $n,$ crește, dreptunghiurile devin mai înguste, spațiile dintre ele și curbă se micșorează, iar sumele se apropie de aria exactă ca de o valoare limită.
Exemplul 2. Află aria de sub curba ${y=x^2}$ între ${x=0}$ și ${x=1}.$
Împărțim $[0,\,1]$ în $n$ părți de lățime ${\frac{1}{n}}.$ Dreptunghiurile înscrise au înălțimile ${(k/n)^2}$ pentru ${k=0},$ $1,$ …, ${n-1}.$ Dreptunghiurile care acoperă regiunea au înălțimile ${(k/n)^2}$ pentru ${k=1},$ $2,$ …, $n;$ aria lor totală este puțin mai mare decât aria regiunii. Cu formula
${1^2+2^2+\ldots+m^2}={{\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}},}$
aflăm suma $s_n$ a dreptunghiurilor înscrise și suma $S_n$ a celor care acoperă regiunea:
${s_n=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}}$ și ${S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}}.$
| $n$ | $s_n$ (sub curbă) | $S_n$ (acoperă regiunea) |
|---|---|---|
| 4 | 0,21875 | 0,46875 |
| 10 | 0,285 | 0,385 |
| 100 | 0,32835 | 0,33835 |
| 1000 | 0,3328335 | 0,3338335 |
Pentru fiecare $n$ aria se află între $s_n$ și $S_n,$ iar cele două sume se apropie de ${\frac{1}{3}}.$ Prin urmare, aria este exact ${\frac{1}{3}}.$ Un număr obținut ca limită a unor sume de acest tip se numește integrală (definită); aici este integrala lui $x^2$ de la $0$ la $1.$
Estimarea unei limite cu un tabel
Să luăm
$$f(x)=\frac{\sin x}{x},$$unde $x$ este în radiani. Această funcție nu este definită în ${x=0},$ pentru că acolo fracția devine ${\frac{0}{0}}.$ Ce se întâmplă cu $f(x)$ când $x$ este aproape de $0?$ Cu un calculator în modul radiani obținem:
| $x$ | ${\frac{\sin x}{x}}$ | $x$ | ${\frac{\sin x}{x}}$ |
|---|---|---|---|
| 1,0 | 0,84147 | −1,0 | 0,84147 |
| 0,8 | 0,89670 | −0,8 | 0,89670 |
| 0,6 | 0,94107 | −0,6 | 0,94107 |
| 0,4 | 0,97355 | −0,4 | 0,97355 |
| 0,2 | 0,99335 | −0,2 | 0,99335 |
| 0,01 | 0,99998 | −0,01 | 0,99998 |
Valorile pentru $x$ și pentru $-x$ sunt egale, pentru că ${\frac{\sin(-x)}{-x}}={\frac{-\sin x}{-x}}={{\frac{\sin x}{x}}.}$ Când $x$ se apropie de $0$ pe la stânga sau pe la dreapta, $f(x)$ se apropie de $1.$
Spunem că limita lui $f(x)$ când $x$ tinde către $0$ este $1,$ și scriem
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$Tabelul doar sugerează acest rezultat; el se demonstrează în cursurile de analiză matematică și este una dintre cele mai importante limite. În multe cărți este cunoscută drept „limita fundamentală” (limita trigonometrică fundamentală). Observă că $f(0)$ nu este definit: graficul are un „gol” (un punct exclus) în $(0,\,1).$ Limita descrie valorile lui $f$ din apropierea lui $0,$ nu din $0.$
Limita (definiție informală). Scriem ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ și spunem „limita lui $f(x)$ când $x$ tinde către $a$ este $L$” dacă valorile $f(x)$ pot fi apropiate de $L$ oricât de mult dorim, luând $x$ suficient de aproape de $a,$ dar diferit de $a.$
Nici nu este nevoie ca funcția să fie definită în $a\text{:}$ este suficient să fie definită în punctele din apropierea lui $a.$ Iar dacă este definită, valoarea $f(a)$ nu influențează: schimbarea lui $f(a)$ nu schimbă limita.
Limite laterale și limita bilaterală
Uneori contează pe ce parte se apropie $x$ de $a.$ Dacă $x$ se apropie de $a$ luând valori mai mari decât $a$ (pe la dreapta), scriem ${x\to a^+}.$ Dacă $x$ se apropie de $a$ luând valori mai mici decât $a$ (pe la stânga), scriem ${x\to a^-}.$
| Notație | Cum se citește |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a^+}f(x)=L_1}$ | Limita lui $f(x)$ când $x$ tinde către $a$ pe la dreapta este $L_1$ (limita la dreapta) |
| ${\lim_{x\to a^-}f(x)=L_2}$ | Limita lui $f(x)$ când $x$ tinde către $a$ pe la stânga este $L_2$ (limita la stânga) |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | Limita lui $f(x)$ când $x$ tinde către $a$ este $L$ (limita bilaterală) |
Pentru funcția de mai sus, tabelul sugerează ${\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1}$ (limita la dreapta) și ${\lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=1}$ (limita la stânga).
Limita bilaterală ${\lim_{x\to a}f(x)}$ există și este egală cu $L$ dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale cu $L.$
Exemplul 3. Fie ${f(x)=\frac{|x|}{x}}.$ Pentru ${x\gt0}$ avem ${|x|=x},$ deci ${f(x)=1}.$ Pentru ${x\lt0}$ avem ${|x|=-x},$ deci ${f(x)=-1}.$ Prin urmare,
${\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1},$ ${\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1}.$
Limitele laterale sunt diferite, deci limita ${\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}}$ nu există. Graficul „sare” în $0.$
Capcane numerice
Un tabel de valori poate doar sugera o limită și poate sugera una greșită. Să considerăm
$$f(x)=\sin\frac{\pi}{x}.$$Pentru ${x=1};$ $0{,}1;$ $0{,}01;$ … numărul ${\frac{\pi}{x}}$ este $\pi,$ $10\pi,$ $100\pi,$ …, un multiplu întreg de $\pi,$ iar sinusul unui astfel de număr este $0\text{:}$
| $x$ | $f(x)$ | $x$ | $f(x)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | −1 | 0 |
| 0,1 | 0 | −0,1 | 0 |
| 0,01 | 0 | −0,01 | 0 |
| 0,001 | 0 | −0,001 | 0 |
| 0,0001 | 0 | −0,0001 | 0 |
Tabelul sugerează că ${\lim_{x\to0}\sin\frac{\pi}{x}=0}.$ Acest lucru este fals. Pentru ${x=\frac{2}{5}},$ ${\frac{2}{9}},$ ${\frac{2}{13}},$ …, adică pentru ${x=\frac{2}{4k+1}},$ obținem ${\frac{\pi}{x}}={\frac{\pi}{2}+2k\pi},$ iar sinusul acestui număr este $1.$ Aceste valori ale lui $x$ (${k=1},$ $2,$ $3,$ …) se apropie și ele de $0$ oricât de mult dorim. La fel se întâmplă la stânga lui $0\text{:}$ pentru ${x=-\frac{2}{4k+3}}$ (${-\frac{2}{3}},$ ${-\frac{2}{7}},$ …) obținem ${\frac{\pi}{x}}={-\frac{3\pi}{2}-2k\pi},$ iar sinusul este din nou $1.$ Astfel, aproape de $0,$ funcția ia din nou și din nou valoarea $0$ și valoarea $1$ (și de asemenea $-1$): graficul ei oscilează de o infinitate de ori între $-1$ și $1.$ Valorile nu se apropie de niciun număr anume, deci ${\lim_{x\to0^+}\sin\frac{\pi}{x}},$ ${\lim_{x\to0^-}\sin\frac{\pi}{x}}$ și ${\lim_{x\to0}\sin\frac{\pi}{x}}$ nu există.
În punctele roșii (${x=\pm1},$ ${\pm\frac{1}{2}},$ ${\pm\frac{1}{3}},$ ${\pm\frac{1}{10}}$) avem ${f(x)=0},$ ca în tabel; în punctele verzi, ${f(x)=1}.$ Aproape de $0$ oscilațiile sunt prea dese ca să poată fi desenate.
Un tabel, un calculator sau un program de grafice ne pot induce în eroare. O presupunere obținută dintr-un tabel trebuie verificată cu algebră sau studiind atent funcția.
Limite infinite
Să considerăm ${f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}}.$ Când $x$ este aproape de $2,$ pe oricare dintre cele două părți, ${(x-2)^2}$ este un număr pozitiv mic, deci $f(x)$ este un număr pozitiv mare. De exemplu, ${f(2{,}01)}={f(1{,}99)}={10\,000}$ și ${f(2{,}001)}={1\,000\,000}.$ Valorile cresc nelimitat, și scriem
${\lim_{x\to2^-}f(x)}={\lim_{x\to2^+}f(x)}={\lim_{x\to2}f(x)}={{+\infty}.}$
La fel, pentru ${g(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}}$ valorile scad nelimitat de ambele părți ale lui $2,$ și ${\lim_{x\to2}g(x)=-\infty}.$
Funcția ${h(x)=\frac{1}{x-2}}$ se comportă diferit de fiecare parte. Pentru $x$ puțin mai mare decât $2,$ ${x-2}$ este un număr pozitiv mic și $h(x)$ este un număr pozitiv mare. Pentru $x$ puțin mai mic decât $2,$ ${x-2}$ este un număr negativ apropiat de zero și $h(x)$ este un număr negativ cu valoare absolută mare:
${\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty},$ ${\lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty}.$
Simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere. A scrie ${\lim_{x\to2}f(x)=+\infty}$ nu înseamnă că limita există; ne spune cum încetează să existe: valorile depășesc orice margine. Pentru $h$ limitele laterale sunt diferite, deci ${\lim_{x\to2}h(x)}$ nu este nici $+\infty$ nici $-\infty;$ spunem doar că nu există.
În cele trei figuri, dreapta punctată ${x=2}$ este o asimptotă verticală. În general, dreapta ${x=a}$ este o asimptotă verticală a graficului lui $f$ dacă cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este $+\infty$ sau $-\infty.$
Limite la infinit
Ne putem întreba și ce se întâmplă cu $f(x)$ când $x$ crește nelimitat (${x\to+\infty}$) sau scade nelimitat (${x\to-\infty}$). Scriem ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L}$ dacă $f(x)$ poate fi apropiat de $L$ oricât de mult dorim, luând $x$ suficient de mare, și analog pentru ${x\to-\infty}.$ Atunci dreapta ${y=L}$ este o asimptotă orizontală a graficului.
Exemplul 4. Pentru funcția din figura de mai jos
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=4}.$
Ambele limite există. Sunt diferite, dar asta nu este o problemă: ele descriu cele două capete ale graficului. Dreptele ${y=-1}$ și ${y=4}$ sunt asimptote orizontale.
Exemplul 5. Pentru funcția de mai jos, când ${x\to-\infty},$ ${f(x)\to+\infty},$ adică ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}.$ Când ${x\to+\infty},$ graficul oscilează în jurul dreptei ${y=-2},$ dar oscilațiile sunt tot mai mici, deci $f(x)$ se apropie de $-2\text{:}$
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2}.$
Dreapta ${y=-2}$ este o asimptotă orizontală, deși graficul o taie din nou și din nou.
Exemplul 6. Pentru funcția de mai jos, când ${x\to-\infty},$ ${f(x)\to-\infty}.$ Când ${x\to+\infty},$ $f(x)$ continuă să oscileze între $-3$ și $3$ și nu se apropie de niciun număr. Astfel, ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty},$ și ${\lim_{x\to+\infty}f(x)}$ nu există (nici nu este $+\infty$ nici $-\infty$). Acest grafic nu are asimptotă orizontală.
Rezumatul notațiilor
| Notație | Semnificație |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | $f(x)$ este oricât de aproape de $L$ pentru orice ${x\ne a}$ suficient de aproape de $a$ |
| ${\lim_{x\to a^+}f(x)=L}$ | la fel, dar doar pentru ${x\gt a}$ |
| ${\lim_{x\to a^-}f(x)=L}$ | la fel, dar doar pentru ${x\lt a}$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ | $f(x)$ este mai mare decât orice număr dat pentru orice ${x\ne a}$ suficient de aproape de $a$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=-\infty}$ | $f(x)$ este mai mic decât orice număr dat pentru orice ${x\ne a}$ suficient de aproape de $a$ |
| ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ este oricât de aproape de $L$ pentru orice $x$ suficient de mare |
| ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ este oricât de aproape de $L$ pentru orice $x$ negativ cu $|x|$ suficient de mare |
Probleme pentru exersat
1. Cu un calculator în modul radiani, estimează ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}$ din valorile în ${x=0{,}5};$ $0{,}1$ și $0{,}01.$
Răspuns
Valorile sunt aproximativ $0{,}489670;$ $0{,}499583$ și $0{,}499996$ (aceleași pentru $-x$). Se pare că limita este ${\frac{1}{2}},$ și aceasta este, într-adevăr, valoarea ei.
2. Folosind drepte secante, află panta tangentei la ${y=x^2}$ în $P(3,\,9)$ și o ecuație a acestei tangente.
Răspuns
Pentru ${x\ne3}$ panta lui $PQ$ este ${\frac{x^2-9}{x-3}}={x+3},$ care tinde către $6$ când ${x\to3}.$ Tangenta este ${y-9=6(x-3)},$ adică ${y=6x-9}.$
3. Aproximează aria de sub dreapta ${y=x}$ între ${x=0}$ și ${x=1}$ cu $n$ dreptunghiuri înscrise. Aria lor totală este ${\frac{n-1}{2n}}.$ Calculeaz-o pentru ${n=10},$ $100,$ $1000.$ Care este limita?
Răspuns
$0{,}45;$ $0{,}495;$ $0{,}4995.$ Limita este ${\frac{1}{2}},$ aria triunghiului dreptunghic cu catetele $1$ și $1.$
4. Fie ${f(x)=\frac{x^2-x}{|x-1|}}.$ Află ${\lim_{x\to1^+}f(x)}$ și ${\lim_{x\to1^-}f(x)}.$ Există ${\lim_{x\to1}f(x)}?$
Răspuns
${x^2-x=x(x-1)}.$ Pentru ${x\gt1}\text{:}$ ${f(x)=x},$ care tinde către $1.$ Pentru ${x\lt1}\text{:}$ ${f(x)=-x},$ care tinde către $-1.$ Limitele laterale sunt $1$ și $-1,$ deci limita nu există.
5. Funcția $g$ este definită prin ${g(x)=x+1}$ pentru ${x\lt2},$ ${g(x)=5-x}$ pentru ${x\gt2}$ și ${g(2)=7}.$ Află ${\lim_{x\to2^-}g(x)},$ ${\lim_{x\to2^+}g(x)},$ ${\lim_{x\to2}g(x)}$ și $g(2).$
Răspuns
$3,$ $3,$ $3$ și $7.$ Limita există și este egală cu $3,$ deși ${g(2)=7}\text{:}$ valoarea în punct nu contează.
6. Află ${\lim_{x\to3^-}\frac{1}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3^+}\frac{1}{x-3}}$ și ${\lim_{x\to3}\frac{1}{(x-3)^2}}.$
Răspuns
$-\infty,$ $+\infty$ și $+\infty.$ Dreapta ${x=3}$ este o asimptotă verticală pentru ambele grafice.
7. Află ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$ și ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}}.$ Care dreaptă este asimptotă orizontală a lui ${y=\frac{1}{x}}?$
Răspuns
Ambele limite sunt $0$ (de exemplu, ${\frac{1}{1000}=0{,}001}$ și ${\frac{1}{-1000}=-0{,}001}$). Asimptota orizontală este axa $x,$ adică dreapta ${y=0}.$
8. Estimează ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x}}$ din valorile în ${x=10},$ $100,$ $1000$ și apoi explică rezultatul.
Răspuns
$2{,}1;$ $2{,}01;$ $2{,}001\text{:}$ limita este $2,$ pentru că ${\frac{2x+1}{x}}={2+\frac{1}{x}}$ și ${\frac{1}{x}}$ tinde către $0.$
9. Există ${\lim_{x\to0}\cos\frac{\pi}{x}}?$
Răspuns
Nu. Pentru ${x=\frac{1}{2k}}$ valoarea este ${\cos2k\pi=1},$ iar pentru ${x=\frac{1}{2k+1}}$ este ${\cos(2k+1)\pi=-1}.$ Cele două feluri de valori ale lui $x$ se apropie de $0$ oricât de mult dorim, deci valorile funcției nu se apropie de un singur număr.
Lecția următoare: „Limite și metode de calcul”, unde se calculează exact cu proprietățile limitelor. Limitele de șiruri sunt explicate în „Limite de șiruri”.
