Expresii raționale: probleme rezolvate (partea 1)

Problemele 1–16 se referă la expresii întregi și fracționare, monoame și polinoame, iar fiecare are rezolvarea completă. Regulile sunt explicate în lecția Expresii raționale. Problemele 17–28 (pătrate perfecte, descompunere în factori și identități) se găsesc în partea a 2-a.

Probleme: 1 Întreagă sau fracționară? · 2 Monom sau nu? · 3 Formă redusă sau nu? · 4 Scrierea în forma redusă · 5 Valoarea unui monom · 6 Gradul · 7 Termeni asemenea · 8 Valoarea unui polinom · 9 Numere scrise ca polinoame · 10 Polinom în forma redusă · 11 Factor comun · 12 Efectuarea produselor · 13 Simplificare · 14 Împărțirea monoamelor · 15 Puteri · 16 Împărțirea la un monom

Problema 1. Întreagă sau fracționară?

Care dintre aceste expresii sunt întregi în raport cu $x?$

a) ${x^2-9x+2};$ b) $\frac{3x+2}{a-1};$ c) ${\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{7}x+\frac{1}{5}a};$ d) $\frac{7-x}{x+1};$ e) ${x^2-\frac{1}{x}};$ f) ${\frac{1}{2}x+\frac{2}{x}}.$

Rezolvare. O expresie este întreagă în raport cu $x$ dacă în ea nu se împarte la nicio expresie care conține $x.$ Se poate împărți la un număr sau la o expresie fără $x.$

a), b) și c) sunt întregi în raport cu $x\text{:}$ numitorul ${a-1}$ de la b) nu conține $x,$ iar la c) se împarte doar la numere.
d), e) și f) sunt fracționare în raport cu $x\text{:}$ în ele se împarte la ${x+1}$ și la $x.$

Problema 2. Monom sau nu?

Care dintre aceste expresii sunt monoame?

a) ${ab^2x};$ b) ${ab\cdot(-3)c};$ c) ${x^3+x};$ d) ${-a+b};$ e) ${2(a+b)^3};$ f) ${0{,}67ab}.$

Răspuns. a), b) și f) sunt monoame: sunt produse de numere și variabile. Forma redusă a lui b) este ${ab\cdot(-3)c=-3abc}.$ c) și d) sunt sume de două monoame, deci sunt polinoame, nu monoame. e) este o putere a sumei ${a+b},$ deci nici ea nu este monom; devine polinom abia după ce efectuăm puterea.

Problema 3. Este monomul în forma redusă?

a) ${-3abc};$ b) ${x^2y};$ c) ${0{,}4a\cdot\frac{1}{3}b};$ d) ${x^2yx}.$

Răspuns. a) și b) sunt în forma redusă. c) și d) nu sunt: c) are doi factori numerici, iar d) conține de două ori litera $x.$ Formele lor reduse sunt ${0{,}4a\cdot\frac{1}{3}b=\frac{2}{15}ab}$ și ${x^2yx=x^3y}.$

Problema 4. Scrie monomul în forma redusă

a) ${12xy^2x^2};$ b) ${3x\cdot5ayx};$ c) ${2\cdot\frac{3}{4}ax^2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)a^2x}.$

Rezolvare. Înmulțim numerele și grupăm puterile fiecărei variabile.

a) ${12xy^2x^2}={12x^3y^2}.$

b) ${3x\cdot5ayx}={15ax^2y}.$

c) ${2\cdot\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}\cdot {a\cdot a^2\cdot x^2\cdot x}={{-a^3x^3},}$ deoarece ${2\cdot\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1}.$

Problema 5. Valoarea unui monom

a) ${-7x^2y^2}$ pentru ${x=-2},$ ${y=1};$ b) ${7a^2bc}$ pentru ${a=3},$ ${b=2},$ ${c=\frac{5}{7}}.$

Rezolvare. a) ${-7x^2y^2}={-7\cdot(-2)^2\cdot1^2}={-7\cdot4\cdot1}={{-28}.}$

b) ${7a^2bc}={7\cdot3^2\cdot2\cdot\frac{5}{7}}={9\cdot2\cdot5}={{90}.}$

Problema 6. Forma redusă și gradul

Scrie fiecare monom în forma redusă și află gradul lui în raport cu variabilele $x$ și $y.$

a) ${ax\cdot10xaax};$ b) ${ay\cdot\frac{3}{4}\cdot bxx\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)};$ c) ${5cxy\cdot(-4)cxy}.$

Rezolvare. Gradul în raport cu $x$ și $y$ numără doar exponenții lui $x$ și ai lui $y;$ celelalte litere se tratează ca numere.

a) ${ax\cdot10xaax}={10a^3x^3}\text{:}$ gradul este $3.$

b) ${ay\cdot\frac{3}{4}\cdot bxx\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}={{-\frac{3}{8}abx^2y}\text{:}}$ gradul este ${2+1=3}.$

c) ${5cxy\cdot(-4)cxy}={{-20c^2x^2y^2}\text{:}}$ gradul este ${2+2=4}.$

Problema 7. Reducerea termenilor asemenea

Simplifică:

a) ${3x^2-5x^2+7{,}5x^2};$ b) ${-\frac{5}{7}a^3b^2-2a^3b^2+8a^3b^2};$ c) ${2x-5xy-8xy}-{3{,}1xy-0{,}2xy;}$ d) ${a^3x^2+3a^3x^2+a^2x^3};$ e) ${9x-[-(5x-1)-8x]};$ f) ${2a}-{\left\{b-[a+(a-2b)]+3a\right\};}$ g) ${(x-y)(x^2+xy+y^2)}+{(x+y)(x^2-xy+y^2).}$

Rezolvare. Adunăm coeficienții termenilor asemenea; termenii care nu sunt asemenea rămân cum sunt.

a) ${3x^2-5x^2+7{,}5x^2}={(3-5+7{,}5)x^2}={{5{,}5x^2}.}$

b) ${-\frac{5}{7}a^3b^2}-{2a^3b^2+8a^3b^2}={\left(-\frac{5}{7}-2+8\right)a^3b^2}={{\frac{37}{7}a^3b^2}.}$

c) ${2x-5xy-8xy}-{3{,}1xy-0{,}2xy}={{2x-16{,}3xy}\text{:}}$ termenul $2x$ nu este asemenea cu ceilalți.

d) ${a^3x^2+3a^3x^2+a^2x^3}={{4a^3x^2+a^2x^3}\text{:}}$ $a^2x^3$ nu este asemenea cu $a^3x^2.$

La e) și f) desfacem parantezele din interior spre exterior.

e) ${9x-[-(5x-1)-8x]}={9x-(-5x+1-8x)}={9x-(-13x+1)}={9x+13x-1}={{22x-1}.}$

f) ${2a}-{\left\{b-[a+(a-2b)]+3a\right\}}={2a}-{\left\{b-(2a-2b)+3a\right\}}={2a-(b-2a+2b+3a)}={2a-(a+3b)}={{a-3b}.}$

g) Folosim diferența și suma de cuburi:

${(x-y)(x^2+xy+y^2)}+{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

$=x^3-y^3+x^3+y^3=2x^3.$

Problema 8. Valoarea unui polinom

a) ${100x+10y+z}$ pentru ${x=2},$ ${y=3},$ ${z=4};$ b) ${-0{,}08b}+{73a^2b+27a^2b}$ pentru ${a=0{,}2},$ ${b=4}.$

Rezolvare. a) ${100x+10y+z}={100\cdot2+10\cdot3+4}={{234}.}$

b) Mai întâi reducem termenii asemenea: ${-0{,}08b}+{73a^2b+27a^2b}={{-0{,}08b+100a^2b}.}$ Apoi, ${-0{,}08b+100a^2b}={-0{,}08\cdot4}+{100\cdot0{,}2^2\cdot4}={-0{,}32+16}={{15{,}68}.}$

Problema 9. Numere scrise ca polinoame

Literele $a,$ $b$ și $c$ sunt cifre. Bara arată că $\overline{ab}$ este numărul scris cu cifrele $a$ și $b,$ și nu produsul $ab;$ prima cifră a unui număr nu este $0.$ Scrie fiecare număr ca polinom: a) $\overline{ab};$ b) $\overline{abc};$ c) $\overline{abba};$ d) $\overline{ba}.$

Rezolvare. În $\overline{abc}$ cifra $c$ este cea a unităților, $b$ cea a zecilor, iar $a$ cea a sutelor. Prin urmare:

a) ${\overline{ab}=10a+b};$ b) ${\overline{abc}=100a+10b+c};$ c) ${\overline{abba}}={1000a+100b+10b+a}={{1001a+110b};}$ d) ${\overline{ba}=10b+a}.$

Problema 10. Scrie ca polinom în forma redusă

a) ${\left(\frac{a^2}{4}\right)^2}+{\frac{1}{32}a(16a-2a^3);}$ b) ${12x\left(y-\frac{1}{6}x\right)}-{2y\left(\frac{1}{2}y+3x\right).}$

Rezolvare. a)

${\left(\frac{a^2}{4}\right)^2}+{\frac{1}{32}a(16a-2a^3)}={\frac{a^4}{16}+\frac{16a^2}{32}-\frac{2a^4}{32}}$

$=\frac{a^4}{16}+\frac{a^2}{2}-\frac{a^4}{16}=\frac{a^2}{2}.$

${12x\left(y-\frac{1}{6}x\right)}-{2y\left(\frac{1}{2}y+3x\right)}={12xy-2x^2-y^2-6xy}$

$=-2x^2+6xy-y^2.$

Problema 11. Dă factor comun

a) ${a(c-b)+d(b-c)};$ b) ${a-3b-2x(3b-a)}+{4y(3b-a);}$ c) ${6(3-b)+9(b-3)^2};$ d) ${5a(2x-7)+3b(7-2x)}.$

Rezolvare. Mai întâi facem ca parantezele să fie identice. Când două paranteze diferă doar prin semn, folosim ${b-c=-(c-b)};$ un pătrat nu se schimbă dacă schimbăm semnul din interiorul parantezei: ${(b-3)^2=(3-b)^2}.$

a) ${a(c-b)+d(b-c)}={a(c-b)-d(c-b)}={{(c-b)(a-d)}.}$

b) ${a-3b}-{2x(3b-a)+4y(3b-a)}={(a-3b)}+{2x(a-3b)-4y(a-3b)}={{(a-3b)(1+2x-4y)}.}$

c) ${6(3-b)+9(b-3)^2}={6(3-b)+9(3-b)^2}={3(3-b)[2+3(3-b)]}={{3(3-b)(11-3b)}.}$

d) ${5a(2x-7)}+{3b(7-2x)}={5a(2x-7)}-{3b(2x-7)}={{(2x-7)(5a-3b)}.}$

Problema 12. Efectuarea produselor

a) ${(x-y)(x+y)};$ b) ${(x+5)(y-7)};$ c) ${(2y-7)\left(x+\frac{1}{y}\right)};$ d) ${(-2a-3b)(a+b^3)};$ e) ${(a+b-c)(x-y)}.$

Rezolvare. Fiecare termen al primului factor se înmulțește cu fiecare termen al celui de-al doilea.

a) ${(x-y)(x+y)}={x^2+xy-xy-y^2}={{x^2-y^2}.}$

b) ${(x+5)(y-7)}={{xy-7x+5y-35}.}$

c) ${(2y-7)\left(x+\frac{1}{y}\right)}={2xy+2-7x-\frac{7}{y}}$ pentru ${y\ne0}.$

d) ${(-2a-3b)(a+b^3)}={{-2a^2-2ab^3-3ab-3b^4}.}$

e) ${(a+b-c)(x-y)}={{ax-ay+bx-by-cx+cy}.}$

Problema 13. Simplifică și scrie în forma redusă

a) ${(a+1)(a^2-a+1)};$ b) ${(a-7)(a+2)}-{(2a-1)(a-14);}$ c) ${(2-b)(1+2b)}+{(1+b)(b^3+3b);}$ d) ${(x-y)(x+y)}+{x^2+2xy+y^2;}$ e) ${-(x-y)^2+x^2}-{2xy+y^2.}$

Rezolvare. a) ${(a+1)(a^2-a+1)}={a^3-a^2+a+a^2-a+1}={a^3+1}$ (suma de cuburi).

b) Al doilea produs se scade, deci îl lăsăm între paranteze până îl efectuăm:

${(a-7)(a+2)}-{(2a-1)(a-14)}$

$={a^2-5a-14}-{(2a^2-29a+14)}$

$={a^2-5a-14}-{2a^2+29a-14}={-a^2+24a-28.}$

${(2-b)(1+2b)}+{(1+b)(b^3+3b)}$

$={2+3b-2b^2+b^3}+{3b+b^4+3b^2}$

$=b^4+b^3+b^2+6b+2.$

d) ${(x-y)(x+y)}+{x^2+2xy+y^2}={x^2-y^2+x^2+2xy+y^2}={{2x^2+2xy}.}$

e) ${-(x-y)^2}+{x^2-2xy+y^2}={-(x^2-2xy+y^2)}+{x^2-2xy+y^2}={{0}.}$

Problema 14. Împărțirea monoamelor

a) $\frac{2x\cdot(-5xy)}{2xy};$ b) ${21x^3y^2\div\frac{-7x^2y}{x^5}};$ c) ${a^8\div\left(\frac{a^2}{a}\div\frac{a^2}{a}\right)}.$

Rezolvare. Toate variabilele sunt diferite de $0.$

a) ${\frac{2x\cdot(-5xy)}{2xy}}={\frac{-10x^2y}{2xy}}={{-5x}.}$

b) A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei: ${21x^3y^2\div\frac{-7x^2y}{x^5}}={21x^3y^2\cdot\frac{x^5}{-7x^2y}}={\frac{21x^8y^2}{-7x^2y}}={{-3x^6y}.}$

c) O expresie împărțită la ea însăși dă $1\text{:}$ ${\frac{a^2}{a}\div\frac{a^2}{a}=1},$ deci ${a^8\div1=a^8}.$

Problema 15. Puteri cu aceeași bază

Simplifică ($m,$ $p$ și $q$ sunt numere naturale; ${x\ne0},$ ${y\ne0}$):

a) ${-a^2\cdot a^6};$ b) ${-x^p\cdot x^q};$ c) ${3x^p\cdot y\cdot x\cdot y^p};$ d) ${\frac{x^{3m}}{x^m}\div x^m};$ e) $\frac{x^py^q}{x^{4-p}y^{-4+q}}.$

Rezolvare. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții; la împărțire se scad.

a) ${-a^2\cdot a^6}={-a^{2+6}}={{-a^8}.}$

b) ${-x^p\cdot x^q}={-x^{p+q}}.$

c) ${3x^p\cdot y\cdot x\cdot y^p}={{3x^{p+1}y^{p+1}}.}$

d) ${\frac{x^{3m}}{x^m}\div x^m}={x^{2m}\div x^m}={x^m}.$

e) ${\frac{x^py^q}{x^{4-p}y^{-4+q}}}={x^{p-(4-p)}y^{q-(-4+q)}}={{x^{2p-4}y^4}.}$

Problema 16. Împărțirea unui polinom la un monom

a) $\frac{x^3-x^2+yx^2}{x^2};$ b) $\frac{mna^2+3anm^2-2na^2}{3an};$ c) $\frac{-6x^2y^3+8yx^3-xy}{-2x}.$

Rezolvare. Se împarte fiecare termen la monom (care nu este $0$).

a) ${\frac{x^3-x^2+yx^2}{x^2}}={\frac{x^3}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}+\frac{yx^2}{x^2}}={{x-1+y}.}$

b) ${\frac{mna^2+3anm^2-2na^2}{3an}}={\frac{mna^2}{3an}+\frac{3anm^2}{3an}-\frac{2na^2}{3an}}={{\frac{1}{3}am+m^2-\frac{2}{3}a}.}$

c) ${\frac{-6x^2y^3+8yx^3-xy}{-2x}}={\frac{-6x^2y^3}{-2x}+\frac{8yx^3}{-2x}+\frac{-xy}{-2x}}={{3xy^3-4x^2y+\frac{1}{2}y}.}$

Mai multă exersare

Expresii raționale: probleme rezolvate (partea a 2-a) (problemele 17–28).
Expresii raționale: lecția.
Formule de calcul prescurtat.